この項目では、数学における素数について記述しています。日本の化粧品会社の社名については「素数 (企業)」をご覧ください。
素数（そすう、英: prime number）とは、1 と自分自身以外に正の約数を持たない、1 でない自然数のことである。算術の基本定理とは「1でない任意の自然数が素数の冪の積として、因数の順序を除いて一意に表される」という素因数分解の可能性、一意性を述べた定理で、算術（初等数論）における素数の中心的な役割を果たすが、1 は素数とすると、この定理において一意性が成立しなくなる（そのため、現在一般的に用いられる素数の定義においては、1 は除外される）。
素数は無数に存在することが、紀元前3世紀頃のユークリッドの原論において既に証明されていた。
整数の中で、あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想のような現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。
2008年8月、史上最大の素数探求のための分散コンピューティング・プロジェクトであるGIMPSによって、その時点で史上最大とされる素数が発見された。これは2009年10月現在において知られている中で47番目のメルセンヌ素数、243112609 ? 1 であり、十進記数法で表記したときの桁数は1297万8189桁に及ぶ[1]。 100までの素数 ある自然数が素数であるとは、1 より大きくただ2つだけの正の約数を持つこと、すなわち 1 と自分自身でしか割り切れないことであると定義される。例えば、5 の正の約数は 1, 5 だけなので素数である。一方で 4 は、正の約数が 1, 2, 4 なので素数でない。2以上の自然数で素数でないものを合成数と呼ぶ。 100以下の素数を小さい順に列挙すると次の通り。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97（オンライン整数列大辞典の数列 A40 詳細は「算術の基本定理」を参照 自然数に対して、「2以上の任意の自然数は素数の積として表すことができ、その表し方はかけ算の順序を入れ替えることを除けば一通りである」という素因数分解の可能性、一意性が成立する。すなわち、1 と「素数全体」は自然数全体の成す集合を（乗法に関して）生成する最小の生成系である。俗な表現をすれば、これは「素数は自然数の構成要素としての役割を果たしている」というような意味と受け取ってよい。 素数の定義である「1 と自分自身でしか割り切れない」という条件（既約性）は、抽象代数学において、環の既約元の概念（一部の環では素元の概念と一致する）に抽象化され一般的に取り扱われる。一般の環の理論の中で、既約元によって全体が生成され、その表示が一意的に決まるという性質は稀有なものである。例えばネーター環に分類される環ではいつでも各元の既約元分解ができるが、しかし既約元分解の表示が一意でないネーター環の例はいくつも知られている。一意的な既約元分解ができる環は一意分解環と呼ばれ、既約元分解は素元分解ともなる。 古代ギリシアでは、1 はそもそも、数（自然数）であるとさえ見なされなかった[2]ので、もちろん 1 は素数ではなかった。一方、19世紀には、1 は素数であると考える数学者が多く存在した。例えば、レーマー
目次
1 定義と例
2 素因数分解の一意性
2.1 1は素数であるか
3 歴史
4 素数の個数
4.1 ユークリッドによる証明
4.2 他の証明
5 素数判定と素因数分解
6 分布
7 素数に関連する主な性質
7.1 素数の逆数和
7.2 その他の性質
8 素数生成式
9 特殊な形をした素数
10 未解決問題
11 応用
11.1 公開鍵暗号
11.2 自然界の素数
12 語呂合わせ
13 脚注
14 関連項目
15 参考文献
16 外部リンク
定義と例
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素因数分解の一意性
1は素数であるか
