ピタゴラスの定理
◇ピンチです!◇
■暇つぶし何某■

[Wikipedia|▼Menu]
レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色のついた部分を 90 度回転し、緑色の部分は裏返して橙色に重ねる。視覚的証明

初等幾何学におけるピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3の長さの関係を表す。斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、定理は c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}

が成り立つという等式の形で述べられる[1][2][3]。三平方の定理(さんへいほうのていり)、勾股弦の定理(こうこげんのていり)とも呼ばれる。

ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる[注 1]。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。

ピタゴラス直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが発見したかどうかは分からない。バビロニア数学プリンプトン322古代エジプト[4]などでもピタゴラス数については知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。

中国古代の数学書『九章算術』や『周髀算経』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼び、日本の和算でも中国での名称を用いて鉤股弦の法(こうこげんのほう)等と呼んだ[5]。三平方の定理という名称は、敵性語が禁じられていた第二次世界大戦中に文部省の図書監修官であった塩野直道の依頼を受けて、数学者末綱恕一が命名したものである[6]


目次

1 ピタゴラス数

1.1 ピタゴラス数の性質

1.2 直角三角形の三辺の長さを整数とするための調整

1.3 Jesmanowicz 予想


2 一般化

2.1 角の一般化

2.2 指数の一般化

2.3 次元の一般化


3 ピタゴラスの定理の証明

3.1 相似による証明

3.2 正方形を用いた証明

3.3 内接円を用いた証明

3.4 オイラーの公式を用いた証明

3.5 三角関数の微分公式を用いた証明

3.6 三角関数の不定積分を用いた証明

3.7 三角関数の加法定理を用いた証明

3.8 冪級数展開を用いた証明

3.9 回転行列を用いた証明

3.10 三角関数と双曲線関数を用いた証明


4 ピタゴラスの定理の逆の証明

4.1 ピタゴラスの定理に依存しない証明

4.2 同一法を用いた証明

4.3 対偶を用いた証明

4.4 余弦定理を用いた証明

4.5 ベクトルを用いた証明

4.6 三角関数と逆三角関数を用いた証明


5 脚注

5.1 注釈

5.2 出典


6 参考文献

7 関連項目

8 外部リンク


ピタゴラス数

a2 + b2 = c2 を満たす自然数の組 (a, b, c) をピタゴラス数またはピタゴラスの三つ組数 (Pythagorean triple) という。特に、a, b, c が互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c) を原始的 (primitive) あるいは素 (prime) であるといい、そのようなピタゴラス数は原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) などと呼ばれる。全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の正の整数倍により得られる。

ピタゴラス数 (a, b, c) が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることが必要十分である。

原始ピタゴラス数の具体例は a < b とすると以下の数となる。ただし同じ数値が重複している場合は重複の数だけ異なる数で表せることを示している。
a : 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 20, 21,… (オンライン整数列大辞典の数列 A020884)
b : 4, 12, 15, 21, 24, 35, 40, 45, 55, 56, 60, 63, 72, 77,… (オンライン整数列大辞典の数列 A020883)
c : 5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 65, 73, 85, 85,… (オンライン整数列大辞典の数列 A020882)
ピタゴラス数の性質2つの整数mとn(m>n≧1)を基にピタゴラス数(a,b,c)を生成できることを示した図。単一の黄色の長方形および正方形の面積はいずれも m 2 n 2 {\displaystyle m^{2}n^{2}} となっている。色付きの正方形群で三辺の長さが整数の直角三角形を表した例。正方形の合計数は図中右上のように1つの長方形内に余白なく収まるものとなっている。ピタゴラス数を面積及び長さの比で表した図。青は m 2 − n 2 {\displaystyle m^{2}-n^{2}} 、緑は 2 m n {\displaystyle 2mn} 、赤は m 2 + n 2 {\displaystyle m^{2}+n^{2}} を表現している。


是非お友達にも!
■暇つぶし何某■

次ページ
記事の検索
おまかせリスト
▼オプションを表示
ブックマーク登録
mixiチェック!
Twitterに投稿
オプション/リンク一覧
話題のニュース
列車運行情報
暇つぶしWikipedia

Size:177 KB
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)
担当:FIRTREE