代数学総合スレッド Part2
at MATH
1:１３２人目の素数さん
03/02/21 07:18
代数に関する話題全般のスレッドです。
宿題の丸投げは止めましょう。
前スレ
代数学総合スレッド
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
2:１３２人目の素数さん
03/02/21 07:19
ﾔﾀｰ
素数ゲット
3:１３２人目の素数さん
03/02/21 07:28
ﾔﾀｰ
素数ゲット
4:１３２人目の素数さん
03/02/21 16:57
【渋谷109】ペッドボトル【マジシャン疑惑】
ｽﾚﾘﾝｸ(net板)
１０９◆V5uhgNfeAUはマジックの種を明かす代わりに
SEX、炉利動画、現金を要求。しかし、１０９の送信したメールアドレス*********<***@yahoo.co.jp>か
ら本名らしきものがばれる。なんと*********はナイナイサイズに出演していたマジシャンの名前。
１０９＝某マジシャンという説が浮かび上がる。
１０９に質問してもはぐらかす解答のみ。そして、物理板では関係各所に問い合わせのメールを送信。
すると、某マジシャンのHPに１０９氏は私でないとの声明が出された。
しかし、声明の内容にいろいろと１０９と思わせる発言が見られた。
そして、驚愕の１０９の自作自演書き込みが発覚。
さらに有名コテハンのトリップを５つ表示する１０９。
同日、某マジシャンの先輩友人が某マジシャンは無実だとの書き込み。
某マジシャンの先輩のHPには、書き込みは私ですとあるところに書かれている・・・。
某マジシャンの先輩であることは真実かもしれない・・・。
謎が謎を呼ぶばかり。推理ゲームを髣髴とさせる事件に頼む協力してくれ。
5:１３２人目の素数さん
03/02/21 19:37
類体論を1から勉強したいのですが、
Milne氏のページにある類体論のノートはどうなんでしょうか？
6:強大生
03/02/21 20:49
けっこうわかりやすかったとおもうで
7:１３２人目の素数さん
03/02/21 22:30
1から，の意味による．例えばセールのLocal Fieldsの第一部
の内容とかは前提にされている．
8:１３２人目の素数さん
03/02/21 23:02
＞セールのLocal Fieldsの第一部
それは具体的にどういった内容でしょうか？
9:１３２人目の素数さん
03/02/21 23:52
付値とか完備化，Dedekind環の分岐とか惰性群とか．
10:１３２人目の素数さん
03/02/22 00:18
MilneのCourse Notes "Fields and Galois Theory"や"Algebraic Number Theory"の
内容を理解していることが前提。
11:１３２人目の素数さん
03/02/22 00:31
>>9 >>10
ありがとうございます。
まずそっちが先ですね。ｳﾋｰ
12:１３２人目の素数さん
03/02/23 04:08
よろしくおながいします。
p：奇素数とし、Ｋを標数0の体とする。このとき（1）と（2）は同値であることを示せ。
(1)X^(p^e) -a ∈Ｋ［Ｘ］がＫ上既約。
(2)a=b^p なるb∈Ｋは存在しない。
13:１３２人目の素数さん
03/02/23 04:50
ﾔﾀｰ
素数ゲット
14:あああああ
03/02/24 03:32
(1)⇒(2)の証明
(2)を否定して、a=b＾pとなるbが存在すると仮定する。
x＾(p＾ｅ)-a={x＾(p＾(e-1))-b}*{(x＾(p＾(e-1)))＾(p-1)+(x＾(p＾(e-1)))＾(p-2)+・・・+1}
となって、x＾(p＾ｅ)-aがＫ上既約である事に反する。
15:あああああ
03/02/24 04:02
16:１３２人目の素数さん
03/02/24 23:57
必要条件は俺でもできたんですけどねえ…
その反対が途中で挫折してしまいまして。。。
17:あああああ
03/02/25 02:52
>>16
初めからそういってくれ！
と言ってみるテスト
18: ◆BhMath2chk
03/02/27 00:00
>>12
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａがＫ［Ｘ］で可約なら
ｂ∈Ｋ，ａ＝ｂ＾ｐとなるｂが存在することの証明。
（１）１の原始ｐ乗根がＫにないとき。
Ｋの代数閉包の元ｃ，ｄでａ＝ｃ＾（ｐ＾ｅ），ｄは原始ｐ＾ｅ乗根となるものをとる。
定数項を比較してｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕ∈Ｋとなるｕが存在することが分かる。
ｄ＾（ｐｕ）＝（ｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕ）＾ｐ／ａ∈Ｋからｄ＾（ｐｕ）＝１。
よってｂ＝ｃ＾（ｐ＾（ｅ−１））ｄ＾ｕとすればいい。
（２）１の原始ｐ乗根がＫにあるとき。
ｅがより小さいとき成り立つとする。
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａが二つのＸ＾ｐの定数でない多項式の積で表せるなら
Ｘ＾（ｐ＾（ｅ−１））−ａが可約になるので条件を満たすｂが存在する。
そうでないとき１の原始ｐ乗根の一つをｄとし
ｆ（Ｘ）を最高次の係数が１のＸ＾（ｐ＾ｅ）−ａの既約約元とすると
Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）はＸ＾ｐの定数でない多項式の積なので
Ｘ＾（ｐ＾ｅ）−ａ＝Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）。
19: ◆BhMath2chk
03/02/27 00:10
>>18
＞Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）はＸ＾ｐの定数でない多項式の積なので
Π＿｛０≦ｉ＜ｐ｝ｆ（（ｄ＾ｉ）Ｘ）はＸ＾ｐの定数でない多項式なので
20:山崎渉
03/03/13 13:28
（＾＾）
21:１３２人目の素数さん
03/03/16 08:36
22:１３２人目の素数さん
03/03/19 19:16
これも
23:１３２人目の素数さん
03/03/30 16:12
代数が得な方に質問です。
(1) ネーター環のできるだけ簡単(素朴)な例を１、２個教えてください。
(2) ネーター環のようなものを考えると、何がうれしいのですか?
