渦巻
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この項目では、スパイラル(2次元曲線)について説明しています。ヘリックス(3次元曲線)については「螺旋」を、流体での現象については「」を、その他の用法については「渦巻 (曖昧さ回避)」をご覧ください。

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自然界に多く見られる渦巻(対数螺旋)

渦巻(うずまき)は、が巻くような、旋回するにつれ中心から遠ざかる(あるいは逆向きにたどれば近づく)曲線である。主に平面曲線であるが、曲面上にも定義できる。

渦巻線(うずまきせん)、しばしば螺旋とも呼ばれる。自然界での気体液体は螺旋となるものは少なくほとんどは重力圧力によって渦巻を成す。植物(つる)は局部的に螺旋または渦巻を成すことがある。


目次

1 渦巻の例

2 渦巻と螺旋

3 数学的記述

4 曲面上の渦巻

5 象徴

6 脚注


渦巻の例

アンモナイトオウムガイ巻貝貝殻。なお、二枚貝の貝殻も、蝶番部を通るように切断すれば、その断面は、きわめて巻き数が少ない渦巻である。

レコードCDのトラック。(DVDハードディスクのトラックは同心円である)

蚊取り線香

鳴門巻の模様

ヴォリュート(英語版)[1]

渦巻銀河の腕。

斥力遠心力のバランスが崩れた時の惑星衛星彗星軌道

指紋の分類の1つ渦状紋

流体

台風

竜巻

旋風

渦潮



オウムガイの貝殻。

蚊取り線香

アロエ

ボイシの舗装タイル。渦巻状に銘文が配されている。

渦巻銀河M51

2005年のタリム台風13号)。

渦巻と螺旋螺旋階段。平面に投影すると渦巻となる。

渦巻(スパイラル)は、旋回するにつれ中心から遠ざかる2次元曲線だが、螺旋(ヘリックス)は、旋回するにつれ旋回面に垂直成分を持つ方向に動く3次元曲線である。螺旋の例としては螺旋階段ねじの溝、DNA分子などがある。

スパイラルとヘリックスの混同は英語でも見られるが、日本語とは逆に、学術的にはヘリックスであるものがスパイラルと呼ばれることが多い。たとえば、螺旋階段は英語ではspiral stairwayである。

渦巻と明確に区別するため、本来の螺旋を弦巻線と呼ぶことがある。

螺旋を平面に投影すると、渦巻の一種の双曲螺旋となる。
数学的記述

デカルト座標より極座標で簡単に記述できることが多い。極座標では、 r {\displaystyle r} が θ {\displaystyle \theta } の滑らか単調関数(単調増加関数または単調減少関数)として記述できる。デカルト座標では角度を媒介変数として表す。

代表的な渦巻線の例は以下のとおり。

r = a + b θ {\displaystyle r=a+b\theta \,}  : アルキメデスの螺旋。線が等間隔となる。

r = ± a θ ( r 2 = a 2 θ ) {\displaystyle r=\pm a{\sqrt {\theta }}\quad (r^{2}=a^{2}\theta )}  : フェルマーの螺旋。原点で滑らかに繋がる2本のらせんからなる。

r = a θ ( r θ = a ) {\displaystyle r={\frac {a}{\theta }}\quad (r\theta =a)}  : 双曲螺旋。有限の巻き数で無限遠点に発散し、y = a に漸近する。

r = a θ ( r 2 θ = a 2 ) {\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\quad (r^{2}\theta =a^{2})}  : リチュース。有限の巻き数で無限遠点に発散し、x軸に漸近する。

r = a b θ {\displaystyle r=ab^{\theta }\,}  : 対数螺旋。角度が一定で、自らを拡大縮小したものと合同

クロソイドまたはコルヌ螺旋、オイラーの螺旋。中心を2つ持つため式は複雑になる。

これらのうち、代数式で表せるものを代数螺旋という。アルキメデスの螺旋は明らかに代数螺旋だが、( ) 内に代数式への変形を示した螺旋も、代数螺旋である。

アルキメデスの螺旋

フェルマーの螺旋

双曲螺旋

リチュース

対数螺旋

クロソイド

曲面上の渦巻等角航路

地球上で一定の方角を保ったまま進んだときの軌跡、つまり等角航路は、球面上の渦巻(対数螺旋)である。

巻貝の貝殻は、円錐面上の渦巻(対数螺旋)である。

これらの曲面を円筒面へと近づけた極限は螺旋となる。たとえば、等角航路は赤道付近では螺旋に近いし、頂角が狭い円錐面上の渦巻は頂点付近を除けば螺旋に近い。ただし、真の螺旋は曲面上の渦巻と異なり、中心がない。
象徴アイルランド、ニューグランジ墳墓浮き彫り

渦巻は力動的な回転象徴として使われる[1]。 多くの古代文明で、冥界死と再生の循環の象徴とみなされ、古墳などにしばしば描かれた。
脚注^ a b 篠田知和基『ヨーロッパの形:螺旋の文化史』 八坂書房 2010年 ISBN 9784896949636 pp.198-202.

ウィキメディア・コモンズには、渦巻に関連するカテゴリがあります。


更新日時:2017年11月15日(水)00:38
取得日時:2018/06/24 23:47


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