大好き★代数幾何 - 暇つぶし2ch

大好き★代数幾何 ..

577:１３２人目の素数さん
03/11/03 00:25
>>576
馬鹿野郎。紛らわしいこと言うなよ。子供じゃないんだろ。
屁理屈こくな。

578:520 ◆gAYBx62iKo
03/11/03 00:25
520 です。あー、なんかわけわかんなくなってますね・・・

とりえあず「高飛車」って言ったのは謝りますので、その話題はもう
やめませんか?

520 について誰か助言もらえると嬉しいです。

579:１３２人目の素数さん
03/11/03 00:26
謝っても高飛車は高飛車。

580:１３２人目の素数さん
03/11/03 00:32
問題解けないからって荒らすなっちゅうに。

581:１３２人目の素数さん
03/11/03 00:33
自分にとって都合の悪い書き込みは荒らしですか？

582:１３２人目の素数さん
03/11/03 00:41
はい

583:１３２人目の素数さん
03/11/03 00:52
>>578
EGAのあそこは、非零因子全体が部分層になるような環付き空間を
考えようと言ってるわけです。必ずしもスキームとしないのは、
複素多様体などの例もあるからでしょう。なるべく条件を弱くしようと
するのはGrothendieckの思想でもあるわけです。そのほうが、
問題の本質が見えやすい場合が多いからです。

584:520 ◆gAYBx62iKo
03/11/03 01:47
>>578
レスありがとうございます。
そうすると、一般に有理形関数っていうのは「非零因子全体が部分層になる」
という仮定の下でのみ考えるっていうことになるわけですか？
たとえば520の例のような特殊な環付き空間では、有理形関数は
定義しない（できない？）ということでしょうか？

585:520 ◆gAYBx62iKo
03/11/03 01:57
スマソ。
上の「>>578」は「>>583」の間違い。

586:１３２人目の素数さん
03/11/03 01:59
>>584
EGAでの定義ではそうなりますね。

587:１３２人目の素数さん
03/11/03 04:15
補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。
さらに、A, B は整域とする。
f が支配的なら、付随する射 ψ: B → A は単射である。

証明
Ker(ψ) が 0 でないとする。h を 0 でない Ker(ψ) の元とする。
B は整域だから h はベキ零ではない。従がって、D(h) は空でない。
f^(-1)(D(h)) = D(ψ(h)) = D(0) となるが、D(0) は空集合である。
つまり、D(h) ∩ f(X) は空である。これは、f(X) が Y で稠密で
あることに反する。

588:∩( ･ω･)∩ ばんじゃｰい
03/11/03 04:22
∩( ･ω･)∩ ばんじゃｰい

589:１３２人目の素数さん
03/11/03 04:42
補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。
A, B は整域とする。
f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。
このとき、X の関数体は Y の関数体の有限次拡大である

証明
>>587の補題より、B ⊆ A と考えてよい。
>>528の補題より、Y の生成点 ζにたいして、
f^(-1)(ζ) = Spec(A (x) K) と見なせる。
ここに、K は Y の関数体、即ち B の商体であり、
A (x) K は A と K の B 上のテンソル積である。
f は有限型射だから>>511より A は B 上の有限生成の代数である。
従がって、A (x) K も K 上有限生成な代数である。
A (x) K は、A の積閉集合 B - {0} による局所化であるから、
L を X の関数体としたとき、A (x) K ⊆ L と考えてよい。
さらに、A (x) K の商体が L であることも明らか。
さて、f は生成的に有限だから、Spec(A (x) K) は有限集合である。
即ち、dim A (x) K = 0。これは、L が K 上代数的であることを意味する。

590:１３２人目の素数さん
03/11/03 05:13
補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。
A, B は整域とする。
f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。
このとき Y の稠密な開部分集合 U が存在し、
f により誘導される射 f^(-1)(U) → U が有限射となることを示せ。

証明
>>589の補題より、B ⊆ A と考えてよい。
さらに、A の商体 L は B の商体 K の有限次拡大である。
A は B 上の代数として有限生成だから、その有限個の
生成元を a_i とする。各 a_i は K 上代数的であるから、
b_i0 (a_i)^n + b_i1 (a_i)^(n-1) + ... + b_in = 0 となる
B の元 b_ij が存在する。この式の両辺を b_i0 で割ること
により、a_i は B[1/b_i0] 上整であることがわかる。
各 i にわたる b_i0 の積を b とする。各 a_i は B[1/b]
の上に整となる。従がって、A[1/b] は B[1/b] 上整となる。
A[1/b] は B[1/b] 上の代数として有限生成だから、
加群としても有限生成となる。
U = Spec(B[1/b]) とすれば、f^(-1)(U) = Spec(A[1/b])
だから、>>488より、f^(-1)(U) → U は有限射である。

591:１３２人目の素数さん
03/11/03 09:43
まいった。降参。
>>491のHartshorne II Ex. 3.7 がわからない。
>>590で証明したように、X と Y がアフィンなら成り立つ。
しかし、一般の場合の証明が出来ない。
誰か証明してくれ。

592:１３２人目の素数さん
03/11/03 10:07
Hartshorne II Ex. 3.8 (正規化)

スキーム X の各局所環 O_x が整閉整域のとき、
X を正規スキームと呼ぶ。
X を整スキームとする。各アフィン開集合 U = Spec(A) に
対して、A~ を A のその商体における整閉包とし、
U~ = Spec(A~) とおく。各 U~ を張り合わせて X の正規化と
呼ばれるスキーム X~ が得られることを示せ。
さらに、射 : X~ → X が存在し、次の普遍性を持つことを
示せ。任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 f: Z → X
に対して、f は Z → X~ → X と一意に分解する。
もし、X が体 k 上有限型であれば、X~ → X は有限射である。

593:１３２人目の素数さん
03/11/03 10:33
Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間)

代数多様体の圏においては、二つの代数多様体の積の
ザリスキ位相は、積位相と一致しないことを思い出そう(I Ex.1.4)。
では、スキームの圏では、スキームの積の点集合は、積集合にさえも
ならないことを見よう。

