大好き★代数幾何 - 暇つぶし2ch

大好き★代数幾何 ..

147:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:24
>>145
代数幾何的に重要かどうかは知らないが、
例えば代数的でない複素多様体。

148:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:29
>>146
｢A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する｣
という意味。
例えば、Aが体の場合を考えてみれば分かる。
この場合、階数１の直和因子とは、１次元の線形部分空間のことだ。

149:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:31
Milne先生のところ？＞オンラインの代数幾何講義

150:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:52
>>149
違う。ロシアまたは東欧系の名前の数学者だった。

151:１３２人目の素数さん
03/10/12 03:38
命題１６により可逆層がなぜ代数幾何で重要かがわかるだろう。
非特異代数多様体では可逆層と因子とは線形同値を除けば同じ
ものと考えていい（証明せよ）。この見方からすると、O(1)には
射影空間の超平面が対応する。O(1)の逆像には、超平面の逆像が
対応するはずだが、超平面の逆像の定義は？　一般に因子の逆像とは何か？

152:１３２人目の素数さん
03/10/12 10:42
命題１６でXをスキームでなく局所環付き空間として述べたのは、
そのほうが証明の本質がわかりやすいから。より一般化された問題の
ほうが、その本質がよく分かる場合が多い。問題が難しかったら、
その問題を一般化せよというのは、よく言われる。

153:１３２人目の素数さん
03/10/12 12:59
命題２８の証明って、Bourbakiでしか見たことない。
基本的な命題なのに。Bourbakiの可換代数は、非常にいい。
Atiyah-MacDonaldの本は、Bourbakiのエッセンスをまとめたものだろう。

154:１３２人目の素数さん
03/10/12 14:12
>>6 の続きって何なんでしょうか？
代数空間とか代数スタックのことですか？

155:１３２人目の素数さん
03/10/13 19:35
Hartshorneの本の演習問題をここで解かないか？

156:珍々 ◆0OHTCmYTPk
03/10/13 19:39
オンラインで、一章の解答を見た記憶がある。

157:１３２人目の素数さん
03/10/13 20:45
俺も見た。だから2章から行こう。

158:１３２人目の素数さん
03/10/13 21:22
>>156
リンク希望

159:１３２人目の素数さん
03/10/14 17:16
2ch発のHartshorne解答集ができたらおもしろいね。

160:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 05:21
大好きか？代数幾何

死ぬ前に１度は勉強してみたい。

161:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 20:51
今日は代数幾何な気分でつ。

162:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 20:56
２次曲線age

163:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 21:27
モジェライ理論age

164:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:07
シツモソです。Ｋを体とするときＫ上有限生成な代数群スキームのなす圏は
アーベル圏でしょうか？十分入射的でしょうか？もしＹＥＳなら何よめばわかるでしょうか？
ＮＯならどんな反例（Cokが有限生成代数群スキームにならない例とか）が
あるでしょう？しってるひといたら情報ください。

165:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:09
晒しあげ

166:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:12
>>164
おいおい、abelならadditiveだぞ。
二つの射をどうやって足すんだ？

167:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:14
>>166
おまい馬鹿？？

168:↑
03/10/15 22:16
馬鹿はオマエ

169:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:16
ｗｗｗｗｗｗｗ

170:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:21
根拠の無いレスを繰り返すのはお止めなさい

171:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:22
はい

172:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:28
>>166
ああ、すいません。有限生成な可換代数群スキームの圏のまちがいです。
こいつアーベル圏でしょうか？KernelについてはとじてるんですがCokernelが
よくわかりません。いくつかの特殊な場合に成立するのはわかったんですが
一般の場合成立するのかも反例があるのかもわかりまへん。おながいします。

173:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:57
直感的にはアーベル圏にはならないと思う。
詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に
書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。
群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。
フランス語だが。

174:１３２人目の素数さん
03/10/15 23:26
>>173
＞群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。
　
ダウンロードできるんですか･･･しかし膨大な量になりそうな･･･
　
＞直感的にはアーベル圏にはならないと思う。
＞詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に
＞書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。
　
連結成分が固有とかいう条件つけてもだめすか？

175:１３２人目の素数さん
03/10/16 07:43
>>174
SGAはダウンロードしなくてもオンラインで見れるよ。

176:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 08:11
いい加減SGAは卒業しろよ・・。

177:１３２人目の素数さん
03/10/16 14:53
ここのみんなで
URLﾘﾝｸ(www.math.leidenuniv.nl)
これに参加しないか？

178:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 17:49
スルー

179:１３２人目の素数さん
03/10/16 18:03
参加するーってことかな

180:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 19:01
代数幾何的素数判定

181:１３２人目の素数さん
03/10/16 19:10
>>180
知ってる言葉並べただけだろ

182:１３２人目の素数さん
03/10/16 19:51
では、HartshorneのAlgebraic Geometry(Springer-Verlag, 1977)
の演習問題を解いてくれ。２章からいく。
ほとんど自明な問題は除く。

II.1.3.(b)
以下の条件を満たすX,F,G,と射F → G 及びXの開集合U の例を示せ。
F, G を位相空間X上の層。F → G を層としての全射とする。
開集合U があって、F(U) → G(U) は全射ではない。

183:１３２人目の素数さん
03/10/16 20:47
>>177
そのプロジェクトって少しは進展してるのかな？
全然、結果を見たことがないんだが。

184:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 21:09
プロジェクトSEX

185:１３２人目の素数さん
03/10/16 21:16
>>184
死ねアホ

186:１３２人目の素数さん
03/10/16 22:20
>> 182

X = C（複素数体）
F = G = 正則関数の層
φ：F → G：f → f'（導関数）

とする。

φは層として全射（ローカルには原始関数は必ず存在するから）。
だが、U = C - {0} とすると、φ(U)：F(U)→G(U) は全射でない。
たとえば f∈G、f(z) = 1/z を考えよ。

