面白い問題おしえて～な二十問目

面白い問題おしえて～ ..

395:１３２人目の素数さん
13/10/13 22:42:56.83
0から999の整数を、三次元格子点(x,y,z)と次のルールで対応付ける
xは100の位の数字、yは10の位の数字、zは1の位の数字

問題：
0から999までの整数から三つの素数を選び、それに対応する三つの三次元格子点を結ぶと
正三角形を成したという。そのような3素数の選び方のうち、もっとも大きな正三角形を
成す組み合わせは何か？

396: ◆2U88CDX3HuB9
13/10/14 06:12:38.99
ふむ…

397:１３２人目の素数さん
13/10/14 10:10:44.53
次の数列の□に当てはまる数はなんですか？
６　１６　３２　３４　□

398:１３２人目の素数さん
13/10/14 11:06:13.95
881,991

399:１３２人目の素数さん
13/10/14 12:59:42.51
>>398 すべての正答を見つけただろうということは判る

400:１３２人目の素数さん
13/10/15 00:40:11.62
>>395

辺の長さって
　{113, 131, 311} なら 2√2
　{337, 373, 733} なら 4√2
　{199, 919, 991} なら 8√2
てな具合？

401:１３２人目の素数さん
13/10/15 02:09:37.19
そうですよ

402:１３２人目の素数さん
13/10/17 02:54:05.34
>>391
モンティ・ホール問題ね
さすがに有名すぎ

403:１３２人目の素数さん
13/11/27 14:08:18.52
Σ[n=1～∞](n+m-1)Pm・(1-r)^n=m!/2r^m
を示せ
但しm∈N r∈Rで0<r<1

404:１３２人目の素数さん
13/11/29 20:03:24.93
>>403

与式を Q_m とおく。母関数は
　Σ[m=0,∞) Q_m/m!･s^m
　= Σ[m=0,∞) Σ[n=1,∞) P[n+m-1,m]/m! (1-r)^(n-1)･s^m
　= Σ[m=0,∞) Σ[n=1,∞) C[n+m-1,m] (1-r)^(n-1)･s^m
　= Σ[n '=0,∞) Σ[m=0,n '] C[n ',m] (1-r)^n '-m･s^m
　= Σ[n '=0,∞) (1-r+s)^n '
　= 1/(r-s)
　= (1/r)/{1-(s/r)}
　= (1/r)Σ[m=0,∞) (s/r)^m,

∴　Q_m = m!/r^(m+1),

405:１３２人目の素数さん
13/12/29 03:11:04.44
次の条件を満たす閉集合X[1],X[2],...と数列a[1],a[2],...は存在するか？
・各iについてa[i]は自然数でありX[i]はR^2内の正a[i]角形である
・ある有界集合Yがあって各iについてX[i]⊂Yとなる
・各iについてa[i+1]<2*a[i]
・各iについてX[i]⊂X[i+1]

406:１３２人目の素数さん
13/12/29 10:28:59.66
閉集合X[1],X[2],...は閉集合列X[1],X[2],...のこととして、さっぱりわからん
どこら辺がどう面白いのかが