(a) k を体とし、A^1 = Spec(k[x]) を k 上のアフィン直線とする。
A^1 x A^1 = A^2 (同型) を示せ。ここに、A^2 = Spec(k[x, y])
であり、A^1 x A^1 は、A^1 と A^1 の Spec(k) 上のファイバー積
である。さらに、積 A^1 x A^1 の台集合は、各因子の台集合の積
とは一致しないことを示せ(たとえ k が代数的閉体であっても)。

(b) k を体とし、s, t を k 上の不定元とする。Spec(k(s)),
Spec(k(t)), Spec(k) はすべて一点からなる集合である。
Spec(k) 上のファイバー積 Spec(k(s)) x Spec(k(t)) とは何か
を説明せよ。

594:１３２人目の素数さん
03/11/03 11:07
俺の目的の一つは、Hartshorneの問題を解くことだ。
一人で解いてるとどうしても甘えが出てくる。
分かるよね？こうやって公に解答を書くことにより
真剣味が出てくる。それと解答のチェックもして欲しい。
もう一つの目的は、他人の解答を見てみたいということ。
それと自分の解答を較べるわけだ。別証を知りたいということも
ある。これらが全ての目的ではないが。例えば、偽善ぽく言うと
解答を提供して誰かの役に立てれば嬉しいとか。
ひとでなしの言うことなんであまり信用出来ないが。

595:１３２人目の素数さん
03/11/03 15:08
定義
f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。
k(y) を y の剰余体とし、Spec(k(y)) → Y を標準射とする。
このとき、X_y = X x Spec(k(y)) を射 f の y 上のファイバー
と呼ぶ。ここで、X x Spec(k(y)) は Y 上のファーバー積である。

596:１３２人目の素数さん
03/11/03 15:37
Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)

(a) f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。
sp(X_y) は、f^(-1)(y) と位相同型であることを示せ。
ここで、sp(X_y) は、f の y 上のファイバー X_y の台位相空間を
あらわし、f^(-1)(y) は、X の部分空間としての位相を考える。

(b) X = Spec(k[s, t])/(s - t^2), Y = Spec(k[s]) とし,
f: X → Y を s → s により定義される射とする。
y ∈ Y を点 a ∈ k, a ≠ 0 とする。このとき、ファイバー X_y
は、２点からなり、剰余体は k であることを示せ。
y が点 0 ∈ k に対応する場合は、X_y は被約でない１点からなる
スキームであることを示せ。
ηが Y の生成点のとき、X_ηは１点からなるスキームであり、
その剰余体は、ηの剰余体の２次の拡大体であることを示せ
(k を代数的閉体と仮定せよ）。

597:１３２人目の素数さん
03/11/03 16:02
定義
閉埋入とは、スキームの射 f: Y → X で、sp(Y) から sp(X) の
閉部分集合への位相同型を誘導し、さらに
f による誘導射 O_X → f_*(O_Y) が全射となるものをいう。
スキーム X の閉部分スキームとは、閉埋入の同値類をいう。
ここで、f: Y → X と f': Y' → X は、同型 i: Y'→ Y で
f' = fi となるものが存在するとき、同値という。

598:１３２人目の素数さん
03/11/03 16:17
Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)

(a) 閉埋入は基底の拡大で安定である：
すなわち、f: Y → X を閉埋入とし、X' → X を任意の射とする。
このとき、Y x X' → X' も閉埋入である。
ここで、Y x X' は X 上のファイバー積である。

599:１３２人目の素数さん
03/11/03 16:22
今ふと思ったんだが、Hartshorneの演習問題を翻訳したら
まずくないか、著作権上？

600:１３２人目の素数さん
03/11/03 17:09
>>599
いまさら何を。
翻訳どころか､解答集を発表するのだって著作権に触れますが何か？

601:１３２人目の素数さん
03/11/03 17:30
>>599
別に大丈夫じゃない？ Springer や Hartshorne が２チャンを訴えたりするか？

602:１３２人目の素数さん
03/11/03 17:40
>>600
解答だけならいいんじゃないか？

603:１３２人目の素数さん
03/11/03 17:42
どこの国のどの法律の話をしているのか明確にしなければ意味はない。

604:１３２人目の素数さん
03/11/03 17:50
著作権なんてそんな野暮なこと言われるわけない

605:１３２人目の素数さん
03/11/03 18:57
「閉埋入」ｲｲ！

606:１３２人目の素数さん
03/11/03 19:13
>>604
と言いながら写真屋とかをＭＸとかＮＹでパクって来る香具師

607:１３２人目の素数さん
03/11/03 20:00
解答だけにするか

608:１３２人目の素数さん
03/11/03 20:30
>>607
別に気にしなくていいと思うけど・・・

609:１３２人目の素数さん
03/11/03 21:37
ベクトル図形の問題です。
三角形を表すベクトル方程式を１つ作りなさい。

610:１３２人目の素数さん
03/11/03 22:11
定義
X を整スキームとする。
X~ を正規な整スキームとし、射 f: X~ → X が以下の性質を
持つとする。
U = Spec(A) を X の任意の空でないアフィン開集合とする。
f^(-1)(U) は、Spec(A~) と同一視され、射 f^(-1)(U) → U は
自然な射 Spec(A~) → Spec(A) と見なせる。ここで、A~ は、A の
商体における A の整閉包である。
このとき、X~ を X の正規化と呼ぶ。

611:１３２人目の素数さん
03/11/03 22:12
>>609
スレ違い。

612:１３２人目の素数さん
03/11/03 22:23
(´･∀･｀)ﾍｰ

613:１３２人目の素数さん
03/11/03 22:45
補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
X が正規なら、A は、その商体において整閉である。

証明
定義から A の各局所環は整閉である。
これから、A も整閉である。

614:１３２人目の素数さん
03/11/03 22:48
補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
A~ を A の商体における A の整閉包とする。
X~ = Spec(A~) は>>610の意味の X の正規化である。

