★東大入試作問者にな ..
331:１３２人目の素数さん
04/03/25 02:05
>>330
前から疑問だったんだが、この手の問題って言うのは
何を知識として出発すれば良いんだ？
それこそ、円周率が円周/直径である事からスタートしなくてはいかんのかなぁ。
でも、だとすると、どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
示さないといけないだろうし、それを示すとなると、ほとんど厳密にやろうとしたら
範囲外になるだろうし、一体どの程度の知識で解く事が要求されているのか。
332:１３２人目の素数さん
04/03/25 02:20
そういう基準は受験生としての常識で判断するんだ。
東大は採点者が何を求めているのか察する要領の良さ、
空気読む能力を求めている。
333:１３２人目の素数さん
04/03/25 06:04
> どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
> 示さないといけないだろうし、
これは相似だからで済ましてはいけないの？
334:１３２人目の素数さん
04/03/25 13:14
普通の受験生が厳密に証明しようとしても、厳密とは
程遠い読むに耐えない証明しかできないんだから、
（17世紀数学式に？）円周率の性質をうまく使って値を評価する
だけでいいんじゃないの？そもそも曲線の長さや面積の定義なんて
高校じゃ殆ど教えてないし、教えても誰も理解しないだろ。
335:１３２人目の素数さん
04/03/25 13:23
∑_k=1^∞(1/k^k)=∫_0^1(x^x)dxを示せ。
これだけじゃ高校範囲じゃきついか。
336:１３２人目の素数さん
04/03/25 14:45
>>335
わからんぽ。
教えてください
337:１３２人目の素数さん
04/04/04 16:21
age
338:１３２人目の素数さん
04/04/07 15:19
ager
339:１３２人目の素数さん
04/04/07 15:20
age
340:１３２人目の素数さん
04/04/07 17:16
それは確か、ヨハン・ベルヌーイの…
341:１３２人目の素数さん
04/04/25 22:59
609
342:１３２人目の素数さん
04/04/27 00:18
／￣￣￣￣￣￣＼ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ／ ＼ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
/ ヽ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ l::::::::: ＼,, ,,／ | ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
|:::::::::: （●） （●） | ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
へ |::::::::::::へ ＼＿＿_／ | ＜ 面白い問題ﾏﾀﾞｰ？
＼＼ ヽ:::::::::::＼＼.. ＼／ ノ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
チン ＼＼＼. ＼＼ ヽ
チン ＼＼/ ＼＼ ＿ | ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
＼￣￣￣￣￣￣￣／ /￣ ヽ / ＿
＼回回回回回／￣￣ヽ /￣￣／| ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
＼＿＿＿／ ヽ＿＿＿＿／ ／ .|
343:１３２人目の素数さん
04/04/29 15:19
△ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rをとる。△AQR,△BRP,△CPQのうち
少なくとも1つの面積は、△PQRの面積を超えないことを示せ。
>>335どっか間違ってるよ。
344:１３２人目の素数さん
04/05/06 00:18
613
345:１３２人目の素数さん
04/05/20 21:57
346:１３２人目の素数さん
04/05/20 22:49
Lim (1+1/x)のx乗=eとする。これを用いて次の極限値をもとめてください
x→+∞
① Lim (1+ｋ/x)のx乗 x＝ｋy と変数変換
x→+∞
347:１３２人目の素数さん
04/05/21 00:51
e=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{K!}で定義する ただし0!=1である
このとき\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}が上で定義したeに収束することを示せ
(1+\frac{1}{x})^{x}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdots+\frac{1}{x!}は簡単に示せると思うけど
f(x)<(1+\frac{1}{x})^{x}でeに収束するf(x)がなかなか見つからないかと
とりあえず現役工房からの出題です
348:１３２人目の素数さん
04/05/21 03:32
二項展開して最初の高々N項目まで取った部分和S_Nを
取ってから順番に∞に飛ばせば良いんじゃなかったっけ？
漏れが現役工房のとき『微分と積分1』（入門）で勉強して
全然分からなかった覚えがあるけど（ｗ
349:１３２人目の素数さん
04/05/22 00:37
ツマラン、オマイの話は・・・
350:名無しさん＠お腹いっぱい
04/05/22 09:34
5-2=?
