自己記述数
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自己記述数(じこきじゅつすう、self-descriptive number)とは、以下の条件を満たす整数 m のことである。

m の桁数 b が、m の基数を示す。

先頭の桁を0桁目としたとき、m の全ての n 桁目の数字 d が、m における数字 n の個数を示す。


目次

1 例

2 他の基数における自己記述数

3 特性

4 出典


基数10において、6210001000は以下の理由で自己記述数である。

桁数10が、その基数10を示している。

0桁目の数字6が、6210001000の中に数字0が6個あることを示している。

1桁目の数字2が、6210001000の中に数字1が2個あることを示している。

2桁目の数字1が、6210001000の中に数字2が1個あることを示している。

3桁目の数字0が、6210001000の中に数字3が0個あることを示している。

4桁目の数字0が、6210001000の中に数字4が0個あることを示している。

5桁目の数字0が、6210001000の中に数字5が0個あることを示している。

6桁目の数字1が、6210001000の中に数字6が1個あることを示している。

7桁目の数字0が、6210001000の中に数字7が0個あることを示している。

8桁目の数字0が、6210001000の中に数字8が0個あることを示している。

9桁目の数字0が、6210001000の中に数字9が0個あることを示している。

他の基数における自己記述数

基数1, 2, 3, 6には自己記述数が存在しない。7以上の基数では、少くとも以下の形式の自己記述数が必ず存在する。 ( b − 4 ) b b − 1 + 2 b b − 2 + b b − 3 + b 3 {\displaystyle (b-4)b^{b-1}+2b^{b-2}+b^{b-3}+b^{3}}

この数は、0桁目の数字が b ? 4 、1桁目の数字が 2、2桁目の数字が 1、b ? 4 桁目の数字が 1、それ以外の桁の数字が 0 となる。

以下に、各基数における自己記述数を示す。

基数自己記述数 (オンライン整数列大辞典の数列 A138480)基数10での値 (オンライン整数列大辞典の数列 A108551)
1なし
2なし
3なし
41210, 2020100, 136
5212001425
6なし
73211000389305
8421010008946176
9521001000225331713
1062100010006210001000
1172100001000186492227801
128210000010006073061476032
139210000001000213404945384449
14A21000000010008054585122464440
15B21000000001000325144322753909625
16C21000000000100013983676842985394176
.........
36W21000...0001000
省略部には23桁の 0 がある)約 2.14349×1053
.........

特性

上の表に記載されている数字からは、全ての自己記述数は全ての桁の数字の合計(数字和)が基数と一致する、また、全ての自己記述数は基数の倍数であるように見える。1つ目の事象については、自己記述数の定義より、全ての桁の数字の合計は桁数と一致し、桁数は基数を表しているということから自明である。

基数bの自己記述数が必ずその基数の倍数である(あるいは、自己記述数の最後の桁の数字が必ず0である)ことは、次のように証明できる。

基数bの自己記述数mが、桁数はb桁だがbの倍数ではない(最後の桁の数字が0ではない)と仮定する。

この場合、b ? 1 桁目(最後の桁)の数字は少くとも1となる。これは、mに数字 b ? 1 が少なくとも1つは存在することを意味する。

数字 b ? 1 がx桁目にあるとした場合、m の中に数字 x が b ? 1 個存在しなければならない。

従って、m には少くとも1の数字が1個、数字 x が少なくとも b ? 1 個あることになる。ここで、x > 1 の場合、m の桁数が b を超えるので、最初の仮定と矛盾している。また、x = 0 または 1 の場合も矛盾が生じる。

基数bの自己記述数は、基数bのハーシャッド数である。
出典

Clifford Pickover, Keys to Infinity, Chapter 28, "Chaos in Ontario." New York: Wiley, pp. 217?219, 1995.

Weisstein, Eric W. ⇒"Self-Descriptive Number". MathWorld(英語). CS1 maint: Multiple names: authors list

"Sloane's A108551 : Self-descriptive numbers in various bases". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

"Sloane's A046043 : Autobiographical numbers". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

Autobiographical Numbers, ⇒http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=881 


更新日時:2017年7月25日(火)04:09
取得日時:2018/04/22 04:19


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