ネーター環のありがたみが実感できるような分野、例を教えてください。
24:１３２人目の素数さん
03/03/30 16:14
URLﾘﾝｸ(www.eonet.ne.jp)
25:１３２人目の素数さん
03/03/30 17:22
アメーバについて教えてください
26:１３２人目の素数さん
03/03/30 17:36
>>23
おまえが思いつくような環はおそらくすべてネーター環だ
27:１３２人目の素数さん
03/03/30 18:32
>>26
Noether 環でない環の例をあげよ
28:１３２人目の素数さん
03/03/30 19:14
無限個の変数の多項式環はNoether 環でない
29:１３２人目の素数さん
03/03/30 20:29
>>23
(2)グレブナベース計算は計算機に実装されている。
30:１３２人目の素数さん
03/04/01 00:40
某所で今の抽象代数の道具を使えば類体論は１頁で証明できるというのですが、
誰かそれを披露してくださいな。
31:１３２人目の素数さん
03/04/01 03:00
＞某所で
どこですか？
＞今の抽象代数の道具を使えば
抽象代数とはどの範囲のことでしょうか？
＞1頁で証明できる
無理です。Neukirchの書のものが最短だと思うけど。
32:１３２人目の素数さん
03/04/01 07:38
＞Neukirchの書のものが最短だと思うけど。
それは半世紀以上前の証明法で、非常に周りくどいもの。
本自体は薄いが・・。
加藤・ホンテーヌ・スペクトル系列を使えば５行で証明が出来る。（９０年代）
スペクトル系列の理解にもそれ程時間はかからない。
ゼロから準備をはじめても３０ページあれば類体論の証明が理解できる。
33:１３２人目の素数さん
03/04/01 07:50
＞加藤・ホンテーヌ・スペクトル系列を使えば５行で証明が出来る。（９０年代）
これなにもの？てかそもそも類体論の証明ってなに？いわゆる相互写像の存在って
やつのこと？類体論って最大Abel拡大のGalois群を局所体の乗法群であらわすって
はなしだよね。それが５行で証明が出来るってこと？そいつぁすっげ。
加藤・ホンテーヌ・スペクトル系列ってなににのってるの？まだ論文よまないといかんの？
英語でもいいから教科書かなんかになってません・・・まだだろうな。
34:１３２人目の素数さん
03/04/01 07:52
何に載ってますか？
35:１３２人目の素数さん
03/04/01 07:53
「一般論といえる部分の割合が増えただけ」ってオチはナシよ。
36:１３２人目の素数さん
03/04/01 08:05
＞「一般論といえる部分の割合が増えただけ」ってオチはナシよ。
その「オチ」だろうな・・。
37:１３２人目の素数さん
03/04/01 08:09
加藤ｾﾝｾの大きな仕事って、類体論関係じゃなかった？
自分でも何言っているかわかりません、スマソ。
38:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:06
>>32
5行で証明できるなら、ここにその証明を紹介してください。
39:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:16
ぐぐりたいんだけど"ホンテーヌ"のスペルがわからん。だれか教えてたも。
加藤は“Kato”かな？
40:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:24
プロが２ｃｈを見るはずがないと思いました。どこかに書いてある文章を適当に抜粋して、それが自分の意見であるかのような書き込みをするのですね。
41:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:27
fontaine
42:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:29
>>32
今日はエイプリルフールですね。
43:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:38
えっ？こっちもネタなん？勘弁してよ。
44:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:40
>>43
今朝、本人に聞きました。
ネ タ で す 。
アルティン・テイトによる群コホモロジによる証明が最短らしいです。
45:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:45
>>44
まじっすか。
＞今朝、本人に聞きました。
これ加藤先生本人ってこと？知り合いなの？
46:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:49
＞これ加藤先生本人ってこと？
はい。
＞知り合いなの？
そんなたいそうなものではありません。たんなる学部生です。
47:１３２人目の素数さん
03/04/01 10:58
>>46
へえ〜そうなんだ。じゃちょっと聞いてもらえん？加藤先生がからんでる
岩波の数論１、２、３ってのがあるんだけどそんなかで命題７．１３ってのが
あるんだけど証明は数論３の保型形式の章でやるって書いてあるんだけど
どこさがしてもみつかんないんだけどどーなってんねんって聞いてもらえん？
１章のモーデル予想の一般の場合の証明もみつからんし。たいがいにせーっていっといてよ。
48:１３２人目の素数さん
03/04/01 11:02
>>47
むりぽ・・。
漏れもあの本は適当過ぎるとおもう。
49:１３２人目の素数さん
03/04/01 11:10
Mordell予想の証明なら
URLﾘﾝｸ(www.kusm.kyoto-u.ac.jp)
にある「Diophantus幾何入門」にのってるよ。
50:１３２人目の素数さん
03/04/01 11:15
そうか、むりぽか・・・。じゃ加藤先生に直接きくかどうかはともかくとして
命題７．１３で保留されてる命題
関数Fvを以下でさだめる
Fv=
Ovの定義関数 (vが有限素点のとき)
exp(-|x|^2) (vが無限素点のとき)
さらに関数FをF=ΠFvでさだめるときFは以下をみたす
(1)F(δy^(-1))=|D|^(1/2)|y|F(y)
(2)|δ|=|D|^(-1)
δはあるAkの元でDはある定数である。
これの証明だれか知らん？森田先生の教科書でもうまいぐあいにかわされてるし。
和公式つかうらしいんだけど。
51:１３２人目の素数さん
03/04/01 11:16
>>49
thx。そっちのほうはなんとか解決したんだけど。
52:１３２人目の素数さん
03/04/01 11:34
>>50
WeilのBasic Number Theoryの7章をよめばわかるよ。
53:１３２人目の素数さん
03/04/01 11:59
>>52
thx。あたってみる。
54:１３２人目の素数さん
03/04/01 12:10
>>47
> １章のモーデル予想の一般の場合
モーデル予想の証明?