407:１３２人目の素数さん
13/12/29 20:36:59.30
a[i+1]=a[i], X[i]=X[i+1] でいいだろ

408:謹賀新年
14/01/01 01:42:27.70
3つの皿に、それぞれいくつかの豆が入っている。
これらに対し、以下の1つの操作だけが許されている。

操作: 2つの皿を選びA,Bとする。
　　　AからBに、きっかりBの個数分だけ豆を移す。

　　i.e. A,Bの豆をa個,b個(a≧b)としたとき、
　　　AからBにb個の豆を移して a-b個, 2b個とする。

3つの皿の初期状態がどのような個数であっても、
この操作を上手く繰り返すことにより、いずれかの皿を
空にすることができることを示せ。

409:１３２人目の素数さん
14/01/02 06:11:35.70
質問させてもらいます。

試行回数をｎ、的中率をｐ、回収率をｋ％とすると、
真の回収率＝ｋ × (p ± ２×平方根((１－ｐ)×ｐ／ｎ) )／ｐ

※１と２の真の回収率はそれぞれいくつになるのでしょうか？

※１　試行回数４８５　　　的中率５．８％　　　　　回収率１８１．３％

※２　　　　　４８５　　　　　　１１．５％　　　　　　　１２３．９％

410:１３２人目の素数さん
14/01/03 11:01:08.09
>>405 >>406
たとえば…
a[i]=2^i+1、半径１の円をC[0]として、任意の自然数iについて
C[i-1]に外接する正a[i]角形を周とする領域をX[i]、X[i]に外接する円をC[i]とすると、
C[i]の半径r[i]は，r[i]=Π{k=1,i}cos(π/(2^k+1))と表せる。
これでi→∞としてr[i]が有限値に収束するなら、これがその例になる。
r[i]は対数を取るとlog(cos(π/(2^i+1)))のΣとなるので、それを適当に評価すればいい。
面倒なので以下略

411:１３２人目の素数さん
14/01/03 12:00:41.31
答えじゃなくて、どこが面白いのかわからんだけなのだが

412:１３２人目の素数さん
14/01/03 14:10:18.23
Πが無理数であることの証明って出来ます？

413:１３２人目の素数さん
14/01/03 15:09:37.38
πが有理数であると仮定すると超越数であることと矛盾

414:１３２人目の素数さん
14/01/17 23:00:17.08
その各桁の数の立方の和に等しいような数が。ちょうど４個ある。
それらはいくつか。

古典的名著、コンスタンス・レイド『ゼロから無限へ』（芹沢正三訳、
講談社ブルーバックス、1971）より。

415:１３２人目の素数さん
14/01/18 00:14:01.27
意味が取れない？？？？

416:１３２人目の素数さん
14/01/18 00:34:16.34
そのような数はせいぜい4桁なので虱潰しで

417:１３２人目の素数さん
14/01/18 02:42:01.03
>>414

1, 153, 370, 371, 407 （自然数を十進法で表わしたとき）

418:１３２人目の素数さん
14/01/18 04:04:51.93
スレチかもしれないですがスレ立てできなかったので貼らせていただきます
数学の課題です、お願いいたします

次の(i)(ii)を満たすDnを求めよ
(i)lim 　Dn={(x,y)|x>0,y>0}
n→∞
(ii)lim ∬ (x-y)dxdy=2014
n→∞　Dn
ヒント
Dn{(x,y)|a <x<bn,c <y<dn}を予想して確かめる
　　　　　 n　　　 n
lim 　a =0=lim　c 　 lim 　 b =∞=lim 　d
n→∞　 n 　n→∞ n n→∞ 　n　 n→∞　n

419:１３２人目の素数さん
14/01/18 04:13:19.71
>>418
マルチポストはしない
既に質問スレがあるので個別の問題でスレ立てはしない
質問スレのテンプレを見て式を書き直せ
ここでの質問は取り下げて質問スレで親切な人を待て

420:１３２人目の素数さん
14/01/18 16:50:30.58
ろくに読みもしないで質問する奴って
よっぽど焦ってるんかな？

421:１３２人目の素数さん
14/01/18 16:57:33.71
続き

(4) その各桁の数の４乗の和に等しいような自然数が、ちょうど４個ある。
　　それらはいくつか。

(5) その各桁の数の５乗の和に等しいような自然数が、ちょうど３個ある。
　　それらはいくつか。

(6) その各桁の数のｎ乗の和に等しいような自然数がある。（n＞5）
　　それはいくつか。

422:１３２人目の素数さん
14/01/18 17:04:52.39
>>421

(4)　1, 1634, 8208, 9474

(5)　1, 4150, 4151

(6)　1　　(n>5 または n=2)

