回文数
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回文数(かいぶんすう、Palindromic number)とは、なんらかの位取り記数法(n進法)で数を記した際、たとえば十進法において14641のように逆から数字を並べても同じ数になる数である。同様の言葉遊びである回文にちなむ名前である。具体的には0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,…(オンライン整数列大辞典の数列 A002113)

である。
回文数は、趣味の数学の分野ではよく研究の対象になる。代表的なものとしては、ある性質を持った回文数を求めることがある。以下のようなものがよく知られている。
回文素数
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
回文平方数[1]
0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

バックミンスター・フラーは著書の中で、回文数を「シャハラザード数」とも呼んでいる。これは、『1001夜物語』(1001も回文数である)のヒロインの名にちなんでいる。
目次

1 定義

2 十進法における回文数

2.1 主な回文数の個数

2.2 11の倍数

2.3 Lychrelプロセス


3 十進法以外

4 脚注

5 関連項目

定義

任意の整数 n > 0 は、b 進法(ただし、b ≧ 2)の位取り記数法により k + 1 桁の数字として以下の式で一意的に表すことができる。 n = ∑ i = 0 k a i b i , {\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i},}  ただし、任意の i に対し 0 ≦ ai < b, ak ≠ 0

n が回文数になるのは、任意の i に対して ai = ak−i が成り立つときである。また、0は何進法においても回文数である。
十進法における回文数

すべての1桁の数は回文数である(これは記数法に依らない)。十進法では以下の10個である。

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2桁の回文数は以下の9個である。

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

3桁の回文数は90個ある。

101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, … 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

4桁の回文数は90個ある。

1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999

主な回文数の個数

最大桁数1桁2桁3桁4桁5桁6桁7桁8桁9桁10桁OEIS
総数1019109199109919991099919999109999199999オンライン整数列大辞典の数列 A002113
偶数594989489889488988894888988889オンライン整数列大辞典の数列 A062287
奇数51060110610111061101111061110111110オンライン整数列大辞典の数列 A029950
平方数36131419オンライン整数列大辞典の数列 A002779
素数45201137815953オンライン整数列大辞典の数列 A002385
平方数を約数として持たない数61267120675
平方数を約数として持つ数(μ(n)=0)364178423
素数の平方235オンライン整数列大辞典の数列 A065379
偶数個の素数の積(μ(n)=1)263556324
奇数個の素数の積(μ(n)=?1)573365352
2つの素数の積373650269オンライン整数列大辞典の数列 A046328
3つの素数の積142658295オンライン整数列大辞典の数列 A046329
楔数011242229オンライン整数列大辞典の数列 A046393
カーマイケル数01
約数の和(σ(n))も回文数になる61047114688オンライン整数列大辞典の数列 A028980

(注意.上位桁の個数は下位桁の個数を含む。)

平方したとき回文数になる非回文数は 26, 264, 307, 836, 2285, 2636, 22865,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A251673)
(例. 2642 = 69696)

立方数が回文数になる数は 1, 2, 7, 11, 101, 111, 1001, 2201, 10001,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A002780)
(例. 22013 = 10662526601)
11の倍数

偶数桁の回文数は、11の倍数である[2][3][4][5][6]
Lychrelプロセス詳細は「Lychrel number(英語版)」を参照

回文数でない数から回文数を作る方法として、逆にした数を加えていく、Lychrelプロセスがある[7]

たった1回の操作で回文数ができるものは、以下のような数がある。33(12+21)以降の2桁の回文数、121(29+92 = 38+83 = 47+74 = 56+65)、303(102+201)……。

なお、3桁の数(100 - 999の900個)のうち以下の13個は、何度操作を繰り返していっても回文数にならないとされている(通称「196問題」[8][9]。196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986
十進法以外

ここまでの節で扱ったものは全て十進法における回文数であるが、十進法以外のN進法でも回文数は発生する。例えば二進法の回文数は

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …(オンライン整数列大辞典の数列 A057148)

となる。メルセンヌ数フェルマー数は、二進法における回文数に含まれる。(上記の二進法の回文数において対応する十進法の数はオンライン整数列大辞典の数列 A006995を参照。)

多くの場合、十進法での回文数は他の記数法においては回文数にはならないし、他の記数法での回文数は十進法では回文数にならない。例えば十進法の16461は、十六進法では404Dとなる。同じく、十進法の1999は「立方数の2倍の一つ前」であるが、六進法では13131となり回文数となる。

しかし、複数の記数法において回文数になる数も存在する。例えば十進法における105は、四進法(1221)・八進法(151)・十四進法(77)・二十進法(55)・三十四進法(33)で回文数となる。また、十進法における1991は十六進法(7C7)でも回文数となる。

任意の数字 n は、b 進法(ただし、b ≧ n + 1 又は b = n ? 1)において回文数となる。2 ≦ b ≦ n ? 2 であるすべての b 進法において n が回文数にならないとき、n をstrictly non-palindromic number と呼ぶ。

十八進法において、7の累乗のいくつかは回文数になる。73 = 11174 = 77776 = 1232179 = 1367631

すべての記数法において、回文数は無限に存在する。例えば、

1, 11, 101, 1001, 10001, …

1, 11, 111, 1111, 11111, …

といったようにして、いくらでも挙げることができる。
脚注

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^A002779 - OEIS
^ 面白くて眠れなくなる数学BEST p.207-209 桜井進
^ 〈数学の目で見るシリーズF〉素朴な疑問―小・中の橋渡しの巻 2桁の数はどんな数でも回文数になるのかな? 教科研究数学 No.202(町田彰一郎)


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