モーデルの定理ではなく?
55:１３２人目の素数さん
03/04/01 12:33
>>54
ああ、定理のほうっす。
56:１３２人目の素数さん
03/04/01 16:30
５行ってのは文字数の制限じゃないからな
一行に何文字書こうと改行しなければ一行のままだ
ってことだろ！！！
57:１３２人目の素数さん
03/04/08 18:22
保守sage
58:１３２人目の素数さん
03/04/09 02:34
ほしゅったらあげろ
59:１３２人目の素数さん
03/04/09 02:35
気分により、age中止。
60:１３２人目の素数さん
03/04/11 01:50
行列について質問です。
ある行列 M に対して、
M^2 = M
となっているような行列にはなにか名前がついていたと思うのですが、
その名前を教えてください。
61:１３２人目の素数さん
03/04/11 02:24
冪等(巾等)
62:１３２人目の素数さん
03/04/11 02:43
ハバナド行列
63:１３２人目の素数さん
03/04/11 03:20
>>60
∧＿∧
（ ´∀｀）＜いでぽ
64:１３２人目の素数さん
03/04/16 09:14
>>60-61
「冪等行列」は ∃k M^k=M
M^2=M なら「射影行列」かな。
65:１３２人目の素数さん
03/04/16 13:38
>>61-64
皆さんありがとうございます。
よく知られた名前がついているわけではないみたいですね。;
なんだか、こちらが別のものと勘違いしていたようです。
66:１３２人目の素数さん
03/04/16 15:53
>>64-65
M^2 = M なる行列は、冪等行列なわけだが。
67:山崎渉
03/04/17 08:58
（＾＾）
68:１３２人目の素数さん
03/04/18 17:29
今日学校で習った行列がなんとなくわかった気がして面白かったです。
なんか高校生みたいですが今年で２２です。
何年ダブってるのか忘れてしまいました。
なんとなくカキコ
69:１３２人目の素数さん
03/04/18 19:31
その時の新鮮な気持ちを忘れんでくれ
70:age
03/04/19 11:09
71:１３２人目の素数さん
03/04/19 18:35
Mitchel-Freydのアーベル圏の環上の加群圏への埋め込み定理の証明をだれか教えてくれませんか？
大学図書館に簡単にいけないので、彼等の本をみることが出来ないんです。
以下のところまで理解しています。
Aを小さいアーベル圏とします。BをAからアーベル群の圏Abへの左完全加法的functorのなす圏とします。
Bにはinjectiveなcogenerator Qが存在します。QはBからAbへの完全だが、非充満な埋め込みです。
次がわかりません。
Qのendomorphismのなす環をRとすると、QはR-加群の圏R-Modへの充満な埋め込みとなる。
QがR-modへの忠実なfunctorであることは分かりますが、充満なことが証明できません。
72:１３２人目の素数さん
03/04/19 19:58
>QはBからAbへの完全だが、非充満な埋め込みです。
当然ですが、以下のように訂正します。
QはAからAbへの完全だが、非充満な埋め込みです。
73:１３２人目の素数さん
03/04/19 22:12
>>71
たぶんCをsmallなAbel圏、Add(C)をCからmodZへの加法関手の全体として
Ad:C→Add(C)をX→C(〜,X)で定義される関手とするときこれがFully Faithfullまでは
わかったんでしょ？まあ、こいつは完全ではないと。どうするかというとTorsion Theory
というのをつかう。Add(C)のobjectのclass S,TとFをそれぞれ
S={Cok(〜,f) | ∃f:X→Y;epimorphism}
F={Y∈Add(C) | Add(C)(X,Y)=0 ∀X∈S}
T={X∈Add(C) | Add(C)(X,Y)=0 ∀Y∈T}
とさだめると(T,F)がhereditary torsion theoryというものをさだめAdd(C)/(T,F)という局所化という
圏が定義される。abel圏A上のobjectのsubclassの対(T,F)がhereditary torsion theory
であることの定義はobjectのsubclassの対(T,F)で以下を満足するもののこと。
∀X∈T、∀Y∈F A(X,Y)=0
∀X∈A (∀Y∈F A(X,Y)=0⇒X∈T)
∀Y∈A (∀X∈T A(X,Y)=0⇒Y∈F)
∀X∈T (∀Z∈A ∃f:Z→X;monomorphism⇒Z∈T)
を満足するもの。アーベル圏Aとそのhereditary torsion theory (T,F)がとれるとき局所化
とよばれる完全関手l:A→B=A/(T,F)が次を満足するものとして定義される。
1)∀f:X→Y kerf,cokf∈T⇒l(f)はisomorphism
2)k:A→Cが1)を満足するときあるf:B→Cが一意にさだまりk=flを満たす。
でこの理論で存在が保証されるl:Add→B=Add(C)/(T,F) ((T,F)はさっき定義したやつ)を使うと
l･Adが完全関手となってしかもBにはinjective cojenerator Eが存在することが
証明できる。これをつかってBはmod End(E)のfull subcategoryにexactにうめこまれる。
つまり任意のsmall abelian category は環の加群の圏にcontravariantに完全に埋め込まれる。
covariant にしたければ埋め込むまえに自己半完全関手C→C^opを作用させてから
C^opの方をうめこめばよい。
74:１３２人目の素数さん
03/04/20 03:01
有難うございます。
＞これをつかってBはmod End(E)のfull subcategoryにexactにうめこまれる。
初めに書いたように、ここがなぜ充満(full)に埋め込まれるのかが分からないのです。
exactかつfaithfulなことはわかります。
75:山崎渉
03/04/20 03:56
∧＿∧
（ ＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）
76:１３２人目の素数さん
03/04/20 18:31
>>74
ちょっとまちがったかも
Eが無限直積について閉じてるabelian category Aのinjective cogeneratorとする。
Sをobj(A)の部分集合とするとき各X∈obj(A)についてcardinal number c,dを
0→X→E^c→E^dがexactとなるようにとれるようにとっておく。さらにmをこれらc,dすべてより
おおきい基数としてとっておきE'=E^mと定めておく。するとすべてのSの元Xについて
自然数p,qを0→X→E'^p→E'^qとなるようにえらべることが示せる。
するとR=End(E')、F=A(〜,E'):A→mod Rは完全忠実ですくなくともX,Y∈Sについては
A(X,Y)≡Hom(F(Y),F(X)になる。これがまったくすべてのX,Yについて成立するように
