代数学総合スレッド Part2

代数学総合スレッド P ..

369:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:02
>>367
うわぁ・・・

370:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:04
>>367
＞ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.

どこがまずいの？

371:360
03/07/28 23:06
>>368
353のどこがおかしい？

372:360
03/07/28 23:07
>>367
どうまずいのかよくわかんないけど･･･
確かにそのほうが簡潔でいいね

373:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:09
何を出発点にして何を示す必要があるのか
もう一度じっくり考えたほうがいいよ

出発点は独自性０でいいっていうか
むしろ０じゃなきゃ駄目なわけで
つまり教科書を読め、と

374:360
03/07/28 23:16
やっぱりちゃんと確認しながらいきますか
方針は>>367を拝借することにした。
以下Gは群、eをその単位元とする。

定義：
一般にH,K⊂Gとg∈Gに対して
HK:={hk | h∈H, k∈K}
gH:={gh | h∈H}

命題
1 h∈H、H<Gのとき、hH=H.
2 x, y∈G、H<G のとき、x(yH)=(xy)H.

主張(>>353はこれから従う)：
a,b∈G, H<Gとするとき、
あるcがあって(aH)(bH)=cHとなるならば(aH)(bH)=abHである。

証明
まずHは部分群だからe∈Hなので、ab=(ae)(be)∈(aH)(bH).
(aH)(bH)=cH の仮定により、ab∈cH.
cHの定義から
∃h∈H s.t. ab=ch. (以下h はこれを満たすものとする)
再び(aH)(bH)=cH の仮定を使うと
(aH)(bH)=(abh^(-1))H=(ab)((h^(-1))H)=(ab)H.　　　//

375:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:27
釣りじゃなさそうなんでレスするか・・

>>353
>「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
>の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
>a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」

↑この文章を素直に上から読んでいくと
>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ところがそもそもその積の定義というのは
>(aH)(bH)=abH　（←この式を☆とする）
であって
これ自身は証明すべき対象ではない
問題というか確認すべきことは☆が定義となっているか否か（well defined）
つまり剰余類の積が類の代表元によらずに定まるかどうかを見る必要がある

それにはc,dをそれぞれa,bと同値なGの元（すなわちaH=cH,bH=dH）として
(aH)(bH)=abH ならば (cH)(dH)=abH となることを確認すればよい。
（この確認作業のときにHが正規であることが生きてくる）

つまり>>353は主張になってないわけです

376:360
03/07/28 23:32
>>375
374の定義のところに書いたのを左剰余類の定義としたのだが・・・

377:360
03/07/28 23:33
間違い
正しくは左剰余類の積の定義

378:360
03/07/28 23:35
いや、それも違った
部分集合同士の積の定義だ

それで、二つの左剰余類を部分集合としてかけたとき
たまたまその結果がまた左剰余類になっていた、という仮定でしょ？

379:360
03/07/28 23:38
連続でｽﾏｿ

374の命題2でHは部分群ではなくて部分集合だった

380:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:40
ＨＫってのはただの集合の話（演算ではない）
aH・bHってのは集合G/Hに新たに導入した積「・」の話

cがあるもないも、(aH)(bH)と表記した時点で
新しい演算を用いてるんだよ。で、その新しい演算の定義が
(aH)(bH)=abHそのものなの。
(aH)(bH)=何々=abHなんてイコールの間に何かあっちゃダメなの

381:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:44
あーだから見た目の親しみ易さから離れて
写像Fを

F：G/H × G/H　→　G/H
F(aH , bH)：=abH

と定義するって書けばいいのかな
このときFがG/H × G/H上の写像として定義されるためには
a,bによらないことを示せば良い
ってこう書いたほうがいいか

382:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:45
後は他の人に任せる

383:360
03/07/28 23:47
でも、G/HはGの部分集合族でしょ？
だからaHとbHの部分集合としての積が考えられる。
その積はまたGの部分集合になるが、
それがある左剰余類に一致していたと仮定している。
だからそれをcHとおいた。
それで何がまずいのかよく分からない。

そもそもG/Hの演算なんて始めから考えていない。

384:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:50
群論というより、同値類や商集合のお勉強からしたほうがよいのでは？

385:360
03/07/28 23:52
わかった

>>375の
>>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
>と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ここが間違い。

386:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:53
そもそも、どういう文脈で出てきたの？
教科書名は？

387:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:53
>>383
他の人に任せると言ったが、こんなレスを見ては・・・
嫌味じゃなく本当に勉強し直したほうがいい
ルールを知らず参加してもしょうがない
能力の問題ではなく参加する姿勢の問題

388:１３２人目の素数さん
03/07/28 23:55
あのね、集合が二つあったときに自然に積が考えられるなんて
どの数学の本にも載ってないと思うよ

389:360
03/07/28 23:59
>>375
あと
>ところがそもそもその積の定義というのは
>>(aH)(bH)=abH　（←この式を☆とする）
>であって
ここもたぶん違う

>>388
Euclid空間では普通に部分集合の和を考るし
一般の群でも正規部分群の積なら考えられる。
そのアナロジーで>>374のように定義するのは自然だと思ったんだけど･･･
自然かどうかは感覚の問題だからあまり拘ることじゃないかもしれないが

