★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

★東大入試作問者にな ..

147:未解決問題
03/12/18 22:04
■■５■■
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の根が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k)　（m_i、n_iは全て整数）と書けることを示せ。

■■６■■
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。

■■７■■
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。

■■８■■
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。

■■９■■
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
　a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
　a^k+b^k=c^k
　a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。

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