かな？

423:１３２人目の素数さん
14/01/18 17:13:28.88
嘘問題。

424:１３２人目の素数さん
14/01/19 00:00:00.38
０，１，４１５０，４１５１，５４７４８，９２７２７，９３０８４，１９４９７９。
０，１，５４８８３４。

425:１３２人目の素数さん
14/01/21 00:00:00.19
０，１，１７４１７２５，４２１０８１８，９８００８１７，９９２６３１５，１４４５９９２９。
０，１，２４６７８０５０，２４６７８０５１，８８５９３４７７。
０，１，１４６５１１２０８，４７２３３５９７５，５３４４９４８３６，９１２９８５１５３。
０，１，４６７９３０７７７４。

426:１３２人目の素数さん
14/01/21 11:40:37.94
4^10+6^10+7^10+9^10+3^10+0^10+7^10+7^10+7^10+4^10=4679307774

427:１３２人目の素数さん
14/01/22 00:00:00.41
０，１，３２１６４０４９６５０，３２１６４０４９６５１，４００２８３９４２２５，４２６７８２９０６０３
，４４７０８６３５６７９，４９３８８５５０６０６，８２６９３９１６５７８，９４２０４５９１９１４。
０，１。
０，１，５６４２４０１４０１３８。
０，１，２８１１６４４０３３５９６７。
０，１。

428:１３２人目の素数さん
14/01/23 01:38:33.94
nn+98=x(75-n)、あるいはnn+98が75-nで割り切れる時のnを求める解法

429:１３２人目の素数さん
14/01/23 07:08:02.28
nn+98=-(75-n)(75+n)+5723

430:１３２人目の素数さん
14/01/26 18:27:50.40
直角三角形があって、その周りの長さが60インチ、
斜辺へ下ろした垂線の長さが12インチあるとき、
それぞれの辺の長さは？

431:１３２人目の素数さん
14/01/26 18:38:08.83
15, 20, 25

432:１３２人目の素数さん
14/02/16 05:04:44.50
この極限を求めよ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

433:１３２人目の素数さん
14/02/16 05:27:15.70
x^4-2x^3+x^2-2=0

434:１３２人目の素数さん
14/02/16 09:53:23.77
>>432
2

435:１３２人目の素数さん
14/02/16 13:03:03.04
…が含まれている数値をxと置いていいの？

436:１３２人目の素数さん
14/02/16 15:45:08.31
丁寧にやる時は再帰的に与えるだろうけどここで気張ることもあるまい

437:１３２人目の素数さん
14/02/16 16:20:46.03
…(√2+(√2+(√2+…
って外にも点々が続いてたら？

438:１３２人目の素数さん
14/02/16 16:44:00.60
そんな式を考えた奴が出てきたらそいつに確かめればよい

439:１３２人目の素数さん
14/02/16 17:15:06.36
漸化式でやろうとしたら
a(n+1)^2=2+a(n)で詰んだ
これ一般項出せるの？

440:１３２人目の素数さん
14/02/16 17:23:30.45
そもそもその数、n重の根号無しには表せんだろう

441:１３２人目の素数さん
14/02/16 17:29:42.55
一般項を知らなくても、初項を正の数とすれば2に収束することはわかる

442:１３２人目の素数さん
14/02/16 18:22:32.76
a(n)=√(2+√(a(n-1))

443:１３２人目の素数さん
14/02/16 23:51:56.00
丁寧に議論するなら
①漸化式から、有界と単調を言う
②もし収束するならば、x^2=2+xを満たすxに収束する
ことを言えばよい

444:１３２人目の素数さん
14/02/17 00:20:50.88
やっぱり挟み撃ちか

445:１３２人目の素数さん
14/02/17 02:49:33.00
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
なぜこうなる？