390:１３２人目の素数さん
03/07/29 00:01
>>388は>>383に対するレスね

391:360
03/07/29 00:08
まあ、一般の部分集合の積を考えることを否定するというのなら
>>353の質問が意味をなさないという主張は当然だと思うけど、
そういう考え方は全く思いつかなかったもので。

あとはもう質問者本人が登場してくれないとしょうがないですな。

392:360
03/07/29 00:16
今線形代数のプリント見たら

群Gの部分集合S, Tが与えられたとき、Gの部分集合STを
ST={st; s∈S, t∈T}
と定義する。

と書いてあった。
これが頭のどこかにあったのかな。

393:１３２人目の素数さん
03/07/29 00:17
>>388
群の場合は？Ｇを群としてＨ，Ｋをその部分群としたら
ＨＫは自然に積を考えるでしょ。

394:１３２人目の素数さん
03/07/29 04:01
非常にどうでも良い事で盛り上がってるな・・・

395:１３２人目の素数さん
03/07/29 08:24
4次の対称群 S_4 を考えたときに、その位数は 4! = 24 あると思うのですが、
4 はその対称群にとって、何という名前の数ですか？
次元?次数?
英語では何というのでしょうか？

396:１３２人目の素数さん
03/07/29 08:57
>>395
たぶん次数でいいと思う
英語ではdegree

397:360
03/07/29 11:47
レス読み返して勝手に纏めてみる

群Gのべき集合P(G)には元同士の積全体のなす集合として積が入る。
これによりP(G)は半群となる。
このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。

漏れはここまでは暗黙の了解とみなして言及せず、>>360を書いた。
>>361以降でそれはおかしいという人が出てきた。
彼（等？）の主張はそもそもP(G)に演算など自然には入らず
>>353は問題として成立してしないというものだったようだが
漏れは彼等も上記の読みを了解していると思い込んでいたので
話がまったくかみ合わなかった。

こんなところか。
しかし>>383とか>>389とか、かなり必死だなｗ

398:１３２人目の素数さん
03/07/29 13:10
で、結論は？

399:１３２人目の素数さん
03/07/29 15:03
>>396
どうも。
degree っぽいですね。

400:１３２人目の素数さん
03/07/29 22:32
>>397
Hがnormalじゃないときの
(aH)(bH)∈G/H の証明をおながいします

401:３６７
03/07/29 22:34
なんかすごいことになってるね。
　
「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
　
ともかくさ。この文章が要求してることは
∃c (aH)(bH)={xy|x∈aH,y∈bH}=cH⇒cH=abH
を示せっていってるとしか思えないけどね。つまりまあ、>>397さんのいうとおりなんだが。
“問題文中に(aH)(bH)の定義がない！”とかいえないこともないけどこれはさすがに
{xy|x∈aH,y∈bH}以外かんがえられないし左剰余類といえばcHの形にかけるGの部分集合と
いうのが一般的解釈だろう。たとえばこれが定期試験ででてできなかったとき
さっきみたいないちゃもんつけてもふつうとりあってもらえんだろな。

402:360
03/07/29 22:34
>>400
？？？
それは一般には成り立たないでしょ

403:１３２人目の素数さん
03/07/29 23:48
>>401
＞＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここのどこがまづいの？

404:３６７
03/07/30 00:01
>>403
いや、いま読みなおしたら問題なかった。へんないちゃもんつけてｺﾞﾒｿ。

405:１３２人目の素数さん
03/07/30 00:13
そろそろその話は止めない？簡単な問題だけど、口直しになる事を期待。

（問）Gを有限群、Hを部分群とし、a,b,c∈Gを固定する。
double cosetsをHaH=∪_iHa_i, HbH=∪_jHb_j, HcH=∪_kHc_kと表す時、
#{(i,j)|Ha_ib_j=Hc_k}はa,b,cに依存する事を示せ。

406:訂正
03/07/30 00:14
a,b,cに「のみ」依存する

407:１３２人目の素数さん
03/07/30 02:09
>>402
ではもう一つ
集合Ａが半群であることの定義は？

408:１３２人目の素数さん
03/07/30 02:14
３６０と３６７は本当にもう一度勉強したほうがいいよ
数学の方法論がわかってないから

409:１３２人目の素数さん
03/07/30 02:29
まだわかってないのがひとりいるね。

410:１３２人目の素数さん
03/07/30 02:58
>>408
オマエガナー

411:１３２人目の素数さん
03/07/30 08:48
>>360 >>367のほうがまともだね。彼らがおかしいと言ってるやつらは
「剰余群の定義」の話と混同してるんだろ。それで「漏れはちゃんと定義しって
るもんねー」見たいな感じでいい気になってるんだろ。
>>408がその口の代表！
最初の問題（>>353）よく読め！

412:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:01
>>353
貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
『Gを群、Hをその部分群、{a,b,…}をHを法とする左完全代表系とする。
　このとき、代表系の任意の元a,b　に対して　aH・bH = abH が成り立つならば、
H はG の正規部分群である。』
証明）　上の関係式より (b~Hb)H ＝ H を得る。（但し、b~はｂの逆元を表す)
　H は G の部分群より、b~Hb は H に含まれる。これより、代表系の元は
Hの正規化群の元であることがわかる。
　次に、Gの任意の元ｇを取ってきて、ｇ＝ah とする。（すなわち、
ｇはHを法とするaのcoset の元とする）　このとき、
g~Hg = (ah)~ H(ah) = h~a~Hah = h~Hh = H .
よって、ｇもHの正規化群N(H)の元となり、G=N(H)　といえる。これは、
H は G の正規部分群であることを示している。
　メデタシ、メデタシ！！　　　(完）

413:360
03/07/30 11:11
>>407
写像f:A×A -> A　で任意のa,b,c∈Aに対して
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
を満たすものが与えられていること

まさかP(G)にそんな写像が与えられてないなんて言うんじゃなかろうな

414:360
03/07/30 11:15
>>412
>貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
その言い方は変では？むしろ
「G/HがP(G)の部分半群となることとHが正規であることが同値」
とか
｢主張が成り立つならばHは正規である｣
とでも言うべきだと思うのだけど。

415:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:16
>>353
明らか。

aH・bH ∋ab
仮定および上記より、aH・bH はabを含む左剰余系になる。
∴　aH・bH = abH

416:360
03/07/30 11:22
>>415
あ、ほんとに明らかだ

すっきりしますた

417:４１２
03/07/30 11:24
訂正：１行目のNは、H の間違えです。どうもすみません。

418:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:39
お馬鹿な人達も増えてきたんでそろそろちゃんとした話を書きましょうか

G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
ためには H が正規部分群であることが必要十分。奇しくも >>402 において自分自身で
それを示しているのだが。ところで >>397 や >>374 などでは G/H を半群と仮定しているので、
実はその時点で H を正規部分群としているわけである。
ここで「 H が正規部分群である＝任意の a∈G に対して aH=Ha　（※）」に注意

集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。その積の定義が
(aH)(bH)=abH である。
ここで問題なのは積が well defind かどうかということのみ。 Hが正規部分群なので、集合と
して aHbH=abH なのは当たり前。実際 ahbh'∈aHbH とすれば、（※）よりある h''∈H があって
hb=bh'' となるから ahbh'=abh''h'∈abH 。逆も同様で abh∈abH に対して bh=h'b となる h'∈H
があるから abh=ah'b∈aHbH 。
（３６０派は一生懸命 aHbH=abH を計算していたが、Hの正規性を認識できていれば
こんなのは当然のこととすぐわかったはず）
また積が G/H 上で well defind であることを見るには、aH=cH , bH=dH である c , d に対して
c'HdH=abH となることを確かめれば良いが、これも H の正規性を用いればすぐわかる。

結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
という非常に基本的な事柄である。
これがわかってないから >>353 を変に解釈して元々当たり前のことを
問題として設定してしまい、必要のない計算までしてしまう。

夏休みなので教科書を初めから読むなりして下さい。

419:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:46
>>397
＞このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
＞通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。

G/Hが半群＝積について閉じてる＝Hが正規＝剰余集合は剰余群
となるのだから↑の２行目は同じことを言ってるっていうか、すでに１行目に答えを含んでる

420:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:47
この場合は半群であることはイコール群ね

421:360
03/07/30 11:47
>>419
だからそれを証明しろという問題でしょ

422:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:48
>>418
＞ G/H において閉じているためには H が正規部分群であることが必要十分。
を示す問題が>>353だと気付かないなんて、救えない。

423:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:50
>>418の
c'HdH はミスです。
c' じゃなくて c でした。

424:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:52
群の演算から群のある部分群による剰余類の空間に演算が「誘導」されるのは
部分群が正規なときだが、元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
どうするつもり？>>418

425:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:54
>>422
違うじゃん。>>353では「Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する」ってしてるんだから
ここでHが正規だと仮定してるでしょ

426:360
03/07/30 11:55
正規でなければそもそも演算など入らないと言うつもり？

427:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:56
>>425
その仮定が、H が正規と仮定するのと同値というのを示す問題。
頭大丈夫？

428:１３２人目の素数さん
03/07/30 11:56
>>424
＞元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
＞どうするつもり？
何を言ってるのかよくわからない。
元の群とは G のこと？
そして元の群とは関係のない演算とは？
またその演算は何と何を処理するもの？

429:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:00
>>426
G/H上には入らないよ。正規じゃなくても
たんなる集合としてaHbHは考えられるけど
それがG/Hに入るかは別問題

430:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:00
>>428
ぷ。君は一つの集合に入る群演算は天賦のもので唯一つとでも言うんだね？

431:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:01
>>429
香具師は P(G) 上に入るっていってるんだと思うが・・・？
んでそれが G/H に入る条件が正規ということであり>>353という問題になる。

432:360
03/07/30 12:02
>>428
たとえば
H<Gが正規でないとしてG'を別の群とする時
全単射G/H -> G'
によってG/HにGと無関係な演算を入れたらどうか、
というように読んだ。
でもそれってここでの話とは関係ないよ･･･
Gから誘導される演算しか考えないのが前提でしょう

>>429
あ、そうか。失礼
でもP(G)には入るよね
それで部分半群云々と言う話になる

433:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:03
>>427
>>353をそう読むとしたら日本語を独自に解釈し過ぎてる
大学の教官にでも同じこと聞いてみな

