★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

415:１３２人目の素数さん
04/08/15 21:36
地球上のある点Aをとりその地点と中心をはさんで反対側の点B
がある。
AとB地点における気温が同じであるある点Aは必ずひとつ存在する事を示せ。

416:１３２人目の素数さん
04/08/15 21:38
>>413
ここでそんな制限いらんだろ

417:１３２人目の素数さん
04/08/15 22:13
>>415
T(A)=A地点の温度－Aと反対側の地点の温度を考えるのかな？

418:１３２人目の素数さん
04/08/15 22:18
そうだね。一回答案書いたらノートン先生がまあいいんだが。

f(x)=T(x)-T(-x)と置くと、
f(x)=-f(-x)なので、この間のパスｃを取り
f(c(t))に中間地の定理を適用し　これが０になる点が存在する。

419:１３２人目の素数さん
04/08/15 22:32
あっ俺の答案だと温度がTね。

420:１３２人目の素数さん
04/08/16 00:56
>>395
これできない。だれか教えて。たぶん予想は｢それまで出たカードが赤、黒同数のときは
任意に予想し、黒が多ければ赤、赤が多ければ黒と予想する。｣という前提だとおもうけど。
とりあえずオレができたのはN=26とおいて
つまり(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)のとき次があたる確率は
x=yのとき1/2、x>yのときx/(x+y)、x<yのときy/(x+y)
で(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)となる確率はC[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]
なので結局期待値は
∑[x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
だと思うんだけどこれの計算ができん。鬱･･･方針からしてちがうのかな？

421:420
04/08/16 00:57
あ、和の範囲から(x,y)=(0,0)はぬいといてちょ。

422:１３２人目の素数さん
04/08/16 01:01
おしえてアゲ

423:１３２人目の素数さん
04/08/16 02:25
おしえてアゲよ永遠に

424:１３２人目の素数さん
04/08/16 02:25
おしえてアゲAgain

425:１３２人目の素数さん
04/08/16 03:01
>>395の出題者さん。せめて答えだけでもかいてくれアゲ

426:１３２人目の素数さん
04/08/17 00:40
>>377 >>378

なぜかというと掛け算は一番低い位から行うものだからです。掛け算の定義です。掛け算の定義にのっとらないとそのようなへんてこりんな答えが出てしまいます。
(０．９９９９９９９.......　の一番低い位などないのですから掛け算が出来ませんよね？）
同じ類の問題で1=2となってしまう有名な問題がありますね？あれは数をXという変数で割ってしまってるからです。X=0のとき定義されてませんでしょ？
ちなみに0.999999999=1を正確に証明するなら等比数列を使わなければなりません。以上、初投稿でした。

427:１３２人目の素数さん
04/08/17 00:46
０以上９以下の整数をすべて使って、a×bという形で表したとき、その値が最大になるa,bをもとめなさい。ただし、各数字はすべて一度だけつかうものとする。

428:１３２人目の素数さん
04/08/17 08:57
>>427
オマエはあれか？そんなんを東大生に溶かせるのか？
そんなもん出してる暇があったら>>395の回答教えれ

429:１３２人目の素数さん
04/08/20 01:55
帰ってきた>>395の答えおしえろアゲ

430:１３２人目の素数さん
04/08/20 02:11
>>395の問題期待値は>>420に書いた通りN=26として
　
∑[x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
　
であってると思うんだけどこれを一般のNの簡単な式に直すのってどうにも無理くさい
と思うんだけど。だとするとしこしこたしてくしかなさそう。もしかして出題ミスなのかな？

431:１３２人目の素数さん
04/08/27 00:51
804

432:１３２人目の素数さん
04/08/27 06:45
>>395
できたぜ！！
∑[x=0,N][y=0,N][(x,y)≠(0,0)]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
=((n-1/2)C[2n,n]+4^n/2)/C[2n,n]
かな？

433:１３２人目の素数さん
04/08/28 05:16
>>427
素朴に
93210×87654（＞90123×87654←相加相乗平均を考慮）
と予想してみる

434:433
04/08/28 05:25
ゴメン嘘．
96***×87***の方がまだ大きい（∵各位の数＜10だから10冪が勝つ）．
それでもやはり相加相乗平均の考え方を用いて
大きい位から順に求めていく事になりそうだが…

と云う訳で
>>428
出題意図は悪くないと思うよん．

435:１３２人目の素数さん
04/08/28 09:48
実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
∫[-1,1] (1-x) ( f(x) )^2dx = 1
このとき、
|f(1)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(-1)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
であることを示せ。

436:１３２人目の素数さん
04/08/28 13:32
>>435
これホントに正しい？
問題は1-x=2tと変数変換して
―
実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
4∫[0,1] t ( f(t) )^2dt = 1
このとき、
|f(0)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(2)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
を示せ。
―
と同値だけど数学辞典によるとG(2,2;t)=(1/t)(n+1)!(d/dt)^n{t^(n+1)(1-t)^n}
とおくとき∫[0,1]G(2,2,t)=1/(2(n+1)^3)になるそうだ。
コレを信じるとP_n(t)=(n+1)^3G(2,2,t)/4は前提条件をみたすけど
P_n(1)=(-1)^n･(n+1)!･(n+1)^3･n!になってしまうけど？

437:１３２人目の素数さん
04/08/28 13:46
まちごうた。
∫[0,1]tG(2,2,t)^2dt=1/(2(n+1)^3)
になるそうだ。数学辞典まちがってるとかじゃないよね？

438:１３２人目の素数さん
04/08/28 15:01
うーん。　Problems and Theorems in analysis vol.2　からとってきた問題なんだけど。
書き間違えたかも。コンビネーション使って原文通りに書いてみる。

f(1)≦((n+2)C2)/√2
f(-1)≦ √(((n+2)C2)/2)