446:１３２人目の素数さん
14/02/17 07:47:10.87
お前の書く式の順番が意味分からんその理由から説明しろww

447:１３２人目の素数さん
14/02/17 11:16:34.47
>>445
左側のやり方で考えるなら、1/5が1より小さいことを考慮していないから間違えている。
右側のやり方についてはいったい何がわからんのかわからん。

448:１３２人目の素数さん
14/02/18 02:48:03.06
>>439
a_n=2cos(Θ_n)　,Θ_(n+1)=(Θ_n)/2　

449:１３２人目の素数さん
14/02/18 08:05:42.80
同じ式から左右で違う式展開をやって、
なぜ結果が異なるかっていう質問だったのか。

450:１３２人目の素数さん
14/02/21 01:20:47.44
x軸上の点(a,0)を中心とする半径r(r＞0)の円が放物線y=x^2に接しているという。
aとrの関係を求む

451:１３２人目の素数さん
14/02/21 03:14:55.58
>>450
(放物線の接線の方程式と円の中心との距離)=r を、といたらいけそうだね

452:１３２人目の素数さん
14/02/21 04:00:00.33
１６（ａ＾２－ｒ＾２）＾３＋ａ＾４－２０ａ＾２ｒ＾２－８ｒ＾４－ｒ＾２＝０。

453:１３２人目の素数さん
14/02/21 06:59:09.01
>>451
いやいや＾＾；

454:１３２人目の素数さん
14/02/21 17:53:12.86
放物線y=x^2の(x,y)における接線は(0,-x^2)を通る

455:１３２人目の素数さん
14/02/26 06:08:30.64
2^a - 3^b = 1 をみたす自然数解の組 (a、b) をすべて求めよん。

456:１３２人目の素数さん
14/02/26 16:08:28.61
>>455
3^b≡1,3(mod 2^3)
よって(a,b)=(2,1)のみ

457:１３２人目の素数さん
14/02/26 20:00:22.12
2^a - 3^b = -1 をみたす自然数解の組 (a、b) をすべて求めよん。

458:１３２人目の素数さん
14/02/26 22:08:42.57
>>457
(log 3)/(log 2)の連分数展開より
(a,b)=(1,1),(3,2)以外に存在したとしても、人類の手には負えないものと思われる

459:１３２人目の素数さん
14/02/26 22:32:27.97
タオは使わんでもなんとかなる

460:１３２人目の素数さん
14/02/27 07:45:50.44
f(b)=3^b-1
f(b)=3*f(b-1)+2

461:１３２人目の素数さん
14/03/04 20:19:21.37
今年の一橋大学の数学第１問には感心した。
解答をまだ見ていない人、楽しめること請け合いまっせ。

a-b-8とb-c-8が素数となるような素数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

462:１３２人目の素数さん
14/03/04 21:03:44.22
こういう整数問題を第1問に出されたら結構焦りそう

d=a-b-8,e=b-c-8とする。
また、pをある奇素数とする。

d=2のとき
　e=2のとき
　　a,b=a-10,c=a-20は3で割った余りが異なる3つの数なので、
　　いずれか1つは3の倍数。
　　全て素数だから、この中で最小のc=3
　　このときb=13,a=23となって条件を満たす。

　e=pのとき
　　b-c=8+p(奇数)より、b,cの偶奇は異なる。
　　b>cかつcは素数なのでc=2
　　このとき　a=20+p, b=10+p
　　p≠3のとき、a,bのいずれか一方が6以上の3の倍数となるため不適。
　　よってp=3であり、a=23,b=13

d=pのとき
　a-b=8+p(奇数)より、a,bの偶奇は異なる。
　a>bかつbは素数なのでb=2
　このときc=-6-e<0となって不適。

答　(a,b,c)=(23,13,3),(23,13,2)

463:１３２人目の素数さん
14/03/04 21:30:12.88
殆どの受験生は何が手がかりかも掴めずに途方に暮れただろうな。
理詰が好きな子は楽しんで解いたか。