434:424
03/07/30 12:04
>>432
いや、>>418のあまりにも狭量な見解にどうしても言いたかったので。

435:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:05
>>431
G/Hが半群（G/H内で積が閉じている）ならば
ってはっきり書いてあるけど

436:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:06
>>434
関係ない話をすることが狭量じゃないことなのか？

437:424=427
03/07/30 12:06
>>433
おいおい；

438:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:07
G/Hが半群って書いたらもうHは正規だって言ってることになりますよ

439:424=427
03/07/30 12:08
>>436
関係なくは無いだろう？>>418には
＞結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
＞また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
＞という非常に基本的な事柄である。
なんてことが書いてある。

440:360
03/07/30 12:08
>>435
どこで書いたか覚えてないけど
正しくはP(G)の部分半群ね
紛らわしい書き方をしてたなら悪かった

441:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:08
>>424の「どうするつもり？」が全く意味不明なんだけど

元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
今回の場合に何がどうなっちゃうわけかね

442:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:10
>>440
紛らわしいというか、今の場合それは決定的に状況が異なるよ

443:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:11
>>353が入れ食いっぷりに笑ってます

444:424=427
03/07/30 12:11
>>441
もともとの>>353を忘れたの？剰余類の積が剰余類になるってかいてる時点で
その「積」が何なのかって事から話がこじれたんだろうに。

445:360
03/07/30 12:12
>>442
もしかして>>419に書いてあるもののことを言ってる？

446:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:12
>>439
積が具体的に書かれてるのにか？ｗ
aHbHとまで書いてあって「どんな演算が入るかわかんねーぞ」
とか言うのなら降伏します

447:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:14
>>424
>元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
>どうするつもり？>>418

どうもこうも積はaHbHだって初めから書いてあるじゃんよ
だから関係ない話だってのに・・・　はあ

448:_
03/07/30 12:16
URLﾘﾝｸ(homepage.mac.com)

449:360
03/07/30 12:16
>G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
ということはP(G)に演算が入っていることを仮定しているのではないかと思う

450:424=427
03/07/30 12:18
>>446
ちゃんと嫁。積が閉じているという仮定の後 (aH)(bH)=(abH) とは書いて
あるから、「積」は P(G) における自然な積のことだろう。
と考えるのが自然で, 漏れもそう思う。

で、そこで G/H における(G から誘導される)自然な積だと言い張ってるのが
>>418なわけだ。
漏れは、>>418に落ち着いて問題を把握しろと言いたいだけ。

451:424=427
03/07/30 12:20
>>447
あのな、剰余類の積と書いてあるのを G/H に入った積と思い込んでる
>>418 に「それしか積が入らないのか？」と訊くのが「関係ない」のか？

452:424=427
03/07/30 12:22
>>451訂正
「H の正規性を仮定して」G/H に入った積と思い込んでる

453:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:28
>>450-451
ある集合に様々な積を入れられる可能性があることと
それらを考察する必要性は別の話だと思うけど
あなたは後者を言ってるわけだよね、「関係ない」ことを否定してるのだから
それならば今回の場合に様々な積の可能性を考察することが
どう関係してくるかを具体的に書けばいいと思う

454:424=427
03/07/30 12:29
蛇足ながら漏れがいってる aH と bH の積は

P(G)における積：aHbH={ah_1bh_2 | h_i ∈ H}
G/H における積：aHbH=abH （こちらは H が正規でないと well-defined じゃない）

剰余類の積が剰余類ってだけなら、 aHbH=cH なる c ∈ G があるってだけで
「積」がどう定義されてるかというのは別に決まってない。

そのうえで、G/H が P(G) の積で群になるなら aHbH=abH 若しくは同じことだが
H が正規となることを言えと言う話が >>353 だろ。

というのが漏れの主張。

455:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:30
（ａＨ）（ｂＨ）＝ｃＨならば（ａＨ）（ｂＨ）＝ａｂＨを示せ。

456:424=427
03/07/30 12:33
ちなみに
＞剰余類の積が剰余類ってだけなら、 aHbH=cH なる c ∈ G があるってだけで
＞「積」がどう定義されてるかというのは別に決まってない。
ここでいう aHbH は P(G) における積という意味でいってるのでは無い。
aH・bH とでも書いておいたほうが良かった・・・。

457:360
03/07/30 12:37
>>418
>G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
>ためには H が正規部分群であることが必要十分。
ここは正規でなくてもG/Hより大きい集合、たとえばP(G)
の中では演算が考えられることを示唆している。
それは大方の見解と一致してるし異論はない。
たぶん>>418本人もP(G)における演算を考えていたと思う。

>集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
>（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。
つまり何度も出てきているように
G/HがP(G)の部分半群⇔Hが正規
である。ここも全くその通りだと思う。

それにも拘らずこれに続いて
>その積の定義が (aH)(bH)=abH である。
とある。
いきなりP(G)の演算がどこかへ消えてしまっている。

どういうことなのか説明してほしいのだが

458:360
03/07/30 12:39
>>456
それは積と呼ばなくてもいいけど積になるよね？
P(G)上の二項演算でしょ

459:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:41
>>353だけでなく>>353-355と読んだほうがいい

