大好き★代数幾何 - 暇つぶし2ch

大好き★代数幾何 at MATH

842:１３２人目の素数さん
03/11/23 21:48
II Ex. 3.19 (a) の解答

Y は有限個のアフィン開集合 U_i の合併となる。
f の制限 f_i: f^(-1)(U_i) → U_i を考える。
Z_i = Z ∩ f^(-1)(U_i) は f^(-1)(U_i) の可構部分集合である。
f_i(Z_i) = f(Z) ∩ U_i であるから、f(Z) ∩ U_i が U_i の
可構部分集合であれば、f(Z) が Y の可構部分集合であることが
いえる。即ち、Y をアフィンスキームと仮定してよい。

補題(>>839)より、アフィンスキーム X' と
有限型の射 g: X' → X が存在し、g(X') = Z となる。
h = fg とすれば、h(X') = f(Z) である。
h は有限型だから、X はアフィンスキームとし、X = Z と
仮定してよい。

補題(>>840)より、Y の任意の既約閉集合 F に対して、
f(X) ∩ F が F において稠密なら、
f(X) ∩ F は F の空でない開集合を含むことを示せばよい。
F を被約な閉部分スキームとみなす。
T = X x F とおく。ここで、X x F は
Y 上のファイバー積である。
g: T → F を射影とする。
T は位相空間として f^(-1)(F) と見なせ、
g は f の制限と見なせる。
従がって、g(T) = f(X) ∩ F である。
以上から、Y は既約で、f は支配的と仮定してよい。

X を既約成分 X_i に分解する。ある X_i に対して f(X_i) は
Y で稠密である。これより、X も既約と仮定してよい。
さらに、X, Y をそれぞれの被約化 X_red, Y_red に置き換える
ことにより X と Y は被約と仮定してよい。
証明終

次ページ

続きを表示

1を表示