証明
f: X~ → X を標準射とする。
U = Spec(B) を X のアフィン開集合とする。
f^(-1)(U) は Spec(A~ (x) B) と見なせる。
ここに、A~ (x) B は、A 上のテンソル積。
f^(-1)(U) の商体は、X~ の商体、即ち X の商体である。
f^(-1)(U) は正規であるから、>>613の補代より
A~ (x) B は整閉である。これから、A~ (x) B は B の整閉包
である。

615:１３２人目の素数さん
03/11/03 22:59
補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
X~ を>>610の意味の X の正規化とする。
f: X~ → X を標準射とする。
任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X
に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。

証明
U = Spec(B) を Z の任意の空でないアフィン開集合とする。
g の制限 U → X を考える。
g は支配的だから、A → B は単射である。
B は整閉だから、A → B は、A → A~ → B と一意に分解する。
即ち、U → X は、U → X~ → X と一意に分解する。
U は任意の空でないアフィン開集合であったから、
補代がいえる。

616:１３２人目の素数さん
03/11/03 23:05
補題
X 整スキームとする。
X~ を>>610の意味の X の正規化とする。
f: X~ → X を標準射とする。
任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X
に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。

証明
U = Spec(A) を x の任意の空でないアフィン開集合とする。
>>615より、g^(-1)(U) → U は、g^(-1)(U) → f^(-1)(U) → U
と一意に分解する。これより、補題がいえる。

617:１３２人目の素数さん
03/11/03 23:12
補題
X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。
X~ = Spec(A~) を X の正規化とする。
f: X~ → X を標準射とする。
U を X の任意の空でない開集合とする。
f^(-1)(U) は、U の正規化である。

証明
>>614より明らか。

618:１３２人目の素数さん
03/11/03 23:14
ここは派手なオナニースレですね。

619:１３２人目の素数さん
03/11/03 23:27
>>592の証明
Hartshorne II Ex. 3.8 (正規化)

証明
整スキーム X の各アフィン開集合 U = Spec(A) に対して、
A~ を A のその商体における整閉包とし、
U~ = Spec(A~) とおく。f_U : U~ → U を標準射とする。
V をもう一つのアフィン開集合 V = Spec(B) とする。
>>617より、(f_U)^(-1)(U ∩ V) は、U ∩ V の正規化である。
同様に、(f_V)^(-1)(U ∩ V) も、U ∩ V の正規化である。
正規化の一意性(>>616)より、(f_U)^(-1)(U ∩ V) と
(f_V)^(-1)(U ∩ V) は同型である。これより、U~ を
張り合わせてスキーム X~ が得られる。
これが X の>>610の意味の正規化であることは、明らか。
普遍性は、>>616から出る。
X が体 k 上有限型であれば、X~ → X が有限射である
ことは、k 上有限生成の整域 A の整閉包が A 上有限加群と
なる(環論の本を参照)ことからわかる。

620:１３２人目の素数さん
03/11/03 23:35
>>592は演習問題ってレベルじゃないよな。
こんなの普通の初心者が解けるわけない。

621:１３２人目の素数さん
03/11/03 23:42
普通の初心者にはHartshorneはお勧めできない。

622:１３２人目の素数さん
03/11/04 00:00
>>621
例えば、Reid の本の知識があったらとしたら？
勿論、環論の知識(A-M 程度)は当然あるとして。

623:１３２人目の素数さん
03/11/04 15:54
Reidでは足りない
Mumfordせめてfultonくらいが必要
ここまでが一章
二章以降は
ホモロジー代数も必要
つーか初めてスキーム勉強するのにHartshorneってのはよくなくない？
層だってぜんぜん不十分の記述だしさ
他の本で補いながら進まないと何も身に付かないんじゃないかな
やっぱHartshorneはガイドブックなんだよ　間違いない

624:１３２人目の素数さん
03/11/04 19:01
>>623
EGAのほうがある意味で簡単だな。全ての命題に厳密な証明をつけている。
ただし、Bourbakiの可換環論, Zariski-Samuel, Cartan-Eilenberg,
Godement, Tohoku を読んでおく必要がある。ｗ
FACも読んどいたほうがいいな。

625:１３２人目の素数さん
03/11/04 19:23
>>489
Hartshorne II Ex. 3.5
(c) 全射で有限型かつ準有限な射で有限射でない例をしめせ。

この間から考えていてやっと見つけた。

A = Z[X] / (2X^2 + 1) とおく。
ここで、Z は有理整数環．
f: Spec(A) → Spec(Z) を標準射とする。
U = Spec(Z) - {(2)} とおく。
f^(-1)(U) → U が (c) の条件を満たす。

626:１３２人目の素数さん
03/11/04 19:58
>>624
>EGAのほうがある意味で簡単だな。全ての命題に厳密な証明をつけている。
>ただし、Bourbakiの可換環論, Zariski-Samuel, Cartan-Eilenberg,
>Godement, Tohoku を読んでおく必要がある。ｗ

EGA 読む「前に」これら全部読んどきゃなきゃだめですか？それは
ちょっとキツすぎるっす。

627:１３２人目の素数さん
03/11/04 20:06
>>623
>Mumfordせめてfultonくらいが必要
Mumford っていってもいろいろあるけど、Springer の
"Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties" のこと？
Fulton は "Algebraic Curves" のことかな？

628:１３２人目の素数さん
03/11/04 20:11
>>626
全部読む必要はまるで無い。必要なときに参照すればいい。
ただし、可換代数の基礎的なことはやっておく必要はある。
Atiyah-Macdonald がいいだろう。それとホモロジー代数の
基礎的なこともやっておいたほうがいい。河田なんかいいかも。