351:１３２人目の素数さん
04/05/24 04:03
‐'7::::::::::::::::::::::::ハ:ﾊ::|ヽ:::;､::::::::::::丶
／::::::::::::::/!i::/|/ ! ヾ ﾘハ:|;!､:::::::l
/´7::::::::::〃|!/_,,、 ''"゛_＾`''`‐ly:::ﾄ 氏ねばいいと思うよ
/|;ｨ:::::N,､‐'゛_,,.＼ ´''""'ヽ !;Ｋ
! |ﾊﾄ〈 ,r''"゛ , ﾘｲ)|
`y't ヽ' /／
! ぃ､ ､;:=＝ｦ 〃
｀'' へ、 ` ‐ '゜ .ｲ
`i;､ ／ l
〉 ` ‐ ´ l`ヽ
352:１３２人目の素数さん
04/05/30 17:20
508
353:１３２人目の素数さん
04/06/07 22:56
質問です。
友人がFランク大に通ってるんですが、そいつが、数学の宿題を聞くのです。
だけど、そいつは、数学を理解しようとせず、問題を解くための途中式を書くことだけを要求します。
彼は、途中式をみることによって、問題の解きかたを何となくしることによって、テストを乗り切ろうという魂胆らしくて、
きちっとした勉強をする気は全くないようです。本人曰く単位が出ればよいとのことです。
しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの。ついに微分の宿題が出た時、そいつは手も足も出なくなってしまい、
落ち込んで、勉強することも諦めて、どうせ自分は何やっても駄目だからとつぶやくのです。
参考図書を進めても、どうせ読んでもわからないと言って、いじけるばかりで何にもなりません。
一体こういう奴にはどういう対処をしたら良いのでしょうか？
Fランク大には彼のようなタイプは多いと聞きますが、みなさんはこういったタイプの人とあったことがありますか？
354:１３２人目の素数さん
04/06/07 23:43
死ぬべきだと思います。
このストイックな現代社会の中、>>353の友人の様な厨房は生き残れるとでも思っているのでしょうか？
355:１３２人目の素数さん
04/06/07 23:49
釣りなのかなあ？ この‘はてい’の部分
>>353
>しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの
356:１３２人目の素数さん
04/06/07 23:50
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| （・∀・） ｜
＿＿＿＿ |￣￣￣￣ ＿＿＿＿
| （・∀・） ｜ ∧ | （・∀・） ｜
|￣ <⌒> |￣￣￣￣
∧ .. ／⌒＼ ∧
<⌒> ］皿皿［ .. <⌒>
／⌒＼ ／ 田 田 ＼ .... ／⌒＼ ジサクジエン王国
＿＿＿ ］皿皿［、 _］∩皿皿∩［＿＿］皿皿［、、 ＿＿＿＿
| （・∀・） | ／三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三 三三 ヽ | （・∀・） ｜
￣￣￣￣| |＿_|￣田￣田 /￣￣Π . ∩ . Π￣￣ヽ田￣田￣田 . ［＿|￣￣￣￣_ ＿＿＿＿
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| （・∀・） | ＿_|￣田￣田￣田 ￣田. 田 | | |..田..| | |. 田 .田￣田￣ 田￣田￣田￣|,,|「|,,,|「|ミ^!|￣￣￣￣
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357:１３２人目の素数さん
04/06/08 01:04
数学の基礎がきじゃくなんでしょ。
もし先生が悪いならのうめんすればいい。
358:１３２人目の素数さん
04/06/08 01:23
キジャクはわかったがウメンがわからん
359:１３２人目の素数さん
04/06/08 01:39
脆弱（ぜいじゃく）
360:１３２人目の素数さん
04/06/08 04:52
207
361:１３２人目の素数さん
04/06/14 19:36
831
362:１３２人目の素数さん
04/06/14 21:41
破綻（はてい）
脆弱（きじゃく）
罷免（のうめん）
巣窟（すくつ）
既出（がいしゅつ）
出自（でめ）
東京めたりっく通信（とうきょうめったくりつうしん）
おひつまぶし（おひまつぶし）
カエサル（かさえる）
363:１３２人目の素数さん
04/06/16 11:34
真撃に、ってのもあるな。
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)
ほとんどはOCRの読み違いだろうけど。
364:１３２人目の素数さん
04/06/26 10:28
561
365:１３２人目の素数さん
04/06/26 12:34
お勧めトリップ。KingOfKingMathematicianの後に付けるのがおしゃれ。 #[Aｼsudｾl
366:１３２人目の素数さん
04/07/04 00:37
>>353
F ランク大学で勉強しようとするヤツは先ず居ない。
367:１３２人目の素数さん
04/07/26 04:11
126
368:１３２人目の素数さん
04/07/27 10:28
126
369:１３２人目の素数さん
04/07/28 18:19
126
370:１３２人目の素数さん
04/07/29 20:28
>>322
定数が $a, b$ の二つぐらいあって、$(a , b)$ を図示せよ、とかいうくら
いの問題なら、20 分くらいかかるかも知れんな。
371:１３２人目の素数さん
04/07/29 20:51
第６問
体積１の球を適当な平面で切る。
球と平面は必ず交わると仮定したとき（つまり球と平面の交わる確率は１）、
切り口の面積の期待値を求めよ。
372:１３２人目の素数さん
04/07/29 21:32
レインボー解答が可能な極悪問題ｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━ !!!!!
373:１３２人目の素数さん
04/07/29 22:43
ｆｊでさんざん議論済み
374:１３２人目の素数さん
04/07/29 23:22
>>372
>レインボー解答が可能
って何？
375:１３２人目の素数さん
04/07/29 23:27
夏厨はすっこんでな。
376:371
04/07/29 23:39
誰もわかんねぇの？
くぁｗせｄｒｆｔｇひゅじこｌｐ；
くぁｗせｄｒｆｔｇｙふじこｌｐ；
377:１３２人目の素数さん
04/07/30 00:08
xを0.99999999・・・・とする。
10xは、9.99999999になる。
10x-x＝9
9x＝9
x＝1
あれれ？初めのx＝0.99999に合わないけど何で？
お願いします。
378:１３２人目の素数さん
04/07/30 00:22
東大05【問４】
xを0.99999999・・・・とする。
10xは、9.99999999になる。
10x-x＝9
9x＝9
x＝1
あれれ？初めのx＝0.99999に合わないけど何で？
これを証明せよ。
379:１３２人目の素数さん
04/07/30 00:23
またですか
380:１３２人目の素数さん
04/07/30 01:06
>>371
期待値は不定。なぜならば球と平面の交わり方がどのように
同様に確からしいのか明確でないから。
381:１３２人目の素数さん
04/07/30 01:08
>>377
実数の10進展開が一意的でないことが原因であり、
Σ[n=1,∞]9×10^(-n)=1であるから、「合わない」という
発言が間違っている。
382:１３２人目の素数さん
04/07/30 16:47
∋oノハヽo∈ ﾋｰﾝ! ○月●日
( ;´ⅴ｀;) ﾋｰﾝ!
