面白い問題おしえて～な二十問目

面白い問題おしえて～な二十問目 at MATH

[前50を表示]
600:１３２人目の素数さん
14/04/04 00:40:05.28
極限lim(n→∞)tan{2^(1/n) nπ}を求めよ

601:１３２人目の素数さん
14/04/04 00:47:09.76
tan(πlog2)

602:１３２人目の素数さん
14/04/04 18:48:58.18
>>593,599
a_n > 1 のとき a_(n+1) = a_n - 1 だから
0 < a_n < 1 のときを考えればよい
x = 1/a_n とする
x の小数部分を {x} と書く ({x} = x - [x])
a_(n+1) = ([x] + 1)/x - 1 = (1 - {x})/x
1/a_(n+1) = x/(1 - {x}) = x + x{x}/(1 - {x})
x > 1, 0 < 1-{x} < 1 だから
1/a_(n+1) > x + {x} = [x] + 2{x}
1/a_(n+1) > [1/a_n] + 2{1/a_n}
つまり 1/a_(n+1) は 1/a_n より整数部分が大きいか、小数部分が2倍以上

1/a_n (n = 1,2,...) の小数部分は 0 になることはないので、
上から明らかに 1/a_n → ∞ (n→∞)

603:１３２人目の素数さん
14/04/04 22:44:10.22
>>600
え？

604:abc
14/04/11 15:37:39.19
突然ですが、平方根などの根の計算方法を発見しましたけど、どうしたらよいか分かりません。誰か教えて下さい。複雑な計算や難しい理論を必要とせず、微分積分も使いません。ネットで調べても同じものは無いようです。

605:１３２人目の素数さん
14/04/11 16:30:10.68
近所の３流以下の大学数学教授にメール、という考えがちらついた

606:１３２人目の素数さん
14/04/11 17:00:47.48
ポエムスレで発表すればいいよ

607:１３２人目の素数さん
14/04/11 17:13:15.08
適当な学会に入って論文投稿すればー
金払えば入会できるぞ

608:１３２人目の素数さん
14/04/11 22:22:08.68
近隣の中高教師の勉強会に相談してみては？
あなたの県名＋数学＋指導法＋研究会でggr,

609:１３２人目の素数さん
14/04/19 15:05:57.70
面積nを超える平面図形は、内側(境界含む)に
n+1個の格子点を含むように配置できることを示せ。

ってのが面白かった。

610:１３２人目の素数さん
14/04/20 01:06:46.65
幅→0の長方形

611:１３２人目の素数さん
14/04/20 01:23:59.44
>>610
？

612:１３２人目の素数さん
14/04/20 03:52:09.18
細い長方形なら格子点沢山覆えるだろう

613:１３２人目の素数さん
14/04/20 09:38:28.99
どんな形状であってもn+1個の格子点を含むように配置できる
と読むのであろう。

614:１３２人目の素数さん
14/04/20 11:09:51.99
配置は平行移動だけ？　回転も含まないと無理？

615:１３２人目の素数さん
14/04/20 13:15:50.69
ある点P,Qのx座標の差・y座標の差がいずれも整数であるとき、「PとQは同値である」ということにする。

問の平面図形をA、その面積をS(A)とする。
また、0 ≦ x < 1, 0 ≦ y < 1 に対して、
f(x,y) = [Aの内部にある点で、点 (x,y) と同値であるものの個数]
とする。
すると、S(A) =∫[0,1]∫[0,1] f(x,y) dxdy が成り立つ。

また、S(A) < n より、
f(x,y) ≧ n+1 を満たすような (x,y) が必ず存在する。
(「常にf(x,y) ≦ nが成り立つ」と仮定すると S(A) ≦ ∫[0,1]∫[0,1] n dxdy = n となり矛盾)

そのような (x,y) を一つ取り、点 (x,y) が原点にくるように図形を平行移動させると、
A内部には原点と同値な点 (すなわち格子点) がn+1個以上含まれることになる。