629:１３２人目の素数さん
03/11/04 21:36
誰か、問題を解いてくれないか？
俺一人解くだけじゃつまらない。

630:１３２人目の素数さん
03/11/04 21:40
>>629
解ける香具師がいりゃぁ解くだろぉよ。ウダウダ言うねぃ。

631:１３２人目の素数さん
03/11/04 21:43
>>628
助言ありがとうございます。
Atiyah-Macdonald と河田ホモロジー代数はだいたい読み終えているので
EGA チャレンジしてみようと思います。
しかし EGA I～IV をすべて制覇するのにどのくらい時間かかるかな。
ちょっと怖い気もするが・・・

632:１３２人目の素数さん
03/11/04 21:49
実際、今の代数幾何の研究者の中で、EGA を読破した人って何割くらい
なんでしょう？やっぱみんな読んでるんでしょうか？

633:１３２人目の素数さん
03/11/04 21:51
研究者なら読んでるんじゃねーの？

634:１３２人目の素数さん
03/11/04 21:53
>>631
EGAは通読するものじゃないだろう。レファレンスとして使うのがいい。
Hartshorneの補助として使うのがいいんじゃないか？

635:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:04
それと前にも書いたが、EGAを読む前にFACを読んどいたほうがいい。
FACは分かりやすいし、重要な論文だ。

636:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:18
↑本の名前ばっかいってないで問題解けば

637:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:26
俺は、位相幾何が専門だが、Hartshorneは輪講に参加させてもらった。

638:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:32
>>636
俺(>>635)がずっと解いてるんだが。
お前こそ解けば。

639:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:33
おま女

640:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:39
>>638
解けない

641:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:44
代数幾何はやることが多すぎで並みの人間には近寄りがたい雰囲気をかもし出している。

642:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:45
ふと思ったのだけど、これの解析概論バージョンをやれば多くの人が
参加できるんじゃない？

643:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:47
多くの人が参加できたら何か？

644:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:50
あんまりうれしくないな。

645:１３２人目の素数さん
03/11/04 22:54
>>641
それは言える。代数幾何は数論とならんで深いからね。
他の全数学を道具とすると言っても過言ではない。

646:１３２人目の素数さん
03/11/04 23:03
じゃあ p 進（簡約群あたりの）表現論やろうよ。というか、俺は出来ないのでやってくれ。

647:１３２人目の素数さん
03/11/04 23:43
>>635
ありがとうございます。FAC 読んでみます。
ところで EGA 全部読んだっていう人いましたら、どの位時間かかったか
参考までに教えてもらえませんか？

648:１３２人目の素数さん
03/11/05 01:40
いねーよ

649:１３２人目の素数さん
03/11/05 01:41
つーか、そんなことやるぐらいなら、もっとやりたいこと勉強したほうがいいよ。

650:１３２人目の素数さん
03/11/05 07:48
>>647
EGAを通読するなんて考えないほうがいい。
それより、シャファレビッチとかマンフォードのred book などの
代数幾何の入門書をまず読んだほうがいい。

651:１３２人目の素数さん
03/11/05 09:43
入門書をセミナー用に読んだ人、TeX でうｐｷﾎﾞﾝ。

652:１３２人目の素数さん
03/11/05 12:57
>>651
ﾊｧ?

653:１３２人目の素数さん
03/11/05 20:11
Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間)
(a)
k[X] (x) k[Y] = k[X, Y] (同型) だから、A^1 x A^1 = A^2 (同型)
となる。ここで、k[X] (x) k[Y] は k 上のテンソル積。

ここで簡単のため、k を代数的閉体とする。A^2 = Spec(k[X, Y]) は、
集合として、以下の素イデアルからなる。
(1) 生成点：零イデアル
(2) 既約多項式により生成される単項イデアル
(3) 極大イデアル (X - a, Y - b)。この全体は、k x k の点と１対１に
対応する。

これから、A^1 x A^1 の台集合は、各因子の台集合の積
とは一致しないことがわかる。

654:１３２人目の素数さん
03/11/05 20:12
↑は>>593の解答

655:１３２人目の素数さん
03/11/05 20:28
>>593の解答
Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間)

(b)
Spec(k(s)) x Spec(k(t)) = Spec(k(s) (x) k(t))である。
k(s) (x) k(t) = k(s)[t]_S である。
ここに、S = k[t] - {0} であり、k(s)[t]_S は、環 k(s)[t]
の S による局所化である。
k(s)[t] の素イデアルは、k[s, t] の既約多項式で生成される
単項イデアルで、k[s] に含まれないものと零イデアルに
１対１に対応する。従がって、Spec(k(s) (x) k(t)) は、
k[s, t] の既約多項式で生成される単項イデアルで、k[s] にも
k[t] にも含まれないものと零イデアルに１対１に対応する。

656:１３２人目の素数さん
03/11/05 21:41
>>651
そもそも、TeXで書き写すやつなんているのか・・・。

657:１３２人目の素数さん
03/11/05 21:45
漏れはM1のときのセミナーでは、やったことをTeXで書いたノートを出せと
言われて、毎週必死こいてTeX打ちしてたぞ。

658:１３２人目の素数さん
03/11/05 22:27
>>596の解答
Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)

(a)
f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。
f の y 上のファイバーは、X_y = X x Spec(k(y)) である。
ここで、k(y) は y の剰余体で、X x Spec(k(y)) は
Y 上のファイバー積である。
射影 X x Spec(k(y)) → X を p とする。
射影 X x Spec(k(y)) → Spec(k(y)) を q とする。
以下の図式は可換である。

X x Spec(k(y)) --> Spec(k(y))
↓ ↓
X ---------------> Y

659:１３２人目の素数さん
03/11/05 22:28
>>658の続き。

z ∈ X_y とする。
ファイバー積の定義から、
f(p(z)) = j(q(z)) = y である。ここで、j: Spec(k(y)) → Y は
標準射。従がって、p(z) ∈ f^(-1)(y) となる。
逆に、x ∈ f^(-1)(y) とする。
g: Spec(k(x)) → X が存在し、g(ζ) = x となる。
ここで、ζはk(x)の生成点である。
f(x) = y であるから、k(y) ⊆ k(x) と考えられる。
これより、h: Spec(k(x)) → Spec(k(y)) が一意に定まる。
fg = jh だから、φ: Spec(k(x)) → X x Spec(k(y)) が一意に
存在し、pφ = g, qφ = j となる。
φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。
この z は、φの一意製より、一意に定まる。
以上より、p の sp(X_y) への制限写像は、集合として
sp(X_y) と f^(-1)(y) の全単射を与える。
U を X のアフィン開集合とすると、
U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、
>>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。