（ つと） みんなが ののに いったのれす、
ゝ__@"@∴：:・;:@つ;∴：:・;: 「 あしなんて かざりです
;∴：:・;: ~;；;';@つ:';';；;;： えらいひとには それが わからんのです 」
そういって のののあんよを とったのれす・・・・。
あとれ みんなは、
「 かざりじゃないのよ あんよは はっは～ 」
って うたってたのれす。
ののに あやまってるつもりらったのかな。
れも ののは おへんじれきなかったのれす････。
いたいれす！いたいれす！ さけんれたから
ひーん！ ひーん！ ないてたから
おへんじ れきなかったのれす････。
おねがいれす のののあんよさん
おねがい ののに くっついてくらさい・・・・。
383:１３２人目の素数さん
04/07/30 23:26
問題：sin(3°)を求めろよ。ｺﾞﾙｧ~
384:１３２人目の素数さん
04/07/30 23:40
{√2(1+√3)(-1+√5)-2(-1+√3)√(5+√5)}/16
385:１３２人目の素数さん
04/07/31 00:37
問題2：sin(2°)を求めろよ。ｺﾞﾙｧ~
386:１３２人目の素数さん
04/08/02 17:33
リンク切れなので修正しとく。もう一個が見つからない。
URLﾘﾝｸ(natto.2ch.net)
387:１３２人目の素数さん
04/08/05 22:26
3x≧y≧2x≧1で、xy-x-yの最小と、そのときのx,yを求めよ。
388:１３２人目の素数さん
04/08/05 22:27
age
389:１３２人目の素数さん
04/08/05 23:10
理解しようと努力しないのは現代風だね
もうそういう大学生しかいないということだ
日本も少子高齢化で少ない若者のレベルが下がって
ますますボロカスな国になってしまうんだろうなあ
390:１３２人目の素数さん
04/08/06 21:53
URLﾘﾝｸ(kazumi.jdyn.cc)
とりあえず、図はかけたのですが、それからサパーリです。
よろしくおねがいします。
391:１３２人目の素数さん
04/08/06 21:56
>>390
自作なのに解けないと？
392:１３２人目の素数さん
04/08/08 08:31
ガイシュツかもしれないけど，こんなのどう？
n,kを0≦k≦nなる整数とする．このとき
{n!}/{k!(n-k)!}
が整数であることを示せ．
もちろんn個のものからk個取り出す組合せだからという「証明」は期待していない．
393:１３２人目の素数さん
04/08/08 13:09
{n!}/{k!(n-k)!}=B(n,k)としたらB(n,k)=B(n-1,k-1)+B(n-1,k)は簡単に
示せるから、B(p,0)=B(p,p)=1(p:整数)を考えれば自明。
394:１３２人目の素数さん
04/08/08 21:41
1) {n!}/{k!(n-k)!} は (1+x)^n のk次の項の係数として得られる。
2) (1+x)^n の係数は整数
おしまい。
395:１３２人目の素数さん
04/08/10 18:57
【問】
ジョーカーを抜いたトランプ52枚をシャッフルして裏返します．
あなたは１枚づつ次めくるカードが赤であるか黒であるかを予想します．
予想が当たった場合そのカードを右側に置き，外れた場合は左側に置きます．
あなたは最終的にできるだけ多くのカードが右側に来るように予想します．
そのとき，最終的に右側にあるカードの数の期待値を求めよ．
396:395
04/08/10 19:04
×カードの数の期待値を求めよ．
○カードの枚数の期待値を求めよ．
397:１３２人目の素数さん
04/08/10 19:33
>>371
図形の対称性から切る平面の向きは一方向のみであると考えても期待値は変わらない。
ここでこの球をx-y-z空間においてx^2+y^2+z^2≦1で表すことにし、
x=0に平行な平面で切ることにする。
するとx=tで切ったときの面積は(1-t^2)π。
∴求める期待値Ｚは、
Ｚ=∫[0->1](1-t^2)π dx = (2/3)π //
っていうのを回答にする為にはどういう風に問題を書き換えればいいんですかねぇ？
398:１３２人目の素数さん
04/08/10 19:33
訂正
dx → dt
399:１３２人目の素数さん
04/08/10 21:07
>>397
＞適当な平面で切る。
ってのを、
「直径AB上にある一点Pを通りABに垂直な平面で切る。
ただしPはAB上に一様に分布するものとする。」
とか変える必要があるね。
400:１３２人目の素数さん
04/08/15 16:17
４００
401:１３２人目の素数さん
04/08/15 17:05
漸化式
a_n={(（n-1)/n）a_(n-1)}^（n-1)/n）, a_1=1がある。
このときlim[n→∞]a_nを求めよ。
402:１３２人目の素数さん
04/08/15 17:27
>>401
むずいなこれ。０くさいけど。ちがう？
403:１３２人目の素数さん
04/08/15 17:28
>>401
まちがった。１くさい。ちがう？
404:１３２人目の素数さん
04/08/15 17:30
>>401
またまちがった。eくさいだった。逝ってきます。
405:１３２人目の素数さん
04/08/15 18:16
1/eじゃない？
406:１３２人目の素数さん
04/08/15 18:45
>>405
正解
407:１３２人目の素数さん
04/08/15 18:57
同地域を表した１０００分の１の地図ξと５０００分の１の地図ξ’がある。
ξ’をξの地図上にはみ出さないように重ねる時、同じ地点を示す両地図上の点が
一致するような地点が、一つあることを示せ。
地図ξ及びξ’は長方形であるとする。
408:１３２人目の素数さん
04/08/15 19:02
>>407
･･････あのね･･････
409:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/08/15 20:16
縮小写像には唯一つの不動点がある。
410:１３２人目の素数さん
04/08/15 20:32
>>407
ξ’\subspace ξ
f：ξ→ξ’：縮小写像
d:ξ×ξ\to R：適当な距離関数 として
F(x)=(f(x),x) と定義すると、Fは連続で、
長方形はコンパクトだから、最大値最小値の定理よりOK
411:１３２人目の素数さん
04/08/15 20:35
d:ξ’×ξ’\to R：適当な距離関数 として
F(x)=(d(f(x),x)) と定義すると、Fは連続で
ごめんまちがいた。
412:１３２人目の素数さん
04/08/15 20:49
>>411
Fが連続だからどうだっての？最小値が０じゃないとなぜいけない？
413:１３２人目の素数さん
04/08/15 21:26
大学の知識は使わないようにしましょう
414:１３２人目の素数さん
04/08/15 21:35
誤爆った。
{x}_{n}＝f({x}_{n-1})とおいて
|{x}_{n}-{x}_{m}|≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}+…+{x}_{m}｜
≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}|+…|{x}_{m+１}-{x}_{m}｜
≦|f({x}_{n})-f({x}_{n-1})|+…|f({x}_{m+１})-f({x}_{m})｜
だな。すまん。
415:１３２人目の素数さん
04/08/15 21:36
地球上のある点Aをとりその地点と中心をはさんで反対側の点B
がある。
AとB地点における気温が同じであるある点Aは必ずひとつ存在する事を示せ。
416:１３２人目の素数さん
04/08/15 21:38
>>413
ここでそんな制限いらんだろ
417:１３２人目の素数さん
04/08/15 22:13
>>415
T(A)=A地点の温度－Aと反対側の地点の温度を考えるのかな？
418:１３２人目の素数さん
04/08/15 22:18
