弾性エネルギー
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物理学
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弾性エネルギー(だんせいエネルギー、英語: elastic energy)とは、ばねゴムなどの弾性体の変形に伴うエネルギーである。位置エネルギーの一種である。


目次

1 一次元の線形弾性体

1.1 導出


2 弾性エネルギーの例

3 関連項目


一次元の線形弾性体

フックの法則に従うバネ係数 k のバネの伸びが x であるときの弾性エネルギーは U = k 2 x 2 {\displaystyle U={\frac {k}{2}}x^{2}}

で与えられる。
導出

一端が壁に固定されたフックの法則に従うバネ係数 k のバネに接続された物体を考える。バネの伸びが x のとき、バネが物体に及ぼす力は F = ?kx である。 バネの伸びが Δx だけ変化するとき、バネに接続された物体は Δx だけ移動する。 バネの伸びの変化が充分に小さい場合には、バネが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、バネが物体に行う仕事は W = F Δ x = − k x Δ x {\displaystyle W=F\,\Delta x=-kx\,\Delta x}

である。 一方、バネが物体に仕事を行うとき、バネから物体にエネルギーが移動する。バネの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、バネが行う仕事の分だけバネが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを U、その変化量を ΔU とすれば W = − Δ U {\displaystyle W=-\Delta U}

である。

これら二つの式から Δ U = k x Δ x {\displaystyle \Delta U=kx\,\Delta x}

が得られる。バネの伸びが無限小の極限 Δx → 0 で、微分係数が d U d x = k x {\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=kx}

となる。これを積分すれば U = k 2 x 2 + U 0 {\displaystyle U={\frac {k}{2}}x^{2}+U_{0}}

が導かれる。ここで U0 は積分定数であり、これは伸びが x = 0、すなわちバネが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は U0 = 0 と定める。
弾性エネルギーの例

弾性エネルギーは例として伸びている「ゴム」や「ばね」などのことを言う。
関連項目

弾性

仕事

力学的エネルギー

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更新日時:2017年1月9日(月)09:59
取得日時:2018/06/25 20:30


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