だそうだが。　この本のP89.104番からの出題。今から解答引っ張ってくるから、
ちょいまて

439:１３２人目の素数さん
04/08/28 15:14
と思ったら、やたらと長い解答だし
大学入試レベルではないので止め。
気になるんなら、上の問題集を見てくんなまし。

440:１３２人目の素数さん
04/09/01 04:41
>>438 >>439
PS か。
その問題だけの回答ではない。
前に証明した事実も使って居る。

441:１３２人目の素数さん
04/09/07 06:41
341

442:１３２人目の素数さん
04/09/07 18:02
PS は Mics に整数論の問題まで載っていて面白いな。

443:１３２人目の素数さん
04/09/07 19:59
>442
唐突に何を？
解説キボンヌ！

444:１３２人目の素数さん
04/09/08 22:07
>>443
>>438へのレスだよ。
著者名の頭文字が P & S

445:１３２人目の素数さん
04/09/09 20:20
【問題】

　　　　　　　　　　　　　　（－１）×（－１）＝１

を証明せよ。

446:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 20:43
aが零元であるとすると、a=a+0=0
a,cがbの負元であるとすると、a=a+0=a+b+c=0+c=c
また、負元の定義から、1は-1の負元である。
(-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+((-1)*1-((-1)*1))=((-1)*(-1)+(-1)*1)-((-1)*1)
=(-1)*(-1+1)-((-1)*1)=(-1)*0-((-1)*1)=((-1)*0+0)-((-1)*1)=((-1)*0+((-1)*0-((-1)*0)))-((-1)*1)
=(((-1)*0+(-1)*0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*(0+0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*0-((-1)*0))-((-1)*1)
=0-((-1)*1)=-((-1)*1)=-((-1)*1+0)=-((-1)*1+(1*1-(1*1)))=-(((-1)*1+1*1)-(1*1))
=-((-1+1)*1-(1*1))=-(0*1-(1*1))=-((0*1+0)-(1*1))=-((0*1+(0*1-(0*1)))-(1*1))
=-(((0*1+0*1)-(0*1))-(1*1))=-(((0+0)*1-(0*1))-(1*1))=-((0*1-(0*1))-(1*1))=-(0-(1*1))
=-(-(1*1))=-(-1)=1

447:１３２人目の素数さん
04/09/09 20:46
>>446
一番最後、
　　　　　　　　　－（－１）＝１
って使えないでしょ。

448:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 21:01
Re:>447
上の方に書いてある説明が読めないか？

449:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 21:03
本当はこんなまどろっこしいことを二度繰り返す必要は無く、
-((-1)*1)から、
-((-1)*1)=-(-1)=1とすればよかったか。

450:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 21:04
Re:>447
補足：-aはaの逆元であり、b-aとは、b+(-a)のことである。

451:１３２人目の素数さん
04/09/09 23:51
なんじゃそら　もっと簡単な解き方がアルやろ

452:１３２人目の素数さん
04/09/10 00:26
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM って馬鹿だなー。

453:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/10 07:54
Re:>452 消えろ。

454:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:30:00
半径rの球の中心との距離がr/√3である2平面P,Qがあり
平面Pと平面Qは垂直である。
この球がP,Qにより分けられる4つの立体のうち
体積が最小である立体の体積を求めよ。

455:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:42:41
[2](1)定円に内接する四角形で面積が最大のものは正方形であることを示せ。
　 (2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。

456:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:46:29
[3]異なる4つの自然数がありどの3数の和も素数である。
この4数のうちある2数の差が3の倍数なら残り2数の差も3の倍数であることを証明せよ。

457:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:53:38
[4]半径1、高さhの直円錐がある。底面に垂直で底面の中心Oとの距離が1/2
である平面Pと円錐の側面にともに含まれる点全体からなる曲線をCとする。
C上の点をQとするとき線分OQの最小値をhを用いて表せ。

458:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:56:06
[5]一枚のコインを投げて表か裏かを記録する試行を、表が3回続けて出るまで繰り返す。
コインを投げる回数の期待値を求めよ。

459:１３２人目の素数さん
04/09/10 20:02:49
[6]xyz空間内にa+b+c=a^3+b^3+c^3=abcをみたす点(a,b,c)全体からなる図形をPとする。
いま、P上のn個の異なる点を結ぶと、正n角形ができた。このようなことが可能なnをすべて求めよ。

460:455
04/09/10 20:09:55
訂正
×sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)
○sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)

461:１３２人目の素数さん
04/09/10 21:15:58
【２】
（１）円の半径をｒ（＞０）、円に内接した四角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、
円の中心をＯ、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝θとすると、四角形の面積Ｓ(θ)は

　　　　　　　　　　　　　Ｓ(θ)＝2r^2*sinθ

と表されるので、ｒは定数であることに注意すると

　　　　　「Ｓ(θ)が最大」　⇔　sinθ＝１　⇔　θ＝π/2

なので、題意は示された。

（２）３じゃないの？ワカンネ（１）をどう利用するかが・・・＞＜

462:455
04/09/10 21:33:18
>>461
(1)円に内接する四角形を長方形に決めてしまってませんか？
(2)(1)がもし三角形の話だと・・・

463:１３２人目の素数さん
04/09/10 21:40:05
>>462

よく分からんが、(1)の別解。　つーても、>>461をほとんど見てないｗ

別解
円に内接する四角形ABCDの二点A,Cを固定して考える。
残りの二点B,Dを動かすことを考える。

明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
さらに、△BACの面積を底辺をACとして考えると、ACは固定されているため
高さのみでその面積が決定される。このとき、点Bの位置はBA=BCなる点に決定される。
同様に点Dの位置も決定される。