187:１３２人目の素数さん
03/10/16 22:54
>>186
偶然だな。俺は１日考えて同じ例を思いついた。

188:１３２人目の素数さん
03/10/16 23:01
II.1.11
{F_i} をネーター空間X上での層のdirect system とする。
前層 U → lim F_i(U) は層であることを示せ。

189:186
03/10/17 01:46
>>188

これにもチャレンジしてみますた。

＜層の一意性条件＞
s、t ∈ dirlimit F_i(U)、U の開被覆を{U_α}とし、
∀α s|U_α = t|U_αと仮定する。
（以下、sやtの適当な代表元を「s_i」「t_i」等で表す）

この仮定は、正確に書くと

∀α ∃i(α) s_i(α)|U_α = t_i(α)|U_α （「i(α) 」はαに依存する添え字）。

今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。
添え字αをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α)の最大値をj と
おくと、この j に対して

∀α s_j|U_α = t_j|U_α。

よって、F_j が層であることから、結局グローバルにs = t。

190:186
03/10/17 01:47
（続き）

＜層の貼り合わせ条件＞
U の開被覆を{U_α}、{s(α)} ∈ Πdirlimit F_i(U_α)とし、

∀α, β s(α)|U_α∩U_β = s(β)|U_α∩U_βと仮定する。

この仮定は、正確に書くと

∀α, β ∃i(α, β) s(α)_i(α, β)|U_α∩U_β = s(β)_i(α, β)|U_α∩U_β。

今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。
添え字αとβをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α, β)の
最大値をj とおくと、この j に対して

∀α, β s(α)_j|U_α∩U_β = s(β)_j|U_α∩U_β。

よって、F_j が層であることから、s_j | U_α = s(α)_j をみたすグローバルな
貼り合わせ s_j ∈ F_j(U) が存在する。このs_j を代表元とする
s ∈ dirlimit F_i(U) が、明らかに最初の {s(α)} の貼り合わせとなる。

以上。間違いあったら指摘も求む。

しかし、なんか疲れた。こういう問題はちょっとつまんないかも...

191:１３２人目の素数さん
03/10/17 02:03
乙

192:186
03/10/17 02:53
今読み直して気付いたが、i(α)とかの「最大値」ってのはヘンだな。
「上界の1つ」と読み替えてくれ。

193:１３２人目の素数さん
03/10/17 07:55
Hartshorneの演習問題
II.1.16(b)
Fを位相空間X上の層とする。任意の開集合 U ⊃ V
に対して、制限写像: F(U) → F(V) が全射のときFを軟弱(flasque)と言う。
0 → F' → F → F'' → 0 を層の完全列とする。
F' が軟弱なら、任意の開集合 U に対して、
0 → F'(U) → F(U) → F''(U) → 0 が完全であることを示せ。

194:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/17 08:03
とりびある

195:１３２人目の素数さん
03/10/17 12:16
>>194
そりゃ正しい命題はすべてトリビアルだ。
それじゃ演習問題にならん。

196:１３２人目の素数さん
03/10/17 19:15
>>193
ヒントをあげよう。F → F'' は全射だから、
局所的にF(V) → F''(V) は全射である。
従って F"(U) の任意の切断 s に対して、
Ｕの空でない開部分集合 V と、その上の F の切断 t が
存在して、t の像が s|V となる。V ≠ U なら、
F'が軟弱だから、t の定義域 V を真に拡大できることを示す。
次に、Zornの補題を使って V = U と出来ることを示せ。

197:186
03/10/18 00:28
>>193
またまたチャレンジ！なんかクセになってきた。
本見ずに考えたら半日くらいかかってしまったが・・・。
>>196 のヒントのやりかたとはちょっと違うかも。

II.1.16(b) の証明：
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F'(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。
添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して
c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および c_ij が「チェインルール」 c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすこと
が容易にわかる。
今、{c_i} ∈ ΠF'(U_i) を次のように(超限)帰納的に定義する。
・「最初の元」0の値：
　c_0 := 任意の元 ∈ F'(U_0)。
・ i の「1つ後の元」i'（= min{j | i <j})の値：
　c_i + c_ii' ∈ F'(U_i∩U_i') の定義集合を U_i' に拡大したものを
c_i' ∈ F'(U_i')とする。F' が軟弱であることからこのような c_i' が
常にとれる。
この {c_i} が、∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) を満たすことが容易に
わかる（チェインルールを使う）。
この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める
s の逆像となる。

以上。

198:186
03/10/18 01:07
>>197の証明は取り下げる。

「(超限)帰納的に」という部分、あまり深く考えずに、超限帰納法からこういう
議論ができるかと思って書いたがいたが、やっぱヘンだ。I が可算なら
この証明でOKだが・・・。

199:186
03/10/18 02:48
>>197の修正版。超限帰納法をきちんと使ったらできた。
II.1.16(b) の証明：
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。
添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して
c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および {c_ij} が c_jk - c_ik + c_ij = 0 (i < j < k) を満たすことが容易にわかる。