460:360
03/07/30 12:42
ごめん、読み間違い

461:424=427
03/07/30 12:43
>>458
ごめん。だから、単に漏れが P(G) における積というときは、>>454 の
上のほうでことわった「自然な」積の意味のつもりですた・・・。

462:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:45
てか、肝心のおヴァカ>>418が他に発言したのはどれとどれ？
それとも逃げた？

463:１３２人目の素数さん
03/07/30 12:50
レベル低いね、このスレ。

464:360
03/07/30 12:52
>>361以降で異議を唱えているのはほとんど418なのかな？
一昨夜の人はなんとなく違うような気もするが

>>463
漏れのせいかな
だったらｽﾏｿ

465:１３２人目の素数さん
03/07/30 13:03
>>427
>>355

466:424=427
03/07/30 13:08
>>465
何が言いたいの？>>353では H の正規性が仮定されて無いのに
なんで正規でないと成り立たないような条件を証明するの？って
>>353は訊いたんだろ？
そこにアンカーをはることで、何の意味が存在するの？

467:１３２人目の素数さん
03/07/30 13:13
>>459
あれだろ、>>354が間抜けなことを言ってるってことだろ？

468:１３２人目の素数さん
03/07/30 13:30
で、>>418の言い訳マダー？

469:353
03/07/30 13:37
３５３＠こんなに伸びるとは・・です。
みなさん，レスありがとうございます。
元の問題>>353は，「代数系入門」松坂和夫著（岩波書店）p65の演習問題の１１番
がベースになっています：
『Ｈを群Ｇの部分群とし，Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積は，Ｈを法とす
る１つの左剰余類になるとする。そのとき，ＨはＧの正規部分群であることを
示せ。』ここで，集合Ａ，Ｂの積ＡＢは，ＡＢ={ab｜a\in A, b\in B｝と定義
されています（p62参照）。
この問題の答えがp347に書いてあります：『問題の仮定が成り立つならば，任意の
a,b\in Gに対して，当然(aH)(bH)=abHでなければならない。・・・』
これが私が尋ねた問題です（１時間考えても証明できなかったので，本当に
成り立つのか疑う方向に頭が逝ってしましました）。

結論としては，>>367で私は納得できました。
Infinitely many thanks to all of you, especially >>360

470:１３２人目の素数さん
03/07/30 14:36
ほとんどの奴は、問題を正しく認識することすら出来てない。
>>415が正解だよ。

471:１３２人目の素数さん
03/07/30 14:59
>>470=>>415

472:360
03/07/30 15:05
>>415をもう少し丁寧にやったのが>>367

473:470
03/07/30 15:05
>>471
はずれ。

474:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:07
結局のところwell-definedが問題なんじゃないの？

475:470
03/07/30 15:15
>>474
おまいもDQN。

あほくさ、オレはもう降りる。
厨房同士で空虚な議論でもしてろ。
お前達にも理解できる内容は久しぶりだろうからな。

476:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:22
晒し上げ

477:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:24
こんなに自作自演が横行しているスレも最近では珍しいね。
しかし、そろそろ自分の愚に気づいてもよいのではないか。>>360

478:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:32
>>477は放置しる！

479:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:35
＞しかし、そろそろ自分の愚に気づいてもよいのではないか。>>360

>>360は正しいわけだが・・。

480:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:36
☆貴方を癒す美女が待ってます（＾－＾）☆
URLﾘﾝｸ(endou.kir.jp)
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481:ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU
03/07/30 15:44
自作自演を堪能させて貰いますた(ｹﾗｹﾗ

482:360
03/07/30 15:47
もしかして傍から見たら漏れがピエロですか

483:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:47
本日の無料ムービーはホットラインストーリー33と本物！！！素人 2 みゆき１？才
の二本です。素人ハメ撮りならやっぱりここ
URLﾘﾝｸ(www.cappuchinko.com)

484:_
03/07/30 15:51
URLﾘﾝｸ(homepage.mac.com)

485:１３２人目の素数さん
03/07/30 15:57
「自作自演」という言葉は厨房がそれ以外に何も言えなくて困った時に使う物ですよ。

486:１３２人目の素数さん
03/07/30 16:58
>>477の沙羅氏安芸

487:ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU
03/07/30 17:03
自作自演を堪能させて貰いますた(ｹﾗｹﾗ

488:４７７
03/07/30 17:23
お前ら釣られすぎｗｗｗ

489:１３２人目の素数さん
03/07/30 18:01
このスレのレベルを下げる（＝aHbHが積云々のやり取り）
のは程々にして下さい。お願いします。

490:１３２人目の素数さん
03/07/30 18:15
>>360はピエロというより自作自演野郎ですpu

491:１３２人目の素数さん
03/07/30 18:26
あんな糞問で100レス以上消費するとは・・。

492:１３２人目の素数さん
03/07/30 18:29
>>360は、特別にスレをたてることを許すのでそこで一人でやれ。
そもそもお前は数学に向いていないから、この板には二度と来ない
ことをお勧めする。

493:１３２人目の素数さん
03/07/31 01:06
別に書き込んでも構わないでしょ。
余計な煽りをする人がいるからレスが増えてしまった訳で。その人がいなくなった方が良い。