明らかに、この場合線分BDは円の直径になる。そのため、BDの長さは固定される。
次に、二点ACを動かす。明らかにAC⊥BDが成立するため、四角形ABCDの面積は
AC*BD/2で与えられる。よって、BDが固定されているとき、ACが最大になればいい。
この場合、ACも・・・以下略

464:455
04/09/10 21:51:17
>>463
＞明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
この行は蛇足かと。初めから対角線ACとして固定すればよいし、
そうでないならACが正方形の一辺にもなりうる。

465:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:06:55
>>455
この(1)って微妙に(2)の誘導になってんのかな？
(2)は結局半径1の円に内接する３角形の面積の最大値をもとめさせてるんだけど
それは正三角形のときで面積は3･(1/2)･sin120°=3√3/4。

466:455
04/09/10 22:09:51
>>465
正解(配点20)

467:455
04/09/10 22:15:57
ごめんウソ。減点-2

468:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:18:01
>>456
4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。
でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると
b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。
前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3)
としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。
よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが
符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。
よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。
さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。
いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。

469:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:18:46
>>467
減点された･･･どこ？

470:455
04/09/10 22:28:16
>>469
{sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)}/2が半径1の円に内接する３角形の面積

471:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:29:33
そうだった

472:456
04/09/10 22:31:10
>>468
1,3,7,9はどの3数の和も素数です

473:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/10 22:35:21
>>455
[2](1)
半径ｒの円Oに内接する四角形ABCDにおいて、
∠AOB＝x、∠BOC＝ｙ、∠COD＝ｚ、∠DOA＝ｗとおく（ｘ+ｙ+ｚ+ｗ＝2π）

四角形ABCD＝（1/2)ｒ＾2(sin x+sin y+sin z+sin w)≦（1/2)ｒ＾2(1+1+1+1)＝2ｒ＾2

等号は x＝y＝z＝w＝π/2 のとき成立し、このとき四角形ABCDは正方形となる。

474:455
04/09/10 22:37:14
>>473
模範解答thx

475:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:38:27
>>458
[5]がめんどいけどこれエレ解あるの？
求めるものは1/8+∑[n≧4]n(n-4回目までは３回連続表はでない確率)×(1/16)
で
(n回目までは３回連続表はでない＆n回目は裏の確率)=an
(n回目までは３回連続表はでない＆n-1回目は裏＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表はでない＆n-2回目は裏＆n-1回目は表の確率＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表があった確率)=dn
とおくとき
a(n+1)=(1/2)(an+bn+cn)
b(n+1)=(1/2)an
c(n+1)=(1/2)bn
d(n+1)=dn+(1/2)cn
をとけば∑[n≧4]n(1-cn)はもとまるけど正直しんどい。なんかもっと鮮やかなのがある？

476:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:39:14
>>472
しまった。吊ってくる。

477:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:47:00
>>472
a,b,c,d
≡0,0,0,0 ≡0,0,0,2 ≡0,1,2,2
≡0,0,0,1 ≡0,0,1,2 ≡1,1,2,2
≡0,0,1,1 ≡0,1,1,2 ≡0,2,2,2
≡0,1,1,1 ≡1,1,1,2 ≡1,2,2,2
≡1,1,1,1 ≡0,0,2,2 ≡2,2,2,2 (mod3)
のいずれかとしてよい。でどの３つをたしても≡0(mod3)にならないのは
(a,b,c,d)≡1,1,2,2 ≡0,0,1,1 ≡0,0,2,2(mod3)の３つしかない。でいづれにせよ主張成立。

478:461
04/09/10 22:49:59
>>462
（１）ですが、長方形∋正方形ですよね？
だからまず、内接する長方形を考慮したんです。んで解答の

　　　　　　θ＝π/2　⇔　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ　⇔　ＡＢＣＤは正方形

となると思うんですが。

479:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:51:46
>>478
質問したいのだが、円に内接する四角形の中で最大の面積を持つ物が
長方形でさえなかった場合というのは検討したのか？

480:461
04/09/10 23:11:59
>>479
ほんまやぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！！！
ああ、ごめんごめん・・・もうイヤ＞＜
数学苦手やった奴が口出しするもんじゃねーなｗ

481:１３２人目の素数さん
04/09/10 23:13:10
>480
チラシの裏に書いてろ、な！

482:１３２人目の素数さん
04/09/10 23:13:33
>>457[4]
ｈ/√2

483:482
04/09/10 23:16:55
場合訳がいったか．．．

484:458
04/09/10 23:33:09
>>475
ちょっとインチキ臭い操作でほとんど複雑な計算なく整数値ででます。

485:456
04/09/10 23:33:46
>>477
正解(配点20)

486:１３２人目の素数さん
04/09/11 00:11:49
>>458の[5]のインチキ臭い操作というのが思いつかん。

487:１３２人目の素数さん
04/09/11 14:34:33
一枚のコインを投げて表がn回続けて出るまで繰り返すとき、
投げる回数の期待値を a_n とすると、
a_{n+1}=2(a_n+1) という漸化式を満たす。

488:１３２人目の素数さん
04/09/11 15:13:30
>>455
まだ見ていますか？

[2](2)について
x,y,zの条件は他にありませんか？無ければ次のようになります。

-1<=sin(x-y)<=1,-1<=sin(y-z)<=1,-1<=sin(z-x)<=1ゆえ
問題の式はsin(x-y)=sin(y-z)=sin(z-x)=1のとき最大となる
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=(2c+1/2)π (a,b,cは整数)
を満たすが、3式を辺々足すと
a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)

