★東大入試作問者にな ..
2:１３２人目の素数さん
03/11/19 01:16
/ ／ ／ | ＼ ヽ
/ ／ ／ / / || | i ヽ i
i / / / / / / || || |│ |ﾉｽ
|// / /___, -一ｧ| /! |ﾄ、|│ | | く」
|,-‐￢ ￣---┘'７ |! ﾊ! |,､-┼十|! | | |
, -‐ ''" し' '´_ ／,ィ二l |ﾄ、/!ヽﾄ､＼_ヽ!|!l | ﾊ |
,r／ __ ,イ|ﾘ ヾハ! ヽ! ,ィ⌒ヾﾐﾘﾉ!/ﾘ |
／ ||ヽ -' ／￣ )｀ __ |ヒﾉ:} '` ,ｲ/ | |
,r ' ヾ､ ,-､＿___ , イ￣,r=＝- ==-' ﾚ' /| |
／ ヽ `ーｿ ' | |ﾄ､,ﾍ ′"" "" / / || |
. ／ ＼_ ／ | ﾊ ヽ｀ﾞ'ﾍ ' '__. ィ ／ / | | |
／ / / | ヽ 川＼ ヾ三ﾆ‐'′／/! | | | | 新スレ、乙であります
/ / / 八 ＼川| |`ト- .. __ , イ‐ｧﾍ | | || |!
／ / / / ＼ ＼ 「`ー- ､ ／ .〉 ト､| ヽ、
,イ ／-─＝￢ﾆヘ､_ ＼ 厂＼ 厂ヽ /!| | `ｰ＝ﾍ
-‐ ￣ /─ ' ￣ ├- ヽ＼ ＼ﾉ＼ ＼ 人 ﾊ!ヽ || |-┤ ヽ
/ ／!‐-- | |＼ ﾄ､_｀ヽ oヽ ﾄ､! || |‐┤- ヽ
／/ 〉 __ ／ ├‐- || | 川-‐ | | 厂7! ﾊ! ├:┤ ￣ヽ
／ / ｰ ─ ￣ ├‐- ﾘ || ﾊ!ﾍ | | ト┤|/′ ヾ,┤ ﾞi_
‐ ' 〉‐- | / /＼ .|o | /ヽ/（′ ∨ ＼
‐--─ ─-r､___-､ /ー_ {( '´＞､! /ヽ/ |＼ ＼
3:１３２人目の素数さん
03/11/19 01:19
さっそく、面白い問題を出してくれ～
4:１３２人目の素数さん
03/11/19 01:49
(1)半径１の円に内接する正n角形（n≧3）がある。
この正n角形の二頂点間距離の二乗和を求めよ。
(2)半径１の球に内接する正20面体がある。
この正20面体の二頂点間距離の二乗和を求めよ。（正20面体は球の中心に関して点対称な立体である）
5:前スレ1
03/11/19 06:04
「京大」って文字を消してんじゃねぇよﾊﾞｶﾔﾛｳーーーーーﾌｶﾞｰｰｰｰｰ
6:１３２人目の素数さん
03/11/19 08:18
東大後期タイプ（？）な問題を考えました。
f_n(x)=sin(nx) とする。
このとき実数x＞０に対し、x_n→x(n→∞)かつ
全ての自然数nに対してf_n(x_n)=－１となる
数列｛x_n｝は存在するか。
存在すればそのx_nを求め、存在しなければそのことを証明せよ。
シンプルだけどかなり難しいと思うんで、チャレンジしてみて！
7:pig
03/11/19 13:38
体積がVの粘土の塊がある。これで直円錐形のやじりを作るときやじりの表面積の最小値を求めろよ
8:１３２人目の素数さん
03/11/19 17:12
>>5
うっかりしてた、超ゴメン。
次スレ立てるときに、前スレのタイトルも含めて訂正しましょう。
9:１３２人目の素数さん
03/11/19 18:06
>7
直円錐の半径をｒ、高さをｈとおくと
V=πr^2h/3
また直円錐を展開した側面の扇形の中心角をθとすると
２πr=θ√(r^2+h^2)
だから表面積S(r)は
S(r)=πr^2+π(r^2+h^2)2θ/2π
=πr^2+2πr√(r^2+h^2)
=πｒ^2+2πr√(r^2+9V^2/π^2r^4)
={πr^3+2√(π^2r^6+9V^2)}/r
S'(r)=[{2πr^3√(π^2r^6+9V^2)}r-{πr^3+2√(π^2r^6+9V^2)}]/r^2
=(2πr^3√(π^2r^6+9V^2)+4π^2r^6-18V^2)/r^2√(π^2r^6+9V^2)
S'(r)の分子=4π^2r^6+2πr^3√(π^2r^6+9V^2)-18V^2
ここで分子が０となるのは
{2πr^3√(π^2r^6+9V^2)}^2=(18V^2-4π^2r^6)^2
ｒについて整理しr^6=tとおくと
π^4t^2-15π^2V^2t+81V^4=0
とｔの二次方程式になるので解くと
t=V^2(15-3√13)/π^2
したがって最小値は
{√(15-3√13)+2√(24-3√13)}{π^2V^4/(15-3√13)}^k
ただし、k=1/6
10:１３２人目の素数さん
03/11/19 19:37
0<a<π/4、0<b<π/4であるa、bについて下の不等式が成立することを証明せよ。
√{tan(a)・tan(b)}≦tan((a+b)/2)≦{tan(a)+tan(b)}/2
11:１３２人目の素数さん
03/11/19 21:58
>>10
昔の京大の問題じゃねーの？
使い回すなよウンコ
12:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:31
スレ違いすぎだな
13:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:32
>>10
荒らしはやめてください。
14:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:32
0<a<π/4、0<b<π/4であるa、bについて下の不等式が成立することを証明せよ。
√{tan(a)・tan(b)}≦tan((a+b)/2)≦{tan(a)+tan(b)}/2
15:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:53
単発定理シリーズの次は単発入試予想シリーズだな
16:１３２人目の素数さん
03/11/20 00:48
良スレ保守
17:１３２人目の素数さん
03/11/20 00:49
>>6
∃n∈N s.t. sin(nx)=-1
を満たすx∈[0,π]は[0,π]で稠密。
で終わりで( ・∀・)ｲｲ!?