できるかどうかはしらないけどすくなくともこれで当初の目的は達成できてるとおもう。
77:１３２人目の素数さん
03/04/21 01:42
「単元ならば零因子でない」を証明しなさいチミ達
78:１３２人目の素数さん
03/04/21 01:54
宿題は自分でやれよ
79:１３２人目の素数さん
03/04/21 14:28
信じてもらえないでしょうが宿題ではないです。
あーなんでできないんだろ
簡単そうなのに
80:動画直リン
03/04/21 14:44
URLﾘﾝｸ(homepage.mac.com)
81:１３２人目の素数さん
03/04/21 15:25
>>79
人を頼るな、クソ野郎！
さっさと学校辞めて働け！
82:１３２人目の素数さん
03/04/21 20:25
>>81
うるせー童貞のくせに
83:１３２人目の素数さん
03/04/21 21:00
自明な環なら>>77は成り立ちませぬな。
84:１３２人目の素数さん
03/04/21 21:18
もしかしたら本当にできないんじゃないかと思ってやってみた。
一瞬で0=1が出たのだが・・・
85:７７
03/04/21 23:34
>>84
それは可換じゃないと仮定してもできました？
可換だったらできるのですが・・
86:１３２人目の素数さん
03/04/21 23:51
＞可換だったらできるのですが・・
そりゃそーだろ。
87:７７
03/04/22 00:17
u:単元 0:零元 1:単位元 とすると
∃v,uv=1.
if ∃x,ux=0. or xu=0.
・・・・・・・・・・・
ここから先が解らんのだよチミ達
88:１３２人目の素数さん
03/04/22 00:29
>>87
それは問題文を書き換えただけなわけで、
「ここから先が解らん」というのは、要するに
全くお手上げと言うことだな。
89:１３２人目の素数さん
03/04/22 00:32
ab=1からba=1を根性で求めれ。
90:84
03/04/22 18:48
ちゃんと証明しようとしたら可換とはかぎらない場合にできてないことが判明。
ごめんなさい。
ab=1から(ba)=(1)はすぐ出るんだけど・・・
91:１３２人目の素数さん
03/04/22 22:37
u*v = 1 なら、v も単元なわけだが。
92:１３２人目の素数さん
03/04/22 22:58
>>90
( )は何？ イデアル？
ab=ba=1さえ示せればいいんですけど
そうすれば
(ca)b=c(ab)=c(ba)=c=(ab)c=(ba)c=b(ac) なので
ac=0,or,ca=0 ⇒ c=0 となり
「aは零因子でない」が導けるのですが
93:７７
03/04/22 22:59
>>92は私です
94:１３２人目の素数さん
03/04/22 23:21
>>91が答え言ってるじゃん・・・
95:77
03/04/22 23:54
>>94
ごめんマジでわからん
血祭りにあげてくれ
96:１３２人目の素数さん
03/04/23 00:21
というか>>77がききたいのは
Rが非可換環、aがその元のとき
∃x xa=1 ⇒∀y “ya=0⇒y=0”
が成立するか？ではないの？これは成立しない。
−反例−
Vを無限次元ベクトル空間、Rをその準同型環とするときa∈Rに対し
∃x xa=1⇔aは単射
∀y “ya=0⇒y=0”⇔aは全射
なので“単射⇒全射”がいえるかだけどこれはＮＯ。
∃x xa=1 ⇒∀y “ay=0⇒y=0”
はもちろんいえる。
97:77
03/04/24 01:22
勘違いをしている事に気付きました。
単元の定義は「uv=vu=1」でしたね。本を見たら載ってました。
皆さん、ありがとう。
>>96丁寧なご説明、感謝します。
反例が私のキャパを超えているので理解できないのが残念です。
精進精進
それと、公明党に一票おねがいします。
98:１３２人目の素数さん
03/04/24 07:28
>>97
創価うるせー
99:１３２人目の素数さん
03/04/28 15:05
完備な体の有限次拡大体はまた完備であるということの証明がわかりません。
100:bloom
03/04/28 15:15
URLﾘﾝｸ(homepage.mac.com)
101:１３２人目の素数さん
03/04/28 15:39
>>99
体が完備であることの定義を教えてください
102:１３２人目の素数さん
03/04/28 17:00
>>101
付置をいれるんだろ。
103:１３２人目の素数さん
03/04/29 15:09
「Ｃ上の多元環でＣ上有限次元のものは全てＭ(n,Ｃ)の部分環として表せる（nは適当な自然数）」
は正しいですか？
もしそうなら証明の方針（または参考書）も一緒に教えてください。
実は他の問題解いてて、これが言えたら楽になるなと思って考えてみたのですが。
104:１３２人目の素数さん
03/04/29 15:26
>>103
RをC上のn次元多元環とする。xをRの元とする。
RをC加群とみたときの自己準同型写像f(x)をf(x)(y) = xyで定義すると。
fはRからM(C, n)への多元環としてのC-準同型であり、Rが単位元eをもてば、fが単射であることがわかる(f(x) = 0なら、f(x)(e) = xe = x = 0)。従って、RはfによりM(C, n)の部分多元環と同型になる。
105:１３２人目の素数さん
03/04/29 15:28
URLﾘﾝｸ(yahooo.s2.x-beat.com)
106:１３２人目の素数さん
03/04/29 15:48
>>104
ありがとうごさいます。
なるほど、こういう風に扱えばよかったのか。
107:１３２人目の素数さん
03/04/29 15:57
C-alg が M(n,C) に入れば central simple になりそうだが、それでいいのかな？
108:107
03/04/29 16:08
あー central とは限らないか・・・；
109:１３２人目の素数さん
03/04/30 23:37
ｽﾚﾘﾝｸ(philo板:439番)
とりあえずこおいう馬鹿者に天誅を！
110:１３２人目の素数さん
03/05/05 00:18
>>109
見てきた。ちょっとカキコしてみた。だめだ。
111:１３２人目の素数さん
03/05/05 00:43
>>110
君もか。
俺も書きこんでみたが、罵倒ばかりで誰がどっちやら・・・
112:ザハトホ実存主義者
03/05/06 02:13
>>110>>111
すまない…。同じ哲学徒（？）として、恥ずかしい限りです。
定義も概念も、明確にすべきは当然です。
113:１３２人目の素数さん
03/05/06 04:16
まあまあ、哲板の人もﾏﾀｰﾘしましょうよ。
数学科も哲学科も両方大切だ、てことで。
114:１３２人目の素数さん
03/05/06 15:03
この分野で有名な未解決問題。なんだろ
115:１３２人目の素数さん
03/05/06 15:03
「？」を最後につけるの忘れてた
116:mathmania ◆uvIGneQQBs
03/05/06 15:06
Re:114
Whether real part of any non-trivial root of Riemann's Zeta function, is 1/2 or not.