よって求める最大値は3
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
を満たす任意の実数

489:４８８
04/09/11 15:24:52
>>455
すいません、訂正します。

誤）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
正）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π (a,bは整数)

注１）誤）の"y-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π"の間の","は"かつ"の誤りです
注２）誤）の3式目は整理すれば必要なくなります

490:455、458
04/09/11 15:41:19
>>488
＞a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
a,b,cは整数としているので矛盾です
>>487
よろしければ導出過程プリーズ

491:４８８
04/09/11 16:00:20
>>490
確かにそうですね。失礼しました。
>>455
ごめんなさい。誤解答の例ということで忘れてください。

492:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 17:26:06
>>459[6]

ｎ＝3，6 とみたが、どうだ？

493:459
04/09/11 17:46:59
>>492
惜しい

494:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 20:47:33
(a,b,c)＝(k,-k,0), (0,k,-k), (k,0,-k) はあってる？

495:459
04/09/11 21:00:51
>>494
あってまふ

496:１３２人目の素数さん
04/09/11 21:11:24
>>494
氏ね

497:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 21:20:58
>>495
じゃあ、エレファントだけど途中まで。

a+b+c＝a^3+b^3+c^3＝abc＝k とおくと
k≠0 のとき、
ab+bc+ca＝(k^2+2)/3 より a、b、c はtの3次方程式
t^3-kt^2+{(k^2+2)/3}t-k＝0 の解。
右辺は狭義単調増加なので、3次方程式の実数解は1個で不適。
よって k＝0。
したがって、(a，b，c)＝(s，-s，0)，(0，s，-s)，(s，0，-s)。
よって、図形Pは適当に平行移動お呼び回転をすると、xy平面上の3直線
y＝0，±(√3)x になる。←ここで勘違いか？

498:459
04/09/11 21:24:37
>>497
あってますよ。結論にわずかな見落としが。

499:１３２人目の素数さん
04/09/11 21:47:09
>>492
あと、正方形ができる。

500:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 21:55:46
漏れは包茎じゃないんですっかり見落としていたよ。

501:１３２人目の素数さん
04/09/11 22:05:55
>>500
でも短小なんだろ

502:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 22:11:22
>>501
下品なﾔｼだな。

503:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/11 22:41:26
Re:>502 おまえもな。

504:１３２人目の素数さん
04/09/11 22:42:10
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMウザイ。
恥を知れ。

505:１３２人目の素数さん
04/09/11 22:43:03
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMじゃあしょうがない。
みんなウザイ馬鹿なのは知ってる。

506:１３２人目の素数さん
04/09/11 23:35:32
(2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。
↑
は終わったと思っていいですか？

507:１３２人目の素数さん
04/09/11 23:38:41
>>506
いい

508:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:03:00
>>506
もちつけ（ｗ

509:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:03:14
もっとおもすろいのないの？

510:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:07:02
別スレでだしたやつだけど東大入試にもだせる形にして
lim[N→∞]∫[0,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
とかどう？

511:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:14:17
オイラーの定数が出るんじゃないの？

512:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:14:51
そうか。t=0の近傍でも広義積分になってるから
lim[N→∞]∫[1/N,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
にしないといけないか。

513:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:16:45
>>511
しまった。そうだ。だから大学入試にはつかえん。吊ってくる。

514:１３２人目の素数さん
04/09/12 07:20:52
>>490
直感的な説明。
n+1 回連続して表が出るためにはまず n 回連続して表が出る必要があり、
平均して a_n 回投げなければならない。
次の回に投げて成功すればよいが、失敗するとはじめからやり直しとなる。
成功の確率は 1/2 だから、平均すれば「n 回連続して表が出る + 1 回」を
2 回繰り返せば n+1 回表が連続して出るだろう。

515:458
04/09/12 20:34:04
>>514
thx　確かに直感的。でも正しい。
入試数学ではOKな考え方なのかな。

516:１３２人目の素数さん
04/09/12 20:42:15
試験の解答としてはダメだろ。

517:１３２人目の素数さん
04/09/12 21:58:59
０点だろ。

518:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:03:41
平面上に異なる四点を取り、
どの２点の距離も奇数になるようにせよ。
不可能であるならば、その事を証明せよ。

519:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/12 22:27:36
Re:>518
5通りの2点間の距離が奇数になるようにはできる。
問題はあと一組か。

520:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:27:52
>>518
ヒントおながいしまつ

521:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:37:36
こう言う問題は不可能だと相場が決まっている。
鳩の巣原理に一票。

522:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/12 22:56:50
Re:>521 私も最初はそう思ったけどね。

523:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:00:30
Kingはストーカー原理主義者。

524:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:20:33
>>518
円に内接する四角形ダメで対角線が垂直に交わる四角形もダメ。
どーも無理っぽい

525:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:57:06
>>515
とりあえず試験にもかけそうな解答ではこんな感じでどうだろう。
Vnを最初にn回連続表がでた時点をあたえる確率変数、
Xnを最初にn回連続表がでた直後の試行が裏であった場合という事象
としてE(Vn)=anとおくとき
a(n+1)
=E(V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)E(notXn|V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)(E(notXn|V(n))+1)
=(1/2)(E(Vn)+1+E(V(n+1)))+(1/2)(E(V(n))+1)
=(1/2)(an+1+a(n+1))+(1/2)(an+1)
∴a(n+1)=2an+2。
E(Vn)がちゃんと収束することも上の議論をすこし丁寧にやればでるね。

526:１３２人目の素数さん
04/09/13 00:23:52
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:579番)