そうだね。一回答案書いたらノートン先生がまあいいんだが。
f(x)=T(x)-T(-x)と置くと、
f(x)=-f(-x)なので、この間のパスｃを取り
f(c(t))に中間地の定理を適用し これが０になる点が存在する。
419:１３２人目の素数さん
04/08/15 22:32
あっ俺の答案だと温度がTね。
420:１３２人目の素数さん
04/08/16 00:56
>>395
これできない。だれか教えて。たぶん予想は｢それまで出たカードが赤、黒同数のときは
任意に予想し、黒が多ければ赤、赤が多ければ黒と予想する。｣という前提だとおもうけど。
とりあえずオレができたのはN=26とおいて
つまり(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)のとき次があたる確率は
x=yのとき1/2、x>yのときx/(x+y)、x<yのときy/(x+y)
で(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)となる確率はC[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]
なので結局期待値は
∑[x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
だと思うんだけどこれの計算ができん。鬱･･･方針からしてちがうのかな？
421:420
04/08/16 00:57
あ、和の範囲から(x,y)=(0,0)はぬいといてちょ。
422:１３２人目の素数さん
04/08/16 01:01
おしえてアゲ
423:１３２人目の素数さん
04/08/16 02:25
おしえてアゲよ永遠に
424:１３２人目の素数さん
04/08/16 02:25
おしえてアゲAgain
425:１３２人目の素数さん
04/08/16 03:01
>>395の出題者さん。せめて答えだけでもかいてくれアゲ
426:１３２人目の素数さん
04/08/17 00:40
>>377 >>378
なぜかというと掛け算は一番低い位から行うものだからです。掛け算の定義です。掛け算の定義にのっとらないとそのようなへんてこりんな答えが出てしまいます。
(０．９９９９９９９....... の一番低い位などないのですから掛け算が出来ませんよね？）
同じ類の問題で1=2となってしまう有名な問題がありますね？あれは数をXという変数で割ってしまってるからです。X=0のとき定義されてませんでしょ？
ちなみに0.999999999=1を正確に証明するなら等比数列を使わなければなりません。以上、初投稿でした。
427:１３２人目の素数さん
04/08/17 00:46
０以上９以下の整数をすべて使って、a×bという形で表したとき、その値が最大になるa,bをもとめなさい。ただし、各数字はすべて一度だけつかうものとする。
428:１３２人目の素数さん
04/08/17 08:57
>>427
オマエはあれか？そんなんを東大生に溶かせるのか？
そんなもん出してる暇があったら>>395の回答教えれ
429:１３２人目の素数さん
04/08/20 01:55
帰ってきた>>395の答えおしえろアゲ
430:１３２人目の素数さん
04/08/20 02:11
>>395の問題期待値は>>420に書いた通りN=26として
∑[x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
であってると思うんだけどこれを一般のNの簡単な式に直すのってどうにも無理くさい
と思うんだけど。だとするとしこしこたしてくしかなさそう。もしかして出題ミスなのかな？
431:１３２人目の素数さん
04/08/27 00:51
804
432:１３２人目の素数さん
04/08/27 06:45
>>395
できたぜ！！
∑[x=0,N][y=0,N][(x,y)≠(0,0)]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
=((n-1/2)C[2n,n]+4^n/2)/C[2n,n]
かな？
433:１３２人目の素数さん
04/08/28 05:16
>>427
素朴に
93210×87654（＞90123×87654←相加相乗平均を考慮）
と予想してみる
434:433
04/08/28 05:25
ゴメン嘘．
96***×87***の方がまだ大きい（∵各位の数＜10だから10冪が勝つ）．
それでもやはり相加相乗平均の考え方を用いて
大きい位から順に求めていく事になりそうだが…
と云う訳で
>>428
出題意図は悪くないと思うよん．
435:１３２人目の素数さん
04/08/28 09:48
実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
∫[-1,1] (1-x) ( f(x) )^2dx = 1
このとき、
|f(1)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(-1)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
であることを示せ。
436:１３２人目の素数さん
04/08/28 13:32
>>435
これホントに正しい？
問題は1-x=2tと変数変換して
―
実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
4∫[0,1] t ( f(t) )^2dt = 1
このとき、
|f(0)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(2)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
を示せ。
―
と同値だけど数学辞典によるとG(2,2;t)=(1/t)(n+1)!(d/dt)^n{t^(n+1)(1-t)^n}
とおくとき∫[0,1]G(2,2,t)=1/(2(n+1)^3)になるそうだ。
コレを信じるとP_n(t)=(n+1)^3G(2,2,t)/4は前提条件をみたすけど
P_n(1)=(-1)^n･(n+1)!･(n+1)^3･n!になってしまうけど？
437:１３２人目の素数さん
04/08/28 13:46
まちごうた。
∫[0,1]tG(2,2,t)^2dt=1/(2(n+1)^3)
になるそうだ。数学辞典まちがってるとかじゃないよね？
438:１３２人目の素数さん
04/08/28 15:01
うーん。 Problems and Theorems in analysis vol.2 からとってきた問題なんだけど。
書き間違えたかも。コンビネーション使って原文通りに書いてみる。
f(1)≦((n+2)C2)/√2
f(-1)≦ √(((n+2)C2)/2)
だそうだが。 この本のP89.104番からの出題。今から解答引っ張ってくるから、
ちょいまて
439:１３２人目の素数さん
04/08/28 15:14
と思ったら、やたらと長い解答だし
大学入試レベルではないので止め。
気になるんなら、上の問題集を見てくんなまし。
440:１３２人目の素数さん
04/09/01 04:41
>>438>>439
PS か。
その問題だけの回答ではない。
前に証明した事実も使って居る。
441:１３２人目の素数さん
04/09/07 06:41
341
442:１３２人目の素数さん
04/09/07 18:02
PS は Mics に整数論の問題まで載っていて面白いな。
443:１３２人目の素数さん
04/09/07 19:59
>442
唐突に何を？
解説キボンヌ！
444:１３２人目の素数さん
04/09/08 22:07
>>443
>>438へのレスだよ。
著者名の頭文字が P & S
445:１３２人目の素数さん
04/09/09 20:20
【問題】
（－１）×（－１）＝１
を証明せよ。
446:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 20:43
aが零元であるとすると、a=a+0=0
