二面体群
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結晶は正六角形と同等の対称性を持つ。

代数的構造 → 群論
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Dicyclic group(英語版) Dicn


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離散群

格子(英語版)


整数 (Z)

格子
モジュラー群

PSL(2, Z)

SL(2, Z)

位相/リー群

ソレノイド(英語版)

円周


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特殊線型 SL(n)


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ユークリッド E(n)


特殊直交 SO(n)


ユニタリ U(n)


特殊ユニタリ SU(n)


斜交 Sp(n)


G2(英語版)

F4(英語版)

E6(英語版)

E7(英語版)

E8


ローレンツ

ポアンカレ

共形(英語版)


微分同相

ループ(英語版)
無限次元リー群(英語版)

O(∞)

SU(∞)

Sp(∞)

代数群

楕円曲線


線型代数群


アーベル多様体

二面体群(にめんたいぐん、: dihedral group)とは、正多角形対称性を表現した数学的対象である。より正確には、正多角形を自分自身に移す合同変換全体の成すのことである。そのような合同変換は、回転鏡映の二種類がある。二面体群は、有限非可換群の最も単純な例であり、群論幾何学化学などの分野において重要な役割を果たす。類似の概念は、3次元以上の正多面体正多胞体に対しても与えることができる。「二面体」とは、正多角形を3次元空間内で見て裏表の区別を付けたもの、といった意味合いである。
目次

1 定義

1.1 群の元

1.2 群の構造

1.3 行列による表現


2 位数の小さな二面体群

3 視覚的な説明

3.1 対称図形の例


4 同値な定義

5 性質

5.1 共役類と鏡映

5.2 自己同型群


6 脚注

7 関連項目

8 参考文献

9 外部リンク

定義
群の元 正六角形は6つの軸に対して線対称である

正 n 角形は 2n 通りの合同変換で不変である。内訳は、n 通りの回転と n 通りの鏡映である。これらが二面体群を構成するである。n 通りの回転とは、θ = 360°/n に対して θ の回転、2 × θ の回転、…、n × θ の回転の n 個である。最後のものは 360°の回転であるから、何もしないのと同等であり、これが二面体群の単位元である。鏡映の方は、n が偶数か奇数かによって多少状況が異なるが、いずれにせよ、正 n 角形は n 個の対称軸に関して線対称である。実際、n が奇数のときには、対称軸として、ひとつの頂点と向かい合う辺の中点を結んだ直線が n 本取れる。n が偶数のときには、正 n 角形の対称軸として、向かい合う頂点を結んだ直線が n/2 本、向かい合う辺の中点を結んだ直線が n/2 本の合計 n 本が取れる。これら n 本の軸に関する対称移動と、n 個の回転を合わせた 2n 個の合同変換の集合を Dn あるいは Dihn と書く。元が 2n 個であることを強調するために、添え字を 2n とする流儀もある。 正八角形の標識に D8 の16個の変換を施した結果。上の列が回転、下の列が鏡映によるものである。



群の構造 ふたつの鏡映の合成(赤→緑→赤)は回転となる。


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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)
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