大好き★代数幾何 - 暇つぶし2ch

大好き★代数幾何 at MATH

514:１３２人目の素数さん
03/11/01 17:39
補題
A を環、Spec(A) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があるとする。
M を A-加群とする。各 M[1/f_i] が A[1/f_i] 上有限生成なら
M は A 上有限生成である。

証明
M[1/f_i] の A[1/f_i] 上の生成元を x_ij/(f_i)^n, j = 1,2,.. とする。
n を十分大きく取れば、この n は各 i に共通に取れる。
x_ij 全体で生成される M のA-部分加群を N とする。
仮定より、(M/N)[1/f_i] = 0 となるから >>512の補題より
M/N = 0 即ち M = N となる。

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