1=2
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秀逸な記事

この記事は秀逸な記事だよ。書いた本人とひよこ陛下が言うんだから間違いない。より素晴らしい記事にできるってんなら、してみやがってください。お願いしましたよ。ちょっと待っててね…この項目「1=2」は、執筆者が編集しすぎて大変重くなっています。表示されるまで少し時間がかかりますが、カップラーメンでも食べながら気長にお待ち下さい。

この記事は情報が多すぎてグダグダです。
長文耐性が無ければ全部読むと頭が爆発してしまうかも。
内容を ⇒削るか記事を分割することで爆発の危険を抑え、ご家庭での使用に適した記事になります。
ウィキペディア専門家気取りたちによって「1=2」はリダイレクトページになっています。変なページに飛ばされるので、クリックしても意味はありません。「そして二人は、ひとつになった。」
? 1=2 について、官能小説「納期が1日遅れると2日遅れる、2日遅れると4日遅れる」
? 1=2 について、IT関係者「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」
? 1=2 について、ピエール・ド・フェルマー「あらゆる数は1である。いかなる差異もありはしない。」
? 1=2 について、法の書「1=2=3ダー!!」
? 1=2 について、アントニオ猪木

1=2とは、12と等しいという大いなるである。
目次

1 困惑した科学者たち

2 1=2問題の解決

3 証明

3.1 小学生でも理解できる証明

3.1.1 四捨五入を利用した証明

3.1.2 あまりを利用した証明方法

3.1.3 たし算を利用した証明方法

3.1.4 かけ算を利用した証明方法

3.1.5 わり算を利用した証明方法

3.1.6 9で割る証明法


3.2 中高生なら理解できる証明

3.2.1 初等代数を使った証明1

3.2.2 初等代数を使った証明2

3.2.3 ひき算を利用した証明

3.2.4 冪乗を利用した証明1

3.2.5 冪乗を利用した証明2

3.2.6 連立方程式を利用した証明

3.2.7 2次方程式を利用した証明

3.2.8 電卓を利用した証明

3.2.9 絶対値を利用した証明

3.2.10 階乗を使った証明

3.2.11 組み合わせを利用した証明方法

3.2.12 背理法による証明

3.2.13 最大値を使った証明

3.2.14 ∞を使った証明1

3.2.15 ∞を使った証明2

3.2.16 一次関数を使った証明

3.2.17 三角関数を使った証明

3.2.18 対数を使った証明

3.2.19 虚数を使った証明1

3.2.20 虚数を使った証明2

3.2.21 指数を使った証明

3.2.22 複素数を使った証明

3.2.23 無限級数を使った証明1

3.2.24 無限級数を使った証明2

3.2.25 無限連分数を使った証明

3.2.26 三角関数の逆関数を用いた証明

3.2.27 Euler(オイラー)の公式による証明

3.2.28 ネイピア数の微分を用いた証明

3.2.29 根号の累乗を用いた証明

3.2.30 極限を使った証明

3.2.31 極限を使った証明 その2

3.2.32 sinの極限を用いた証明

3.2.33 sinの微分を用いた証明

3.2.34 三角関数の約分を利用した証明

3.2.35 定積分を使った証明

3.2.36 部分積分法を使った証明

3.2.37 区分求積法を用いた証明

3.2.38 行列式を使った証明

3.2.39 命題を用いた証明


3.3 図・グラフを使用した証明方法

3.3.1 1=2グラフ

3.3.2 正三角形を利用した証明方法

3.3.3 直角三角形を利用した証明方法

3.3.4 あの有名な三角形を利用した証明方法


3.4 高等理論を使用した証明方法

3.4.1 留数定理を使った証明

3.4.2 バナッハとタルスキーによる証明

3.4.3 カリーによる証明

3.4.4 ゲーデルの不完全性定理を使った証明

3.4.5 シュレーディンガーによる証明

3.4.6 ガロア理論による証明

3.4.7 リーマンゼータ関数の解析接続を使った証明

3.4.8 零環を用いた証明

3.4.9 部分群を用いた証明


3.5 数学以外の理論を用いた証明方法

3.5.1 ウォーズマン理論