18:１３２人目の素数さん
03/11/20 00:55
>>17
自己レス。
これじゃ駄目ぽだった・・・（゜д゜)鬱死・・・
19:１３２人目の素数さん
03/11/20 01:22
nについてのかなりの飛躍が必要だが>>17であってることはあってるのか。
20:１３２人目の素数さん
03/11/20 01:29
贔屓目にみれば考えの方向はわからないでもないけど
かなりだめぽだと思う
21:１３２人目の素数さん
03/11/20 02:34
>>6
x>0,自然数nに対し,自然数mを
2m/n<=x/π<=(2m+1)/nもしくは
(2m+1)/n<=x/π<=2m/n
となるように取ることが出来る。
この時、x_n=-(π/(2n)+(2m)π/nと定めると
|xn-x|=|(2m)π/n-(π/(2n))-x|<={1+|π/2|}/nより
x_n→x
nx_n=-π/n+(2m)πだからsin(nx_n)=-1
これじゃ駄目か？
22:１３２人目の素数さん
03/11/20 02:37
おっと
nx_n=-π/2+(2m)πだからsin(nx_n)=-1
だね。 駄目だなこりゃ。宇津田。
23:１３２人目の素数さん
03/11/20 03:25
さて、瞬殺可能な問題は早めに片づけておこう。
>>4
(1)
x-y座標平面を導入し、半径1の円をx^2+y^2=1と表す。
明らかに正n角形の頂点はx(k)=( cos(2kπ/n) , sin(2kπ/n) )と表される。
二頂点x(i) , x(j)の距離の二乗をd(i,j)とすれば、余弦定理より
d(i,j) = 2 - 2cos( 2π(i-j)/n )が成立する。これより求める二乗和は
Σ[1≦i,j≦n] d(i,j) /2
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n] cos( 2π(i-j)/n )
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n]( cos( 2πi/n )*cos( 2πj/n ) - sin( 2πi/n)sin( 2πj/n) )
= n^2 - Σ[1≦j≦n]( cos( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] cos( 2πi/n ) ) - Σ[1≦j≦n]( sin( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] sin( 2πi/n ) ) --[Eq.1]
と計算出来る。また、虚数単位√(-1)を用いてz = ( cos(2π/n) + √(-1)sin(2π/n)とすれば、
Σ[1≦k≦n] z^k = 0 が成立するため、両辺の実部と虚部を比較して
Σ[1≦k≦n] sin( 2πj/n ) = 0 Σ[1≦k≦n] cos( 2πj/n ) = 0
[Eq.1]にこれを代入すれば、n^2と計算出来る。
(2)
正二十面体は三角形が二十個合わさった形であり、各頂点には５つの三角形が集まっている。
そのため、頂点の総数は3*20/5=12 辺の総数は3*20/2=30と計算される。
また、正二十面体の任意の頂点Aに対し、ある点Bが存在し、ABは外接球の直径をなす。
PをA,B以外の頂点とすれば、AP^2+BP^2=AB^2=4。が成立する。A,Bを固定すればこのような点Pは10個取れるため。
それらの総和は40。点Aを移動させる事により、直径を成す二頂点以外の距離の二乗和を求めれば、40*12/4=120。
直径を成す二点を考えれば、その距離の二乗和は、4*12/2=24となる。
結果、両方をあわせれば、144。
24:１３２人目の素数さん
03/11/20 04:24
>>6
sin(ny)=-1 ⇔ ny=(4m-1)π/2 ⇔ y=(4m-1)π/(2n) ただし、mは整数。
数列、y(m,n)をy(m,n)=(4m-1)π/(2n)で定義すれば、
任意の自然数n、実数xに対して、n,xに依存したある整数m(n,x)が存在し
y(m,n)≦x＜y(m+1,n) --[不等式1]
さらに、y(m+1,n) - y(m,n) = 2π/n が成立するため、
[不等式1]はさらに変形出来て
x - 2π/n ≦ y(m(n,x),n) ≦ x ＜ y(m(n,x)+1,n) ≦ x + 2π/n
となる。
xを定数と考えれば、y(m(n,x),n)はnを添え字とする数列と考えられる。
数列y(m(n,x),n)、y(m(n,x)+1,n)は共に
x - 2π/n ≦ y(m(n,x),n)、y(m(n,x)+1,n) ≦ x + 2π/n
を満たすため、n→∞としたときxに収束する。
このため、このような数列y(m(n,x),n)を考えれば
それは任意の実数xに収束する。
======
不思議な事にあってる気が全くしない。
どこか(or全部)間違ってるはず、訂正希望。
25:１３２人目の素数さん
03/11/20 06:27
0<a<π/4、0<b<π/4、0<c<π/4 かつ (sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1が成立するとき、
