リーゼル数
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シェルピンスキー数(シェルピンスキーすう、Sierpinski number)とは、全ての自然数 n に対して k × 2n + 1 が合成数素数ではない 2 以上の整数)となるような正の奇数 k のことである。

言い換えると、k がシェルピンスキー数ならば次の集合の元は全て合成数となる。 { k × 2 n + 1 : n ∈ N } {\displaystyle \left\{\,k\times 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}}

1960年に、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキ (Waclaw Sierpinski, 1882?1969) は、全ての n について k × 2n + 1 が決して素数とならない正の奇数 k が無限にあることを証明した。

1962年に、ジョン・セルフリッジ (John Selfridge) は 78557 がシェルピンスキー数であることを示した。つまり、Sn = 78557 × 2n + 1 は常に合成数となる。なぜならば、簡単な議論によって Sn は 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 のいずれかで割り切れることが分かるからである。例えば n が偶数ならば Sn は 3 で割り切れ、n が 4 で割って 1 余る数ならば Sn は 5 で割り切れる。

知られているシェルピンスキー数は以下のように続く。78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, … (オンライン整数列大辞典の数列 A076336)
目次

1 シェルピンスキーの問題

1.1 Seventeen or Bust


2 リーゼル数

3 ブリエ数

4 脚注

5 関連項目

6 外部リンク

シェルピンスキーの問題

78557 がシェルピンスキー数であることは証明されているが、この数が最小のシェルピンスキー数であるかどうかはまだ分かっていない。最小のシェルピンスキー数を求める問題を、シェルピンスキーの問題という。
Seventeen or Bust

Seventeen or Bust により発見された素数knk × 2n+1 の桁数発見日
46157698207210,1862002年11月27日
655671013803305,1902002年12月3日
44131995972299,8232002年12月6日
691091157446348,4312002年12月7日
547671337287402,5692002年12月22日
535950545021,521,5612003年12月6日
2843378304572,357,2072004年12月30日
2765391674332,759,6772005年6月8日
48473321063999,7442005年10月15日
19249130185863,918,9902007年5月5日
3366170312322,116,6172007年10月30日
10223?311721659,383,7612016年10月31日

分散コンピューティングによるプロジェクト "Seventeen or Bust" では、シェルピンスキーの問題の解決を目的として、78557 より小さいシェルピンスキー数の候補に対して素数の検索を行っている。プロジェクト名の由来は、プロジェクトを開始した2002年3月の時点で17個の候補があったためである。検索している全ての候補について素数が発見されたならば 78557 が最小のシェルピンスキー数ということになる。

このプロジェクトにより、2016年10月の時点で12個の素数が発見されており、2016年11月現在、素数となる数が見つかっていない k は、21181, 22699, 24737, 55459, 67607 の5個である。

2004年12月30日には、k = 28433 の系列で2,357,207桁の素数 28433 × 27830457 + 1 が発見された。発見時には、38番目のメルセンヌ素数である 26972593 - 1(2,098,960桁)を抜いて、当時知られていた素数の中では4番目に大きなものとして記録された。2007年5月5日には、k = 19249 の系列で3,918,990桁の素数 19249 × 213018586 + 1 が発見された。2012年6月の時点で知られている素数の中では10番目に大きい(9番目までは全てメルセンヌ素数)。

2016年10月31日には、k = 10223 の系列で9,383,761桁の素数 10223 × 231172165 + 1 が発見された。2016年11月の時点で知られている素数の中では7番目に大きい(6番目までは全てメルセンヌ素数)。[1]
リーゼル数

リーゼル数 (Riesel number) とは、シェルピンスキー数と似た定義の数であり、全ての自然数 n に対して k × 2n − 1 が合成数となる正の奇数 k である。スウェーデンの数学者ハンス・リーゼルに因む。知られているリーゼル数は509203, 762701, 777149, 790841, 992077, … (A101036)

と続く。509203 が最小のリーゼル数かどうかは知られていない。シェルピンスキー数に対する Seventeen or Bust と同様の取り組みとして、リーゼル数に対しては Riesel Sieve Project が立ち上げられ、その後 PrimeGrid が作業を引き継いでいる。509203 より小さく、k × 2n − 1 の形で素数となるものが見つかっていない k は2017年12月の時点で49個ある[2][3]
ブリエ数

ブリエ数 (Brier number) とは、シェルピンスキー数でもあり、リーゼル数でもある数である。つまり、全ての自然数 n に対して k × 2n + 1 および k × 2n − 1 が合成数となる正の奇数 k のことである。

知られているブリエ数は3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, … (A076335)と続く。これより小さなブリエ数があるかどうかは分かっていない。
脚注^ The Prime Pages, ⇒The Top Ten Record Primes
^ PrimeGrid, ⇒Message 112342
^ PrimePages, ⇒The Prime Database: 273809?*2^8932416-1

関連項目

数学上の未解決問題

外部リンク

Weisstein, Eric W. ⇒"Sierpinski Number of the Second Kind". MathWorld(英語). CS1 maint: Multiple names: authors list

The Prime Golssary, ⇒Sierpinski number

Seventeen or Bust

PrimeGrid, ⇒Seventeen or Bust and the Sierpinski Problem

Weisstein, Eric W. ⇒"Riesel Number". MathWorld(英語). CS1 maint: Multiple names: authors list

The Prime Golssary, ⇒Riesel number

PrimeGrid, ⇒About the Riesel Problem

Wilfrid Keller, ⇒The Riesel Problem: Definition and Status

The prime puzzles & Problem connection, ⇒Problem 29.- Brier Numbers


更新日時:2018年3月29日(木)09:06
取得日時:2018/09/24 04:37


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