ここで、
∃ {c_i} ∈ ΠF'(U_i) s.t. ∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) ・・・ (*)
を超限帰納法で示す。
k ∈ I を任意に1つとり、J := {j ∈ I | j < k} に対して
∃ {c_j} ∈ ΠF'(U_j) (j ∈ J) s.t. ∀ j, j' ∈ J (j < j') c_j' - c_j = c_jj' ∈ F'(U_j∩U_j')
が成り立つと仮定する。
今、j''∈J を勝手に1つとり、c_j'' + c_j''k ∈ F'(U_j''∩U_k) の、
制限写像F'(U_k)→F'(U_j''∩U_k)による逆像の1つをc_k ∈ F'(U_k)とおく。
F' が軟弱であることからこのような c_k が常にとれる。
この c_k は c_k - c_j = c_jk (∀ j∈ J) を満たす。実際、
j < j'' の場合、c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = c_jj'' + c_j''k = c_jk、
j'' < j の場合、 c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = - c_j''j + c_j''k = c_jk。
よって K := J ∪ {k} についても仮定と同じ主張がなりたつことが示され、
結局 (*) が示された。

この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める
s の逆像となる。

以上。

200:１３２人目の素数さん
03/10/18 15:33
>>198
可算の場合だけで実用上は十分だろうな。
可算基を持たない位相空間というのは、代数幾何（に限らず他の数学でも）
ではまず扱わない。

201:１３２人目の素数さん
03/10/18 18:49
話は変わるが、俺はHartshorneの講義を聞いたことがある。
コホモロジーがどうとか言ってた。講義の内容は
さっぱり解らなかったが。w
あれは、1973年頃だったと思う。
長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが
俺の印象だった。俺は修士課程のほやほやだった。
歳がばれるな。

202:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/18 21:18
グーグル的代数幾何学

203:sage
03/10/18 23:01

>>201

>長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが

「ヒッピーみたい」というより真性ヒッピーかもね。
バークレー（≒ヒッピー発祥の地？）の先生だし。

204:１３２人目の素数さん
03/10/18 23:44
>>203
Grothendieckに影響されたのかもしれない。
俺はあの当時、彼のことは知らなかった。　同僚に彼はヒッピーみたいだな
と言ったら、奴は、あの人はハートショーンといって有名な数学者
なんだよと教えてくれた。ｗ
ハーツホーンが正しいと知ったのはだいぶ後だ。

205:１３２人目の素数さん
03/10/18 23:53
うｙｆ

206:１３２人目の素数さん
03/10/19 01:05
HartshorneのAlgebraic Geometryを持っている奴って、このスレで
どのくらいいるんだ？ >>197は持ってるのかな？

207:１３２人目の素数さん
03/10/19 01:52
Grothendieckってその頃、糞真面目に数学やってたころなんですけど。

208:１３２人目の素数さん
03/10/19 02:16
>>207
あの頃はサバイバル運動なんかをしていて、数学から足を洗った頃
じゃないか？
それは別として、Grothendieckの考え方は、現役時代も今も変わって
ないと思うが。反戦論者で自然志向。裸足で講義していた。

209:197
03/10/19 03:20
>>206

持ってる

210:１３２人目の素数さん
03/10/19 04:30
>>209
じゃあ、II.1.21(Some examples of sheaves on varieties)を
解いてくれ。君だけでなく、誰でもいい。
ついでに本を持ってない人のために問題を翻訳してくれるとなおいい。

211:197
03/10/19 05:24
OK。じゃ、とりあえず問題翻訳するぞ。

II.1.21 (Some examples of sheaves on varieties)

Xを代数閉体k上の（第I章の意味での）代数多様体、O_X をX上の正則関数の
層（1.0.1）とする。

(a) Y を X の閉集合とする。各開集合 U⊆X について、Y∩U上のすべての点でゼロ
になる正則関数からなる、環O_X(U)のイデアルをI_Y(U)とする。UにI_Y(U)を対応
させる前層は層になることを示せ。この層をYのイデアル層と呼ぶ。この層は
環の層O_Xの部分層である。

(b) Yを部分多様体とすると、商層O_X/I_Yはi_*(O_Y)（訳注：iによるO_Yのpull-back）
と同型であることを示せ。ここでi: Y → X は包含写像、O_Y はY上の正則関数の層
とする。

---疲れたので残りはまた後で

212:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/19 06:37
とりびある

213:１３２人目の素数さん
03/10/19 10:55
>>211
有難う。

II.1.21 (a), (b) の両方を一挙に証明しよう。
開集合 U⊆X 上の正則関数 f に対して、f の U ∩ Y への
制限 f|U ∩ Y を対応させることにより
射 φ: O_X → i_*(O_Y) が得られる。
Xの各点での両者のストークにおいて、これは明らかに全射である。
従ってφは全射である。
φの核が I_Y であることは明らか。
従って、O_X/I_Yはi_*(O_Y) に同型である。

214:１３２人目の素数さん
03/10/19 11:02
>>211
問題を解いて悪かったかな。
II.1.21 (c),(d),(e)の翻訳と解答はまかせた。

215:１３２人目の素数さん
03/10/19 16:00
II.Ex.1.21
(c) さーて X=P^1(射影直線), YをXの異なる 2 点 P, Q∈Xからなる集合とします.
このときX上の層の完全列 0→I_Y→O_X→F→0 が存在します.
ここで F=i_* O_P (+) i_* O_Q です.
ところがこれから引き起こされる大域切断たちの写像
Γ(X,O_X)→Γ(X,F)が全射ではないことを示しなさい.
これは大域切断関手 F(X,・) が完全ではないことを示してます.
(それが左完全だというのを示す(Ex.1.8)も見れ)

(d) またしても X=P^1 とし, O を正則関数の層とします.
κ を X の関数体 K に付随する X 上の定数層とします.
自然な単射 O→κ が存在することを示しなさい.
商層 κ/O が層の直和 Σ_{P∈X} i_P(I_P) と同型であることを示しなさい.
ここで,
I_P は群 K/O_P を,
i_P(I_P) で点 P での I_P で与えられる摩天楼層(Ex.1.17)を
表します.
(訳注:κをKのスクリプト体のかわりに用いました.標準的じゃないです)

(e) 最後に, (d) の場合の列
0→Γ(X,O)→Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O)→0
が完全であることを示しなさい.
(これは複素多変数における「Cousinの第一問題」と呼ばれるものの類似です.
GunningとRossi[1,p.248]を見なさい.)

