微分法
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この項目では、解析学の分野について説明しています。微分を求める操作、微分演算については「微分」をご覧ください。
函数のグラフ(黒)とその接線(赤)。接線の傾きが接点における函数の微分係数に等しい。

数学における微分法(びぶんほう、: differential calculus; 微分学)は微分積分学の分科で、量の変化に注目して研究を行う。微分法は積分法と並び、微分積分学を二分する歴史的な分野である。

微分法における第一の研究対象は函数微分(微分商、微分係数)、および無限小などの関連概念やその応用である。函数の選択された入力における微分商は入力値の近傍での函数の変化率を記述するものである。微分商を求める過程もまた、微分 (differentiation) と呼ばれる。幾何学的にはグラフ上の一点における微分係数は、それが存在してその点において定義されるならば、その点における函数のグラフ接線傾きである。一変数の実数値函数に対しては、一点における函数の微分は一般にその点における函数の最適線型近似を定める。

微分法と積分法を繋ぐのが微分積分学の基本定理であり、これは積分が微分の逆を行う過程であることを述べるものである。

微分は量を扱うほとんど全ての分野に応用を持つ。たとえば物理学において、動く物体の変位時間に関する導函数はその物体の速度であり、速度の時間に関する導函数は加速度である。物体の運動量の導函数はその物体に及ぼされた力に等しい(この微分に関する言及を整理すればニュートンの第二法則に結び付けられる有名な方程式 F = ma が導かれる)。化学反応反応速度も導函数である。オペレーションズ・リサーチにおいて導函数は物資転送や工場設計の最適な応報の決定に用いられる。

導函数は函数の最大値・最小値を求めるのに頻繁に用いられる。導函数を含む方程式は微分方程式と呼ばれ、自然現象の記述において基本的である。微分およびその一般化は数学の多くの分野に現れ、例えば複素解析函数解析学微分幾何学測度論および抽象代数学などを挙げることができる。
目次

1 微分

2 微分法の歴史

3 応用

3.1 最適化問題

3.1.1 変分法


3.2 微分方程式

3.3 平均値の定理

3.4 テイラー展開

3.5 陰函数定理


4 注釈

5 参考文献

微分 点 (x,f(x)) における接線詳細は「微分」を参照

x および y は実数で、y は x の函数、すなわち各 x の値に対して対応する y の値がひとつ存在すると仮定する。この関係を y = f(x) と書くことができる。f(x) が直線に対する等式(線型方程式)ならば二つの実数 m および b が存在して y = mx + b が成り立つ。この「傾き・切片標準形」において m は傾きと呼ばれ、差分商 m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

によって決定することができる。ここに記号 Δ(ギリシャ文字大文字のデルタ)は変化の増分を表す。従って Δy = m Δx。

直線でない一般の函数では、傾きを持たないことが起こる。幾何学的には、点 x = a における f の微分係数とは函数 f の点 a における接線の傾きのことをいい、上記の差分商の極限(微分商)に等しい。これはしばしばラグランジュの記法に従って f'(a), あるいはライプニッツの記法に従って dy/dx|x=a と書かれる。微分商は f の a における線型近似の傾きであるから、この微分商(と a における f の値)は点 a の近くで f の最適線型近似あるいは線型化を決定する。

f の定義域の各点 a において微分商が存在するならば、各点 a を f の a における微分商へ写す函数(導函数)が存在する。例えば、f(x) = x2 とすれば導函数は f'(x) = dy/dx = 2x である。

これと近しい関係の概念として、函数の微分がある。接点 (a, f(a)) を原点として、各軸に平行な座標軸 dx, dy を持つ局所座標系を考えるとき、この座標系において原点を通り傾き dy/dx|x=a の直線(すなわち、もとの座標系でみれば f の a における接線)は dy = dy/dx|x=a dx で表される。これは x = a における増分 Δy = Δy/Δx|x=a Δx の線型化、線型主要部であり、dy は f の a における微分と呼ばれる。

x および y が実変数のときは f の x における微分商は f のグラフの x における接線の傾きであり、f の始域と終域は一次元であるから、f の微分商は実数として与えられるが、x および y がベクトル変数のとき、f のグラフの最適線型近似は f が一度に複数の方向へどれほど変化するかに依存する。一つの方向に関する最適線型近似をとることは偏微分係数(通常、∂y/∂x と書かれる)を決定する。一度にすべての方向への f の線型化は全微分 df という。
微分法の歴史詳細は「微分積分学の歴史(英語版)」を参照

接線の傾きを知るという意味で言えば、微分係数の概念は旧く古代ギリシアエウクレイデス (c. 300 BC), アルキメデス (c. 287?212 BC), ペルガのアポロニウス (c. 262?190 BC) ら幾何学者たちには馴染みのものであった[1]。またアルキメデスは無限小を用いる方法も導入しているが、それは微分や接線に関してではなくて主に面積や体積に対してである(アルキメデスの『方法論』(英語版)の項を参照)。

変化率の研究に無限小を利用することは、インドの数学において恐らく紀元前500年くらい頃には見つけることができる。天文学者で数学者のアリヤバータ (476?550) は月の運行の研究に無限小を用いた[2]。変化率の計算に無限小を用いる手法はバースカラ2世 (1114?1185) によって飛躍的に推し進められた。実際、ロルの定理など[3]の微分法における重要な概念がその研究結果には含まれていると言われている[4]ペルシアの数学者シャラフ・アル?ディン・アル?ツシ(英語版) (1135?1213) は三次多項式微分係数を初めて求めて、微分法における重要な足跡を残した[5]。その「方程式に関する研究論文」では、導函数や曲線の最大と最小など、正の解を持たない三次方程式を解くための微分法に関する概念が展開されている[6]

現代的な微分積分学は、アイザック・ニュートン (1643?1727) およびゴットフリート・ライプニッツ (1646?1716) の両者が独立に創始したというのが通例である[注 1]。これにより微分を求めることと接線の傾きを求めることとが統一的に扱われるようになるが、彼らを創始者とする鍵となる洞察は微分法と積分法とを結びつける微分積分学の基本定理であり、これは時代遅れの(イブン・ハイサム(アルハゼン)の時代[7]からそれほど拡張されたわけではなかった)古くからある面積や体積の計算法を塗り替えるものである[注 2]。ニュートンとライプニッツ両者の微分に関する考え方は、アイザック・バロー (1630?1677), ルネ・デカルト (1596?1650), クリスティアーン・ホイヘンス (1629?1695), ブレーズ・パスカル (1623?1662), ジョン・ウォリス (1616?1703) ら数学者の著しい先駆的研究の上に打ちたてられている。一般的にはバローが微分の先駆的発明者とされる[8]にも拘らず、ニュートンとライプニッツが微分法の歴史における重要人物であることに変わりないのは、少なくともニュートンが微分法を理論物理学に応用した最初の人であり、一方ライプニッツは今日においても使用される系統的な記号法を生み出したといった理由による。

17世紀以降多くの数学者が微分法に貢献している。19世紀には、微分積分学はオーギュスタン・ルイ・コーシー (1789?1857), ベルンハルト・リーマン (1826?1866), カール・ヴァイヤストラス (1815?1897) ら数学者によってより厳密な基礎の上に置かれることになる。


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