cos(a+b+c)の正負を調べよ。
26:１３２人目の素数さん
03/11/20 10:34
>>24
訂正(揚げ足取りでｽﾏｿ)
y(m,n)≦x＜y(m+1,n) --[不等式1]
→y(m(n,x),n)≦x＜y(m(n,x)+1,n) --[不等式1]
個人的には、>>24で正解な気がするけれど。
27:24
03/11/20 15:29
あってるか。。うん、なんかそんな気がしてきた。 昨日は二つ解決と
28:moon
03/11/20 16:59
「一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」
29:１３２人目の素数さん
03/11/20 20:00
難問。
m, n(≧5), a_1, a_2, ……, a_m-1, a_mはすべて自然数とする。
<a_m, a_m-1, ……, a_2, a_1>m = Σ[1≦k≦m]a_k*k! (1≦k≦m, 0≦a_k≦k, a_m≠0)とおく。
n!を <a_m, a_m-1, ……, a_2, a_1>m で表せ。
１ｈかけた自分のを卓越するような解答を、願います。
30:１３２人目の素数さん
03/11/20 20:17
またマルチか
31:１３２人目の素数さん
03/11/20 21:53
東大が好んだ、複数動点が登場する問題。
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）
点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）
点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡
32:１３２人目の素数さん
03/11/20 22:23
凸四角形ABCDがある。 AC、BDが対角線を成し、その交点をEとする。
∠CAD=40°∠ACD=80°∠CAB=55°∠ACB=25°であるとき、
∠CEDを求めよ。
33:１３２人目の素数さん
03/11/21 00:37
>>28
プレの問題出すな。
>>29
問題の意図が掴みにくい。ただa_k・k!をそう表しているだけなら、ずらせば済む話だし
34:6
03/11/21 08:01
>>24 ブラボー＆漏れの解答↓。
任意のｘ（>０）及びｎに対し、ある負でない整数ｋが定まって
2πｋ/ｎ≦ｘ< 2π（ｋ＋１）/ｎ
が成立する。すなわち、０≦α＜2π/ｎであるような実数αがあって、
ｘ＝2πｋ/ｎ＋α
とかける。
ｘ_ｎ:＝3π/2ｎ＋2πｋ/ｎ
↓ ↓
（ ０ ｘ ）
と定義してやれば、 ｘ_ｎ→ｘ （ｎ→∞）であり、
かつ全てのｎで f_n(x_n)=－１ である。
この問題のポイントは、ｆ_ｎ（ｘ）が周期関数なので、
どんなｘを取っても幅が2π/ｎのある区間に入るというところ。
ｎを大きくすればそれに応じて幅も小さくなることを上手く使ってやる。
35:6@本物
03/11/21 08:10
成りすましクンが居ますね。
36:１３２人目の素数さん
03/11/21 08:15
>>21 も正解ではないか？何を凹んでいるのだ？
・・・この問題、結構簡単だったみたいだな。ゴメンよ。
ゼミのテキストのExampleから思いついたのだが、
いまいち底が浅かったかな。
37:6&36
03/11/21 08:24
相手が悪かったな、>>35よ。
この問題はsin(nx)がΓ-収束していることを
checkする例から取ったものなのだ。
よってオマエが成りすまし。
ちなみにΓ-収束に関しては、
Gianni Dal Maso
『An Introduction to Γ-Convergence』を参照。
38:１３２人目の素数さん
03/11/21 08:35
厨房相手にムキってんじゃねーよダサ坊が
39:１３２人目の素数さん
03/11/21 08:45
>>646
超ワラタ
40:pig
03/11/21 09:16
東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
①与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
②1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
③平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
41:pig
03/11/21 09:20
東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
①与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
②1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
③平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
42:pig
03/11/21 09:21
>>40,>>41誤爆ｽﾏｿ!