660:１３２人目の素数さん
03/11/05 22:51
>>659
>U を X のアフィン開集合とすると、
U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、
>>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。

これを、以下のように訂正する。
x ∈ X で f(x) = y
U を X のアフィン開集合、V を Y のアフィン開集合とし、
x ∈ X, y ∈ V, f(U) ⊆ V とする。U x Spec(k(y)) を V 上の
テンソル積とする。U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と
位相同型であることは、>>528よりわかる。
故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。

661:１３２人目の素数さん
03/11/05 22:53
>>657
いい先生だね(ﾏｼﾞ

662:１３２人目の素数さん
03/11/06 00:55
じゃぼくもＨａｒｔｓｈｏｒｎｅ読むわ
層のとこからゆっくり

61ページの(3)のとこで
Note condition(3)implies that s is unique
ってあるけどどういうこと？何に対してユニーク？
(3)の条件って層の既約性のことだと思うけど
これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層）を除くためのものって理解してた
ちがう？

663:１３２人目の素数さん
03/11/06 01:31
既約だからユニークなんだろうけど、なんで既約っていうのかは知らん

664:１３２人目の素数さん
03/11/06 02:13
>>662
貼り合わせがユニークに存在するっていうこと。
(3) ∀i s|V_i = 0 ⇒ s = 0
っていう条件は、
(3)'∀i s|V_i = t|V_i ⇒ s = t
と書き換えられることに注意。

> (3)の条件って層の既約性のことだと思うけど
> これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層）
> を除くためのものって理解してた
> ちがう？

これはちょっと言っていることがいまいち掴めませんが（「A.S.前層」って何でしょう？）、
(3) の条件を満たさない前層なんていくらでも存在しますよ。「特殊な例」っていう感じじゃない。

665:１３２人目の素数さん
03/11/06 20:42
>>659
>φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。
この z は、φの一意製より、一意に定まる。

これは、説明不足だった。
p(z) = p(w) として、z = w を言うには、k(z) と k(w) を
共に含む体 K を考え、Spec(K) → X x Spec(k(y)) の一意性を
言う必要がある。後は>>659と同様。

666:１３２人目の素数さん
03/11/06 21:03
>>596の解答
Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)

(b)
a ∈ k とし、k[s] のイデアル (s - a) を P とする。
これは、k[s] の極大イデアルである。
B = k[s, t] と置く。
ファイバー X_y は、Spec(B/(s - t^2) (x) k(y)) であり、
これは、B_P/(P(B_P) + (s - t^2)B_P) に
等しい。さらに、これは k[t]/(t^2 - a) に等しい。
これより、(b) の前半がでる。
ηが Y の生成点のとき、X_ηはSpec(k(s)[t]/(s - t^2)) となる。
これより、(b) の後半がでる。

667:１３２人目の素数さん
03/11/06 21:16
>>598の解答
Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)

(a)
問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I),
X' = Spec(C) と仮定してよい。
Y x X' = Spec(C/IC) であり、Spec(C/IC) → Spec(C)
が閉埋入であることから分かる。

668:１３２人目の素数さん
03/11/06 23:33
>>664
おーそういうことか　なるほど　ありがとう！

669:１３２人目の素数さん
03/11/07 03:36
P^1 上の O(1) の R 値点全体ってメビウスバンド？

670:１３２人目の素数さん
03/11/07 19:13
>>667の補足
>問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I),
X' = Spec(C) と仮定してよい。

Hartshorne II Ex. 2.18d を使う。

671:１３２人目の素数さん
03/11/07 23:41
>>664
＞「A.S.前層」って何でしょう？
河田のホモロジー代数にのってるよ。

672:１３２人目の素数さん
03/11/08 11:26
Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)の解答

(b)
Y の台位相空間は X = Spec(A) の閉集合と位相同型だから、
Y の台位相空間を X の閉集合と見なしてよい。
y ∈ Y を含む Y のアフィン開集合 V をとる。
Y は X の部分位相空間だから、V = U ∩ Y となる X の開集合 U
がある。y ∈ D(g) ⊆ U となる X のアフィン開集合 D(g) をとる。
V_g' = D(g) ∩ Y となる。
ここで、g' は、f: Y → X に付随する A → Γ(Y) と
制限写像 Γ(Y) → Γ(V) の合成写像による g の像であり、
V_g' = Spec(Γ(V)[1/g']) である。
さて、各点 x ∈ X に対して x ∈ D(f_i) となる X の
アフィン開集合を以下のようにとる。
まず、x ∈ X - Y のときは、x ∈ D(f_i) となる任意の
D(f_i) をとる。x ∈ Y のときは x ∈ D(f_i) で
D(f_i) ∩ Y が Y のアフィン開集合となるもの。
この D(f_i) の存在は上で証明されている。
Y は準コンパクトだから、D(f_i) ∩ Y が空でないものは
有限個に出来る。さらに X も準コンパクトだから
D(f_i) 全体も有限個に出来る。
これから Ex. 2.17b より Y はアフィンである。
Ex. 2.18d より、A のあるイデアル I があって
Y = Spec(A/I) となり Y → X は自然な Spec(A/I)→ Spec(A)
と見なせる。
証明終

673:１３２人目の素数さん
03/11/08 11:36
俺は、>>672を解くのに２日くらいかかった。勿論、その間ずっと
考えていたわけじゃない。ヒマな時に考えてたわけだ。
>>672は｢*｣が付いた問題だから少しは自慢していいかな？