216:197
03/10/20 00:54
>>215
とりあえず (c) の解答。
まず、O_P と O_Q は k （定数層）と同型であることに注意する。
O_X → F を次で定義する。
X 上の開集合 U に対して、O_X(U) → F(U)：f → (f(P), f(Q))。
これの kernerl がI_Y(U)になることは明らか。あとは
∀x ∈ X について stalk 上の O_R → F_R が全射になることを示せばよい。
x = P（または Q）の場合、F_x = k (+) 0 (または 0 (+) k) = k（同型）であり、
O_x → F_x は正則関数 f にxでの値 f(x) を対応させる写像だから、明らかに全射。
x ≠P, Q の場合、F_x = 0 だからO_x → F_xは明らかに全射。これで
0→I_Y→O_X→F→0 が層としての完全列であることが示せた。
Γ(X, O_X)→Γ(X, F) が全射でないことは、Γ(X, O_X) = k、Γ(X, F) = k (+) k
に注意すれば明らか。以上

217:197
03/10/20 00:57
>>216

スマソ。途中の「O_R → F_R」は「O_x → F_x」の間違い。

218:１３２人目の素数さん
03/10/20 00:58
●●●マスコミの「盗聴、盗撮」は許されるのか？その８●●● URLﾘﾝｸ(natto.2ch.net)
84 名前： ○○○ 投稿日： 02/01/31 01:15 ID:l3fSW81R
>>78
たぶん、君が書いている通りだよ。確信犯だ。テレ朝が、俺の電話を盗聴
したネタを使っているのは、ずいぶん前から確認している。俺だって、メディアに
ネタを提供するために生きて行くつもりはない。ついでに書くが、フジの「恋のちから」
をチラッと見たが、盗聴からヒントを得ている。盗聴は盗聴。いいかげんにしろ。

87 名前： 86 投稿日： 02/01/31 04:04 ID:7TpZZIy4
>>84
調べ直したが、「恋のチカラ」はデザイナーの話だね。
その番組には俺のネタも多数含まれているよ。
主役の「藤子」も読みは「ふじこ」ではなく「とうこ」で、
去年のHNK大河ドラマ「北条時宗」の水軍の娘と同じ発音だね。

>>55
>人によっては「脅迫」すら感じとるようだ。
デザイナーの話の「恋のチカラ」が始まったのは2002年1月10日だが、
その次の日の1月11日に「グラフィックデザイン第一人者　田中一光氏死去」というニュースがあった。
死因は急性心不全で、死亡は偶然だろうけど、その日（2002/01/11）夜のＴＶ朝日「トリック２」は
「毎年1月11日になると誰かが死ぬ」という話だった。

219:１３２人目の素数さん
03/10/20 01:02
>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」

220:197
03/10/20 02:37
>>215
次に (d) の解答。
「自然な単射 O→κ が存在すること」は自明なので省略。
層準同型 κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) を次で定義する。
X の開集合 U に対して
κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P)
f → {f~}_P∈U（f~はf の K/O_P での類を表す）。
これが well-defined であること、つまり高々有限個の P∈U を除いて f~ = 0
になることは、有理関数 f が高々有限個の点を除いて正則であることからい
える。また、kernel がO(U)になることも定義から明らか。
さらにこの層準同型は、各点 P∈X の茎上でみると、
κ_P = K → Σ_{P∈X} i_P(I_P) = K/O_P
f → f~
となっており、これは明らかに全射なので、元の層準同型κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P)
も層として全射。以上からκ/O がΣ_{P∈X} i_P(I_P)と同型であることが示された。

221:197
03/10/20 06:16
>>215
最後に (e) の解答。
以下の補題を使う
【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、
R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき
∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t.
m a_j
g(t) = Σ --- (a_j ∈ k)
j=1 t^k
かつ
f ~ g mod R。
（証明は省略。難しくない）

222:197
03/10/20 06:20
スマソ。分数をかいたがヘンになった。修正版
---
最後に (e) の解答。
以下の補題を使う
【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、
R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき
∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t.
g(t) = Σ a_j/t^j (j = 1, ... m, a_j ∈ k)
かつ f ~ g mod R。
（証明は省略。難しくない）

223:197
03/10/20 06:24
（222の続き）(e) の証明：
Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O) が全射であることを示せばよい。
以下、(d)によりΓ(X,κ/O) = Σ_{P∈X} K/O_P とみなす。
{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P をとる（f_P∈K、(f_P)~ はK/O_Pにおけるその類）。
(f_P)~ ≠ 0 なる（つまりf_Pが正則でない）点を P_1, P_2, ... , P_nとする。
P_1, P_2, ... , P_n のいずれとも異なる点Qを勝手に1つとり、以下、
U= X - {Q} =~ A^1 (1次元affine空間）=~ k で考える。
また、O_P_i ⊂ K = k(t) （t：不定元）と見なし、P_1, P_2, ... , P_n に対応
する k の元を p_1, p_2, ... , p_nとする。
いま、補題から、各 f_P_i に対して、
g_i(t) = Σa_{i,j}/(t - p_i)^j (j = 1, ... m_i, a_{i,j} ∈ k)
f_P_i ~ g_i mod O_P_i
なる g_i が存在する。
h := g_1 + g_2 + ... + g_n とおけば、各 i について g_i 以外は P_i で正則だから、h ~ g_i ~ f_P_i mod O_P_i。したがって、この h ∈K は、
元の{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P の逆像となっている。
以上