43:１３２人目の素数さん
03/11/21 22:24
むしろ京大の論文っぽい問題だけど・・・（ｽﾏｿ
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。
（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。
（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
44:１３２人目の素数さん
03/11/21 22:26
出してばっかじゃつまらんから解けよお前ら
45:１３２人目の素数さん
03/11/22 00:27
解答専用の別スレがあれば解くかもしれないけどな。遠慮しておくよ。
46:１３２人目の素数さん
03/11/22 06:05
じゃはりきって解こうぜ！
47:１３２人目の素数さん
03/11/22 06:19
とりあえず>>40と>>43にでもとりかかってみるか
48:１３２人目の素数さん
03/11/22 06:35
俺は上から順番に・・・
>>10と>>25が残ってる。
49:１３２人目の素数さん(10)(25)
03/11/22 21:45
>>48
両方、俺の出題ｗ
>>10は京大の過去問とは知らずに出してしまいスマソ。
三角関数関連の問題を作成しているところ、思いついた問題のうちの一つだったから
それと>>10は何年くらいの京大の過去問か情報キボンヌ。
50:１３２人目の素数さん
03/11/23 00:54
>>49
９１年・京大前期。
このスレに出入りするんなら、東大・京大の過去問くらいチェックしとけ。
ちなみに左側の不等式は難問と評判だな。
51:１３２人目の素数さん
03/11/23 01:24
受験って凸不等式つかえないんだっけ？つかえるなら>>10は一撃だけど
だめなんだろうなやっぱ。まあ２変数だったら凸不等式自体その場で凸不等式証明すれば
問題ないんだろうけど。
52:１３２人目の素数さん(10)(25)
03/11/23 01:30
>>50
情報サンクス。問題演習量の少なさを痛感ｗ
左側の方は難問か？標準的だと思うのだが・・・
a+bを固定して解く、加法定理で半ごり押し、エレガントに対数、等いろいろ解法を出せるから面白いと思うけどね。
>>51
証明さえすれば、オッケーだとは思うが。
53:１３２人目の素数さん
03/11/23 02:35
★センター試験の数学の得点の７割は「１××」 センター試験、数学の得点に偏り
・大学入試センター試験の数学の得点では、得点の数字の最上位が「１」の
場合が圧倒的に多い―東京理科大の芳沢光雄教授（数学）、大学院生の
穂積悠樹さんらが過去の得点分布を調べてわかった。３けたの得点では、
６割以上は百の位が１だった。自己採点を間違えた人でも頭を１にすれば
正しい得点になる率は上がる。芳沢さんは、青天井配点のようなどんぶり
勘定方式を採用するなど改善すべきだという。
穂積さんは、昨年までの１３年間にわたるセンター試験の「数学１・Ａ」と
「数学２・Ｂ」について、本試験と追試験の全得点分布を調べた。
企業会計や人口、住所番地などの数字の最上位は「１」に偏り、２～９と
ふえるほど出現率が減る。３０年代に米物理学者がこの傾向を見つけ、
「ベンフォードの法則」と名付けられた。法則では「３割程度が１に偏る」が、
数学の得点はそれよりも偏りが激し過ぎる。
センター試験では、頭が1の得点が多くなりすぎないように、満点を
200点にするなどの工夫をしている。それが裏目に出たと芳沢さんはみる。
センター試験に限らず、大学入試全般で120点満点や150点満点などの
頭が1になりやすい方式が多くなっている。芳沢さんは「集計が楽だから
と安易な方式に頼らず、512点満点など、受験生の本当の力をみる努力
をすべきだ」と話す。
54:１３２人目の素数さん
03/11/23 03:12
>>53
コピペにマジレスすまんのだが、
それのどこが得点の偏りになっているのか誰か説明してくれ。
55:１３２人目の素数さん
03/11/23 14:23
>>43
「妥当」っていうのは、期待値的に、確率的にってことだよね。
むずいなぁ・・・
56:１３２人目の素数さん
03/11/23 16:12
>>40やってる人いる？
57:１３２人目の素数さん
03/11/23 16:39
43は妥当の意味のとり方によって答えは変わるよなぁ。
いや、変わらないかもしれないけど。
計算の仕方は大体分かるけど、面倒そう。
58:１３２人目の素数さん
03/11/24 04:54
age
59:１３２人目の素数さん
03/11/24 16:36
それで>>29 >>31の結論 つきました？
60:１３２人目の素数さん
03/11/24 16:52
正方形の各点ABCDがあり、AからCに引いた直線とBからDに引いた直線の交点をEとします。
その交点Eを通る直線を辺DC上から引いたとし、その辺DC上との交点をFとします。
ただし、このときの∠CFEは40°以下であること。
この直線FEの延長上にある点Gを、AF＝EGとなる位置におきます。
この△AGE上をA君が歩くと3分40秒かかるそうです。
しかしA君の靴紐は1分間に一度必ずほどけてしまい、その度に20秒間のロスがあります。
その条件でA君の速さを50分間測定し、その平均をだすと時速2200Mとなりました。
同じように△FEC上をB君が歩くと2分30秒かかりました。
B君の歩く速さは常に一定で、時速0，00000000000000003光年となります。
ただし、1光年は9兆5千億kmと考えます。
このとき、A君の好きな人は誰でしょう？
61:１３２人目の素数さん
03/11/24 16:59
>>60
この話は本当ですか？
ペトロナスタワー
URLﾘﾝｸ(www.kajima.co.jp)
まず左のタワーをハザマが建てた。
それをパクりながら三星が右のタワーを建てたが傾いた。
62:１３２人目の素数さん
03/11/24 17:10
>>60
>>60
63:１３２人目の素数さん
03/11/24 17:30
>>60>>62
おまいらなかなかやるな。
64:１３２人目の素数さん
03/11/25 16:30
<<60
三行目ですでにダメなわけだがな。
65:１３２人目の素数さん
03/11/28 17:57
>>64
出だしですでにダメなわけだがな。
66:１３２人目の素数さん
03/12/03 22:34
放物線y=x^2 をCとおく。いま、y>x^2を満たす領域にある点P(p,q)が
次の条件を満たすとき、p,qの満たすべき必要十分条件を求めよ。
(条件) Pを通るCの任意の弦を直径とする円が
常にある定点を通る。
67:１３２人目の素数さん
03/12/03 22:43
>>66
昔、だいすうの学コンで、似たようなのが出てた気がする。
68:１３２番目の素数さん
03/12/05 00:03
>>66
q=p^2 +1
69:１３２番目の素数さん
03/12/05 13:44
