二面体群
[Wikipedia|▼Menu]
結晶は正六角形と同等の対称性を持つ。

代数的構造 → 群論
群論

基本概念



部分群

正規部分群


商群

(半)直積

群準同型






直和


リース積

単純

有限


無限(英語版)

連続

乗法


加法

巡回

アーベル

二面体


冪零

可解


群論の用語



群論のトピックス一覧(英語版)


有限群

有限単純群の分類


巡回

交代

リー型(英語版)

散在(英語版)



ラグランジュの定理


シローの定理

ホールの定理


p 群

基本アーベル群


フロベニウス群(英語版)


シューア multiplier(英語版)



対称群 Sn


クラインの四元群 V

二面体群 Dn

四元数群(英語版) Q

Dicyclic group(英語版) Dicn




離散群

格子(英語版)


整数 (Z)

格子
モジュラー群

PSL(2, Z)

SL(2, Z)

位相/リー群

ソレノイド(英語版)

円周


一般線型 GL(n)


特殊線型 SL(n)


直交 O(n)


ユークリッド E(n)


特殊直交 SO(n)


ユニタリ U(n)


特殊ユニタリ SU(n)


斜交 Sp(n)


G2(英語版)

F4(英語版)

E6(英語版)

E7(英語版)

E8(英語版)


ローレンツ

ポアンカレ

共形(英語版)


微分同相

ループ(英語版)
無限次元リー群(英語版)

O(∞)

SU(∞)

Sp(∞)

代数群

楕円曲線


線型代数群


アーベル多様体

二面体群(にめんたいぐん、: dihedral group)とは、正多角形対称性を表現した数学的対象である。より正確には、正多角形を自分自身に移す合同変換全体の成すのことである。そのような合同変換は、回転鏡映の二種類がある。二面体群は、有限非可換群の最も単純な例であり、群論幾何学化学などの分野において重要な役割を果たす。類似の概念は、3次元以上の正多面体正多胞体に対しても与えることができる。「二面体」とは、正多角形を3次元空間内で見て裏表の区別を付けたもの、といった意味合いである。
目次

1 定義

1.1 群の元

1.2 群の構造

1.3 行列による表現


2 位数の小さな二面体群

3 視覚的な説明

3.1 対称図形の例


4 同値な定義

5 性質

5.1 共役類と鏡映

5.2 自己同型群


6 脚注

7 関連項目

8 参考文献

9 外部リンク

定義
群の元 正六角形は6つの軸に対して線対称である

正 n 角形は 2n 通りの合同変換で不変である。内訳は、n 通りの回転と n 通りの鏡映である。これらが二面体群を構成するである。n 通りの回転とは、θ = 360°/n に対して θ の回転、2 × θ の回転、…、n × θ の回転の n 個である。最後のものは 360°の回転であるから、何もしないのと同等であり、これが二面体群の単位元である。鏡映の方は、n が偶数か奇数かによって多少状況が異なるが、いずれにせよ、正 n 角形は n 個の対称軸に関して線対称である。実際、n が奇数のときには、対称軸として、ひとつの頂点と向かい合う辺の中点を結んだ直線が n 本取れる。n が偶数のときには、正 n 角形の対称軸として、向かい合う頂点を結んだ直線が n/2 本、向かい合う辺の中点を結んだ直線が n/2 本の合計 n 本が取れる。これら n 本の軸に関する対称移動と、n 個の回転を合わせた 2n 個の合同変換の集合を Dn あるいは Dihn と書く。元が 2n 個であることを強調するために、添え字を 2n とする流儀もある。 正八角形の標識に D8 の16個の変換を施した結果。上の列が回転、下の列が鏡映によるものである。



群の構造 ふたつの鏡映の合成(赤→緑→赤)は回転となる。

ある軸に関して対称移動し、続けて別の軸に関して対称移動すると、ふたつの軸の間の角度の2倍だけ回転するのと同じことになる。このように、Dn の元の合成はまた Dn の元になる。この演算によって、代数的な構造が入り、Dn は群となる。これを二面体群と呼ぶ。 正三角形を不変にする3つの鏡映

次の乗積表は、D3 の元の合成の結果を表している。Rk は k × 120°の回転を意味し、Sk は図のように反時計回りに順に添え字付けした軸に関する鏡映を意味する。

R0R1R2S0S1S2
R0R0R1R2S0S1S2
R1R1R2R0S1S2S0
R2R2R0R1S2S0S1
S0S0S2S1R0R2R1
S1S1S0S2R1R0R2
S2S2S1S0R2R1R0

例えば、S2S1 = R1 であるのは、S1 を施した後に続けて S2 を施すと 120°の回転になることを意味している(ここでは、右から変換を行う流儀を採用している)。他方、S1S2 = R2 であるから、この演算は可換ではない。
行列による表現

正多角形の中心を座標平面の原点に置けば、それを不変とする合同変換は線型写像と見なせる。これによって、Dn の各々の元は、行列で表すことができ、変換の合成は行列の積に対応する。これは、群の表現の一例である。

例えば D4 は、次の8つの行列から成る。 R 0 = ( 1 0 0 1 ) , R 1 = ( 0 − 1 1 0 ) , R 2 = ( − 1 0 0 − 1 ) , R 3 = ( 0 1 − 1 0 ) , S 0 = ( 1 0 0 − 1 ) , S 1 = ( 0 1 1 0 ) , S 2 = ( − 1 0 0 1 ) , S 3 = ( 0 − 1 − 1 0 ) . {\displaystyle {\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}}


次ページ
記事の検索
おまかせリスト
▼オプションを表示
ブックマーク登録
mixiチェック!
Twitterに投稿
オプション/リンク一覧
話題のニュース
列車運行情報
暇つぶしWikipedia

Size:43 KB
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)
担当:FIRTREE