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527:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/13 14:03:53
Re:>523 それ誰から聞いた？

528:１３２人目の素数さん
04/09/14 04:07:28
>>458
表が連続k回出ている状態から、試行が終わるまで投げる回数の期待値をb_kとする。
b_3=0
b_2=(1/2)(1+b_3)+(1/2)(1+b_0)
b_1=(1/2)(1+b_2)+(1/2)(1+b_0)
b_0=(1/2)(1+b_1)+(1/2)(1+b_0)
これを解いて、b_0=10。
厳密には条件付期待値の概念を使ってるから問題としていいのかどうかはわからんが。

529:１３２人目の素数さん
04/09/14 23:13:49
>>518
わからん。答えおながいしまつ。

530:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:18:05
　　　　　　　　　　☆ ﾁﾝ　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
　　　　　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 Λ＿Λ　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　＜　>>518答えﾏﾀﾞ～？
　　　　　　　＼＿／⊂　⊂＿ )　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　／￣￣￣￣￣￣／|
　　　　　　　　|￣￣￣￣￣￣￣|　 |
　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　|／

531:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:21:05
>>458 なるべく高級なことを利用しないように努めた解法。

長さ n の列で、最後の 3 回で初めて3 回連続して表が出た列全体の集合を A_n とし、
A_n の元の数を |A_n| で表す。
n 回目に初めて 3 回連続して表が出る確率 p_n は p_n=|A_n|/2^n である。

1) p_{3n},p_{3n+1},p_{3n+2}≦(7/8)^n が示せるので、
Σ_[n=1,∞]p_n と Σ_[n=1,∞]{np_n} が存在することがわかる。

2) A_{n+4} に属する列の最後の 4 回は裏表表表になっている。
この列の最後の 4 回を裏裏表表表または表裏表表表で置き換えた列を考える。
裏裏表表表に置き換えたものは、すべて A_{n+5} の元である。
表裏表表表で置き換えたものは、A_{n+5} の元であるかまたは
A_{n+1} に属する列に裏表表表を付け足した列になる。

逆に、A_{n+4} の元は、A_{n+5} に属する列から n+1 番目を取り除いた列か、
A_{n+1} に属する列の最後の表を裏表表表で置き換えた列になっている。

したがって、2 |A_{n+4}| = |A_{n+5}| + |A_{n+1}| が成立する。
両辺を 2^{n+5} で割ることで、p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) が得られる。

3) p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) を辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]p_n = p_4 + Σ_[n=1,∞]p_n - 1/16Σ_[n=1,∞]p_n
p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]p_n=1 となる。

4) また、n+5 倍してから辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]{np_n} = -p_3 + 4p_4 + Σ_[n=1,∞]{(n+1)p_n} - 1/16Σ_[n=1,∞]{(n+4)p_n}
Σ_[n=1,∞]p_n=1, p_3=1/8, p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]{np_n}=14 となる。

532:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:22:52
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
＞また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は
・・・

の結果を利用するとすぐに>>518の答えが分かるけど高校レベルの解答は分からん。

533:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:35:20
>>532
どうつかうの？べつにa,b,c,d,e,fが全部奇数で左辺が0でも矛盾しないような。

534:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:39:44
わかった。これつかうのか↓。なるほど。
　
　　（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2－ａ^2－ｄ^2）

　　　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2－ｂ^2－ｅ^2）

　　　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2－ｃ^2－ｆ^2）

　　　　　　　－ａ^2ｂ^2ｃ^2－ａ^2ｅ^2ｆ^2－ｄ^2ｂ^2ｆ^2－ｄ^2ｅ^2ｃ^2
　
a,b,c,d,e,fが全部奇数なら右辺≡2(mod4)だ。

535:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:51:09
>>518難しかった。こんな簡単にとけちゃうもんなんだな。またあたらしいのんキボン。

536:１３２人目の素数さん
04/09/15 01:23:37
>>395ではないが、>>395を誘導方式に変更してみた。
（１）、（２）はそれぞれ単独でもまずまず面白い問題かと。
（２）は漏れの頭の柔らかさでは高校範囲を逸脱する解等しか用意してないんだが…。

（１）
2n個の数値　x_1,x_2,…x_(2n)は次を満たすとする。
・x_1+x_2+…+x_2n=0
・任意のi=1,…,2nに対し、x_i=1 or x_i=-1
（すなわち、x_iは1がn個で-1がn個ってこと）

今、y_i（i=1,…,2n）を、
　(x_i)×(x_i+x_(i+1)+…+x_(2n))>0のとき、y_i=1
　それ以外の場合、y_i=0
と定義する。

このとき、y_1+y_2+…+y_n=nであることを示せ。

（２）
Σ[k=1～n]C(2k,k)・C(2(n-k),n-k))=2^(2n)-C(2n,n)を示せ。
（CはCombination。C(n,m)=n!/(m!・(n-m)!)です。）

（３）
>>395の解が、>>432の結論の式となることを示せ。

537:１３２人目の素数さん
04/09/15 14:17:42
>>532
座標を入れてごりごり計算してみたが、それほど面倒ではなかった。
ポイントは a,b,c が奇数のとき、(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) が
16n-1 の形の整数になるということのようだ。

538:１３２人目の素数さん
04/09/16 20:35:48
>>532のサイトみてからずっときになってんだけどもしかしてこんなこと成立する？
----
n次元ユークリッド空間のn+1個の点P1･･･P(n+1)をとる。行列Aを
Aij=
0 (i=j)
1 (i≠j ＆ (i=n+2 or j=n+2))
(PiとPiの距離)^2 (それ以外のとき)
で定義するときP1･･･P(n+1)の凸包の体積をVとするとき
V^2･(nだけで決まる関数)=|A|
----
n=2,3でそうなってるってのが>>532のサイトに紹介されてるんだけど。

