重力場
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重力場の概念図

重力場(じゅうりょくば、英語: gravitational field)とは、万有引力(重力)が作用する時空中に存在するのこと。

重力を記述する手法としては、ニュートンの重力理論に基づく手法と、アインシュタインによる一般相対性理論に基づく手法がある。
目次

1 ニュートン的な重力場

1.1 重力ポテンシャル


2 一般相対性理論的な重力場

3 脚注

4 参考文献

5 関連項目

ニュートン的な重力場

位置 r にある質量 m の粒子に作用する重力 Fg は

F g = m g ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{g}=m{\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {r}})}

と表される。この g が重力場である。重力場はベクトル場である。比例係数は重力質量と呼ばれる質量であるが、等価原理により慣性質量と等しい。

ニュートンの重力理論によれば、位置 x に生じる重力場 g は、位置 ri にある質量 mi による重力の重ね合わせであり、質量に比例し距離の 2 乗に反比例する[1]

g ( x ) = − G ∑ i m i ( x − r i ) 。 x − r i 。 3 {\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=-G\sum _{i}{\frac {m_{i}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i})}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|^{3}}}}

ここで、比例係数 G はニュートンの重力定数である。
重力ポテンシャル

重力場の回転を取ると、ゼロとなる。従って、重力場にはポテンシャルが存在する。

スカラー

ϕ ( x ) = − G ∑ i m i 。 x − r i 。 {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})=-G\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|}}}

を考えると重力場は

g ( x ) = − ∇ ϕ ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=-\nabla \phi ({\boldsymbol {x}})}

と表される。この φ は重力ポテンシャルと呼ばれる。重力ポテンシャルを指して重力場と呼ぶ場合もある。

質量分布を

ρ ( x ) = ∑ i m i δ 3 ( x − r i ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})=\sum _{i}m_{i}\delta ^{3}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i})}

で定義すれば、重力ポテンシャル

ϕ ( x ) = − G ∫ ρ ( r ) d 3 r 。 x − r 。 {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})=-G\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\,d^{3}{\boldsymbol {r}}}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}|}}}

となる。重力ポテンシャルはポアソン方程式

△ ϕ ( x ) = 4 π G ρ ( x ) {\displaystyle \triangle \phi ({\boldsymbol {x}})=4\pi G\rho ({\boldsymbol {x}})}

で決定される。
一般相対性理論的な重力場

一般相対性理論においては、重力とは時空の歪みであると考える。平坦な時空の中で重力によって曲がるのではなく、歪んだ時空の中を進んでいると考える。

時空の歪みは時空の計量 g によって表される。重力場が弱いときには世界間隔

d s 2 = g μ ν d x μ d x ν = ( 1 + 2 ϕ c 2 ) c 2 d t 2 − ( 1 − 2 ϕ c 2 ) ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) {\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\left(1+{\frac {2\phi }{c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {2\phi }{c^{2}}}\right)(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}

と表され、計量はニュートン的な極限で重力ポテンシャルと関係している。歪んだ時空の中での進み方は測地線の方程式

d 2 x μ d τ 2 + Γ ρ σ μ d x ρ d τ d x σ d τ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\rho \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\rho }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}=0}

で記述される。Γ はクリストッフェル記号で、計量の微分によって書かれる。

時空の歪みはアインシュタイン方程式

G μ ν + Λ g μ ν = κ T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}

によって決定される。

ゆがんだ時空中では、物体の軌跡や光線が曲がる。これは質量やエネルギーや運動量のつくる重力によって軌跡や光線が曲げられたとみなされ、時空のゆがみが重力場と解釈できる。[要出典]

ただし、一般相対性理論の基本原理である等価原理によると、加速する系における物体の運動と、重力場のなかでの物体の運動は(局所的には)区別できない。つまり、万有引力の源となる質量やエネルギーや運動量のない時空においても、座標変換によって重力場を作ることができることになる。[要出典]

質量やエネルギーや運動量によってゆがんだ時空のみを重力場とみなすか、それとも「ロケットが加速すると重力場が生じる」という言い方も許容するか(座標系の取り方によって計量テンソルがミンコフスキーの計量テンソルからずれた時空も重力場とみなすか)という立場の違いによって、一般相対性理論における重力場には解釈の余地があることになる(もちろん、立場のちがいによって軌跡や光線の計算結果に差はない)。[要出典]
脚注^ 藤原


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