616:609
14/04/20 13:40:56.94
>>615
おお、定式化するとそういう風に証明するんでしょうね。

私が見た解説は、以下のようなものでした。
(1) 平面図形Aを、格子の升目の上に適当に置く。
(2) Aが含まれる1x1の升目を、バラバラに切り取る。
(3) 升目を全部重ねる。
(4) 升目の何処かの座標には、元Aの領域の重なりがn+1以上の箇所がある。
＿(そうでなければ、Aの面積がn以下になるため)
(5) その座標が格子点になるように、平行移動すれば良い。

617:１３２人目の素数さん
14/04/21 05:40:12.75
コインを投げて表が出れば1点を加え、裏が出れば1点引く
ただし、0点の場合は引かない
初めの持ち点は0点とする
n回投げたとき、持ち点がk点となる確率を求めよ

答え
C[n,(n+k)/2](1/2)^n (n+kが偶数)
C[n,(n+k+1)/2](1/2)^n (n+kが奇数)

らしいんだが解き方分かる人いるかな

あと、単位円に内接する正n角形の頂点から3点選んでできる三角形の面積の期待値

618:１３２人目の素数さん
14/04/21 07:29:49.30
>>617
そもそも誤答じゃね？(n,k)=(2,0)とかどうよ
>ただし、0点の場合は引かない

|sin(2πu/n)+sin(2πv/n)-sin{2π(u+v)/n}|/2 (0<u,v),(u+v<n)の期待値あたりか?めんどくさ

619:１３２人目の素数さん
14/04/21 21:10:23.10
n=2,k=0だと表裏と裏裏で1/2
C[2,(2+0)/2](1/2)^2=1/2だが

620:１３２人目の素数さん
14/04/21 22:08:16.13
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
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　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　
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621:618
14/04/21 22:32:22.29
>>619
すまん間違えた

622:１３２人目の素数さん
14/04/22 12:20:00.40
数学的帰納法。

623:１３２人目の素数さん
14/04/22 23:35:36.42
教科書傍用の下みたいな練習問題
Σ[m=1→n]｛Σ[l=1→m]（Σ[k=1→l]）｝
これを式の意味を解釈して簡単に計算できないかな

たとえばΣ[k=1→n](k-1)(n-k)は
(k-1)(n-k)は1～nの整数の中から3個取り出す方法のうち
2番目に大きい数字がkとなるような取り出しかただから
Σ[k=1→n](k-1)(n-k)=C[n,3]

624: ◆BhMath2chk
14/04/23 00:00:00.94
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625:１３２人目の素数さん
14/05/04 02:42:40.97
test

626:１３２人目の素数さん
14/05/04 02:53:40.74
　>>563

0<θ<π/2 のとき、マクローリン展開から
　sinθ > θ - (1/6)θ^3,
　sinθ > θ - (1/6)θ^3,
　tanθ > θ + (1/3)θ^3,
辺々たすと
　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,

627:１３２人目の素数さん
14/05/04 23:07:43.00
a_0=0, a_1=1, a_(n+2)=a_(n+1)+a_n （n=0,1,2,…）とする。
（１）lim(n→∞）a_n/a_(n-1)を求めよ。
（２）（１）で求めた値をzとする。z^x(xは整数）はxが十分に大きいとき、ほぼ整数となる
ことを示せ。

628:１３２人目の素数さん
14/05/13 00:05:49.55
(1)(1+√5)/2
(2)b[n]=[z^n+1/2],z^n=b[n]+c[n]とする
このとき、-1/2≦c[n]<1/2…①
また、z^(n+2)=z^(n+1)+z^n,
c[2]=(-3+√5)/2,c[3]=-2+√5

2≦nでc[n]/c[n+1]=-zを数学的帰納法で示す
まずn=2のとき成り立つ
n=kで成り立つとする
z^(k+2)=z^(k+1)+z^k=b[k+1]+b[k]+c[k+1]+c[k]
c[k+1]+c[k]についてc[k]とc[k+1]は異符号で①より-1/2<c[k+1]+c[k]<1/2
よってc[k+2]=c[k+1]+c[k]
=(1-z)c[k+1]
c[k+1]/c[k+2]=1/(1-z)=-z
よってn=k+1で成り立つ