464:１３２人目の素数さん
14/03/05 01:45:49.26
こういう手探りで解いていく問題大好き

465:１３２人目の素数さん
14/03/05 06:58:08.90
問題の発想はどこからだろ。
デザインとか符号理論？

466:１３２人目の素数さん
14/03/05 21:14:40.12
これa-bとb-cでも問題成り立つな
8という数に特に意味はなさそうだ

467:１３２人目の素数さん
14/03/05 21:57:16.74
>>439

・|a(1)| ≦ 2 のとき、
　a(n) = 2cos(α/(2^n)),
　ここに、cos(α/2) = a(1)/2,

・|a(1)| ≧ 2 のとき
　a(n) = 2cosh(β/(2^n)),　(n>1)
　ここに、cosh(β/2) = |a(1)|/2,

468:１３２人目の素数さん
14/03/05 22:49:53.76
>>466
組の数を有限にするのには役にたっているかな。

469:１３２人目の素数さん
14/03/05 22:55:27.27
>>468
全て求め切ったと分らせるのには役に立っている、と言うほうがいいか。

470:１３２人目の素数さん
14/03/06 23:48:47.65
今年の東大の第四問がおもしろい
試験会場では解ききれなかったが、数Ⅲのかなり深い所を聞いてきている

第四問
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx)) 0<p<1,p<q
(3)f(c)=c,0<c<1となるcが存在することを示せ

471:１３２人目の素数さん
14/03/06 23:54:21.69
良く練られた問題とは思うが、別に面白くも何ともない

472:１３２人目の素数さん
14/03/07 00:35:47.17
>>470
y=f(x)とy=xの交点が0<x<1の範囲にあることを示せばいい
おもしろいのはどの部分？

473:１３２人目の素数さん
14/03/07 01:05:30.19
それ単なる言い換えやん

474:１３２人目の素数さん
14/03/07 07:48:41.83
だ、か、ら、おもしろいのはどこだ、と聞いている

475:TheLastManStudying
14/03/07 20:15:34.50
最後のゆとり世代には、中間値定理が面白いのか。
来年は大変だな、気の毒に。

476:１３２人目の素数さん
14/03/08 08:00:52.34
今年の東大は第四問以外がつまらなさすぎたから、かえって第四問が面白く感じた

477:１３２人目の素数さん
14/03/08 08:36:15.74
今年の現役生は相当頭が悪い
中間値定理を知ってはいるが使える奴はほとんどいない
中高一貫の進学校でもこの現状

478:１３２人目の素数さん
14/03/08 09:16:09.47
読み流していたが、中間値定理が出るということは、
これは理系の試験だ！
東大理系二次で、こんな問題が出る時代になったのか。
少子化というのは、恐ろしいな。

479:１３２人目の素数さん
14/03/08 09:22:36.81
うるせえ！

480:１３２人目の素数さん
14/03/08 09:34:08.95
お前らゆとり貶して優越感浸るの好きだな

481:１３２人目の素数さん
14/03/08 09:37:55.43
で、どこがどう面白いの？

482:１３２人目の素数さん
14/03/08 09:56:10.69
改めて考えると全然面白い問題じゃなかった
ゆとり脳でした
ごめんなさい

483:１３２人目の素数さん
14/03/08 10:05:08.13
今年の2番の冒頭では
自然数（すなわち１以上の整数）
と記述してある。
おおっと思ったよ。「すなわち」だもんな。
0は自然数ですか、という連綿と続く遣り取りに業を煮やしたのかもしれない。
さて、これが「受験数学における自然数」の約束事に昇華するかどうか、興味深い。

484:１３２人目の素数さん
14/03/08 10:06:39.14
数学パズルとして面白い問題ではないってだけで
中間値の定理を面白いと感じたなら良いことだ

485:１３２人目の素数さん
14/03/08 10:32:29.74
ゆとりをなめんな

【サッカー/なでしこ】アルガルベカップ　日本、デンマークに１－０勝利！　岩渕の先制ゴールを守り今大会初白星[03/08]
ｽﾚﾘﾝｸ(mnewsplus板:120番)