3.5.2 形而上学的証明

3.5.3 絶対矛盾的自己同一論的証明

3.5.4 不確定性原理による証明

3.5.5 運動方程式を利用した証明

3.5.6 眼球による証明

3.5.7 物理の問題による証明

3.5.8 悪魔の証明

3.5.9 ジャイアンを利用した証明

3.5.10 じゃんけんを利用した証明

3.5.11 銀行の名前を利用した証明

7ff7 3.5.12 ブラック企業を利用した証明

3.5.13 音楽を利用した証明

3.5.14 大相撲を利用した証明

3.5.15 花束を利用した証明

3.5.16 鴨川の等間隔カップルを利用した証明

3.5.17 為替レートを利用した証明

3.5.18 JRとNEXCOの運賃料金を利用した証明


3.6 巨大数を用いた証明

3.7 入試を利用した証明

3.8 言葉を利用した証明

3.8.1 日本語を利用した証明

3.8.2 漢字を利用した証明

3.8.3 漢字を利用した証明2

3.8.4 英文を利用した証明

3.8.5 発音を利用した証明

3.8.6 諺を利用した証明

3.8.7 故事成語を利用した証明

3.8.8 少女雑誌を利用した証明


3.9 道具等を使った証明方法

3.9.1 粘土を使った証明

3.9.2 プラナリアを使った証明

3.9.3 ゴリラを利用した証明

3.9.4 イエス・キリストを利用した証明

3.9.5 キリスト教の教義を利用した証明

3.9.6 ローマ・カトリック教会の聖体拝領を利用した証明

3.9.7 観音菩薩を利用した証明

3.9.8 時計を利用した証明

3.9.9 カレンダーを利用した証明

3.9.10 新聞の投書を利用した証明

3.9.11 命題と対偶を利用した証明

3.9.12 一部屋25ドルのホテルによる証明

3.9.13 スーパーマリオブラザーズを利用した証明

3.9.14 ジャッキー・チェン映画を利用した証明

3.9.15 SCP-240-JPを利用した証明

3.9.16 婦人による証明


3.10 パソコンを使った証明

3.10.1 ファイルを使った証明

3.10.2 Excelを使った証明

3.10.3 Active Basicを使った証明

3.10.4 C言語による証明その1

3.10.5 C言語による証明その2

3.10.6 C言語による証明その3

3.10.7 C言語による証明その4

3.10.8 C言語による証明その5

3.10.9 Google Calculatorによる証明

3.10.10 計算量を使った証明



4 1=2で簡単に解明できる問題

4.1 すべての数は等しい

4.2 東條首相の算術

4.3 東京大学入学試験問題 2003年前期 理系問6

4.4 京都大学入学試験問題 2006年後期・文理共通

4.5 栗まんじゅう問題

4.6 コラッツの問題

4.7 ゴールドバッハの予想

4.8 リーマン予想

4.9 双子素数予想

4.10 P対NP問題

4.11 ミレニアム懸賞問題

4.12 「生命、宇宙、そして万物の問い」が6×9であることの証明

4.13 2038年問題

4.14 かけ算の順序問題


5 安倍晋三の1=2

6 生活の中の1=2

7 脚注

8 関連項目

困惑した科学者たち

1=2の謎は千年に渡って科学者数学者を困惑させた。事態は至って単純で、単に「2は1であり、1は2である」というだけである。しかし何人かの科学者は彼らのママが2の存在を信じていることから、ママのためにこの謎について論争をしている。

2は西暦102年に発見された。これはそもそも西暦103年を迎えるためだったと考えられている(それまでどのように新年を迎えてきたのか、という質問はしないでほしい)が、それからというもの、人間はエイリアンの企みによって弄ばれる羽目となる。
1=2問題の解決

1960年代後半、イギリスの数学者アレレー・バーによって「1=2」の命題が肯定的に解決されるまで、「1=2」が正しいか否かは数世紀に渡って数学界最大の謎とされてきた。それまでの数学者たちは皆、1と2が等しいことに経験則として気付いていたが、それを数学的に証明するすべを持たなかったのである。アレレー・バーは自らが発見したバーの法則を巧みに用いて見事に「1=2」を証明してみせ、数学界に多大な衝撃を与えた。バーの証明以降、それを参考とした様々な証明方法が多くの数学者によって考案され、現在に至っている。
証明