494:１３２人目の素数さん
03/07/31 10:23
>>469
質問自体の解答が>>415 で、引用された問題の解答が>>412,
ということですね。

495:１３２人目の素数さん
03/07/31 10:59
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496:１３２人目の素数さん
03/07/31 11:03
>>492
>>360は別に間違った事は書いてないと思うのだが・・・？
どっちかっつーと、>>418他を書いた（恐らく一人と思われる）香具師が問題で(ry

497:１３２人目の素数さん
03/07/31 11:15
>>418 は痛いな！！　如何にも上辺だけの知識晒してどうすんの。

498:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/07/31 12:42
（・３・）　エェー　aHbH=abHはあくまで定義であって、証明すべきことは、
　　　　　　　　　　その定義がwell-definedであるこだYO！
　　　　　　　　　　>>360はそこのところが理解できていないないように思うYO！
　　　　　　　　　　G/HはGとHから作られる別の空間であると思った方が
　　　　　　　　　　いいかもNE！

499:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/07/31 12:50
（・３・）　エェー　例えば、こんな風に考えたらどうかNA？
　　　　　　　　　　集合としての全射φ：G→G/HをつくるYO！
　　　　　　　　　　G/Hに積をφ(a)φ(b)=φ(ab)で定義すると、
　　　　　　　　　　これが矛盾のない定義になるということだYO！

500:１３２人目の素数さん
03/07/31 12:56
５００

501:１３２人目の素数さん
03/07/31 12:58
>>499
well-definedなのかと。

502:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/07/31 13:15
>>501
（・３・）　エェー　aHという書き方で誤解している人がいるみたい
　　　　　　　　　　だから書き換えただけだYO！

503:360
03/07/31 14:48
>>498
たぶんそうしてる本が多いんだろうね。
別にaHbH=abHを定義にしてもいいんだよ。
その場合には当然P(G)がどうのとかいう話は不要で、
そのかわりにwell-definednessが証明すべきことになる。
それぐらいわかってるんだけどなあ。

上のほうで散々書いてたのは、
それと同値な別の定義が存在するという話。

504:１３２人目の素数さん
03/07/31 15:12
ネタにしては中途半端だしなぁ・・・
もしかして本気で議論してる人がいるの？

505:360
03/07/31 15:15
>>504
漏れは半信半疑ながらﾏｼﾞﾚｽしてたんだけど
もうやめたほうがいいかな

506:１３２人目の素数さん
03/07/31 23:08
↑自分のことを客観視できないせいでこの有様。アホには限りがない。

507:１３２人目の素数さん
03/08/01 00:59
360につっかかった方も悪いと思うけどな。

508:１３２人目の素数さん
03/08/01 01:08
>>503
そんな面倒な定義しなくてもいいだろ。
まったくもってくだらない。
こんなつまらないことしてる暇があれば、先進め。

509:１３２人目の素数さん
03/08/01 18:45
本筋から離れた議論が続いているが、当人たちは気づいているのか？
「もとの群の演算を左剰余類の間に適用したときに、
たまたま剰余類上の２項演算になったならば」という仮定を
理解していない香具師が多すぎ。

510:１３２人目の素数さん
03/08/02 00:22
理解してるが、そもそもに馬鹿が多いだけ。

511:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/08/02 03:01
　　　　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　・３・） (　　＾＾）＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎―――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

512:１３２人目の素数さん
03/08/03 15:58
300代前半の力の入った書き込みが懐かしい。

513:１３２人目の素数さん
03/08/03 19:48
別に情報クレクレ君でも無い限り他人の書き込みに執着する事もないかと。

514:１３２人目の素数さん
03/08/14 00:20
Gelfand & Manin によるホモロジー代数の本で
Homological Algebra と Methods of Homological Algebra
の２冊があるのですが、それぞれどういう特色がありますか？

515:山崎渉
03/08/15 19:29
　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

516:１３２人目の素数さん
03/08/15 20:41
Homological Algebraは、Methodsの要約兼続編じゃないかな？
ページ数も1/3以下の薄い本。

517:１３２人目の素数さん
03/08/17 12:48
>>514
methods は、有志によるセミナーを元に、Verdier 以降の
導来圏/関手、三角化圏を解説する事を目的としている（ようです）。　
もう一方の本は、EMSの一巻だった事から判るように、この分野のsurveyとして、
（特に前書に比べて）D-modules 等応用面を中心に書かれています。
（こんなんでいいですか？）