フィボナッチ数列A_n+2=A_n+1 + A_n（n=1,2,3・・・）において、
13の倍数をとる項はnが7の倍数のもののみであり、nが7の倍数の項は全て13の倍数であることを証明せよ。
D＊＊＊＊
70:１３２人目の素数さん
03/12/05 15:38
>>69
A_1=A_2=1が抜けてるがまあいいとしよう。
とりあえず簡単だろ。C***くらいじゃね？ 以下解答。
数列A_nを13で割った余りをR_nとする。すると数列{R_n}は以下のように循環数列になる。
1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,
1,1,2,3,…
1行目の28個の項において第7項、第14項、第21項、第28項はいずれも0であるから。
第7n項（n=1,2,…）はいずれも0である。すなわちR_7n=0であるからA_7nは13の倍数。
また、それ以外の項はR_nが0でないから13の倍数でない。
これが13じゃなくて37とかだったら書き出す気も失せるが、
高々169項での循環ならこっちの方が早いかと。
そういえば、このようにひたすら1の位だけを計算させる試験みたいのがあったな。
71:３流大学さん
03/12/05 15:58
計算方法の基本である、カッコ内を優先して行わなければならない理由を、例に挙げて計算し、矛盾を示したうえで説明せよ。
72:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:07
>>71
おまいは何を考えているのかと小一時間（ry
73:１３２番目の素数さん
03/12/05 16:24
あぁ・・・最初の２項について書き忘れていた・・・
>>70
正解。ただ試験中ここまで実験しきれる受験生はそこまで多くないだろうということでＤ。
また、小問二つに分けて、（１）でA_n+2=(A_k+3)・(A_n-k)+(A_k+2)・(A_n-k-1)を示させる問題にして（２）を>>69にしてはどうだろう。
まぁ、受験生を攪乱しているのか！と言われそうだが
74:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:25
馬鹿か
75:１３２番目の素数さん
03/12/05 16:26
>>66
エクストラ数学にあったな、それ。
円をベクトル表示して解いていくって作業が特徴的だが、そこまで難しくない。
76:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:43
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の解が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）
と書けることを示せ。
77:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:57
>>76
「f(x)=0の根が全て有理数ならば」にしとく
78:１３２人目の素数さん
03/12/05 19:10
代数学の基本定理と、ガウスの定理ですか。
難しくないですか？
79:１３２人目の素数さん
03/12/05 19:14
>>71
なるほどね、簡単だが気づかない奴には気づかないかもな。
ようするに、虚数の問題だな。
80:１３２人目の素数さん
03/12/05 21:57
>>75
エクストラ数学って何？
81:１３２人目の素数さん
03/12/05 22:22
>>79
ﾌﾟﾌﾟｯﾌﾟﾌﾟｸﾌﾟﾌﾟ
82:１３２人目の素数さん
03/12/06 10:22
1=√1 … (1)
=√(-1×-1) … (2)
=√(-1)×√(-1) … (3)
=i×i … (4)
=-1 … (5)
このような矛盾が起きるため、(2)から(3)に移るところカッコ内の計算を先にしなければならない。
よって、題意なり。
83:１３２人目の素数さん
03/12/06 12:53
括弧内の計算と言うよりも、
√ab = √a√b は高校まででは、a, b > 0 のときしか
成り立たない公式であると言うことが、いろいろとアレだと思う。
84:１３２人目の素数さん
03/12/06 15:40
本質的に非結合的な二項代数の例を挙げれば十分だしょ。
実数a,bに対し実数a§bをab-1かなんかで定義。この時
a§(b§c)≠(a§b)§c
例a=1,b=2,c=3
1§(2§3)=1§5=4
(1§2)§3=1§3=2
()内を先に計算すると約束してある。約束どおり計算しなければ結果が異なって
しまう。
85:１３２番目の素数さん
03/12/06 20:10
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
86:１３２人目の素数さん
03/12/07 01:23
2/3＜sin2であることを証明せよ。
87:１３２人目の素数さん
03/12/07 06:16
数値近似系は飽きた。
もっと違うの出すれよ
88:１３２人目の素数さん
03/12/07 07:00
>>87
まぁ待て、出題したからにはエレガントな解答があるに違いないッ！
この前の tan2005°では、凸不等式をさりげなく使ってたしなぁ…
>>86
模範解答をキボンにゅ！
89:１３２人目の素数さん
03/12/07 07:44
ｒ;;;;;ノヾ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ﾋ‐=r=;' ∬ ／
'ヽ ▽/ っ━~~ ＜ 見せてもらおうか>>86、エレガントな解答とやらを・・・
＿と~,, ~,,,ﾉ_. ∀ ＼
ﾐ,,,,/~), │ ┷┳━ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
90:１３２人目の素数さん
03/12/07 11:20
ﾁﾝ ☆ ﾁﾝ ☆
ﾁﾝ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾁﾝ ♪
♪
♪ ☆ﾁﾝ .☆ ｼﾞｬｰﾝ！ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
☆ ﾁﾝ 〃 ∧＿∧ ヽ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（・∀・ #） ／＼＿／ ＜ >>86の解答 まだー？
ﾁﾝ ＼＿／⊂ つ ∥ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣￣／| ∥ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
| ￣ ￣￣￣￣￣￣:| :| ／|＼
| |／
91:１３２人目の素数さん
03/12/07 11:21