674:１３２人目の素数さん
03/11/08 12:02
>>417
>与えられた剰余体を持つ点の個数はいくつか。

これ、わかる人いない？

675:１３２人目の素数さん
03/11/08 16:17
岡潔は、数学の問題は情緒によって解くと言っていた。
これは、小平の数覚とも通じる。ペンローズの言うプラトン的世界とも
通じるな。

676:１３２人目の素数さん
03/11/08 16:37
>>675
まあ、Hartshorneの問題を解くくらいのことでは、あまり関係ない
かもしれないが。

677:１３２人目の素数さん
03/11/08 17:09
>>673
ｲｲ！(・∀・)

678:１３２人目の素数さん
03/11/09 03:00
なぜ多様体を環付き空間と考えるのですか？
歴史的にはどのように発生した概念なのですか？
動機付けを教えて下さい
よろしくお願いします

679:１３２人目の素数さん
03/11/09 05:38
>>678
歴史的にはカルタンが多変数複素関数論における岡の理論に
ルレイによる層およびそのコホモロジー論を応用したことに始ま
ると思う。岡の不定域イデアルが層と同じものと見抜いたから
じゃないか。クザンの問題は、層コホモロジーの問題として解釈
するのが一番すっきりする。

680:１３２人目の素数さん
03/11/09 05:52
そしてThomは来日時、岡に会って感動したとか。

681:１３２人目の素数さん
03/11/09 06:32
層を初めて導入したルレイはもっと認められていい。
層、層のコホモロジー、スペクトル系列。このすべてを
独力で開発した。驚くべき独創だな。彼に較べたら、
カルタン、セールなどは、独創的という面では１段落ちる。

682:１３２人目の素数さん
03/11/09 11:33
>>674
n次monic既約多項式の個数がわかればよい。
一発でわかる公式があるかどうかは知らないけど、
帰納的に、可約多項式の数を組み合わせで算出して求める以外に方法ある？

683:１３２人目の素数さん
03/11/09 11:38
>>417
＞Hartshorne II Ex. 2.11.
＞k = F_p を素数 p 個の元を持つ有限体とする。
＞Spec(k[X]) はどのようなものか述べよ。
　この解答、ｋの代数閉包に、ｋ上の絶対ガロア群を作用させて出来る軌道としては駄目ですか？
（フロベニウス作用がひっかかるんです。誰か教えて！）

684:１３２人目の素数さん
03/11/09 12:11
>>682
有限体 F_p 上の n次monic既約多項式全体の積をφ_n(X)とする。
Πφ_m(X) = X^(p^n) - X である。ここに、左辺の積は、n の正の
約数全体に渡るものとする。
これから、Σdeg(φ_m(X)) = p^n となる。
メビウスの関数 μ(n) をμ(1) = 1,
n がr個の互いに異なる素数の積のとき、μ(n) = (-1)^r,
上記以外のとき μ(n) = 0 で定義する。
メビウスの逆変換公式より、deg(φ_n(X)) = Σμ(m) p^(n/m) となる。
ここに、右辺の積は、n の正の約数 m 全体に渡るものとする。
これから、n次monic既約多項式の個数は
(Σμ(m) p^(n/m)) / n となる。

これであってると思うけど。面倒なんで、確かめてない。

685:１３２人目の素数さん
03/11/09 12:16
>>683
それでいい。

686:１３２人目の素数さん
03/11/09 19:35
>>683
「フロベニウス作用がひっかかる」って具体的に何がひっかかるの？

687:１３２人目の素数さん
03/11/09 20:00
>>682
「体とGalois理論」に非常に詳しく載ってまっせ。

688:１３２人目の素数さん
03/11/10 11:05
>>684
メビウス函数を使えば、スッキリとやれるんだ！納得！！

689:１３２人目の素数さん
03/11/10 20:31
>>591
>>491のHartshorne II Ex. 3.7だけど、X と Y がアフィンの場合を示してある
のであれば次のようでいいんでない？

f が有限型であるから、空でないアフィン開集合 U = Spec B' ⊆ Y と f^-1(U)
のアフィン開被覆 V_i = Spec A_i （各V_i は空でないとする）が存在して A_i
は B' 上 of finite type。各 V_i 上の誘導射f_i: Spec A_i → Spec B' は
generically finite であり（∵Xの生成点ηはUに入りf_i^-1(η)⊆f^-1(η)
だから）、また支配的である（∵Xが既約であるからV_iは稠密、よって
Y = Cl(f(X)) = Cl(f(Cl(V_i))) ⊆Cl(f(V_i))）。
よって「アフィンの場合」より f_i は finite。よって finite 射の定義（および
Ex. 3.4 >>488）より f^-1(U) → U は finite。以上。

はずしてたらスマソ。

690:１３２人目の素数さん
03/11/10 21:06
>>689
f^-1(U)がアフィンであることを示す必要があると思うんだが。

691:１３２人目の素数さん
03/11/10 23:06
>>690
ほんとだ。やっぱ思いっきしはずしてた（汗
ちゃんと考えてみます。

692:１３２人目の素数さん
03/11/12 06:30
>>591
>>491のHartshorne II Ex. 3.7 の解答。
よく考えてやってみました。こんどはハズしてないといいんだが・・・

まず次の補題を示す。
【補題】
A を整域、B をその部分整域とし、A は B 上整とする。このとき、
p ∈ Spec A、p ∩ B = 0 ⇒ p = 0。
証明： p = 0 とし、x∈p-{0} をとる。x は B 上整であるから
x^n + b_1*x^(n-1) + ... + b_n = 0、b_1, ..., b_n ∈ B
となる次数最低の多項式をとれる。
b_n = -x(x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1)) ∈p
であり、b_n = 0 とすると x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1) = 0
となり次数が最低であることに反するから b_n ≠ 0。よって b_n ∈ p ∩ B ≠ 0。