518:１３２人目の素数さん
03/08/28 12:46
ｎ次一般線形群の定義がよくわからないんですが、、、
教えてください

519:518
03/08/28 12:59
わからない問題はここに書いてね124
に書くのでここへレスをつけないでください。
たびたびすみません。

520:１３２人目の素数さん
03/08/28 13:01
丁寧に報告してくれてありがと。　了解した。　いや、自分にゃ答えられないが。

521:１３２人目の素数さん
03/09/11 16:25
保守

522:１３２人目の素数さん
03/09/11 23:07
保守ったら雨の日にでもageろ。

523:１３２人目の素数さん
03/09/12 01:47
Macauley
これってどう発音するの？

524:１３２人目の素数さん
03/09/12 07:46
マコーレー
シンギュラー
マグマ
パリ/ジーピー
ギャップ
リサ/アジール

525:１３２人目の素数さん
03/09/18 07:13
Hecke L関数についてのシツモソです。χをHecke指標とするとき
Hecke L関数 L(s,χ)の領域 1/2≦Re(s)≦1 についての評価式ってなんかありませんか？
できれば多項式P(t)かなんかで |L(s,χ)|≦P(|s|) とかなりたっててほしいんですが
手元の教科書(岩波の基礎数学の数論１、２、３)にはそういう評価式のってません。
Dirichlet L関数の場合はそういう多項式がとれることは知ってるんですがおんなじ
証明は通用しないようです。成立すらしないのかもしれませんが。
どなたか見覚えあるひといませんか？

526:１３２人目の素数さん
03/09/18 07:42
修論ですか？

527:１３２人目の素数さん
03/09/18 07:54
いえいえ、修論カンケーありません。てか整数論専攻ですらありません。
まるで関係ないジャンルでもないんですが。今しりたいのは素数定理の誤差項、
|π(x)-x/logx|みたいな項を上から評価してやりたいのです。ランダウの記号とかで
じゃなくて具体的な数字で。π(x)の誤差項を２、３日前からチャレンジしてて
それはもうできそうなんですがついでなので同じことをチェボタレフ密度定理とかでも
できないかなと思って。でオレの知ってる誤差項の表示つーのがζ関数とかL関数の
1/2≦Re(s)≦1における上からの評価を利用する証明でおんなじ事がHeckeL関数でも
できないものかと思って。オレの知ってるチェボタレフ密度定理の証明っていわゆる
池原-Winner-Landauの定理を使う香具師でそれだと誤差項を計算するのが大変
（というかできるのかどうかすら不明）なのでζとかDirichlet Lと同様の方法がつかえない
ものかと思って。

528:１３２人目の素数さん
03/09/24 07:53
525の質問に答えられる奴はおらんのか?

529:１３２人目の素数さん
03/09/24 18:21
>>528=525

530:１３２人目の素数さん
03/09/29 19:31
ほしゅ。

531:１３２人目の素数さん
03/10/04 12:45
hoshu

532:１３２人目の素数さん
03/10/08 16:46
くだらないことですが、 adele の名前の由来は何ですか？

533:１３２人目の素数さん
03/10/08 17:36
だいあごなる

534:１３２人目の素数さん
03/10/09 21:35
代数勉強したいのですが入門書にはどのようなものがいいんでしょうか？
みんな○○群や○○環など専門的な本ばっかりで何を初めに読めばいいのか・・

535:１３２人目の素数さん
03/10/09 22:44
>>534
シャファレヴィッチの代数学とは何かでも読んどけば？

536:１３２人目の素数さん
03/10/09 23:02
代数入門とかいう類の本が普通にあるだろ

537:１３２人目の素数さん
03/10/09 23:13
代数の入門書って、詰まらない事多いよね。代数概論とか、最低。
道具を要領よく解説する、という側面ばかり拘ってるというか。
それもまぁ、いいんだけど、センスの無い人がやっても・・・って感じ。

538:１３２人目の素数さん
03/10/09 23:52
同感。よくある例：
「1.1自然数」...「2.1有理数」...
はぁ？
「1.1正多角形」...「2.1ユークリッドの正多面体」...
折紙遊びしてる暇はねえんだと小一時間

539:１３２人目の素数さん
03/10/10 00:00
>>538
はぁ？

540:１３２人目の素数さん
03/10/10 00:55
>>538は小学生。これは定説。

541:１３２人目の素数さん
03/10/12 17:49
>>537
なら君が書くならどういうふうに書くの？

542:１３２人目の素数さん
03/10/13 09:33
>>302
ブルバキの可換代数に載ってた。
さすが、ブルバキ。スマートに証明してた。

543:１３２人目の素数さん
03/10/13 10:12
>>542
担当は Serre?

544:１３２人目の素数さん
03/10/13 23:54
すごく初歩的なことですけど、0 とある自然数との最大公約数はどういう風に定義されているのですか？
たとえば、 3 と 0 だと gcd は 0?
あるいは、そもそも 0 に対して、 gcd は定義されていない？

545:１３２人目の素数さん
03/10/14 06:30
>>544
gcd(3,0)=3だよ。
3と0両方を割り切る（絶対値が）最大の数は3だから。
または3Z∪0Z=3Z∪{0}=3Zだから。

546:１３２人目の素数さん
03/10/15 02:21
>>545
返事どうも。
0 にも gcd は定義されているのですね。

547:１３２人目の素数さん
03/10/15 20:59
>>545
下の行は少しおかしい。
gcd(3,5)=1だが、3Z∪5ZはZではない。3Z+5ZならZだが。

548:１３２人目の素数さん
03/10/15 23:13
>>547
∪じゃなくて∩だろ

549:１３２人目の素数さん
03/10/16 04:36
>>542
どんなステートメントが証明されてたの？ステートメントと証明されてる場所キボン。
できれば証明もキボン。