539:１３２人目の素数さん
04/09/17 23:49:54
>>518って>>532のヒントがあるととたんにそりゃそうだって思えるようになるな。
たとえばOABCがOA、OB、OC、AB、BC、CAが全部奇数と仮定して
↑OA=a、↑OB=b、↑OC=cとおく。仮定から|a|、|b|、|c|は全部奇数で
2a･b、2b･c、2c･aは全部奇数でmod8で1。ところでOABCを端点とする四面体の体積は
det|[[(a,a),(a,b),(a,c)],[(b,a),(b,b),(b,c)],[(c,a),(c,b),(c,c)]]であるがそれは０。
よってとくにdet|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]
は０でなければならない。しかし一方これは全成分が整数で対角成分がmod8で2、
その他の成分がmod8で1。よってとくに
det|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]はmod8で4。矛盾。

540:１３２人目の素数さん
04/09/23 14:35:51
952

541:１３２人目の素数さん
04/09/28 08:13:11
757

542:１３２人目の素数さん
04/09/29 22:39:41
面積Sの四角形ABCDについて、2S=AB・CD+BC・DAが成り立つとき
四角形ABCDはどんな四角形か。

543:１３２人目の素数さん
04/09/29 23:17:20
AB・CD+BC・DA=AC・BDって円に内接するときしかだめなんだっけ？
これ誰の定理だっけ？

544:１３２人目の素数さん
04/09/30 00:40:17
>>542
円に内接しかつ対角線が直交するときかな？
まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。
それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって
rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと
Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。
Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか
x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。
いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と
すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。
よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。
このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから
2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角)
∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。
よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。

545:１３２人目の素数さん
04/09/30 23:15:58
>>543
AB・CD+BC・DA≧AC・BD が常に成り立ち、等号は四角形ABCDが円に内接するとき成立。
これを使えば>>544はもっと簡単になる。

546:１３２人目の素数さん
04/10/01 00:54:49
｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。
(1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。

547:１３２人目の素数さん
04/10/01 00:56:54
訂正っす
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。　

548:１３２人目の素数さん
04/10/01 02:47:52
x-y平面上の点のうち、x,y座標両方の値が整数値であるものを格子点と呼ぶ。
四つの格子点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)をそれぞれ、白、黒、赤、青の色で塗る。
次の操作を行い、各格子点をこれら四色のうち、どれか一つで塗ることを考える。

操作　n,mを整数として
単位正方形(n,m),(n+1,m),(n,m+1),(n+1,m+1)を考える。
この正方形の頂点に対し、反時計回りにA,B,C,Dと名前を付け、(どこをAととっても良い。)
点A,Bの辺CDに対する線対象な点をA'、B'とする。
点AとA'、点BとB'を同じ色で塗る。

この操作を、有限回繰り返し、最初白で塗られていた原点(0,0)を
別の色で塗り直せ。　不可能であるならば、その事を示せ。

549:１３２人目の素数さん
04/10/01 08:29:50
>>548
操作によって新しく塗られる点ともとの点のx座標、y座標の偶奇は変化しないので不可能。

550:１３２人目の素数さん
04/10/01 23:51:23
n×nマスの部屋を1×3マスのタイルと1×4マスのタイルで
隙間なく重なりなく敷きつめられることを示せ。
ただしnは3以上の整数で、使わない種類のタイルがあってもよいものとする。

551:１３２人目の素数さん
04/10/02 02:44:10
>>550

まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える．
■■■■■■
■□□□□■
■□□□□■
■□□□□■
■□□□□■
■■■■■■
上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり，
n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる．
そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると，
4m　　全て可能
4m+3　全て可能
4m+2　≧6なら可能
4m+1　≧9なら可能
となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら
全て可能である事が分かる．
後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る．
q.e.d.

552:551
04/10/02 02:48:55
受験モニター的報告

解答作成所要時間15分，実際の試験ならもうちょっと丁寧に書いて
推敲含め20～25分程度か．
因みに当方は数学科4年生（専攻：整数論）．
個人的には，受験生なら「やや難：30分以上」になると思うがどうだろう？

良問提供多謝．

553:１３２人目の素数さん
04/10/02 09:50:49
>>551-552
解答＆感想サンクス。
俺の場合数学は趣味だけど、整数問題なら自信の一作が。
入試問題としては誘導なしだと相当な難問かもしれないけど。

(問)BC=a,CA=b,AB=cの三角形ABCの辺BC上(両端を除く)に点Dをとると
AB=AD=DCとなった。aは素数、b,cは整数のときa,b,cを求めよ。