486:１３２人目の素数さん
14/03/08 10:34:15.47
120 名前：名無しさん＠恐縮です[] 投稿日：2014/03/08(土) 01:29:52.55 ID:ivRovwLWI
>>103

我が国については、国際的に最上位レベルにある子どもの学力と対照的に、大人の理解度は下位に位置しており、極めて特徴的である。
我が国では、（略）、関心の低い大人の影響で子どもの関心が低下する（平成18年版科学技術白書）

ユトリ世代　　２位／２５カ国
大人　　　　　２２位／２５カ国

URLﾘﾝｸ(www.mext.go.jp)

ユトリは成人力調査でも高い学力を持っているとわかりました

487:１３２人目の素数さん
14/03/08 13:31:11.47
いつまで「ゆとり」ネタに頼ってんだ？

488:１３２人目の素数さん
14/03/08 15:15:00.55
「ゆとり」は、もう終わるが、
少子化は、益々悪化してゆく。
学校を減らさなければ、
教育水準の低下は止められない。

489:１３２人目の素数さん
14/03/09 01:16:53.62
減らさず全部で少数精鋭やれば低下せんだろ

490:１３２人目の素数さん
14/03/09 02:09:28.44
もっと問題を

491:１３２人目の素数さん
14/03/09 17:38:08.61
次の極限を求めよ:
Σ(n=1~∞)√(n)*e^(-n)

492:１３２人目の素数さん
14/03/09 20:00:31.35
極限？

493:１３２人目の素数さん
14/03/09 20:15:26.46
ごめん
極限値といえばいいのかな?

494:１３２人目の素数さん
14/03/09 20:17:45.63
Σ(n=1~∞)

ここの意味がよくわからんけど？

495:１３２人目の素数さん
14/03/09 20:46:52.60
何度もごめんなさい
lim_[N→∞]Σ(n=1~N)√(n)*e^(-n) の値を求めて欲しい
ということです

496:１３２人目の素数さん
14/03/09 22:28:55.76
つまり無限級数でしょ？

497:１３２人目の素数さん
14/03/09 22:30:34.00
なんでそんな基本的な表記の事で突っかかってんのか、わからんわ

498:１３２人目の素数さん
14/03/10 08:34:08.54
いや、こういう表記あんまり見ないからさ
何か特殊な意味とか有るのかなと思って

499:１３２人目の素数さん
14/03/10 11:19:17.87
>>498
普通に見ますが

500:１３２人目の素数さん
14/03/10 13:20:04.91
ただの無限級数を極限とか書くからさ

501:１３２人目の素数さん
14/03/10 13:21:26.25
>>499
＞【掲示板での数学記号の書き方例】
＞URLﾘﾝｸ(mathmathmath.dotera.net)
＞●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
＞●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

少なくとも君の使った表記法を知らないからといって責められることではないね

502:１３２人目の素数さん
14/03/10 13:21:50.89
どうでもいいことグダグダいってんなよ

503:１３２人目の素数さん
14/03/10 13:26:42.26
なんでそんな基本的な表記の事で突っかかってんのか、わからんわ

"突っかかってんのか"、わからんわ

504:１３２人目の素数さん
14/03/10 13:32:04.62
Z会の天才問題集より
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

505:１３２人目の素数さん
14/03/10 15:53:46.95
1.640205705728237058203865285315382948349514749938706030136522526234759357847017216022108728859728527 +
1.361230730112066360252141136119566081774341077796194978801633686001519877697193958458861004952824615 I