117:１３２人目の素数さん
03/05/07 01:59
>>116
Qｳｻﾞはシニナサイ。
118:１３２人目の素数さん
03/05/09 02:38
くだらないことだけど、 google で etale cohomology を日本語検索したら、
一番トップにすごいページがヒットするね。
119:１３２人目の素数さん
03/05/09 10:31
>>118
日本最古の国立大学.ac.jp に、あんなページ作っていいのかなぁ。
120:１３２人目の素数さん
03/05/09 10:39
ヲタサイトならヲタサイトなりにデザインに凝れよ。
数学科のヲタなのにデザインに気を使わないなんておじちゃん悲しいよ。
121:１３２人目の素数さん
03/05/09 10:55
質問スレにも書いたのですが、よくわかりませんでした。
以下の私の考えは正しいのでしょうか？
正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていてい、
これらはお互いに交換可能なら、可換環だから、これらを成分に持つ
「行列」やその「行列式」を考えることが出きる。
Ｓの成分Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。
すると、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。
証明）
ア）Ａ，Ｂが三角行列の場合、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ も「三角行列」となるので、「行列式」は「対角成分」の積となる。
つまり、Π（ａiiＢ−ｂiiＡ）
各（ａiiＢ−ｂiiＡ）は、三角行列でii成分が０。この積が０になることは計算することでわかる。
イ）一般の場合。
（Ａ＊Ｂ）・（Ｃ＊Ｄ）＝（ＡＣ）＊（ＢＤ）となることがわかる。
Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、
ＰＡＱ，ＰＢＱをともに三角行列とすることができる。
Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ）
＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ）
この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０
となるので、全体も０となる。
122:まおまお
03/05/09 17:09
>>121, >>310＠さくらスレ
>正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていて、
これ、どこかで使ってますか？ 閉じないと、何か困るのでしょうか？
>これらはお互いに交換可能なら、可換環だから、これらを成分に持つ
>「行列」やその「行列式」を考えることが出きる。
非可換でも、そういったものを考えることはできませんかねー？
以下、要するに「AとBは可換である」という素朴な前提で考えたとして。
>すると、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。
なると思います。私は特に、間違いを見つけられなかったす。
（間違ってたら、ゴメンね）。
>Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。
ならねっす。
123:１３２人目の素数さん
03/05/09 17:27
>>122
B=Iの場合はケーリーハミルトンになってない？
124:まおまお
03/05/09 17:58
うーん、私は>>121が、
det [ [A, B], [C, D] ] = (det A)(det D) - (det B)(det C)
という勘違いをしている、と踏んだのですが・・・。
125:１３２人目の素数さん
03/05/09 18:04
>>124
なんか意味が分からないんですが・・・
126:１３２人目の素数さん
03/05/09 18:05
あ、二行目の式が正しくないのはわかりますよ
127:まおまお
03/05/09 18:10
ケーリー・ハミルトンの右辺の０はあくまでも行列でしょう。
>なんか意味が分からないんですが・・・
すみません。馬鹿の言うことだと思って、スルーして下さい(^^;
128:１３２人目の素数さん
03/05/09 18:56
>>127
でも行列成分の行列ですから、行列式も行列ですよ。
ﾔﾔｺｼｲ
129:まおまお
03/05/09 20:37
そ・・・そうか(^^;
最後の最後まで、行列式と「行列式」を区別しなくちゃいけないんだ。
じゃあ、>>122は間違いかー、うーんまいったね。
説明thank you >>128
ケーリー・ハミルトンの、立派な拡張になってるってこと？
これって、既知なの？（いや、何かしら既知なんだろうけどさ・・・）
130:工学部
03/05/09 21:28
既知だろうが未知だろうが、何ら価値はありません。
税金の無駄遣いです。
131:１３２人目の素数さん
03/05/09 21:37
>>121
根本的に、行列環の部分集合で、
和と積とスカラー波で閉じていて、
さらに可換なものというのは
対角行列全体の部分空間にしかならない気が・・・
132:121
03/05/09 23:24
>>122
＞>正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていて、
これ、どこかで使ってますか？ 閉じないと、何か困るのでしょうか？
いわれてみれば、確かに。最初から、Ａ，Ｂが可換としたときに、その多項式全体
の集合を考えればいいですね。で、「そういう行列の集合をＳとする」というのが抜けていた。
>>131
ジョルダン標準形にして対角行列にならないものを一つ持ってきて、その多項式の全体とか、
同時に対角化できない互いに可換な複数の行列の多項式全体とか、
133:121
03/05/10 02:14
工学部さんてこの人なんだね。今気づいた。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
税金の無駄とか、田中康夫か猪瀬見たいなこと言って何かと思った
私は単に趣味で数学やってるだけなんで、税金は関係ないです。
134:工学部
03/05/10 08:30
論文は書いたことがありません。
135:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:20
東京大学出版 「線形代数」
の次に読むべき書籍を紹介してください。
136:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:25
a
137:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:26
b
138:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:38
c
139:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:40
d
140:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:44
e
141:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:52
f
142:１３２人目の素数さん
03/05/10 23:56
g
143:１３２人目の素数さん
03/05/11 00:10
部分群
144:１３２人目の素数さん
03/05/11 00:25
正規部分群
145:１３２人目の素数さん
03/05/11 00:51
>>144
hの代わりに「部分群」ってことなんだろうから、
そこはiの代わりってことで「イデアル」にすべきだったと思われ。
146:１３２人目の素数さん
03/05/11 00:54
素数
147:１３２人目の素数さん
03/05/11 00:55
( ﾟДﾟ)ﾊｧ?