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺ ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
从 `ヾ/゛／' "＼' /". | |
〝 ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=＜ まだぁー？ |
. '=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡ |＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿＿ ＿|
... 《゛=!|l|》ﾘl⌒! Ｉ⌒I I⌒I I⌒I从=≡|l≫,
《 l|!|!l!((つT(つ) ((つT(つ)) !|l!|l;》;
《 l|!|￣|￣γ ⌒ ヽ γ ⌒ ヽ三ll≡|l》;
.. 《l|!| | （（TAMA））（（TAMA））||l|||l 》;
〝 ≡丿-へ/人 ＿ 人 人 ＿ 人//へヾ
ﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞ
92:１３２人目の素数さん
03/12/07 15:10
>>88
エレガントな解答がなくてスマン。
sinx＜x（0≦x≦1）より両辺2乗して整理すると1-x^2＜(cosx)^2=(1+cos2x)/2
∴1-2x^2＜cos2x ∴∫[0,1](1-2x^2)dx＜∫[0,1]cos2xdx ∴2/3＜sin2
93:１３２人目の素数さん
03/12/07 15:11
sinx≦xだった。すまん。最後の積分の前まで＜→≦でよろ。
94:１３２人目の素数さん
03/12/07 16:02
>>86
=sin(2*180/3.14)=sin(114.64)=sin(65.35)>sin(60)=3^.5/2=.866
>2/3=.666
95:１３２人目の素数さん
03/12/07 16:20
「１＋１」がなぜ「２」となるのかを記述しなさい。
96:１３２人目の素数さん
03/12/07 17:59
>>95
定義の意味わかってないだろ。だってそれは定理じゃないっしょ。
97:１３２人目の素数さん
03/12/07 18:39
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
98:１３２人目の素数さん
03/12/08 04:18
>>25の模範解答まだー？
99:25
03/12/08 17:17
もう流されたかと思っていたよ（汗
ってか、すまん（ぇ）0<a<π/4じゃなくて全てπ/2だよ（氏
答えには支障ないだろうけど、考えてくれた人がいるかどうかはわからんが、すまん・・・
－解法例１－
0<a<π/2、0<b<π/2、0<c<π/2より0<a+b+c<3π/2
そこでa+b+cがπ/2以下だと仮定すると、
cos(a+b+c)=cos(a)・cos(b+c)-sin(a)・sin(b+c)≧0
即ち、cos(a)・cos(b+c)≧sin(a)・sin(b+c)・・・（１）
0<a<π/2、0<b+c<πだから、sin(a)とsin(b+c)は正なので、両辺二乗しても符号は変化しない。
ここで条件式を使って、（１）の両辺を二乗したものを整理すると、（sinのみの式にして加法定理のみなので略ｗ）
cos(b+c)≦0、つまりb+c≧π/2
しかし、これは最初の仮定と矛盾するので、以上より、π/2<a+b+c<3π/2
∴cos(a+b+c)<0 である。
－解法例２－
方針「0<a+b+c≦π/2におけるa,b,cについて考えていく」
sinθは0<θ<π/2において単調増加・・・（１）
よって、A+b+c=π/2となる時、(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2≦(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2・・・（２）
また、（２）の右辺を整理すると、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=3/2-1/2(cos2A+cos2b+cos2c)
=3/2-1/2(2cos(A+b)・cos(A-b)-cos2(A+b))
=1-cos(A+b)(cos(A-b)-cos(A+b))
=1-2cos(A+b)・sinA・sinb・・・（※）
ここで、sinA>0、sinb>0、そしてA+b<π/2より、cos(A+b)>0であるので、（※）より、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2＜１
よって、A+b+c=π/2、（１）より(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1となるのは、π/2<a+b+c<3π/2
従って、cos(a+b+c)<0 である。
こんな感じ。
100:１３２人目の素数さん
03/12/08 21:52
>>97
URLﾘﾝｸ(www.combinatorics.org)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
101:１３２人目の素数さん
03/12/08 22:28
>>100
ちがうよ。>>97は回転しておなじになるやつを同一視するとはひとこともかいてないでしょ？
102:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:03
>>97
k^(n-2k-1)
103:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:04
>>102
不正解
104:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:07
>>101
K^(n-2k)
105:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:07
>>104
不正解
106:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:12
すくなくともn>6個の円状の座席のなかからとなりあわない３席をえらぶくみあわせは
(1)条件がなければ(1/6)n(n-1)(n-2)
(2)うち一組がとなりあうくみあわせの数はn(n-4)
(3)うち２組がとなりあうくみあわせの数はn
∴その数は(1/6)n(n-1)(n-2)-n(n-4)-n=(1/6)n(n-4)(n-5)
k=3のときこれに一致しないのは正解ではない。
107:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:23
>>106
7*3*2/6=7
ababab^2=1
?
108:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:27
n=7のときは
○×○×○××
○×○××○×
○××○×○×
××○×○×○
×○××○×○
×○×○××○
×○×○×○×
の７通り。
109:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:33
>>106
nk^(n-2k-1)
110:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:41
>>109
ちがう。k=3のとき(1/6)n(n-4)(n-5)にならんといかんっちゅうに。
111:１３２人目の素数さん
03/12/11 05:23
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
112:１１１
03/12/11 05:23
ｎは３以上の整数、kは自然数とします。
113:１３２人目の素数さん
03/12/11 10:06
>>111
ドモアブルと二項定理を用いてゴリゴリやる。
某スレでイヤというほどやったテク。
超既出。
114:１３２人目の素数さん
03/12/11 13:58
>>113
具体的にはどうするん？
115:１３２人目の素数さん
03/12/11 14:03
某スレを隅々まで読んで考えろ！
116:１３２人目の素数さん
03/12/11 14:08
ちなみに某スレはこちら
ｽﾚﾘﾝｸ(avideo板)
117:１３２人目の素数さん
03/12/11 14:16
>>116
ありがとう・・・
(ノ｀m´)ノ ~┻━┻ (/o＼) お父さんやめてー
118:１３２人目の素数さん
03/12/11 20:56
実数a,b,cはある自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
119:１３２人目の素数さん
03/12/12 17:54
>>118
１しか解けませんでした！
120:１３２人目の素数さん
03/12/13 18:04
age
121:１３２人目の素数さん
03/12/13 18:29
>>118
(1)
2式よりa=0⇒b=c
2式よりb=0⇒a=c
2式よりc=0,k≡0mod2⇒a=b=0
1式よりc=0,k≡1mod2⇒a=b=0
abc=0⇒a=0,b=c , b=0,a=c
ゆえに
122:１３２人目の素数さん
03/12/13 21:59
>2式よりa=0⇒b=c
>2式よりb=0⇒a=c
嘘だ。やはりkの奇遇で場合わけが必要。
（2）は？
123:１３２人目の素数さん
03/12/14 00:33
q
124:118
03/12/14 23:36
>>118の訂正。
（条件追加）ただし、0^0は0または1いずれかの好きなほうを選択して解答せよ。
（問題訂正）
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
↓
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(-ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
125:118
03/12/14 23:41
すいません。やっぱり
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
にしてください。>>124を変形しただけですが。
126:１３２人目の素数さん
03/12/15 00:20
>>125
>>118の設問なら0^0=1と考えるのが自然っぽいけど(∵実数^整数の形なので)
いづれにしても微妙だから受験問題のつもりならどちらかキチンと指定しておくか
k≧2にしておく方が試験問題としては安全だと思う。
127:118
03/12/15 00:59
>>126
確かに曖昧すぎたかもしれなかったですね。
k≧2の方が混乱が少なくていいのかな。
そんなわけで以下>>118の訂正版（+α）。
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
128:１３２人目の素数さん
03/12/15 18:13
a_1 = p, a_n+1 = a_n(a_n - 2)となる数列{a_n}の一般項を求めよ。
129:１３２人目の素数さん
03/12/17 02:41
>>128
回答例ヨロシクネ。
130:１３２人目の素数さん
03/12/17 14:16
a_n=2cos(t_n)+1
131:１３２人目の素数さん
03/12/17 20:02
>>129
誰か解いてくれてもなぁ。（この板の住人にとっては簡単だろうに
－略解－
（与式）より(a_n)-1=(b_n)+(1/b_n)とすると、(b_n+1)+1/(b_n+1)=(b_n)^2+(1/b_n)^2
よってp=(b_1)+1/(b_1)の解をα、βとすると、帰納的にa_nは下のように書け、一般項は求められた。
a_n=1+{α^(2^n-1)}+{β^(2^n-1)}（但し、α、βはb_1≠0より、二次方程式(b_1)^2-p(b_1)+1=0の解）
α、βは長くなるので、説明だけにしています。
132:１３２人目の素数さん
03/12/18 12:26
二次の正方行列A=|0 -1 |（自然数p,qは互いに素）が存在する。
|1 2cos(qπ/p)|
A^n=Aとなる２以上の自然数nを求めよ。
133:１３２
03/12/18 12:33
a_11=0、a_12=-1、a_21=1、a_22=2cos(qπ/p)ね。
134:１３２人目の素数さん
03/12/18 13:15
p=1のとき解なし。
p≠1かつqが奇数のとき2mp+1（mは任意の自然数）
p≠1かつqが偶数のときmp+1（mは任意の自然数）
135:１３２
03/12/18 13:45
>134
正解
136:１３２人目の素数さん
03/12/18 14:15
0以上1以下の数１つを実数を生み出す乱数発生装置がある。
この乱数発生装置は故障していて，ある数が生み出される確率は，
その数の大きさに比例するという。
このとき，この乱数発生装置によって生み出される数の期待値を求めよ。
･･･微妙か？日本語変だったら直してくれ。
137:１３２人目の素数さん
03/12/18 14:52
2/3
138:１３２人目の素数さん
03/12/18 14:59
やるじゃん。
139:１３２人目の素数さん
03/12/18 20:42
誰かスレの最初の方のかたずいていない問題解いてくれー
（ってか出題者、解答だせ）
140:１３２人目の素数さん
03/12/18 20:46
>>139
ドレが解かれてないか調べるのが面倒だ。挙げてくれ。
141:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:39
>>139
（誤）かたずいていない
（正）かたづいていない
早く日本語覚えてね。在の方
142:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:46
>>97まだだよ。
143:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:49
>>136
真面目に考えると面倒だけど、答えだけなら三角形の重心を考えれば瞬殺
144:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:55
>>143
同感
てか問題見た時にそっちにイメージがいってしまった。
145:未解決問題
03/12/18 22:02
■■１■■
一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」
■■２■■
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡
146:未解決問題
03/12/18 22:04
■■３■■
（１）与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
（２）1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。
折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
（３）平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。
点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
■■４■■
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。
（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。
（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
147:未解決問題
03/12/18 22:04
■■５■■
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の根が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）と書けることを示せ。
■■６■■
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
■■７■■
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
■■８■■
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
■■９■■
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
148:１３２人目の素数さん
03/12/18 22:10
147の６番って隣り合う面だと思われ。
（面と面の組み合わせ何通りもあるし
149:１３２人目の素数さん
03/12/18 22:40
>>143
そう？
x が出る確率を p(x) = ax とする。∫[0,1] p(x) dx = 1 より、 a = 2
従って期待値は ∫[0,1] x p(x) dx = 2/3.
