★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

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18:１３２人目の素数さん
 03/11/20 00:55
>>17 
自己レス。 
これじゃ駄目ぽだった・・・（゜д゜)鬱死・・・

19:１３２人目の素数さん
 03/11/20 01:22
nについてのかなりの飛躍が必要だが>>17であってることはあってるのか。

20:１３２人目の素数さん
 03/11/20 01:29
贔屓目にみれば考えの方向はわからないでもないけど 
かなりだめぽだと思う

21:１３２人目の素数さん
 03/11/20 02:34
>>6 
x>0,自然数nに対し,自然数mを 
2m/n<=x/π<=(2m+1)/nもしくは 
(2m+1)/n<=x/π<=2m/n 
となるように取ることが出来る。 
この時、x_n=-(π/(2n)+(2m)π/nと定めると 
|xn-x|=|(2m)π/n-(π/(2n))-x|<={1+|π/2|}/nより 
x_n→x 
nx_n=-π/n+(2m)πだからsin(nx_n)=-1 
これじゃ駄目か？

22:１３２人目の素数さん
 03/11/20 02:37
おっと 
nx_n=-π/2+(2m)πだからsin(nx_n)=-1 
だね。 駄目だなこりゃ。宇津田。

23:１３２人目の素数さん
 03/11/20 03:25
さて、瞬殺可能な問題は早めに片づけておこう。 
>>4 
(1) 
　x-y座標平面を導入し、半径1の円をx^2+y^2=1と表す。 
明らかに正n角形の頂点はx(k)=( cos(2kπ/n) , sin(2kπ/n) )と表される。 
二頂点x(i) , x(j)の距離の二乗をd(i,j)とすれば、余弦定理より 
d(i,j) = 2 - 2cos( 2π(i-j)/n )が成立する。これより求める二乗和は 
Σ[1≦i,j≦n] d(i,j) /2 
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n] cos( 2π(i-j)/n ) 
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n]( cos( 2πi/n )*cos( 2πj/n ) - sin( 2πi/n)sin( 2πj/n) ) 
= n^2 - Σ[1≦j≦n]( cos( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] cos( 2πi/n ) ) - Σ[1≦j≦n]( sin( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] sin( 2πi/n ) )　--[Eq.1] 
と計算出来る。また、虚数単位√(-1)を用いてz = ( cos(2π/n) + √(-1)sin(2π/n)とすれば、 
Σ[1≦k≦n] z^k = 0　が成立するため、両辺の実部と虚部を比較して 
Σ[1≦k≦n] sin( 2πj/n ) = 0　　Σ[1≦k≦n] cos( 2πj/n ) = 0 
[Eq.1]にこれを代入すれば、n^2と計算出来る。 
 
(2) 
　正二十面体は三角形が二十個合わさった形であり、各頂点には５つの三角形が集まっている。 
そのため、頂点の総数は3*20/5=12　辺の総数は3*20/2=30と計算される。 
　また、正二十面体の任意の頂点Aに対し、ある点Bが存在し、ABは外接球の直径をなす。 
PをA,B以外の頂点とすれば、AP^2+BP^2=AB^2=4。が成立する。A,Bを固定すればこのような点Pは10個取れるため。 
それらの総和は40。点Aを移動させる事により、直径を成す二頂点以外の距離の二乗和を求めれば、40*12/4=120。 
直径を成す二点を考えれば、その距離の二乗和は、4*12/2=24となる。 
結果、両方をあわせれば、144。

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