1=2は数学における基本的な定理なので、何百種類もの証明方法が知られている。ここでは、そうした証明方法のほんの一部を紹介する。
小学生でも理解できる証明
四捨五入を利用した証明1.45を小数第2位で四捨五入すると 1.5これを小数第1位で四捨五入すると 2 ……A一方、1.45を小数第1位で四捨五入すると 1 ……BA、Bより 1.45 = 1 = 2
あまりを利用した証明方法 3 ÷ 2 = 1 あまり 1 5 ÷ 4 = 1 あまり 12つとも答えが同じなので 5 ÷ 4 = 3 ÷ 2両辺に4を掛けて 5 ÷ 4 × 4 = 3 ÷ 2 × 4整理すると 5 = 6両辺から4を引くと 5 - 4 = 6 - 4 1 = 2
たし算を利用した証明方法

0 = 0 + 0 + 0 + …= (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + …

= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …

= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + …

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1このことから 0 = 1両辺に1を足して 1 = 2
かけ算を利用した証明方法 0 = 00に何を掛けても0なので 1 × 0 = 2 × 0両辺を0で割り 1 = 2
わり算を利用した証明方法 0 = 00 ÷ 1, 0 ÷ 2は共に0であるからして、 1 = 2
9で割る証明法1 ÷ 9 を計算すると 1 ÷ 9 = 0.1111111111111…両辺に9を掛けると 1 = 0.9999999999999…さらに両辺に10000000000000…を掛けると 9999999999999… = 10000000000000…両辺から999999999…を引くと 0 = 1両辺に1を足して 1 = 2
中高生なら理解できる証明
初等代数を使った証明1 b = a とする。この両辺に a を足すと a + b = 2a 両辺から 2b を引くと a - b = 2a - 2b (a - b) = 2(a - b) 両辺を (a - b) で割ると 1 = 2
初等代数を使った証明2 b = a とする。この両辺に a をかけると 両辺から を引くと 因数分解して (a - b)(a + b) = b(a - b) 両辺を (a - b) で割ると a + b = b両辺からbを引いてa = 0両辺をaで割って1を足すと2=1両辺を入れ替えて1=2
ひき算を利用した証明 1 - 3 = 4 - 6両辺に 9/4 を加えると 式を変形すると 両辺を因数分解して 両辺の平方根をとって 両辺に3/2 を加えると 1 = 2
冪乗を利用した証明11^0=2^01=1よって1=2
冪乗を利用した証明2 指数法則より よって -1 = 1 両辺に1を足して、2で割って、1を足すと 1 = 2
連立方程式を利用した証明次のような連立方程式がある。(A) × 4 + (B) より 0 = -1両辺に 2 を加えると 2 = 1両辺を入れ替えて 1 = 2
2次方程式を利用した証明