693:１３２人目の素数さん
03/11/12 06:31
>>692 の続き
【Hartshorne II Ex. 3.7 の解答】
X の生成点をξ、Y の生成点をηとする。
まず、f^-1(η) = {ξ} を示す。
ξ'∈f^-1(η)とし、Y の空でないアフィン開集合 U' = Spec B をとる。η∈U
だからξ, ξ'∈f^-1(U')である。f^-1(U') の空でないアフィン開部分集合
V' = Spec A で、ξ'の近傍となっており、かつ A が of finite type over B
であるものをとって f': V' → U' を考えると、f'は明らかにgenerically finite
であり支配的であるから、「アフィンの場合」よりf'は finite。付随する準同型
B → A を考えれば、ξはAの零イデアル、ηはBの零イデアルに対応しており、
ξ' に対応する A の素イデアルを考えれば、補題から ξ' = ξ となる。
次に、f が有限型であるから f^-1(U') の有限アフィン開被覆 V_i = Spec A_i
（各V_i は空でないとする）が存在して各 A_i は B 上 of finite type。
上と同様の議論により f_i: V_i → U'は finite。
finite 射は特に閉写像（Ex. 3.5. (b) >>535）だから、f: V → U' も閉写像である。実際、S を V の閉集合とすると、f(S) = f(∪(V_i∩S)) = ∪f_i(V_i∩S)
であり右辺は閉集合の有限和だから f(S) は閉集合。
今、W := ∩V_i とおく。i が有限だから W は空でない開集合であり、f が閉写像
であることから f(V - W) は U' の閉集合。また、f^-1(η) = {ξ} ⊆ W である
から、η は f(V - W) に入らず、よってf(V - W)≠U'。
U ⊆ U' - f(V - W) なる空でないアフィン開集合をとると、
f^-1(U) ⊆ f^-1(U' - f(V - W)) = V - f^-1(f(V - W)) ⊆ W。
よって、f^-1(U) は f_i^-1(U) (i はどれでもよい）と見なせるから、f_i が
finite であることから、f^-1(U) は affine であり f^-1(U) → U は finite
となる。以上。

694:１３２人目の素数さん
03/11/12 06:39
>>693
スマソ。「V」の定義を書くのを忘れたが、単に V: = f^-1(U') ということ。

695:１３２人目の素数さん
03/11/12 06:42
>>692
うーむ、ミスが多い・・・
補題の証明の「p=0とし」は「p≠0とし」の間違い。
スマソ。

696:１３２人目の素数さん
03/11/12 19:25
>>693
>W := ∩V_i とおく。

これを読んだだけでピンときた。お主出来るな。
この調子で他の難しい問題もやってくれると有りがたい。

697:１３２人目の素数さん
03/11/13 08:50
>>696
どうもです。
ところで翻訳済みでまだ解かれてない問題って残ってる？

698:１３２人目の素数さん
03/11/13 14:24
>>625
ex.3.5(c)
は幾何的に考えると・・・って図書けないし・・・
とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。
Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、
SpecO_K-[P_1}→SpecZ
でいけると思う。

ex.3.7
は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」
だったような・・・

というか、ここまで読むのに（あんまり読めてない）めちゃめちゃ時間かかったし。

699:698
03/11/13 14:47
↑あれ、嘘やわ・・・prpper quasi-finiteならfiniteやけど・・・
ごめん出直してきます。

700:698
03/11/13 14:53
あ、ぼーっとしてた。
「f:X→Spec(k)」のときに>>698は正しいから大丈夫。

701:１３２人目の素数さん
03/11/13 15:10
>>698
> ex.3.7
> は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」
> だったような・・・

すまん、言いたいことがよくわからないんだが・・・
ex 3.7 (>>491) を別の方法で解けるってこと？

702:１３２人目の素数さん
03/11/13 15:12
えーっと何が大丈夫かと言うと
Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　がfiniteになるので解けてる。

それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は間違いがあると思う。
根本的に間違えてるかは分からんけど、irreducibleで無い限りXに生成点はないよね。
例えば題意を満たすようなＸを何枚かコピーしても大丈夫やし。
それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。
だから>>693の補題が正しい時点でもう証明は終わってる。

僕もそこまで真面目に考えてないんで間違えてたらごめんなさい。

703:698
03/11/13 15:16
あ、両方とも整スキームか・・・
風邪引いてるということで言い訳にさせて下さい・・・

704:１３２人目の素数さん
03/11/13 15:22
>>702

> Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　
> がfiniteになるので解けてる。

これちょっとわからないんで、説明してもらえませんか？

> それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。

なるとは限らないです。

705:１３２人目の素数さん
03/11/13 15:25
勘違いしてた。アホやった。確かに↑のおっしゃる通り。

706:１３２人目の素数さん
03/11/13 15:34
だから、僕の考え方で解けてるかは分からんけど
f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteになるってのがぱっと頭に出て
それはkの有限生成代数でそのspecの個数が有限になる場合を考えるとArtin環しかないから。

ほんまごめんね、見てた皆さん。

707:１３２人目の素数さん
03/11/13 16:01
generically finite だが quasi-finite でない例って
のはどういうのがあるのかな？

708:１３２人目の素数さん
03/11/13 19:26
>>697
残ってないと思う。今後は翻訳しないで問題番号と解答だけ書くように
しないか？　著作権の問題もあるし、翻訳は面倒だし。

709:１３２人目の素数さん
03/11/13 19:59
>>698
>とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。
Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、
SpecO_K-[P_1}→SpecZ
でいけると思う。

これが有限射でないことの証明はどうするのかな？

710:１３２人目の素数さん
03/11/13 20:12
>>709
affine射にならないんじゃない？

711:１３２人目の素数さん
03/11/13 20:30
>>710
だからaffine射にならないことの証明なんだけど。

712:１３２人目の素数さん
03/11/13 21:29
ごめんなさいね、適当で。
えーと、SpecO_K-{P_1}がaffineだとするとO_Kのイデアルに対応してそれをIとする。
逆にイデアルに対応するからclosedとしてよく、よって{P_1}がopen pointになって矛盾。