148:１３２人目の素数さん
03/05/11 01:17
>>145
ごめん
149:１３２人目の素数さん
03/05/11 08:21
>>145
では、j の代わりにジャコブソン根基ですか？
150:１３２人目の素数さん
03/05/11 10:02
じゃあ、kからでいい？
素体
151:１３２人目の素数さん
03/05/11 11:03
束
152:１３２人目の素数さん
03/05/11 11:04
加群
153:１３２人目の素数さん
03/05/11 11:11
自然数
154:１３２人目の素数さん
03/05/11 11:13
整数環
155:１３２人目の素数さん
03/05/11 11:36
放物型部分群
156:１３２人目の素数さん
03/05/11 12:13
有理数体
157:１３２人目の素数さん
03/05/11 13:22
実数体
158:１３２人目の素数さん
03/05/11 14:13
対称群
159:１３２人目の素数さん
03/05/11 14:26
ねじれ加群
160:１３２人目の素数さん
03/05/11 14:33
開近傍
161:１３２人目の素数さん
03/05/11 14:36
↑(･A･)ｲｸﾅｲ 単数群
162:１３２人目の素数さん
03/05/11 15:04
ヴェット群
163:１３２人目の素数さん
03/05/11 15:04
線型空間
164:１３２人目の素数さん
03/05/11 18:16
次は W で良いのか？
ワイル群
165:１３２人目の素数さん
03/05/11 18:32
不定元
166:１３２人目の素数さん
03/05/11 23:05
マジンガーZ
167:１３２人目の素数さん
03/05/12 15:08
Yが飛ばされてるぞ。>>168 Yを頼みます
168:１３２人目の素数さん
03/05/12 18:23
二つ目の不定元
169:１３２人目の素数さん
03/05/12 18:26
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170:１３２人目の素数さん
03/05/12 18:31
ζ もしくは Z武
171:１３２人目の素数さん
03/05/12 18:48
整数全体のZってなんの略？
172:１３２人目の素数さん
03/05/12 18:49
>>171
Zahlen だよ
ヴァカ無教養死ね
173:１３２人目の素数さん
03/05/12 18:51
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174:１３２人目の素数さん
03/05/12 19:19
>>171
>>172
自作自演・・・ぷ
175:１３２人目の素数さん
03/05/12 19:21
>>172
ZはZahlenの略じゃなくてdie Zahlenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）
176:１３２人目の素数さん
03/05/12 19:50
>>171-172
今井並（藁
177:１３２人目の素数さん
03/05/12 19:53
>>175
は？
178:１３２人目の素数さん
03/05/12 21:28
dieは定冠詞だから、あってもなくてもいいようなものだが。
179:１３２人目の素数さん
03/05/12 21:36
>>172
ZはZahlenの略じゃなくてZahmenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）
180:１３２人目の素数さん
03/05/12 23:32
Cはcomplexじゃなくてcomplex numbersの略だよね
181:１３２人目の素数さん
03/05/12 23:36
R は real じゃなくて the set of real numbers の略だよね
182:１３２人目の素数さん
03/05/13 00:13
>>178
定冠詞は必要じゃないの？
183:１３２人目の素数さん
03/05/13 00:16
>>181
the set of all real numbers じゃないのか？
184:１３２人目の素数さん
03/05/13 00:51
>>177
は？
ヴァカ？
185:１３２人目の素数さん
03/05/13 05:10
>>183
はじめにtheがついてるからallはいらない
186:１３２人目の素数さん
03/05/15 18:33
代数が全然わからないんですけど、買うなら「すぐわかる代数」がいいですかねぇ？
187:１３２人目の素数さん
03/05/15 18:44
買え
188:１３２人目の素数さん
03/05/15 18:56
>>186
何でもいいから買え。
189:186
03/05/15 20:07
わかりやすい本がいいっす。
ビギナー向けの。
190:１３２人目の素数さん
03/05/15 20:07
>>189
万人にとって判りやすいものなど無い。とっとと買え。
191:186
03/05/15 20:29
じゃあ「すぐわかる代数」にしときます。
おすすめの本の話を聞きたかったけど、代数に慣れてからまた聞きます。
192:１３２人目の素数さん
03/05/15 20:30
だってそれでいいもの
193:186
03/05/15 20:32
そうなんすか。
じゃあその本でがんがりやす。
194:１３２人目の素数さん
03/05/15 21:27
分かりやすいけど深くつっこまない
とりあえず理解した気分に浸りたいなら「すぐわかる代数」
195:１３２人目の素数さん
03/05/19 04:26
疲れた。
もういいよ。
呆れたからこのスレにももう来ないわ。
ずーっとそうやって負のイメージを吐き出し続けてください、さようなら。
196:次世代のワイルズ
03/05/19 05:43
>>195
おまえなんか二度ど来んな！ ヴァカが
197:１３２人目の素数さん
03/05/19 10:40
>>196
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ
198:１３２人目の素数さん
03/05/19 13:02
>>196
(・∀・)ﾆﾄﾞﾄﾞ
199:１３２人目の素数さん
03/05/20 23:55
「２ｃｈは5，6人以上逮捕された犯罪者が居るので
２ｃｈは全員、犯罪者だと思っていいと思います。
私の友達と私が被害を受けたのは本当の事実なので。」
（ＨＰより抜粋）
URLﾘﾝｸ(members.tripod.co.jp)
この２ちゃんねるを罵倒しているサイトである
☆反２ｃｈまゆタンスレ2☆
ｽﾚﾘﾝｸ(net板)
200:１３２人目の素数さん
03/05/20 23:55
201:山崎渉
03/05/21 21:58
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
202:山崎渉
03/05/22 00:08
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
203:121
03/05/23 15:53
>>121の証明で穴を指摘されました。
＞Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ）
＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ）
この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０
となるので、全体も０となる。
Ｐ，ＱがＡ，Ｂと可換とは限らないので、Ｑ＊Ｑ、Ｐ＊Ｐは、Ｓの元を「成分」とする行列とは言えない、つまり、可換環を成分としているとは限らないので、「積の行列式」＝「行列式の積」が使えないとの指摘です。
204:121
03/05/23 16:00
よって以下のように訂正します。
Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。
Ａ，Ｂが可換なら、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。
証明）
（Ｗ＊Ｘ）・（Ｙ＊Ｚ）＝（ＷＹ）＊（ＸＺ）となることがわかる。
Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、
ＰＡＱ＝Ｃ，ＰＢＱ＝Ｄをともに三角行列とすることができる。
Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝ＱＣＰ＊ＢーＱＤＣ＊Ａ＝（Ｑ＊Ｉ）（Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ）（Ｐ＊Ｉ）
※ Ｉは単位行列。だから、Ｓの元。
この「行列式」は通常の行列式同様に、Ｑ＊Ｉ、Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ、Ｐ＊Ｉ、それぞれの「行列式」の積になる。
Ｃ、Ｄが三角行列だからＣ＊Ｂ−Ｄ＊Ａも「三角行列」。よってその「行列式」は「対角成分」の積
Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）＝ＱＰ｛Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）｝ＱＰ＝Ｑ｛ΠＰ（ｃiiＢ−ｄiiＡ）Ｑ｝Ｐ＝Ｑ｛Π（ｃiiＤ−ｄiiＣ）｝Ｐ
各（ｃiiＤ−ｄiiＣ）は、三角行列で、ｉｉ成分が０、これらの積が０行列となることは計算でわかる。
205:１３２人目の素数さん
03/05/25 19:22
f,g,h∈R, Rは環(PIDとかUFDとかの仮定はない）
このとき
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
を示したい。
いまのところ、
1∈(f,g) ⇒ 1∈(f^n,g^n)
と
h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
とはなんとか言えてますが
もうちょいがうまくいきません。
206:１３２人目の素数さん
03/05/25 19:38
R=K[X, Y]のときを考えるとX+Y∈(X, Y)だけど、
(X+Y)^2∈(X^2, Y^2)は成立する？
もしそうならXY∈(X^2, Y^2)なのだが・・・
207:205
03/05/25 20:22
>>206さまレスありがとうございます。
たしかにそのとおりですね。
h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
の「証明」をみなおしてみると
実際に言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^3∈(f^2,g^2)
でした。
ということは、
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
はなりたたないということで・・・
でもすこし弱めるとなにか言えそうな気がするのですが。
208:205
03/05/25 20:26
ちなみにすぐに言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g)
です。
209:１３２人目の素数さん
03/05/25 20:43
n≧k+l なら h^n∈(f^k, g^l)
ぐらいならいえるけど・・・
210:１３２人目の素数さん
03/05/25 21:10
>>206
それは簡単すぎかな。
h=Af+Bgをn乗すれば一発。
211:藤原一宏
03/05/25 22:55
（＾＾）
212:１３２人目の素数さん
03/05/26 00:13
A;単位元をもつ可換環 A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
213:１３２人目の素数さん
03/05/26 02:28
>>211
でた。。。
214:１３２人目の素数さん
03/05/26 17:56
>>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・
215:藤原一宏
03/05/26 18:56
// //TTT////////
//////JK&&NNNN&&SJT////
/TJKK&MMMMM$#################%MSJ//
TTS###################################MST
/TKKN%%#####%$MMMMM$$$$%############%%###$RJ//
J&$#########%M#&?#RMMM%%#%####################&J
S#########MMNR?&&&&&&&?#RN$$####################MJ
JJN#######$MNNRR&&&&KKKKKKKKKK&&&RNM$$%#############$&TT
TM%%#######%#NNNRR&&&&KKKSSSSS&&&&&?#MM%#################&
T###########$MNRRRR&&&&KKSKSS&&&&&&SSSK&&?M#%%#############&/
/&%#########$$MNRR&&&&KKKSSSJJJJJJJJJTTTJJJK&RNNM%%####%##%%%MJ
?##########MMMNRR#&&&KKKKSS&&JJJTJJJTTTTTJ&S?#N#%####%#%%%###J
SS##########%%MMMNNN##&&KKKSSSJJJJJJJJJTTTJJTTJ&KK&RN####%%%%%####//
MM##########$$MMMNNNR&&KKKSSJJJJTJTTTTTTTTTTTTTTJJK&&M%%#%%%%%#%%%JJ
T%%#########%$$MM####%%##%%&SJ&JJJTTTJJTJ/JJJJJ&&JJS&&M########%#%###
#############MMM$%%######%%#%%KJJJJTTTTKKMMMM%##%&&SKS?########%##MM/
$###########%MM$M$MNNRRNRRRRRMRKKSJJJSS&NNNRRR&KSSSKJSSNN########%%NN/
T%###########%%%#%#MMMMM$#&&%%#M##%$&%####RR&&&%$MKKSJ&S###########%MMJ
?##########%####MMNMMMM#$##KK&M##%N##&&K#NMMM#&&JKK#M%MNN%#########MMT
N###########MMMMMRRNNNR&&KJJJSKNNNKSN&TTJ&&NNNJJKSJJJ&N&&&M#########MM/
M###########MMMMMNMR###KKKSSJSKMMM&T&&SS&&KS&&JT&JJJJ?JJJN#########MM/
216:藤原一宏
03/05/26 18:58
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217:１３２人目の素数さん
03/05/26 20:45
212 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/05/26 00:13
A;単位元をもつ可換環 A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
214 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：03/05/26 17:56
>>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・
そんだね。なんなんだろね。
218:１３２人目の素数さん
03/05/26 21:07
単項イデアル環は整域とは限らない、って点を気にしているのだろう。
ちなみに、ぱっと見
A[X]が単項イデアル環である必要十分条件は、Aが体であることっぽい。
Aが体で無いと、その0でないイデアルIに対して、
A[X]のイデアルI+(X)は単項ではないのでね。
219:１３２人目の素数さん
03/05/27 01:17
p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，Aは体ではない．
220:１３２人目の素数さん
03/05/27 02:29
>>219
212です。ありがとうございました。
221:１３２人目の素数さん
03/05/27 02:33
>p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，
A[X] のイデアル ( p , X ) の生成元は?