という式を考える。xについて解くと、x=2,3よって 2=3両辺から1を引いて 1=2
電卓を利用した証明1÷3 = 1/3また、電卓によると、1÷3 = 0.3333333 = 3333333/10000000よって、1/3 = 3333333/10000000両辺を通分して10000000/30000000 = 9999999/30000000両辺に30000000をかけて10000000 = 9999999両辺から9999998を引いて反対にすると 1 = 2
絶対値を利用した証明[編集 3f49 ] 1/2=|1/2|より |±1/2|=1/2より 両辺に3/2を加えると 1 = 2
階乗を使った証明 0! = 1!両辺を!で割って 0 = 1両辺に1を足すと 1 = 2
組み合わせを利用した証明方法3個のものから1個を選ぶ組み合わせは3C1 = 3 通り ……A3個のものから2個を選ぶ組み合わせは3C2 = 3 通り ……BA,B より、1個選んでも2個選んでも変わらないので 1=2 である。
背理法による証明 1 ≠ 2と仮定する。両辺に0を掛けると、 0 ≠ 0これは明らかに誤りである。つまり仮定も誤りとなる。従って 1 = 2
最大値を使った証明すべての整数の中で最大のものを A とおく。一般に、 A + 1 ≧ A A は最大の整数だから、 A ≧ A + 1ゆえに A = A + 1両辺から A-1 を引くと 1 = 2
を使った証明1∞に1を足すと∞になる。∞ + 1 = ∞また、∞に2を足しても∞になる。∞ + 2 = ∞つまり、∞ + 1 = ∞ + 2両辺から∞を引いて1 = 2
を使った証明2 1 ÷ 0 = ∞ これはy=1/xのグラフより明らか。よって、 0 × ∞ = 1 なので、 (0 × ∞) + (0 × ∞) = 2 結合法則により、 (0 + 0) × ∞ = 2 0 × ∞ = 2 左辺は1なので 1 = 2
一次関数を使った証明直線 y = 2xを考える。関数は従属変数と独立変数が1対1対応しているので、x座標の数とy座標の数は等しい。…@また、このグラフでは定義域[0,1]において値域は[0,2]である。…A@Aより、幅が1の区間と幅が2の区間に存在する点の数は等しい。よって、1 = 2
三角関数を使った証明
また、
よって
両辺のsinをとって
これに3をかけてπで割れば 1 = 2
対数を使った証明よって、2 = 3両辺から1を引いて、1 = 2
虚数を使った証明1よって 両辺を2乗すると -1 = 1両辺に3を加えて2で割ると 1 = 2
虚数を使った証明2一方でよって両辺に3を加えて2で割ると
指数を使った証明という数を考える。0は何乗しても0なので また、どんな数も0乗すると1なので、 従って、 0 = 1両辺に1を足して 1 = 2
複素数を使った証明 両辺のルートを取って ルートを分子・分母へ -1の平方根は虚数単位 で、1の平方根は1である。すなわち 両辺に1/2を掛ける 数式を簡単にするために を足す: そして を掛ける それぞれ展開する の二乗は-1であるから 分子・分母から を払うと 両辺を計算すると 1 = 2
無限級数を使った証明1 A を次のような無限級数とする。 加減の順番を変えると、 80a9 右辺の括弧内は A に等しいから、 両辺を A/2 で除算すると: 1 = 2
無限級数を使った証明21-2+3-4+5-6・・・ = (1-2)+(3-4)+(5-6)・・・ = -1-1-1・・・ = -∞また、1-2+3-4+5-6・・・ = 1+(-2+3)+(-4+5)・・・ = 1+1+1・・・ = ∞故に-∞ = ∞両辺を∞で割って-1 = 1両辺に3を足して2で割って1 = 2
無限連分数を使った証明 一方で 2つの値は同じになることから 1 = 2
三角関数の逆関数を用いた証明三角関数の性質より ここで とおくと、 ここで、 となるB, Cを定義すると、上記の式より B = C が言える。また、 であるから ここで とおくと D は上述のとおり0ではないので、両辺Dで割ることができる。 -1 = 1両辺に3を足し、2で割ると 1 = 2
Euler(オイラー)の公式による証明Eulerの公式 に を代入すると、よって 両辺の自然対数をとると 両辺を で割ると
ネイピア数の微分を用いた証明 を1回微分すると(@)また、これを2回微分すると(A)@Aより、1回微分しても2回微分しても同じなので1=2