a,cがbの負元であるとすると、a=a+0=a+b+c=0+c=c
また、負元の定義から、1は-1の負元である。
(-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+((-1)*1-((-1)*1))=((-1)*(-1)+(-1)*1)-((-1)*1)
=(-1)*(-1+1)-((-1)*1)=(-1)*0-((-1)*1)=((-1)*0+0)-((-1)*1)=((-1)*0+((-1)*0-((-1)*0)))-((-1)*1)
=(((-1)*0+(-1)*0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*(0+0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*0-((-1)*0))-((-1)*1)
=0-((-1)*1)=-((-1)*1)=-((-1)*1+0)=-((-1)*1+(1*1-(1*1)))=-(((-1)*1+1*1)-(1*1))
=-((-1+1)*1-(1*1))=-(0*1-(1*1))=-((0*1+0)-(1*1))=-((0*1+(0*1-(0*1)))-(1*1))
=-(((0*1+0*1)-(0*1))-(1*1))=-(((0+0)*1-(0*1))-(1*1))=-((0*1-(0*1))-(1*1))=-(0-(1*1))
=-(-(1*1))=-(-1)=1
447:１３２人目の素数さん
04/09/09 20:46
>>446
一番最後、
－（－１）＝１
って使えないでしょ。
448:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 21:01
Re:>447
上の方に書いてある説明が読めないか？
449:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 21:03
本当はこんなまどろっこしいことを二度繰り返す必要は無く、
-((-1)*1)から、
-((-1)*1)=-(-1)=1とすればよかったか。
450:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/09 21:04
Re:>447
補足：-aはaの逆元であり、b-aとは、b+(-a)のことである。
451:１３２人目の素数さん
04/09/09 23:51
なんじゃそら もっと簡単な解き方がアルやろ
452:１３２人目の素数さん
04/09/10 00:26
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM って馬鹿だなー。
453:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/10 07:54
Re:>452 消えろ。
454:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:30:00
半径rの球の中心との距離がr/√3である2平面P,Qがあり
平面Pと平面Qは垂直である。
この球がP,Qにより分けられる4つの立体のうち
体積が最小である立体の体積を求めよ。
455:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:42:41
[2](1)定円に内接する四角形で面積が最大のものは正方形であることを示せ。
(2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。
456:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:46:29
[3]異なる4つの自然数がありどの3数の和も素数である。
この4数のうちある2数の差が3の倍数なら残り2数の差も3の倍数であることを証明せよ。
457:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:53:38
[4]半径1、高さhの直円錐がある。底面に垂直で底面の中心Oとの距離が1/2
である平面Pと円錐の側面にともに含まれる点全体からなる曲線をCとする。
C上の点をQとするとき線分OQの最小値をhを用いて表せ。
458:１３２人目の素数さん
04/09/10 19:56:06
[5]一枚のコインを投げて表か裏かを記録する試行を、表が3回続けて出るまで繰り返す。
コインを投げる回数の期待値を求めよ。
459:１３２人目の素数さん
04/09/10 20:02:49
[6]xyz空間内にa+b+c=a^3+b^3+c^3=abcをみたす点(a,b,c)全体からなる図形をPとする。
いま、P上のn個の異なる点を結ぶと、正n角形ができた。このようなことが可能なnをすべて求めよ。
460:455
04/09/10 20:09:55
訂正
×sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)
○sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)
461:１３２人目の素数さん
04/09/10 21:15:58
【２】
（１）円の半径をｒ（＞０）、円に内接した四角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、
円の中心をＯ、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝θとすると、四角形の面積Ｓ(θ)は
Ｓ(θ)＝2r^2*sinθ
と表されるので、ｒは定数であることに注意すると
「Ｓ(θ)が最大」 ⇔ sinθ＝１ ⇔ θ＝π/2
なので、題意は示された。
（２）３じゃないの？ワカンネ（１）をどう利用するかが・・・＞＜
462:455
04/09/10 21:33:18
>>461
(1)円に内接する四角形を長方形に決めてしまってませんか？
(2)(1)がもし三角形の話だと・・・
463:１３２人目の素数さん
04/09/10 21:40:05
>>462
よく分からんが、(1)の別解。 つーても、>>461をほとんど見てないｗ
別解
円に内接する四角形ABCDの二点A,Cを固定して考える。
残りの二点B,Dを動かすことを考える。
明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
さらに、△BACの面積を底辺をACとして考えると、ACは固定されているため
高さのみでその面積が決定される。このとき、点Bの位置はBA=BCなる点に決定される。
同様に点Dの位置も決定される。
明らかに、この場合線分BDは円の直径になる。そのため、BDの長さは固定される。
次に、二点ACを動かす。明らかにAC⊥BDが成立するため、四角形ABCDの面積は
AC*BD/2で与えられる。よって、BDが固定されているとき、ACが最大になればいい。
この場合、ACも・・・以下略
464:455
04/09/10 21:51:17
>>463
＞明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
この行は蛇足かと。 初めから対角線ACとして固定すればよいし、
そうでないならACが正方形の一辺にもなりうる。
465:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:06:55
>>455
この(1)って微妙に(2)の誘導になってんのかな？
(2)は結局半径1の円に内接する３角形の面積の最大値をもとめさせてるんだけど
それは正三角形のときで面積は3･(1/2)･sin120°=3√3/4。
466:455
04/09/10 22:09:51
>>465
正解(配点20)
467:455
04/09/10 22:15:57
ごめんウソ。減点-2
468:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:18:01