150:１３２人目の素数さん
03/12/18 22:56
>>149
それだと、（漏れは）10秒くらい掛かるから瞬殺とは言えない
151:１３２人目の素数さん
03/12/18 23:44
有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。
（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数）となる確率をP(k)とする。
lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
152:151
03/12/18 23:47
（２）に以下の文を追加します。
「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
153:151
03/12/18 23:48
k≦nです。申し訳ありません。
154:１３２人目の素数さん
03/12/18 23:52
>>151
x=0.1378463123123123123123123123123123･･･
とかだとL(x)=3にするの？
155: ◆MC1Z7pcz5k
03/12/19 00:28
>>147
■■８■■ について
この問題はいろいろな解法があると思いますが, 1990 年 東京工業大学後期 に出題されています。
まずは, そこから確認してみてください。
156:151
03/12/19 00:41
>>154
失礼しました。純循環小数についての問題と見て下さい。
混循環小数も混ぜるとあり得なくなるね・・・
157:１３２人目の素数さん
03/12/19 00:46
>>156
じゃこれは何？
＞152 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:47
＞（２）に以下の文を追加します。
＞「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
＞153 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:48
＞k≦nです。申し訳ありません。
L(m)とかL(k)ってm=m.0000000000000000000･･･もk=k.00000000000000000000･･･も混循環小数とかいうやつになるじゃん。
158:127
03/12/19 00:49
>>147
単純に場合分けするだけなのですが、これだけのことを時間内に処理しきれるかは
文字計算（特に正負入り混じったもの）に慣れていることが重要かと。
かなり点数に差が出るのではと思います。
（1）
[ I ] a=0のとき、kが奇数ならば第二式よりb=cとなりa+b=cをみたしている。
kが偶数のとき第二式よりb=±c。b=cはa+b=cをみたしている。
b=-cとすると第一式、第三式より
b^(k-1)≦-b^(k-1), b^(k+1)≧-b^(k+1) （∵k-1は奇数）
ゆえにb=0。したがってc=0。これはa+b=cをみたしている。
[ II ] b=0のとき、[ I ]と同様。
[ III ] c=0のとき、kが奇数ならば第二式よりa=-b。これを第一式に代入して
2b^(k-1)≦0 （∵k-1は偶数）
ゆえにb=0。したがってa=0。これはa+b=cをみたしている。
kが偶数のときは第二式よりa=b=0となり、やはりa+b=cをみたす。
159:127
03/12/19 00:49
（2）
[ I ] c＞0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、第二式より0＜a＜cかつ0＜b＜cである。
第二式の両辺にcをかけて
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＞(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
これは第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式より0＜c＜-bである。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は偶数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第一式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜cかつ0＜-b＜cである。このとき
a^(k+1)+b^(k+1)＜a^(k+1)＜c^(k+1) （∵k+1は奇数だからb^(k+1)＜0）
となり第三式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
( iv ) a＜0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第一式に矛盾。
[ II ] c＜0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式よりb＜c＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k+1は奇数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第三式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜-cかつc＜b＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は奇数だから0＞b^(k-1)＞c^(k-1)）
となり第一式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
以上よりa＜0かつb＜0かつc＜0が必要。
160:127
03/12/19 00:50
（3）
逆にa＜0かつb＜0かつc＜0のとき、kが奇数ならば第二式に矛盾。したがってkが偶数であることが必要。
a＜0かつb＜0かつc＜0でkが偶数のとき、第二式をみたす(a,b,c)の組は無数に存在するが、
その(a,b,c)の組すべてに対して第二式よりc＜a＜0かつc＜b＜0が成り立ち、
c^(k-1)=(a^k)c^(-1)+(b^k)c^(-1)＞(a^k)a^(-1)+(b^k)b^(-1)=a^(k-1)+b^(k-1)
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＜(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
より第一式、第三式も成り立っている。
補足
（1）～（3）より第一式～第三式をみたす(a,b,c,k)の組は
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
（tは任意の実数、u,vは互いに独立な任意の正の数、mは任意の自然数）
とかける。
161:127
03/12/19 00:53
間違えた。
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,-{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
~~
162:151
03/12/19 01:04
>>157
問題を訂正し直します。（急いじゃいかんね
循環節の始まりが小数第１位である有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。
（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数、）となる確率をP(k)とする。
lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
ただし、確率P(k)は、L(x)が高々n個になるもの中からL(x)=kとなるものを選び確率であると定義する。
次ページ最新レス表示スレッドの検索類似スレ一覧話題のニュースおまかせリスト▼オプションを表示暇つぶし2ch
5365日前に更新/248 KB
担当:undef