答えは綺麗に一組に定まるので自作問題のなかでは一番のお気に入り。

554:１３２人目の素数さん
04/10/02 17:00:00
３以上で５でない整数で３と４の和で表せるので
ｎ×３とｎ×４を並べてｎ×ｎができる。

555:１３２人目の素数さん
04/10/02 17:44:23
>>553
できた。(a,b,c)=(5,6,4)。あってる？

556:１３２人目の素数さん
04/10/02 19:04:57
aだけ素数ってのが惜しいな。

557:１３２人目の素数さん
04/10/02 19:05:59
UdoWOLrsDMは素数。

558:１３２人目の素数さん
04/10/02 21:43:17
>>555
さすが数学板っすね。解き方も書いてくれると嬉しいです。

559:１３２人目の素数さん
04/10/02 23:47:00
>>553 >>558
∠ADC=θとおく。-cosθ=cos(π-θ)=(d/2)/c=d/(2c)。
余弦定理からb^2=2c^2-2c^2cosθ=2c^2(1-cosθ)。
∴2c^2(1+d/(2c))=b^2。∴2c^2+cd=b^2。∴ca=c(c+d)=(b-c)(b+c)。
ここでb=gb'、c=gc'、(b',c')=1とおけば
c'a=g(b'-c')(b'+c')。(c',b'+c')=(c',b'-c')=(b',c')=1よりc'|g。
∴a=(g/c')(b'-c')(b'+c')であるがaが素数であるからどれかがaでのこりは1。
b'+c'>b'-c'からb'+c'が1にはなれないのでg/c'=b'-c'=1、b'+c'=a。
b'=c'+1であるが３辺が(b,c,c)は頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるので
(b',c',c')=(c'+1,c',c')も頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるが
(2,1,1)は3角不等式をみたさす(4,3,3),(5,4,4),･･･は頂角が鈍角にならない。
よって(b',c')=(3,2)。これからすでに得た等式にどんどん代入していけば(a,b,c)=(5,6,4)
であることが必要。一方B(0,0)、D(1,0)、C(5,0)、A(1/2,(3√7)/2)は条件満たすので
これが答え。

560:１３２人目の素数さん
04/10/03 00:13:41
>>559
お見事です。
cが平方数であることを示す誘導問題を考えてたけど>>559のほうが自然すね。
三角形ADCが鈍角三角形に着目すれば評価が楽なのも気づいてなかったし・・・(´･ω･`)

561:数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo
04/10/03 00:22:33
去年の学コンにも似た問題出てたね。

562:１３２人目の素数さん
04/10/03 00:38:13
>>561
どんな問題？
俺去年の5月に代ゼミの作問スタッフに応募して採用されたんだけど、それからさっぱり音沙汰なし。
まあいいかと思ってたけど、もし問題横流しされてたら嫌だなあ。どうせ被害妄想だけど。

代ゼミに送った問題サンプル
URLﾘﾝｸ(www2.spline.tv)
URLﾘﾝｸ(www2.spline.tv)

563:数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo
04/10/03 00:42:32
>>562
ちょっと何月号か忘れたけど、たしか、
同じように三角形の三辺が整数であるとか互いの素であるとかという条件をおいていた問題だった気がする。
似てるというか、辺の長さに整数問題を組み合わせただけかな

564:数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo
04/10/03 00:43:40
>>562
作問スタッフなんて募集してるのか・・・！
問題解く能力と作る能力って全然違うよなぁ。
難問かつ良問作れる人は尊敬する

565:１３２人目の素数さん
04/10/03 00:52:06
>>564
今は募集してないみたい。特に数学と化学は募集打ち切りが早かった気がする。

566:１３２人目の素数さん
04/10/03 22:27:48
作問スタッフってギャラいいのですか？
一問いくらとか？

567:１３２人目の素数さん
04/10/03 22:42:58
普通

568:１３２人目の素数さん
04/10/04 21:15:23
集合S={1,2,…,n}と全単射の写像fを考える。ｆ：S→Sであり、かつ
Σ[k=1,n] | f(k)-k | = (n^2-1)/2
を満たすとき、写像fとして考えられるものの総数を答えよ。

あと、関係ないけど前スレのログ持ってる人いない？

569:１３２人目の素数さん
04/10/05 03:45:24
nが偶数のとき0通り
nが奇数のとき3・{(n-1)/2}!通り、かな

570:１３２人目の素数さん
04/10/05 14:20:20
いや、
nが偶数のとき0通り
nが奇数のとき3・[{(n-1)/2}!]^2通り、か

571:１３２人目の素数さん
04/10/06 14:15:44
数列a_n=2n^2+3n+1 (n=1,2,3・・・)の項のうち平方数のみすべて取り出し
小さい順にb_1,b_2,b_3・・・と並べた数列b_nの一般項を求めよ。

572:１３２人目の素数さん
04/10/06 18:19:13
>>571
2n^2+3n+1=m^2
⇔(4n+3)^2-2m^2=1
である。x^2-2y^2=1の整数解はβ=3+2√2、α=3-2√2とおいて
x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/2(√2))(α^k-β^k)(kは整数)と書けるから
(1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数になるkをもとめる。
それはkが3以上の奇数のとき。つまりk=2l+1 (lは自然数)と書けるときなので
結局b_l=m=(1/2(√2))(α^(2l+1)-β^(2l+1))

573:１３２人目の素数さん
04/10/06 18:40:23
まちごうた。
2n^2+3n+1=m^2
⇔(4n+3)^2-2(2m)^2=1
だ。あとx^2-2y^2=1の正の整数解は
x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/(2√2))(α^k-β^k)(kは正の整数)
よってもとめるのは
(1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数かつ
(1/(2√2))(β^k-α^k)が偶数になるとき
やはりkが3以上の整数。以下同じ。
･･･
正直Pell方程式の一般解に関する知識がなきゃ解けん。

574:１３２人目の素数さん
04/10/07 15:35:00
反応がないと自演か．．．

575:１３２人目の素数さん
04/10/07 15:40:23
>>574
誤爆？

576:１３２人目の素数さん
04/10/07 16:57:14
おれ=>>572-573だけど自演じゃないぞ。

577:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:07:47
┏━━━━━━━━━━━
┃
┃　　　　　　　　- 自作自演厨の鉄の掟 -
┃　　　　　　　　　1. 質問者には自作自演でも優しくしよう
┃　　　　　　　　　2. 自作自演邪魔する香具師はむっしっし
┃　　　　　　　　　3. 自作自演は目標全レス
┃　　　　　　　 ∧＿∧　　。　　　　　　　　　　　　　Ｅ[]ヨ
┗━━　（　・３・）／━━━━━━
　　　　　　　　（つ　　つ
　　　　　　　|￣￣￣￣￣|
　　　　　　　| 　　　　　 |
　　　　　　　| 　　　　　 |
　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|

578:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:13:49
たぶん>>574=>>577にとっては “自演でないかぎり解けっこない” と思えるほどの
難問だったんだろうな･･･

579:１３２人目の素数さん
04/10/07 17:50:54
箱の中に赤玉a個、白玉b個、黒玉c個が入っている。
この箱の中から1個ずつ玉を取りだしていき、最初にすべて取り出された玉が赤玉ならA君、
白玉ならB君、黒玉ならC君の勝ちとする。A君の勝つ確率を求めよ。

580:１３２人目の素数さん
04/10/07 19:51:22
>>579
計算まちがってるかもしれないけど。
ボール全部とりだすとして全事象は(a+b+c)!/(a!b!c!)。最期にとりだしたボールが黒(C)である事象の数を
かぞえる。最期が～～白黒黒･･･黒(最期黒を連続してc-i個ひく)事象の数をもとめる。
これは赤a個、白b-1個、黒i個をならべる組み合わせの数なので(a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)
結局最期に黒ひく事象の数は∑[i=0,c-1](a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)=C[a+b-1,a]∑[i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]。
で公式∑[i=0,∞]C[k+i,i]t^i=1/(1-t)^(k+1)をつかえば∑[i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]は(1/(1-t)^(a+b))･(1/(1-t))=1/(1-t)^(a+b+1)
のc-1次の係数。つまりP[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。よってもとめる事象の数はC[a+b-1,a]P[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。
同様にして最期ひくボールが白も考えてたして･･･まんどくせ―――

581:１３２人目の素数さん
04/10/07 21:03:52
>>579
bc(b+c)(2a+b+c)/((a+b+c)(b+c)(c+a)(a+b))
になった。

582:１３２人目の素数さん
04/10/07 23:21:47
>>579
全部取り出された順に順位をつけて、A1位、B2位、C3位という事象をA_123とする。他も同様。

Pr(A_123∪A_132∪A_231)=aがbに勝つ確率=C[a+b-1,b]/C[a+b,b]=b/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213)=aがcに勝つ確率=c/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213∪A_213)=aが少なくともどちらかに勝つ確率=(b+c)/(a+b+c)

よって、
Pr(A_123∪A_132)=b/(a+b)+c/(a+b)-(b+c)/(a+b+c)
=>>581　（でも約分汁）

583:１３２人目の素数さん
04/10/07 23:24:12
>>582
途中式、C[a+b-1,a]/C[a+b,a]に訂正。

584:１３２人目の素数さん
04/10/08 07:30:25
>>582
2つめはc/(a+c)だな。答えの真ん中の項も。

585:１３２人目の素数さん
04/10/08 08:09:03
xの三次方程式x^3+ax^2+bx-a+b=0 (a,bは整数)
が整数解を持つなら、その整数解は-2か0であることを示せ。

586:１３２人目の素数さん
04/10/08 09:46:29
>>585
ｘ＾2-ｘ+1-1/（ｘ+1）+ａ（ｘ-1）+ｂ＝0

簡単すぎないか？

587:１３２人目の素数さん
04/10/08 09:59:15
宿題を質問スレに書いたからね、585は。

588:１３２人目の素数さん
04/10/08 11:45:12
クズばっか

589:１３２人目の素数さん
04/10/08 13:24:09
f_1(x)=a^x, f_n(x)=a^f_(n-1)(x) (a>1,n=2,3,4,・・・)で定義される関数f_n(x)について
f_n(x)=xを満たす整数xがちょうど2つであるようなaを求めよ。

590:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:06:30
これできるか？

って
そんな頭いい奴いるわけねーかorz

問題：定規とコンパスのみを用いて正１７角形を作図せよ。

591:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:13:16
中心 O の円を描き, 直交する二つの直径 AB, CD を描く。 AE : EO = 3:1 になるような
内分点 E を採る。直線 AB 上に CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI となる点 G, H, I を採る。
又, AI の中点 J を中心とし, 半径 JI の円を描き, OC との交点を K, KL = OH/2 となる点 L を AO 上に採る。
LK を半径として, OA の延長上に点 M を, ON = OM/2 なる点 N を AO 上に採る。
そして, ON ⊥ PQ となる点 P, Q を円周上に採ると, これらが正 17 角形の一辺となる。

592:１３２人目の素数さん
04/10/08 15:58:46
え？
これはガロワが解いた問題なんだけど、
定規ってのは直線を描くためだけに使うんであって、
長さは測っちゃだめだよ、確か。

593:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:11:24
どこで長さを測る必要がある？

594:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:11:36
ガウスの間違いだと思われ

595:１３２人目の素数さん
04/10/08 16:27:04
てゆーか自作問題うぷしろよ

596:自作くん
04/10/08 21:32:18
【問】
xについての方程式
A: x^3+lx^2+mx+n=0
について考える．但し、l,m,nは
(a:方程式Aの自然数解の個数)
(b:方程式Aの整数解の個数)
(c:方程式Aの実数解の個数)
のいずれかであるとする．

(1)
l,m,nがa,b,cとある対応をしたときl,m,nの値がそれぞれ確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．

(2)
l,m,nがそれぞれある値だったとき、l,m,nとa,b,cの対応が確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．

597:１３２人目の素数さん
04/10/08 21:38:19
>>596
問題の日本語に不備ありすぎ

598:１３２人目の素数さん
04/10/08 22:09:55
>>597
そうか？

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