>>456
4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。
でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると
b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。
前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3)
としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。
よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが
符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。
よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。
さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。
いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。
469:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:18:46
>>467
減点された･･･どこ？
470:455
04/09/10 22:28:16
>>469
{sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)}/2が半径1の円に内接する３角形の面積
471:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:29:33
そうだった
472:456
04/09/10 22:31:10
>>468
1,3,7,9はどの3数の和も素数です
473:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/10 22:35:21
>>455
[2](1)
半径ｒの円Oに内接する四角形ABCDにおいて、
∠AOB＝x、∠BOC＝ｙ、∠COD＝ｚ、∠DOA＝ｗ とおく （ｘ+ｙ+ｚ+ｗ＝2π）
四角形ABCD＝（1/2)ｒ＾2(sin x+sin y+sin z+sin w)≦（1/2)ｒ＾2(1+1+1+1)＝2ｒ＾2
等号は x＝y＝z＝w＝π/2 のとき成立し、このとき四角形ABCDは正方形となる。
474:455
04/09/10 22:37:14
>>473
模範解答thx
475:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:38:27
>>458
[5]がめんどいけどこれエレ解あるの？
求めるものは1/8+∑[n≧4]n(n-4回目までは３回連続表はでない確率)×(1/16)
で
(n回目までは３回連続表はでない＆n回目は裏の確率)=an
(n回目までは３回連続表はでない＆n-1回目は裏＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表はでない＆n-2回目は裏＆n-1回目は表の確率＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表があった確率)=dn
とおくとき
a(n+1)=(1/2)(an+bn+cn)
b(n+1)=(1/2)an
c(n+1)=(1/2)bn
d(n+1)=dn+(1/2)cn
をとけば∑[n≧4]n(1-cn)はもとまるけど正直しんどい。なんかもっと鮮やかなのがある？
476:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:39:14
>>472
しまった。吊ってくる。
477:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:47:00
>>472
a,b,c,d
≡0,0,0,0 ≡0,0,0,2 ≡0,1,2,2
≡0,0,0,1 ≡0,0,1,2 ≡1,1,2,2
≡0,0,1,1 ≡0,1,1,2 ≡0,2,2,2
≡0,1,1,1 ≡1,1,1,2 ≡1,2,2,2
≡1,1,1,1 ≡0,0,2,2 ≡2,2,2,2 (mod3)
のいずれかとしてよい。でどの３つをたしても≡0(mod3)にならないのは
(a,b,c,d)≡1,1,2,2 ≡0,0,1,1 ≡0,0,2,2(mod3)の３つしかない。でいづれにせよ主張成立。
478:461
04/09/10 22:49:59
>>462
（１）ですが、長方形∋正方形ですよね？
だからまず、内接する長方形を考慮したんです。んで解答の
θ＝π/2 ⇔ ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ ⇔ ＡＢＣＤは正方形
となると思うんですが。
479:１３２人目の素数さん
04/09/10 22:51:46
>>478
質問したいのだが、円に内接する四角形の中で最大の面積を持つ物が
長方形でさえなかった場合というのは検討したのか？
480:461
04/09/10 23:11:59
>>479
ほんまやぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！！！
ああ、ごめんごめん・・・もうイヤ＞＜
数学苦手やった奴が口出しするもんじゃねーなｗ
481:１３２人目の素数さん
04/09/10 23:13:10
>480
チラシの裏に書いてろ、な！
482:１３２人目の素数さん
04/09/10 23:13:33
>>457[4]
ｈ/√2
483:482
04/09/10 23:16:55
場合訳がいったか．．．
484:458
04/09/10 23:33:09
>>475
ちょっとインチキ臭い操作でほとんど複雑な計算なく整数値ででます。
485:456
04/09/10 23:33:46
>>477
正解(配点20)
486:１３２人目の素数さん
04/09/11 00:11:49
>>458の[5]のインチキ臭い操作というのが思いつかん。
487:１３２人目の素数さん
04/09/11 14:34:33
一枚のコインを投げて表がn回続けて出るまで繰り返すとき、
投げる回数の期待値を a_n とすると、
a_{n+1}=2(a_n+1) という漸化式を満たす。
488:１３２人目の素数さん
04/09/11 15:13:30
>>455
まだ見ていますか？
[2](2)について
x,y,zの条件は他にありませんか？無ければ次のようになります。
-1<=sin(x-y)<=1,-1<=sin(y-z)<=1,-1<=sin(z-x)<=1ゆえ
問題の式はsin(x-y)=sin(y-z)=sin(z-x)=1のとき最大となる
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=(2c+1/2)π (a,b,cは整数)
を満たすが、3式を辺々足すと
a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
よって求める最大値は3
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
を満たす任意の実数
489:４８８
04/09/11 15:24:52
>>455
すいません、訂正します。
誤）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
正）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π (a,bは整数)
注１）誤）の"y-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π"の間の","は"かつ"の誤りです