224:１３２人目の素数さん
03/10/20 19:33
II.Ex.2.16はどうかな？

225:197
03/10/20 20:37
>>224
とりあえず翻訳。
II. Ex. 2.16
X をスキーム、f ∈ Γ(X, O_X) とし、X の部分集合 X_f を、f の x ∈ X での茎
f_x が局所環 O_x の極大イデアル m_x に含まれないような点 x ∈ X 全体とする。
(a) U = Spec B を X の開「アフィン」サブスキーム、f~ = B = Γ(U, O_X|U) を
f の制限とするとき、U ∩ X_f = D(f~) となることを示せ。また、これから X_f
が X の開集合であることを示せ。
(b) X が準コンパクト(quasi-comapct)であると仮定する。A = Γ(X, O_X) とし、
a∈AをそのX_fへの制限が0になるような元とする。ある n>0 が存在して
(f^n) a = 0 となることを示せ（ヒント：Xの開アフィン被覆を使え）。
(c)いま、各 U_i∩U_j が準コンパクトとなるような有限開アフィン被覆U_iを、
X が持つと仮定する（この仮定はたとえばsp(X)がネーター空間なら満たされる）。
b∈Γ(X_f, O_X_f) とする。ある n>0 が存在して (f^n)b が A のある元の制限と
なることを示せ。
(d) (c)の仮定の下で、Γ(X_f, O_X_f) =~ A_f となることを示せ。

226:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 20:47
とりびある

227:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:08
もちろん問題が解けるようになることは大事なことであるが、
それ以上に幾何学的な解釈が与えられるようになる方が重要。

228:197
03/10/20 21:09
スマソ。(a) の「f~ = B = ...」は「f~ ∈ B = ...」の間違い。
まず(a)の解答。定義から、
U ∩ X_f = {p ∈ Spec B| f_p ≠ 0 mod pB_p}、
D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない}
だから、g ∈ B、p ∈ Spec B について g_p ∈ pB_p ⇔ g∈p であることを示せ
ばよい。定義に戻れば、g_p ∈ pB_p ⇔ ∃s∈B-p ∃h∈p sg = h であるが、
pが素イデアルであることから、これは g∈p と同値。

229:197
03/10/20 21:12
間違い多くてゴメン。
> D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない}
は、正しくは
D(f~) = {p ∈ Spec B| f が p の元でない}
ね。

230:１３２人目の素数さん
03/10/20 21:19
>>225
(a)X_fが開集合であることは、Xが局所環付き空間でも成り立つな。

231:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:22
釣り師

232:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:38
一匹も釣れなかった>>231を晒し上げ

233:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:39
>>230の間違い・・ギャ～！

234:197
03/10/20 21:42
次に(b)の解答。
X が準コンパクトなのでXの有限開アフィン被覆U_i = Spec B_iをとれる。
a|U_i = b_i、f|U_i = f とおく。(a) および a|X_f = 0 より、
b_i = 0 in B_i_g。B_i_g の定義から ∃n_i>0 (g_i^n) b_i = 0。
よって、n := max{n_i} とすると各U_i上で((f^n) a)| U_i = 0。
よって、(f^n) a = 0 in A。以上

235:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:43
またナンセンスなことを・・。

236:197
03/10/20 21:43
ああ、また間違い...

「f|Ui = f」は「f|U_i = g_i」ね。

237:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:51
そんなことやっていたら、読了に半年以上かかっちゃうよ。

238:197
03/10/20 22:49
>>230
だね。証明はこれでよい？
x ∈ X_f とする。f_x ∈ O_x - m_x だから f_x は O_x で可逆。よって
∃g_x∈O_x - m_x s.t. f_x g_x = 1。これは x の近傍 V と g_x の代表元
g ∈ O_X(V) をとって (f|V) g = 1 とできることを意味する。
よって、∀y∈V f_y は可逆、つまりf_y ∈ O_y - m_y、つまり V ⊂ X_f。
よってX_fは開集合。

239:１３２人目の素数さん
03/10/20 22:58
>>238
OK

240:１３２人目の素数さん
03/10/20 23:12

定数層って何なんですか？

241:１３２人目の素数さん
03/10/20 23:23
>>240
Aをアーベル群とする。
Aに離散位相を入れる。
位相空間 X 上の A に値をとる連続関数のなす層を
Aに値をとる定数層という。
これは、A に値をとる関数で局所的に定数となるもののなす層と
言ってもいい。

242:197
03/10/20 23:41
>>240
任意の開集合 U に対して A を対応させる前層を作り、それを
層化するって考えてもいいね。結局241と同じものになるけど。

243:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 06:50
>>239の晒し上げ

244:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 07:30
大好きで～す！！代数幾何

245:１３２人目の素数さん
03/10/21 07:46
2ch は突発的に高度な話題が展開されるから、侮れない。
少し前の複素解析のような雰囲気だ。

246:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 07:49
このスレのどこが高度なんだ？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

247:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 07:49
さいと

248:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 08:05
ネーター環って何？

249:240
03/10/21 09:20
>>241
ｻﾝｸｽです。Aに離散位相を入れるところがﾐｿですね。

あと、可逆層というのが解らないのですが･･･。

250:１３２人目の素数さん
03/10/21 19:44
>>249
>>84あたりから説明してある。
読んでみて、それでも解らないときは、どこがわからないか質問してくれ。

251:１３２人目の素数さん
03/10/21 22:29
シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ
Fully-faithfull なうめこみ X→(R→Hom(specR,X)) があると習った記憶があるんですが
この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？
この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？

252:１３２人目の素数さん
03/10/21 22:31
訂正です
シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ
Fully-faithfull なうめこみ X→(A→Hom(specA,X)) があると習った記憶があるんですが
この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？
この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？

253:240
03/10/22 17:30
>>250
いろいろとすみません。可逆層はだいたい分かりました。

実は、以前から分からなくて困っていることがあります。
最近あまり読んでいないのですが、motivic cohomology
に関する論文などを見ておりますと、H(X,Z(n))やH(X,Q(n))
などの形のコホモロジーが頻繁に出てきます。
ここでXはscheme、Zは整数環、Qは有理数体です。
実は、この中のｎの意味が分かりません。どうやら、Z(n)やQ(n)
は、それぞれZ(1)、Q(1)をｎ回テンソル積したものらしいです。
Z(1)やQ(1)などはいったい何を表しているのでしょうか。
説明もなしにいきなり出てくるものですから･･･。
よろしければご教示よろしくお願いします。

254:１３２人目の素数さん
03/10/22 17:39
>>253
手元のフーズモラー「ファイバー束」によると（p.183）
> 成分がＦにある n × n 行列からなる多元環に記号Ｆ(n) を用いる。
とあるね。
要するに M_n(Ｆ) のことか。

255:240
03/10/22 21:02
>>254
ありがとうございます。
Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました。
(n)というのはTate Twistと呼ばれるもので、どうやらZ(k)=
(SpecZ,id,k)と表されるTate Objectのことらしいです。
URLﾘﾝｸ(www.mathematik.uni-bielefeld.de)
の中で定義が記されていますが、Chow Correspondenceによるもので
どうも分かりにくいです。もっと単純な説明はないものか･･･。

256:１３２人目の素数さん
03/10/22 21:07
>>252
EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。
Mumfordの"Lectures on Curves on an Algebraic Surface"も
いいかもしれない。はずしてたらスマン。

因みに、それがFully-faithfullな埋め込みであることを誰か証明
してくれないかな。難しくないよ。

257:１３２人目の素数さん
03/10/22 21:46
>>252
もっといいのがあった。
URLﾘﾝｸ(www.refuter.com)

ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の
Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI).

258:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/22 22:00
グラタンディックのディセントage

259:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:26
＞定数層って何なんですか？
＞可逆層というのが解らないのですが･･･。
＞motivic cohomology
＞に関する論文などを見ておりますと
＞Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました

ネタですか？なんかバランス悪すぎません？

260:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:34
>>259
ネタというより、probe かな？
ここのleader の知識を試すみたいな。

261:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:34
>>259
それおれもおもた。

262:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:48
で II.Ex.2.16 (c) (d) の解答は？
197でなくても誰でもいいでしょ？

263:１３２人目の素数さん
03/10/23 00:08
>>260
当人ですか？わざとらしすぎて>>255にもマジレスしていいのやら
悪いのやら・・・

264:197
03/10/23 00:23
>>262
197だ。II. Ex.2.16 (c) の解答。
(a) より、各 U_i = Spec B_i 上で、
b|U_i∩X_f = c_i/(f|U_i∩X_f)^m_i, c_i∈B
とかける。よって、iによらない十分大きいmをとって
d_i := (f|U_i)^(m - m_i) * c_i ∈B_i
とおけば、任意の i, j について
(d_i - d_j)|U_i∩U_j∩X_f = 0。
ここで、U_i∩U_j を X と考えて (b) を適用すると、
(f^l_i_j) * (d_i - d_j)|U_i∩U_j = 0
となる l_i_j が各 (i, j)について存在する。
よってi, j によらない十分大きい l をとって
e_i := (f|U_i)^l * d_i ∈B_i
とおけば、任意の i, j について
(e_i - e_j)|U_i∩U_j = 0。
よって{e_i} はグローバルに貼り合わせることができ、
それを e∈Γ(X, O_X) = Aとし、さらにn := m + l とすれば
e | X_f = (f^n) * b
となる。以上

265:１３２人目の素数さん
03/10/23 00:24
まあ他人を試すようなマネするような香具師にろくな香具師はいないわけで･･･

266:197
03/10/23 00:54
>>262
最後、II. Ex.2.16 (d) の解答。
f|X_f は Γ(X_f, O_X) で可逆だから、A→A_f のuniversal property より
（適当な図式が可換になる）A_f → Γ(X_f, O_X) が存在する。
A_f → Γ(X_f, O_X) が単射であることが(b)より、全射であること
が(c)よりいえる。
以上

267:１３２人目の素数さん
03/10/23 07:50
有難う。
II. Ex.2.17 に行こうか。

268:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 10:17
勝手に行ってろ。

269:197
03/10/23 11:06
>>267
OK。とりあえず翻訳
II. Ex. 2.17 (アフィン性の判定条件）
(a) f: X→Yをスキームの射とする。Y の開被覆 U_i が存在し、
各iについて誘導射f^-1(U_i) → U_iが同型であるとする。
このとき f は同型であることを示せ。
(b) 「スキームXがアフィン」と「有限個の元 f_1, ..., f_r ∈ A = Γ(X, O_X) が
存在して、各開集合X_f_iがアフィンかつf_1, ..., f_r が A の単位イデアルを生成
する」は同値であることを示せ（ヒント：（Ex. 2.4)と(Ex. 2.16d)を使え）。

270:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:09
>>269
真昼間から2chかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
おめでてーなーｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

271:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:18
いまどきスキームなんて流行らねーんだよ！
これからは位相空間の時代。
とくに整係数ホモロジ－なんかがヤバイ。

272:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:19
もちろん群論・微分積分学的位相空間ね。

273:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:20
そもそも位相空間の定義って、難し過ぎないか？？
開集合ってなんだよ！！！
ぜんぜん開いてねーじゃん！！

晒しあげ

274:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:22
しかも開集合であるかどうかの約束って何だよ！！
そこまでいうなら、すべての集合を開集合にしちまえよ！！
するとどんな写像も連続になるから、そこで微分積分学が展開出来る。

275:１３２人目の素数さん
03/10/23 11:26
離散位相

276:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:27
ロベ－グ積分はいい線いっていると思う。
しかし、開集合を「定義」しているからぜんぜんだめ。
そのうち、大天才が現れて、開集合なしの積分論が展開されるだろうけどね。

277:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:30
>>275
何もかもが開いている香具師だろ？
それだけ考えれば、難しいことは起こらないのにね。
たとえば良くある問題

（・∀・）は開集合であることを示せ。

[新理論による解答]
すべての集合は開集合である。
とくに（・∀・）も開集合である　　u.e.d

かなり微分積分学の見通しが良ったじゃねーかよ！！！
どこか問題ある？？

278:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:36
すると

開集合＝閉集合にならないか？

矛盾か？

279:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:45
明らかに矛盾だな。
ってことはすべてを開集合にしたらマズイわけだ・・。
だから、開集合にいろいろな条件がつくわけか。

少し分かってきた。
俺のD論は「開集合の危機」みたいなテーマで書こうかなｗ。

280:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:51
まだしっくり来ないな＞開集合
S田先生に質問してきまつ。
でも、この人滅多に見ないんだよな・・。

281:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 12:01
すべての図形は位相空間である。

↑は正しいの？

282:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 12:02
正確には「目に見える図形」だな・・。
トーラスとかは目に見えない図形だけど、
位相空間になるらしいからな。

283:１３２人目の素数さん
03/10/23 12:32
オマコンボール

284:１３２人目の素数さん
03/10/23 13:05
積を有する圏を値に持つpresheafの層化ってどうやるの？

285:282さんへ
03/10/23 13:33
ドーナツは良く見えるとおもうのですが、、、、

286:１３２人目の素数さん
03/10/23 17:47
>>256-257
＞EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。
＞ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の
＞Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI).
　
フラ語は“えるけらーる”と“じゅしじゃぽね”ぐらいしかしらないのでできれば英語が
いいんですが。なんかないすかね。もうこのテク開発されてだいぶたってると思うので
英語のいい教科書がありそうなもんだと思うんですが。
希望としては外出のうめこみが左随伴をもってほしいんですが。
関手F:Alg/R→Setsがschemeで表現される十分条件でなるべくゆるいやつ知りたいんですが
なんかありませんか？たしか“1の分割”がどうこうとかいうのがあったような気がするんですが。
うるおぼえスマソ。

287:１３２人目の素数さん
03/10/23 19:43
>>286
残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。
Grothendieckが精力的に（分野によってはペンペン草も生えない程）に
やった仕事を翻訳ではなくわざわざ英語で書き直すようなヒマな数学者は
いないだろう。

288:１３２人目の素数さん
03/10/23 19:58
>>287
＞残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。
　
そうっすか。まあそのうちやろうとおもてたのでそれはそれでいいんですが。
で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit
保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも
自信ないんですが。

289:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 20:12
ぜんぜん違う。
外に出て頭冷やして来い。
これこそ真の「外出」だな（爆笑）。

290:１３２人目の素数さん
03/10/23 20:18
>>289
pull backが保存されない例かprojective limitが保存されない例しってるの？

291:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:05
>>288
保つと思う。自信は無い。ｗ

A → B を忠実平坦なR-環準同型とする。
Fを問題の関手とすると、
F(A) → F(B) ⇒ F(B(x)B) は完全となる。
ここで、⇒ は二つの標準的射をあらわし、この核としては差核を取る。
一般にはこれだけで十分条件とはならないだろうが、詳しくは
知らない。なにせ、俺もFGAは読んでない。ｗ

292:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:14
難しい質問もいいが、演習問題を解いてくれ。
遠くの美人より身近の女だ。

293:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:20
命題が偽なので解けません。

294:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:33
>>293
どんな反例があるの？

295:１３２人目の素数さん
03/10/23 23:11
反例1
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞妹
反例2
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞ﾏﾏﾝ
反例3
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞幼なじみのゆみ

296:197
03/10/24 00:07
>>286
"The Geometry of Schemes", David Eisenbud, Joe Harris, Springer GTM 197
のVI章 "Schemes and Functors" が参考になるかも。
漏れはよく読んでないが、件の関手 Alg/R→Setsがschemeで表現される必要十分条件とか
が書いてあるぞ。

297:１３２人目の素数さん
03/10/24 00:11
>>296
ｿﾚﾀﾞ!!!!そういう情報が欲しかった。ありがとう。夜おそくまで2chやってていいこともあるもんだ。
と自分をあまやかしてみるてすと。