これらよりc[n]=c[2]/(-z)^(n-2)
となり示される

629:１３２人目の素数さん
14/05/23 20:37:21.90
開き括弧'('と閉じ括弧')'のみからなる記号列
（ただし'('と')'が正しく対応付けられるもの）
があるとする。
この記号列のある部分に対し、
(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えを考える。
(X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし、
X,Y,Zはそれぞれ任意の記号列（長さ0でもよい）とする。
(XYZ)(XYZ)...(XYZ)は、(XYZ)を任意個（0個でもよい）並べたものである。
このような置き換えを無限に繰り返し行うことは不可能であることを示せ。

630:１３２人目の素数さん
14/05/23 20:54:04.69
>>627　(2)
{(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^n　は、{1,3,4,7,11,18,...}という整数値を取り、
(1-√5)/2=-0.618...なので、{(1-√5)/2}^nは、nが大きくなるとどんどん小さくなる
ことより、題意は示される。

631:１３２人目の素数さん
14/05/24 17:35:50.66
>>629
記号列を成す、全ての開き括弧“(”、及び、閉じ括弧“)”に対し、
次のルールで「深さ」という値プロパティを与えることとする
・“(”に対しては、「注目している記号より左側の全ての“(”の数」－「注目している記号より左側の全ての“)”の数」
・“)”に対しては、対応する“(”と同じ値

ところで、「置き換え」ルール：(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ) を適用すると、Y内部の「深さ」は置き換え前に比べ、１減る。
元々の記号列は有限個からなるものなので、「最大の深さ」が存在するため、無限に行うことはできない。

632:１３２人目の素数さん
14/05/24 18:50:08.43
>>631
XとZの内部の深さは変わらないので、最大の深さは変わらない場合もある。
よってこれだけでは証明になっていないと思われるが。

633:１３２人目の素数さん
14/05/24 21:02:16.76
>>632
なるほど、空振りなら、無限回可能ということですね

では、この修正ではどうでしょう。

一番最初に、(X(Y)Z)型の部分列全てに対して、({X}(Y){Z})と、仮想括弧{}を補ってしまいます。
そして、仮想括弧を通常の括弧と同一視した状態で、「深さ」を考えることにします。すると、
>>(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えで、X,Y,Z　の（修正版の）深さは、1ずつ減ることになります。

634:１３２人目の素数さん
14/05/24 21:24:58.94
>>633
(A(B)C(D)E)という部分列があるとき、
({A}(B){C(D)E})
({A(B)C}(D){E})
という2通りの仮想括弧の付け方がある。
上の説明だと、この場合の考え方が分からない。

635:１３２人目の素数さん
14/05/24 21:37:32.88
>>633
そもそも、例えば((()))に仮想括弧を付けて({(}(){)})とすると
括弧の対応関係がクロスした状態になってしまう。
これはマズいのでは。

636:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:04:00.24
グラフ木と対応させればいいんじゃないかな

((()))(()())()なら
●
┃
●●●
┃┣┛
●●　 ●
┣┻━┛
●
みたいな

637:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:12:01.78
なるほど、確かにその通りです。では、素直にいきます。これではどうでしょう。

記号列を食べる関数を考えます。
その関数は、>>631の方法の深さを全ての括弧についてチェックし、

深さ0の括弧のペアの数は、○個
深さ1の括弧のペアの数は、△個
...
と言うように、深さと、その括弧の数を返します。

そして、この返り値は、次の方法で比較可能で、
最大の深さの大小、同じなら、その深さの数の大小、
同じなら、次の深さの大小、同じならその深さの数の大小、．．．
で判断します。
この関数を使えば、置き換え前と、置き換え後を比べると、必ず小さくなっていきます。

638:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:19:30.43
>>635
仮想括弧は、「置き換え」に対応させて考えていたものなので、
そのようなクロスは、題意から除かれています。

639:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:23:48.80
>>635
失礼、よく読むと、そのようなクロスは、題意から除かれて「いない」んですね。

640:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:33:53.50
>>637
X=Y=空列,Z="()"として
(()())→(())(())(())
という置き換えを行うと、最大の深さ2の括弧が2個から3個に増える。

>>638
ちょっとよく分からない。
((()))は置き換えの対象になる記号列だと思うんだけど。
X,Y,Zで表される記号列は、必ずしもその内部だけで
括弧の整合性が取れている必要は無い。

641:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:35:44.64
>>639
そういうこと。

642:１３２人目の素数さん
14/05/25 09:17:59.51
>>640
「深さ」の他に、「並列度」とでも言うべき値も考えると、どうだろうか？
直接の「親」に当たる括弧の中に、自分と同じ「深さ」をもつ括弧がいくつかあるか、
それを「並列度」とします。
家系図なんかに例えると、「深さ」は「世代」に、「並列度」は「兄弟の数」に相当します。

>> X=Y=空列,Z="()"として
>> (()())→(())(())(())
>> という置き換えを行うと、最大の深さ2の括弧が2個から3個に増える。
深さ2,並列度2の括弧が二つあったものが、置き換え後は、
深さ2,並列度1の括弧が三つ（or任意個）と数えることになります。

643:１３２人目の素数さん
14/05/25 16:53:53.63
次の方程式が表す図形を座標平面に図示せよ。（ただしひとつの平面に書き込むこと）

ｘ^2＋ｙ^2＝1

ｘ^2＋ｙ^2＝4

ｙ＝±ｘ　(－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）

ｙ＝0　（－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）

ｘ＝0

644:１３２人目の素数さん
14/05/25 17:16:00.99
この類か
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

645:１３２人目の素数さん
14/05/25 19:06:43.66
>>642
((())())→((()))((()))
深さ3並列度1が1個→深さ3並列度1が2個

646:１３２人目の素数さん
14/05/25 20:21:30.19
っつうかグラフ木から順序数に対応付けすればいいだけじゃん
そうすれば置き換えによって順序数は必ず減少するんだから

647:１３２人目の素数さん
14/05/25 20:54:39.85
具体的に

648:１３２人目の素数さん
14/05/25 23:44:50.14
>>629
なかなかいい問題やねｗ出典が知りたいｗ

>>636のような木構造で考えると、「置き換え」による操作は以下の通り
・根と一致しない部分木を1つ指定する。ただし、部分木は2以上の高さを持つものとする
　(X(Y)Z)
・部分木に属する任意の頂点を1つ消去し、頂点の子以下の部分木をもとの頂点の親に接続する
　(X(Y)Z) --> (XYZ)
・変形した部分木を任意個複製する
　(XYZ) --> (XYZ)...(XYZ)

あとは木の複雑度を数に対応付けて、それらが単調減少することを示せばおｋ
数列 a_n の一般項を（外側から n 番目の括弧の組の数）で（その内側にある括弧の組の数）を割った値
とすれば、変形によりある p, q （p＜q）について a_p が増えて a_q が減るので収束が示せる

注意すべきは、>>635のように X, Y, Z が外側と同じレベル以下の括弧を含む場合で
この場合は無限に増殖できることが示せる

例えば (())(()) で、X="", Y="", Z=")(()" とおくと
　(())(()) --> ()(()) が任意個
となって、1操作につき3個以上増やせば操作が無限に行える

649:１３２人目の素数さん
14/05/26 00:02:26.41
具体的に

650:１３２人目の素数さん
14/05/26 00:09:55.58
> 数列 a_n の一般項を（外側から n 番目の括弧の組の数）で（その内側にある括弧の組の数）を割った値
の部分は、分母を（その内側にある（n+1）番目の括弧の組の数）としても同じ結果になる

>>642の言葉を借りれば、全体について「並列度」を「子供の数の平均」と定義し直して0世代目から並べるイメージ

複雑度が上昇しないことは示せても、最終的に ()()...() の形に収束することは示せないので
厳密な証明には別のアプローチが必要になりそう

あと、具体例を無理に想像するとアッカーマン関数のように急激に増加するのでおすすめしない

651:１３２人目の素数さん
14/05/26 00:41:37.68
>629
> (X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし

仮定から、この操作が可能ならばX,Y,Zにまたがる括弧の組は無い。
従ってこの操作で生成される(XYZ)内の括弧の組は(X(Y)Z)より一つ少なく、
かつ、(XYZ)をいくつ繋げても(XYZ)をまたぐ括弧の組は生まれない。
ゆえに(XYZ)の繰り返し回数が有限ならばこの操作は有限回で収束する。

652:１３２人目の素数さん
14/05/26 01:10:19.38
具体的に書かないのは反論させないためか。

653:１３２人目の素数さん
14/05/26 01:12:04.91
((()))=(X(Y)Z)
X=(
Y=
Z=)

654:１３２人目の素数さん
14/05/26 07:20:59.41
>>648=>>650です

>>651
> 仮定から、この操作が可能ならばX,Y,Zにまたがる括弧の組は無い。
「X,Y,Zにまたがる」を「X,Y,Zとその外側にまたがる」
と言いかえれば成り立ちますね。

確かに、外側同士が「対応する括弧」ですから
選んだ部分列の内側に低レベルの括弧は存在しないといえます。

655:１３２人目の素数さん
14/05/26 12:57:51.49
何度かトライ(631,633,637,642)しましたが、結局、

記号列を食べるある関数F[]を用意し、それが、
F[A(X(Y)Z)B] ＝ F[A(XYZ)B]　＋　α
F[A(XYZ)(XYZ)...(XYZ)B]　＝　F[A(XYZ)B]　＋β
　ただし、常に、α＞β≧０　　（「任意個」のβが積み重なっても、αより小さい）
を満たせばよいということですよね。

そのようなF[]が存在するのは確かっぽいけど、具体的な中身は、当初の予想とは異なり面倒そうです。

656:１３２人目の素数さん
14/05/26 13:05:54.05
具体的に書こうとしないからはっきりしないが
(()()())()()
->
(()())(()())(()())()()
が反例じゃないか。

657:１３２人目の素数さん
14/05/26 13:58:04.27
>>656は確かに、>>648と>>650の反例になってますね
（単純に平均値を取っただけでは、ゴミを巻き込むことで
評価関数が 3/3 --> 6/5 と増えてしまう）

出題者の>>655さんは解決に近づいているようなので
本職の数学者の降臨を待ちつつ様子見

658:１３２人目の素数さん
14/05/26 14:13:52.78
出題者は>>629だが

659:１３２人目の素数さん
14/05/26 20:25:57.86
>>648
一応自作なので出典は無し。
同じような問題はどこかにあるかも。

>>657
>>655は出題者ではないよ。

660:１３２人目の素数さん
14/05/26 21:23:06.93
これは「ヒドラゲーム」と同じ類の問題だな
下のリンク先にグラフ木と順序数との対応付けの方法が載ってる

URLﾘﾝｸ(math.andrej.com)
URLﾘﾝｸ(ja.googology.wikia.com)

661:１３２人目の素数さん
14/05/29 09:53:05.43
>>465
> 面積nを超える平面図形は、内側(境界含む)に
> n+1個の格子点を含むように配置できることを示せ。
>
> ってのが面白かった。

ブリクフェルトの定理。有界がいる。

662:１３２人目の素数さん
14/06/05 03:17:39.63
四角形の４辺と２本の対角線の長さが全て奇数であるものは存在しないことを証明せよ。

663:１３２人目の素数さん
14/06/14 11:48:01.30
四角形の頂点をそれぞれabcdとしたとき、の辺の長さab, bcと対角線の長さacには
ab^2 + bc^2 = ac^2の関係があり　ab,ｂｃを奇数とすると、ab^2、bc^2はそれぞれ
奇数であるから、ac^2は偶数なっちゃうよ。
acを奇数とするとac^2は奇数だから。ab,bc,acがすべて奇数であるこたーないってこと？

664:１３２人目の素数さん
14/06/14 12:23:54.72
長方形でない四角形もあるだろ