713:１３２人目の素数さん
03/11/13 21:30
>>709
698じゃないけど、整数環 O_K がPIDだったら、
確かに>>489の例になってると思う。

もっと具体的にしちゃえば、たとえば
f: Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)] → Spec Z
とすれば、f は明らかに有限型、準有限で、f((2 - √-1)) = (5) だから全射。

だけど、1/(2 + √-1) ∈ Z[√-1, 1/(2 + √-1)] は Z 上整じゃないから、
特に f は有限射でない。

714:１３２人目の素数さん
03/11/13 22:12
712 と 713、思いっきり矛盾してますねｗ

715:１３２人目の素数さん
03/11/13 22:20
713 間違ってる？

716:１３２人目の素数さん
03/11/13 22:24
>>713　だと思いっきり有限射になってるし

717:１３２人目の素数さん
03/11/13 22:34
>>716
なぜ有限射？

718:713
03/11/13 22:48
なんか、話がかみあってないな。
Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = D(2 + √-1) = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)]
でしょ？どうして affine じゃないんだ？

719:712
03/11/13 23:11
あれ、まだ間違えてるんかなぁ。
疲れたんで今日は寝ますね。ごめんなさい（熱上がったし・・・）

720:１３２人目の素数さん
03/11/13 23:16
>>719
そう、きついことを言うようだが病気が完全に治ってから投稿してくれ。

721:１３２人目の素数さん
03/11/14 05:58
>>720
病人ですがまた来てしまいました・・・寝てると考えることこればっかりなので・・・
また間違えてるかもしれないし、その時は指摘してください。

とりあえず>>712は間違えてます。イデアルに対応する、ってのが大嘘です。
だから>>698は今のところあってるか分かりません。
なんとなく幾何的に考えたんで、適当でした。

それとex3.7の方ですが
f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアルに対応するから整スキームより１点（genericのみ）
でこれは体の有限拡大K/kを表してます。
そのaffine近傍をとると、SpecB→SpecA　でB=A[x_1,・・・,x_n]という形。
（x_iは生成元で超越的とは限りません。）
またBの商体がK、Aの商体がkであるので、
x_i　はk上整でその最小多項式の分母の最小公倍元Nをとり、SpecAの開近傍U=D(N)とする。
Vをその逆像（上のSpec間の射での）とすると、V→Uはfiniteになっている（と思う←自信なくしつつある）

722:１３２人目の素数さん
03/11/14 12:54
>>721
> それとex3.7の方ですが
> f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアル
> ...

なんか議論があいかわらず大雑把でよくわかりません。
上記の「証明」のギャップを細かく埋めてみてもらえませんか？
自信を取り戻すきっかけにもなるかもしれないよ。

723:722
03/11/14 13:03
>>721
具体的にいうと
> f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で
何で？

>左辺はXの極小イデアルに対応するから
「Xの極小イデアル」とは何？

>でこれは体の有限拡大K/kを表してます。
何故？

>そのaffine近傍をとると
どうとるの？

・・・という感じ

724:１３２人目の素数さん
03/11/14 17:33
f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteなのは
「kが体なら　X→Speck　がfinite⇔quasi-finite&of finite type」を使う。
この「」の証明はk上有限生成代数で素イデアルが有限個な事からArtin環であることを使えばよい。
（これはきっと有名がlennmaなはず）

f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えるとその極小イデアルに対応してると言う意味。
今ｆXは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。
よって、Speck間のfinite射より有限拡大を表してる。

affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので
その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。

と思います。

725:722
03/11/14 21:04
>>724
> f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えると
f^(-1)(ξ) は空かもしれないけど、今の場合何故そうでないと言える？

>その極小イデアルに対応してると言う意味。
何故？

>今Xは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。
何が体？

> affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので
> その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。

最終的にはYの空集合U'をとってf-1(U')→U' がfiniteであることを言わなきゃいけないから、
この時点で「適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分」をとっちゃうとまずいと思うんですが。

726:722
03/11/14 21:44
スマソ。後半の「Yの空集合U'」は「Yの開集合U'」の間違い。

727:１３２人目の素数さん
03/11/14 23:55
>>725
１つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。
　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う）

２つ目　零イデアルの逆像だから。

３つ目　そのArtin環が体

４つ目　あれ、問題勘違いしてたわ。それなら僕の解等の後半はあかんわ。
　　　　　被覆の取り方とか工夫せんとあかんね。また考えます。

728:１３２人目の素数さん
03/11/14 23:56
不自然な関西弁きもい。

729:722
03/11/15 00:42
>>727
>１つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。
>　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う）
じゃあ、最初からちゃんとそう書かなきゃ。

> ２つ目　零イデアルの逆像だから。
なぜ？ f^(-1)(ξ) が一点なら確かにそうなるけど。今はまさにそれを示そうと
してるんじゃないの？話の順序が逆だと思うんだけど。たとえば今仮に f が
genrically finite という仮定をはずして f: Spec K[x, y] → Spec K[x] を考
えると、f の generic fiber f^-1(ξ) (=~ Speck K(x)[y]) の各点は K[x, y]
の極小素イデアルと対応している？そうじゃないよね。

730:722
03/11/15 01:17
>>727
> ２つ目　零イデアルの逆像だから。
それとこれを読んでちょっと思ったんだが、もしかして f^(-1)(ξ)
の意味を取り違えてないか？ f^(-1)(ξ) はスキームのほうで考えれば
たしかに「零イデアルの逆像」だけど、環のほうで考えると
「逆像が零イデアルとなる素イデアル（の集合）」だよ。
まあ、この問題の場合、前半部のf^(-1)(ξ)→ξが体の有限次拡大になってい
るっていうのは確かに合ってるから別にいいと言えばいいんだけどね。

で、後半部が本質的な問題だと思うんだが。とにかく
> それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は
> 間違いがあると思う。
とか書いておいて、指摘することが全然間違ってたり大雑把だったりする
ので、ちょっと困ります。>>693 に何か問題ある？（ちなみに693を書いた
のは僕です）。

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