298:197
03/10/24 18:41
Hartshorn II Ex. 2.17 (a) （>>269）の解答：
仮定から f が位相空間上で homeo になることは明らか。
付随する層の準同型も、stalk 上でみれば iso になることは明らか。以上。
... って何かこれ、問題としては簡単すぎないか? この説明でなんか抜けある？

299:197
03/10/24 18:49
続いてHartshorn II Ex. 2.17 (b)（>>269）の解答：
(b)X_f_i = Spec B_i とおく。Ex. 2.4（＝このスレの>>72, >>78）より、
φ: X → Spec A という標準射がある（位相空間上の連続写像は、x に
{g∈A | g_x∈m_x⊆O_x}を対応させるもの。層の準同型も自然に定まる）。
各iについてφ-1(D(f_i)) = X_f_i であることがφの定義から容易に出る。
また、仮定 (f_1, ..., f_r) = (1) より、X = ∪ X_f_i（∵∀i f_i_x∈m_x
とするとO_x で (f_1_x, ...., f_r_x) ≠ (1) となるから）。また、X_f_i が
アフィンであることおよびX_fの定義より、X_f_i∩X_f_jはSpec B_iの開集合
D(f_j|X_f_i)となるから特に準コンパクト。よって {X_f_i} はEx. 2.16 (c) の
条件を満たすので、Ex. 2.16 (d)からΓ(X_f_i) =~ A_f_i、つまり
X_f_i =~ Spec A_f_i。誘導射φ_i: X_f_i → D(f_i)は、左側をこの同型で
Spec A_f_iとみなし、右側を標準的な同型で Spec A_fiとみなせば、実は恒等射
に等しいことがφの定義からわかる。以上と(a) から、結局φはiso、
よってXはアフィン。以上。

300:１３２人目の素数さん
03/10/24 19:28
>>298
いいと思う。

301:１３２人目の素数さん
03/10/24 19:30
前に戻ってHartshorn II Ex. 2.8と行こう。

302:197
03/10/24 20:03
>>301
とりあえず翻訳
Hartshorn II Ex. 2.8.
Xをスキームとする。任意の点 x∈Xに対して、Xのxでの「ザリスキ接空間T_x」を、
k(x)-ベクトル空間 m_x/m_x^2の双対空間と定義する。今、Xがk上のスキームで
あるとし、k[ε]/ε^2を k 上"ring of dual numbers"とする。k-morphism
Spec k[ε]/ε^2 → X をひとつ与えることは、k上の「有理点」 x ∈X（つまり
k(x) = k なる点）をひとつとT_xの元をひとつ与えることと同等であることを示せ。

303:197
03/10/24 20:27
ところで以前>>199に書いた>>193の証明だが、超限帰納法とか鬱陶しいもん
使わずにもっと簡潔にできることに気付いた（もちろん選択公理は暗に使っ
てるが）。

>>193 Hartshorneの演習問題 II.1.16(b)の解答（再修正版）
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃U の開被覆 {U_i}(i∈I) ∃t_i∈F(U_i) s.t. t_i → s|U_i。
任意のi, j に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および {c_ij} が c_ii = 0, c_ij = -c_ji, c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすことが容易にわかる。
いま、0∈Iをひとつとって固定する。F' が軟弱だから、各c_0i∈F'(U_0∩Ui)を
c_i∈F'(U_i)に延長することができる。この{c_i}は、
∀ i, j c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j)
を満たしていることが容易にわかる。
{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、
これが求めるs の逆像となる。
以上。

304:１３２人目の素数さん
03/10/24 21:44
このスレむちゃくちゃだな・・。

305:１３２人目の素数さん
03/10/25 00:46
ベクトルは大切に。

306:１３２人目の素数さん
03/10/25 14:18

>>304 このスレむちゃくちゃだな・・。

は、W不 ◆v.V7zKGUME。
語尾の「・・。」でわかる。
きちんと名乗るように。じゃないと無視できないんで。

307:１３２人目の素数さん
03/10/25 16:49
>>284
確かTamme" Introduction to etale cohomology" ( Springer) に載っていたはず。
発想法だけなら、永田らの「抽象代数幾何」でも得られる。

308:３０４
03/10/25 17:27
>>306
ハズレ

煽っているわけではない。ただ「激しい」という意味で言っただけ。

309:１３２人目の素数さん
03/10/25 17:32
確かに、２ちゃんらしからぬ良スレですね。

310:教育課
03/10/25 17:41

W不君は数学の才能ないみたいだから諦めた方がいいな。

311:１３２人目の素数さん
03/10/25 17:45
そもそもリアルでは数学をやっていない気がする。

312:１３２人目の素数さん
03/10/25 17:55
>>311
胴衣。すくなくともM2はありえない。

313:１３２人目の素数さん
03/10/25 18:54
>>288
>で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit
保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも
自信ないんですが。

pull backとprojective limitを保つのは、定義から明らか。
スキームのprojective limitが必ず存在するかどうかは、知らない。

314:１３２人目の素数さん
03/10/25 22:13
>>313
以下のようにしてsch/Rがprojective limitが構成できると思うんですが
どうでしょう？
　
Π=(Xi,πij)がprojective system、X=proj.limXi (ただし位相空間の圏におけるprojective limit)
とおく。πi:X→Xiを(位相空間の圏の)cannonical projectionとする。
πi^*(O_{X_i})はX上のR代数の層のinductive systemになる。このinductive systemの
inductive limitをO_Xとおく。(前層のinductive limitの層化が層のinductive limitになる。)
　
でたぶん(X,O_X)はΠのprojective limitになってると思うんですが。もひとつ自信がありません。
どうでしょう？

315:１３２人目の素数さん
03/10/25 23:52

どうでしょう？

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