506:１３２人目の素数さん
14/03/10 19:21:12.19
数学板なのに>>491や>>504にまともに答えられる人はいないの？

507:１３２人目の素数さん
14/03/10 19:30:14.32
>>506
あなたはそれら両方の出題者？

508:１３２人目の素数さん
14/03/10 19:53:37.98
表記の意味を尋ねても答えてくれないので
問題の解きようがありません

509:１３２人目の素数さん
14/03/10 19:56:05.39
>>501を見る限り、意味を理解しながら嫌がらせしてるようにしか見えないけど

510:１３２人目の素数さん
14/03/10 20:25:49.59
>>506
面白くないんじゃないの

511:１３２人目の素数さん
14/03/10 20:48:59.89
>>509
結局、無限級数をあらわしてるってことでいいの？

512:１３２人目の素数さん
14/03/10 22:37:02.40
491の出題者ですが、ただ無限級数の値を求めて欲しいということだけです

513:１３２人目の素数さん
14/03/11 01:18:49.42
504の答えは[5/2-{187^(1/3)}/2]^(1/3)≒- 0.710877で合ってる？

514:１３２人目の素数さん
14/03/11 01:21:55.98
アスペがうるさいスレ

515:１３２人目の素数さん
14/03/11 01:25:56.20
間違えた

[5/2-{189^(1/3)}/2]^(1/3)=[5/2-3/2*7^(1/3)]^(1/3)≒0.71751

516:１３２人目の素数さん
14/03/11 01:38:48.42
>>504
もっと問題を出せよ！

517:１３２人目の素数さん
14/03/11 02:07:53.70
>>515
ちがうよ

518:１３２人目の素数さん
14/03/11 08:42:58.06
a=cos(2π/7),b=cos(4π/7),c=cos(8π/7),α=a^(1/3),β=b^(1/3),γ=c^(1/3),
s=α+β+γ,t=αβ+βγ+γα,x=s^(1/3)とおく

a+b+c=-1/2,ab+bc+ca=-1/2,abc=1/8
↓
s(ss-3t)=-2,2t(2tt-3s)=-5
↓
4xxx-30xx+75x+32=0
s=x^(1/3)=[5/2-3/2*7^(1/3)]^(1/3)

519:１３２人目の素数さん
14/03/11 08:44:37.02
間違えた

a=cos(2π/7),b=cos(4π/7),c=cos(8π/7),α=a^(1/3),β=b^(1/3),γ=c^(1/3),
s=α+β+γ,t=αβ+βγ+γα,x=s^3とおく

a+b+c=-1/2,ab+bc+ca=-1/2,abc=1/8
↓
s(ss-3t)=-2,2t(2tt-3s)=-5
↓
4xxx-30xx+75x+32=0
s=x^(1/3)=[5/2-3/2*7^(1/3)]^(1/3)

520:１３２人目の素数さん
14/03/11 09:02:04.34
流石にこれは酷いのではないか。
これを放置するのが、最近の管理方針か？

521:１３２人目の素数さん
14/03/11 09:03:11.38
>>504
a=cos(2π/7), b=cos(4π/7), c=cos(8π/7)
a+b+c=-1/2
ab+bc+ca=-1/2
abc=1/8

522:１３２人目の素数さん
14/03/11 14:35:44.48
放置で充分だろ

523:１３２人目の素数さん
14/03/11 17:09:19.60
なんか問題でもあるのか？

524:１３２人目の素数さん
14/03/11 18:41:34.25
放置以外に有効策があるなら列挙してくれ
話はそれからだろう

525:１３２人目の素数さん
14/03/11 19:58:57.97
>>519 の補足

　s(ss-3t) +3u = a+b+c = -1/2,
　ttt -3stu +3uu = ab+bc+ca = -1/2,
　u = (abc)^(1/3) = 1/2,
より
　sssu - ttt = 1/4,
したがって
　sss = [5 - 3･7^(1/3)]/2,
　ttt = [4 - 3･7^(1/3)]/4,