注２）誤）の3式目は整理すれば必要なくなります
490:455、458
04/09/11 15:41:19
>>488
＞a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
a,b,cは整数としているので矛盾です
>>487
よろしければ導出過程プリーズ
491:４８８
04/09/11 16:00:20
>>490
確かにそうですね。失礼しました。
>>455
ごめんなさい。誤解答の例ということで忘れてください。
492:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 17:26:06
>>459[6]
ｎ＝3，6 とみたが、どうだ？
493:459
04/09/11 17:46:59
>>492
惜しい
494:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 20:47:33
(a,b,c)＝(k,-k,0), (0,k,-k), (k,0,-k) はあってる？
495:459
04/09/11 21:00:51
>>494
あってまふ
496:１３２人目の素数さん
04/09/11 21:11:24
>>494
氏ね
497:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 21:20:58
>>495
じゃあ、エレファントだけど途中まで。
a+b+c＝a^3+b^3+c^3＝abc＝k とおくと
k≠0 のとき、
ab+bc+ca＝(k^2+2)/3 より a、b、c はtの3次方程式
t^3-kt^2+{(k^2+2)/3}t-k＝0 の解。
右辺は狭義単調増加なので、3次方程式の実数解は1個で不適。
よって k＝0。
したがって、(a，b，c)＝(s，-s，0)，(0，s，-s)，(s，0，-s)。
よって、図形Pは適当に平行移動お呼び回転をすると、xy平面上の3直線
y＝0，±(√3)x になる。←ここで勘違いか？
498:459
04/09/11 21:24:37
>>497
あってますよ。結論にわずかな見落としが。
499:１３２人目の素数さん
04/09/11 21:47:09
>>492
あと、正方形ができる。
500:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 21:55:46
漏れは包茎じゃないんですっかり見落としていたよ。
501:１３２人目の素数さん
04/09/11 22:05:55
>>500
でも短小なんだろ
502:リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk
04/09/11 22:11:22
>>501
下品なﾔｼだな。
503:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/11 22:41:26
Re:>502 おまえもな。
504:１３２人目の素数さん
04/09/11 22:42:10
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMウザイ。
恥を知れ。
505:１３２人目の素数さん
04/09/11 22:43:03
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMじゃあしょうがない。
みんなウザイ馬鹿なのは知ってる。
506:１３２人目の素数さん
04/09/11 23:35:32
(2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。
↑
は終わったと思っていいですか？
507:１３２人目の素数さん
04/09/11 23:38:41
>>506
いい
508:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:03:00
>>506
もちつけ（ｗ
509:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:03:14
もっとおもすろいのないの？
510:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:07:02
別スレでだしたやつだけど東大入試にもだせる形にして
lim[N→∞]∫[0,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
とかどう？
511:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:14:17
オイラーの定数が出るんじゃないの？
512:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:14:51
そうか。t=0の近傍でも広義積分になってるから
lim[N→∞]∫[1/N,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
にしないといけないか。
513:１３２人目の素数さん
04/09/12 00:16:45
>>511
しまった。そうだ。だから大学入試にはつかえん。吊ってくる。
514:１３２人目の素数さん
04/09/12 07:20:52
>>490
直感的な説明。
n+1 回連続して表が出るためにはまず n 回連続して表が出る必要があり、
平均して a_n 回投げなければならない。
次の回に投げて成功すればよいが、失敗するとはじめからやり直しとなる。
成功の確率は 1/2 だから、平均すれば「n 回連続して表が出る + 1 回」を
2 回繰り返せば n+1 回表が連続して出るだろう。
515:458
04/09/12 20:34:04
>>514
thx 確かに直感的。でも正しい。
入試数学ではOKな考え方なのかな。
516:１３２人目の素数さん
04/09/12 20:42:15
試験の解答としてはダメだろ。
517:１３２人目の素数さん
04/09/12 21:58:59
０点だろ。
518:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:03:41
平面上に異なる四点を取り、
どの２点の距離も奇数になるようにせよ。
不可能であるならば、その事を証明せよ。
519:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/12 22:27:36
Re:>518
5通りの2点間の距離が奇数になるようにはできる。
問題はあと一組か。
520:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:27:52
>>518
ヒントおながいしまつ
521:１３２人目の素数さん
04/09/12 22:37:36
こう言う問題は不可能だと相場が決まっている。
鳩の巣原理に一票。
522:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/12 22:56:50
Re:>521 私も最初はそう思ったけどね。
523:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:00:30
Kingはストーカー原理主義者。
524:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:20:33
>>518
円に内接する四角形ダメで対角線が垂直に交わる四角形もダメ。
どーも無理っぽい
525:１３２人目の素数さん
04/09/12 23:57:06
>>515
とりあえず試験にもかけそうな解答ではこんな感じでどうだろう。
Vnを最初にn回連続表がでた時点をあたえる確率変数、
Xnを最初にn回連続表がでた直後の試行が裏であった場合という事象
としてE(Vn)=anとおくとき
a(n+1)
