数学において、q二項定理（q-binomial theorem）は二項定理のqアナログである[1]。超幾何級数 の和は通常の二項定理

で与えられる。これに倣い、q超幾何級数の和を与える公式

をq二項定理と呼ぶ。ただし、はポッホハマー記号、はqポッホハマー記号である。
目次

1 証明

2 別証明

3 コーシーの二項定理

4 出典


証明

右辺をとして関数方程式を導く。

これにより、左辺を得る。
別証明

左辺をとして関数方程式を導く。

をテイラー級数に展開しての係数を比較すると

となり、であるから

となる。これにより、右辺を得る。
コーシーの二項定理

コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である[2]。

ただし、

はq二項係数である。q二項定理にを代入すると

となるが、左辺はでとなり、右辺はの分子がの分母を打ち消す。従って、

である。左辺はqポッホハマー記号の変換式により、

となる。
出典^ ⇒Wolfram Mathworld: q-Binomial Theorem
^ ⇒Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem
カテゴリ：

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更新日時:2009年10月10日(土)13:43（日時は
取得日時:2012/05/25 12:42