550:１３２人目の素数さん
03/10/16 05:52
>>547
ほんとだ。フォローサンクス

551:１３２人目の素数さん
03/10/16 18:36
>>548
君が最小公倍数を求めたがっているのはよく分かったが、
残念ながら今話題にされているのは最大公約数だ。

552:１３２人目の素数さん
03/10/16 19:49
>>551
ﾊｧ？

553:１３２人目の素数さん
03/10/16 19:51
>>552
お前は 3Z∩5Z = 15Z から何が求まると思ってるんだ？

554:１３２人目の素数さん
03/10/16 20:00
>>548=>>552は、∪と∩を逆に覚えていたというオチですか。

555:１３２人目の素数さん
03/10/16 21:52
>>552
ﾜﾗﾀ

556:１３２人目の素数さん
03/10/22 03:31
PIDであってユークリッド整域でない環は？

557:１３２人目の素数さん
03/10/22 03:37
Z[√29]とか

558:１３２人目の素数さん
03/10/22 11:32
２つの自然数の最小公倍数と最大公約数の間には
最小公倍数×最大公約数＝その２つの自然数の積という関係があるが
３つ以上の場合、綺麗な関係は見つかっていない

559:１３２人目の素数さん
03/10/23 22:40
>>558
別に綺麗でも何でもないがな。

560:１３２人目の素数さん
03/10/28 11:36
行列環はネーター環またはアルティン環になるでしょうか？
簡単な理由を添えていただけるとありがたいです。

561:１３２人目の素数さん
03/10/28 13:16
>>560
一般には可換環にすらならないのだが・・。

562:１３２人目の素数さん
03/10/28 15:24
>行列環はネーター環またはアルティン環になるでしょうか？

Rのnoether(or artin）性とM_n(R)のそれは同値。
両者の両側イデアルに一対一対応があるから。

563:１３２人目の素数さん
03/10/28 17:33
>>562
ぷぷっ

クリスタリンヌコホモロジーあげ

564:１３２人目の素数さん
03/10/28 22:06
>>563

565:１３２人目の素数さん
03/10/29 02:07
順極限や逆極限を学ぶのにいい本ってありますか？

566:１３２人目の素数さん
03/10/30 10:32
>>565
弥永・小平「現代数学概説」で用は足りると思われ。
それが不満なら、手堅いカテゴリー論の成書（但し、洋書）を紐解いてくれ。

567:１３２人目の素数さん
03/10/30 21:36
K を体とし、その上の多項式環 K[t] を R とする。
R 係数の行列 F を用いて R^n 上の写像 φ(x) = Fx (x ∈ R^n)を定義すると、
K 上のベクトル空間として、dim[K] R^n/Imφ = deg det F
(dim[K]: K-ベクトル空間としての次元)

これがどうしてなのか分かりません。
堀田良之/代数入門 -群と加群-, 裳華房, p.81(2.§13.ジョルダン標準形)からです。

もしかして一般に単項イデアル整域 R と R 係数の行列 F に対し
R^n / F(R^n) ～ R / (det F)R (～:同型)が成り立つのかなとも思ってるのですが。
どなたかご教授ください。

568:１３２人目の素数さん
03/10/30 21:49
>>567
RがPIDなら任意のF∈Mn(R)についてP,Q∈GL(n,R)を
PFQ=diag(f1,f2,･･･,fn) fi∈R,fi|f(i+1) を満足するようにとれる。
(ただしdiag(f1,f2,･･･,fn)はf1～fnを対角線上にならべた行列。
R=K[t]ならRはPIDでかつ任意のF∈Mn(R)についてP,Q∈GL(n,R)に対し
dim R^n/Im(Fの引き起こす写像)=dim R^n/Im(PFQの引き起こす写像)
deg det F=deg det PFQ なので最初から対角行列のとき証明できればよい。
そしてそれは容易。

569:567
03/10/30 22:00
>>568
ありがとうございます。

# 件の本を読んだことのある方がいればお聞きしたいのですが、
# これくらいの行間は埋められないと、この本を読むのは難しいでしょうか？

570:１３２人目の素数さん
03/11/01 08:04
代数学の基本定理
ヒルベルトの基底定理
ヒルベルトの零点定理
留数定理
コーシ・リーマンの関係式
晒しあげ

571:１３２人目の素数さん
03/11/11 04:25
（A,ｍ）：North local ring　 A：C-M ring　：ideal
htI=r のとき
a1,・・・,aｒ∈I s.t ｈｔ（a1・・・,ai)=i (1<= i <=r)　とa1,・・・,arが取れる

とあったんですが　いまいちわかません
どうやって取るんですか？

572:１３２人目の素数さん
03/11/11 19:21
>>571
Northって何？ネーターのことならカタカナで書いてくれ。
それはC-M でなくても一般のネータ－環で成り立つ。
ht(a1・・・,ai)=i　(i < r) となる a1,・・・,aiまでとれたとする。
(a1・・・,ai) の極小素イデアルで高さ i のものを P1, P2, ... , Pk
とする。I の元 a(i+1) でどのP_j にも含くまれないものがある。
ht(a1・・・,ai, a(i+1)) >= i + 1 となるが、Krullの定理より、
ht(a1・・・,ai, a(i+1)) = i + 1　がいえる。
これから帰納的に a1,・・・,arが取れる。

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