=E(V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)E(notXn|V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)(E(notXn|V(n))+1)
=(1/2)(E(Vn)+1+E(V(n+1)))+(1/2)(E(V(n))+1)
=(1/2)(an+1+a(n+1))+(1/2)(an+1)
∴a(n+1)=2an+2。
E(Vn)がちゃんと収束することも上の議論をすこし丁寧にやればでるね。
526:１３２人目の素数さん
04/09/13 00:23:52
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:579番)
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527:FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
04/09/13 14:03:53
Re:>523 それ誰から聞いた？
528:１３２人目の素数さん
04/09/14 04:07:28
>>458
表が連続k回出ている状態から、試行が終わるまで投げる回数の期待値をb_kとする。
b_3=0
b_2=(1/2)(1+b_3)+(1/2)(1+b_0)
b_1=(1/2)(1+b_2)+(1/2)(1+b_0)
b_0=(1/2)(1+b_1)+(1/2)(1+b_0)
これを解いて、b_0=10。
厳密には条件付期待値の概念を使ってるから問題としていいのかどうかはわからんが。
529:１３２人目の素数さん
04/09/14 23:13:49
>>518
わからん。答えおながいしまつ。
530:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:18:05
☆ ﾁﾝ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
☆ ﾁﾝ 〃 Λ＿Λ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（＼・∀・） ＜ >>518答えﾏﾀﾞ～？
＼＿／⊂ ⊂＿ ) ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣ ／|
|￣￣￣￣￣￣￣| |
| |／
531:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:21:05
>>458 なるべく高級なことを利用しないように努めた解法。
長さ n の列で、最後の 3 回で初めて3 回連続して表が出た列全体の集合を A_n とし、
A_n の元の数を |A_n| で表す。
n 回目に初めて 3 回連続して表が出る確率 p_n は p_n=|A_n|/2^n である。
1) p_{3n},p_{3n+1},p_{3n+2}≦(7/8)^n が示せるので、
Σ_[n=1,∞]p_n と Σ_[n=1,∞]{np_n} が存在することがわかる。
2) A_{n+4} に属する列の最後の 4 回は 裏表表表 になっている。
この列の最後の 4 回を 裏裏表表表 または 表裏表表表 で置き換えた列を考える。
裏裏表表表 に置き換えたものは、すべて A_{n+5} の元である。
表裏表表表 で置き換えたものは、A_{n+5} の元であるかまたは
A_{n+1} に属する列に 裏表表表 を付け足した列になる。
逆に、A_{n+4} の元は、A_{n+5} に属する列から n+1 番目を取り除いた列か、
A_{n+1} に属する列の最後の 表 を 裏表表表 で置き換えた列になっている。
したがって、2 |A_{n+4}| = |A_{n+5}| + |A_{n+1}| が成立する。
両辺を 2^{n+5} で割ることで、p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) が得られる。
3) p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) を辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]p_n = p_4 + Σ_[n=1,∞]p_n - 1/16Σ_[n=1,∞]p_n
p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]p_n=1 となる。
4) また、n+5 倍してから辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]{np_n} = -p_3 + 4p_4 + Σ_[n=1,∞]{(n+1)p_n} - 1/16Σ_[n=1,∞]{(n+4)p_n}
Σ_[n=1,∞]p_n=1, p_3=1/8, p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]{np_n}=14 となる。
532:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:22:52
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
＞また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は
・・・
の結果を利用するとすぐに>>518の答えが分かるけど高校レベルの解答は分からん。
533:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:35:20
>>532
どうつかうの？べつにa,b,c,d,e,fが全部奇数で左辺が0でも矛盾しないような。
534:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:39:44
わかった。これつかうのか↓。なるほど。
（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2－ａ^2－ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2－ｂ^2－ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2－ｃ^2－ｆ^2）
－ａ^2ｂ^2ｃ^2－ａ^2ｅ^2ｆ^2－ｄ^2ｂ^2ｆ^2－ｄ^2ｅ^2ｃ^2
a,b,c,d,e,fが全部奇数なら右辺≡2(mod4)だ。
535:１３２人目の素数さん
04/09/15 00:51:09
>>518難しかった。こんな簡単にとけちゃうもんなんだな。またあたらしいのんキボン。
536:１３２人目の素数さん
04/09/15 01:23:37
>>395ではないが、>>395を誘導方式に変更してみた。
（１）、（２）はそれぞれ単独でもまずまず面白い問題かと。
（２）は漏れの頭の柔らかさでは高校範囲を逸脱する解等しか用意してないんだが…。
（１）
2n個の数値 x_1,x_2,…x_(2n)は次を満たすとする。
・x_1+x_2+…+x_2n=0
・任意のi=1,…,2nに対し、x_i=1 or x_i=-1
（すなわち、x_iは1がn個で-1がn個ってこと）
今、y_i（i=1,…,2n）を、
(x_i)×(x_i+x_(i+1)+…+x_(2n))>0のとき、y_i=1
それ以外の場合、y_i=0
と定義する。
このとき、y_1+y_2+…+y_n=nであることを示せ。
（２）
Σ[k=1～n]C(2k,k)・C(2(n-k),n-k))=2^(2n)-C(2n,n)を示せ。
（CはCombination。C(n,m)=n!/(m!・(n-m)!)です。）
（３）
>>395の解が、>>432の結論の式となることを示せ。
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