222:１３２人目の素数さん
03/05/27 03:27
>>221
pq=6だと
(2X+3)(3X+2)=X
4(3X+2)=2
3(2X+3)=3になるから
(X,2)=(3X+2) (X,3)=(2X+3)になるけどねぇ・・。
んで、またA=Z/6ZはA[X]は単項イデアル環だけどAは体でない
例になってるとおもう。一般のpqはどうなんでしょうかね？
ap+bq=1になるa,bがあってもうま〜い元がとれるのかなぁ・・・。
223:１３２人目の素数さん
03/05/27 03:43
222です。やっぱいけそうです。A=Z/(pq)Zとして
(px+q)(qx+p)=(p^2+q^2)x
で、p^2+q^2はpでもqでもわりきれないからAの単元
だから、さらに逆元でもかけてやるとXはつくれる。
んで、p,qは互いに異なる素数だからap+bq=1になる整数a,bが
あるから(1-ap)(pX+q)=q となってぇ〜(X,q)=(pX+q)になる。
224:219
03/05/27 06:31
A=\Z/(pq), B=A[X]とおく．
J≠0をBの任意のイデアルとする．
今，f(≠0)∈Jでn=deg fが最小であるものを取り，a=LC(f)∈A（主係数）とおく．
(1) a∈A^*のとき，J=fB.
(2) a∈pAのとき，（必要ならばfにB^*=A^*の元を掛けて）a=pとしてよい．
このとき，qf∈J, deg qf<nより，qf=0だから，モニックなf'∈Bが存在してf=pf'.
さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．
[主張1] ∀h∈Jに対して，deg h<m ⇒ h∈fB.
∵) ∃h∈J, d=deg h<m, h/∈fBと仮定し，dが最小のものを取る．
b=LC(h)/∈pAと仮定すると，up+vb=1 (∃u, v∈\Z)より，
k=uX^(d-n)*f+v*h∈Jとおくと，deg k=d<m, LC(k)=up+vb=1となり矛盾．
よって，b=b'p, h'=h-b'X^(d-n)*f∈Jとおくと，deg h'<dだから，h'∈fBよりh∈fBとなり矛盾．
[主張2] J=fB+gB.
∵) ∀h∈Jに対して，h=q'g+r (q',r∈B), deg r<mとすると，r∈Jより，r∈fBだから，h∈fB+gB.
[主張3] J=(f+qg)B.
∵) J'=(f+qg)Bとおく．J'⊂Jは明らか．
一方，up+vq=1 (∃u, v∈\Z)より，J'∋up(f+qg)=up^2*f'=pf'=f, qg=(f+qg)-f∈J'.
このとき，h=uX^(m-n)*f+v*qg∈J'⊂Jとおくと，deg h=m, LC(h)=up+vq=1.
よって，k=g-h∈Jとおくと，deg k<mより，k∈fB⊂J'だから，g=h+k∈J'.
(3) a∈qAのときも同様．
以上より，Bは単項イデアル環．
225:219
03/05/27 07:05
[訂正]
>さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．
∀h∈Jに対してLC(h)∈pAならば，J=fB.
∃h∈J, LC(h)/∈pAのとき，∃g∈J, LC(g)=1だから，m=deg gが最小であるものを取る．
226:１３２人目の素数さん
03/05/27 09:18
単項イデアル環の直積は単項イデアル環
227:219
03/05/27 21:17
pが素数のとき，A=\Z/(p^2)はArtin単項イデアル環だが，A[X]は単項イデアル環ではない．
228:１３２人目の素数さん
03/05/27 22:29
それで？
229:山崎渉
03/05/28 14:37
∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ ( ＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣〕
＝ ◎―◎ 山崎渉
230:１３２人目の素数さん
03/05/29 00:51
すごく初歩的な質問をさせてください。
有利整数環 Z に対して、 Q は Z の商体である、という理解でよろしいでしょうか?
さらに初歩的なこととして、Z は Q の部分環である。
231:１３２人目の素数さん
03/05/29 08:25
>>230
それでよいです
232:１３２人目の素数さん
03/06/01 22:54
有限整域はどんな整域ですか？
233:１３２人目の素数さん
03/06/02 01:51
>>232
体
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