根号の累乗を用いた証明の肩にが無限に乗っている数を A とする。ここで、が無限に続くのでの肩に乗っている数もAである。すなわち これを解いて A = 2, 4すなわち 2 = 4両辺を2で割って 1 = 2
極限を使った証明r が正の数のとき、であることから、r の∞乗根は1であり、r+1 の∞乗根も1である。ゆえに よって、r=1 を代入すると 1 = 2
極限を使った証明 その2極限の定義より0.999999999…=1両辺に1000000000…を掛けて99999999…=1000000000…よって両辺から99999999…を引いて0=1両辺に1を足して1=2
sinの極限を用いた証明 が成り立つことは一般に知られている。すなわち、 のとき、 だから、 は に置き換えが可能である。…(*)ここで、 である。両辺の極限をとると、(*)より の時であるから、 であるから、両辺を6倍して、πを引くと両辺を で割り、1を足せば1 = 2
sinの微分を用いた証明(sinθ)' = cosθ … @は一般的に成り立つ。また、θ = π-θ を代入しても成り立つから、{sin(π-θ)}' = cos(π-θ) … AAの式より、(sinθ)' = -cosθ@Aより、cosθ = -cosθ両辺を cosθ で割り、3を足して2で割れば2 = 1
三角関数の約分を利用した証明 、 という2つの関数を考える。(n≠0)ここで、x=0とするとここでこの式を良く見ると、nで約分できることが分かる。実際に約分を行うとtax=six単位を付加してtax (%) = six (%)これにより任意の税率は6%である。しかし、日本の消費税率は8%であるから8=6両辺を入れ替え6=8両辺を2で割り、2を引いて1=2
定積分を使った証明ここで従って[1]両辺を3で割って1を足すと 2 = 1
部分積分法を使った証明f(x),g(x) を上微分可能な関数とすると、一般にが成り立つことから、 に対して なる関数f(x)について最左辺と最右辺から を引いて1を足すと 1 = 2
区分求積法を用いた証明ディリクレ関数 f(x)(xが有理数のときは 1 で、無理数のときは 0 となるような関数)について区間 [0, 2] 定積分を考える。また、 をおく。次に、[0, 2] を3つの区間 に分け、各区間ごとの f(x) の定積分をそれぞれとおく。これらの定積分を区分求積法で求める。まず S について、区間 [0, 2] をn等分した中のk番目のx座標を xk とするとであり、区分求積法を用いると同様に S1,S2,S3について、各積分区間をn等分した中のk番目のx座標をそれぞれ yk,zk,wkとすると、よって区分求積法を用いると、ここで xk,ykは有理数であるので、となる。これよりであるので、 …@となる。また zk,wk について、wn=2 を除いて無理数であるので、となる。これよりであるので、となる。以上の結果からS = S1 + S2 + S3 = 1 + 0 + 0 = 1 …A@,Aより 1=2
行列式を使った証明絶対値を計算すると、行列式を計算すると、よって、1=-1両辺に3を加えて2で割ると、1=2
命題を用いた証明一般に、仮定があり得ないか、結論が絶対ならば、その命題は真である。1=2でないと仮定する。この時、くさやがいい臭い(あり得ない)ならば、1=2でない・・・@また、明日も地球は回るならば、くさやは臭い。言い換えると、明日も地球は回るならば、くさやはいい臭いでない。これに@を当てはめると、明日地球は回るならば、(1=2でない)でない。よって、明日地球は回るならば、1=2である。これは1=2でないとした仮定に反するので、1=2である。(証明終)
図・グラフを使用した証明方法
1=2グラフ上図は座標平面上にランダムに点をプロットした図である。確実な証明方法ではないが、1=2であることを視覚的に理解することができる。
正三角形を利用した証明方法 7fe6 まず、全ての辺が1pである正三角形を書く(図@)。この時、AB+AC=2、BC=1である(単位省略)。次に、ABとACの中点から、BCの中点へ線を引く(図A)。赤いジグザグ線の長さをXとすると、X=AB+ACである。図Aと同様に、中点から中点へと線を引く(図B)。赤いジグザグ線の長さをXとすると、やはり、X=AB+ACである。この作業を何回も繰り返しても、X=AB+ACは変わらない。最終的には、赤いジグザグ線はBCと重なってしまう(図C)。ゆえに赤いジグザグ線の長さXは以下の式で表わされる。X = BC = AB + AC AB+AC=2、BC=1なので、 1 = 2
直角三角形を利用した証明方法
まず、右の図のような直角三角形をかく。

1ますを1平方センチメートルとすると、この三角形の面積は8×21÷2=84平方センチメートルである。

この三角形を上の図のように分解して、下の図のように同じ直角三角形になるように並べ替える。

この三角形も同じ直角三角形であるため、84平方センチメートルであるが、よく見ると中に穴が開いているので、パーツだけの面積は83平方センチメートルである。

同じパーツなので、面積は同じである。したがって、83=84。

両辺から82を引いて、1=2

あの有名な三角形を利用した証明方法右の三角形の点Aの座標を(0,0,0)とする。そして、点Bの座標を(0,0,1)とする。そうすると、点Cの座標は(0,1,1)となる。したがって、点Aの座標は(1,1,1)となる。しかし、はじめに点Aの座標を(0,0,0)とするとあるので、(0,0,0)=(1,1,1)つまり、0=1両辺に1を足して、1=2
高等理論を使用した証明方法
留数定理を使った証明複素数 z=x+iy に対して、,と定める。また、十分大きな R>1 に対して、とおく(積分経路は反時計回り)。z=i における f の留数を と書き表すことにすると、留数定理よりz=i は関数 f の1位の極なので、従って、同様に留数定理を g( z=i は2位の極)にも適用すると、以上より、被積分関数 f,g の分母の指数を比較して、1=2
バナッハとタルスキーによる証明ユーモア欠落症患者のために、ウィキペディア専門家気取りたちが「バナッハ=タルスキーのパラドックス」の項目を執筆しています。

1924年に証明されたバナッハ=タルスキーの定理によると、3次元空間上では1個の物体を分割してつなぎあわせなおして元の物体と同じ大きさのものを2個にすることができると証明されている。


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