526:１３２人目の素数さん
14/03/12 17:48:54.13
xy平面上において
(k-1,0)と(k,0)とを結ぶ経路(k=1,2,…,n)
(k-1,1)と(k,1)とを結ぶ経路(k=1,2,…,n)
(k,0)と(k,1)とを結ぶ経路(k=1,2,…,n)
を考える
各経路はそれぞれ1/2の確率で閉鎖される
このとき,(0,0)から出発して(0,1)へ行ける確率を求めよ

527:１３２人目の素数さん
14/03/12 17:57:01.28
経路が閉鎖されたらジャンプして行けばいいので、求める確率は1

528:１３２人目の素数さん
14/03/12 18:31:53.05
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。
ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。ひんがら目気色悪すぎこっち見んな死ね。

529:１３２人目の素数さん
14/03/12 18:34:43.87
527がﾄﾞﾔ顔で俺ﾏｼﾞウケるレス返したわーと思っている確率なら1だろうな。

530:１３２人目の素数さん
14/03/12 18:42:39.82
ポエムにマジレスされて涙目ｗｗｗｗｗ

531:１３２人目の素数さん
14/03/12 20:35:32.97
lim_[N→∞]Σ(n=1~N)√(n)*e^(-n)
を求めよ

532:１３２人目の素数さん
14/03/12 21:03:38.76
ぞれじゃフォーマット厨は満足しないぞ

533:１３２人目の素数さん
14/03/12 23:22:42.96
>>531の値は求まるの?
∫[0,1]e^(-x^2)dxとかが出てきたんだけど

534:１３２人目の素数さん
14/03/13 14:46:46.98
それぐらいできるだろ

535:１３２人目の素数さん
14/03/13 17:50:46.50
>>534
e^(-x^2)の原始関数って初等関数で表せられないんでしょ？
それじゃ∫[0,1]e^(-x^2)dxの値は求まらないじゃん

536:１３２人目の素数さん
14/03/13 18:26:33.34
そこで数値解析ですよ

537:１３２人目の素数さん
14/03/13 18:28:12.91
求まる求まらないを語るときは、どの空間での話なのかをだな……

538:１３２人目の素数さん
14/03/13 18:57:02.82
結局のところ>>531の答えは何なの？

539:１３２人目の素数さん
14/03/13 19:12:19.05
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)

540:１３２人目の素数さん
14/03/13 19:46:55.82
これって"問題"になっているって言えるの？

541:１３２人目の素数さん
14/03/13 22:34:41.22
n人が100点満点のテストをしたとき、平均点が50点となった
このとき、ある1人の生徒の偏差値が得点以上となる確率を求めよ。

（※点数は連続(実数)で、それぞれの生徒について、0～100点まで得点を取る確率は一様とする）

542:１３２人目の素数さん
14/03/14 23:04:08.26
ちょっと変えてみた。

4人が100点満点のテストをしたとき、平均点が50点となった
このとき、ある1人の生徒の偏差値が得点と等しくなる確率を求めよ。

（※点数はもちろん整数で、それぞれの生徒について、0～100点まで得点を取る確率は一様とする）

543:１３２人目の素数さん
14/03/14 23:23:54.95
面白くもなんともない上に酷い問題だな

544:１３２人目の素数さん
14/03/15 00:09:53.92
>>531 >>539

0.7072407184868037907468779143806467104165083549257855 ～ √(1/2)

545:１３２人目の素数さん
14/03/15 04:54:07.20
√(1/2)～0.70710678118

546:１３２人目の素数さん
14/03/15 05:25:27.53
n-n^2 が最大となるnの値を求めよ。

547:１３２人目の素数さん
14/03/15 10:08:32.40
作成途中か？

548:１３２人目の素数さん
14/03/15 13:02:33.22
>>546
n=0.5

549:１３２人目の素数さん
14/03/15 13:30:05.68
>>546
もはや中学レベルの問題

550:１３２人目の素数さん
14/03/15 17:13:45.10
>548
それどうやって解くんですか？

551:１３２人目の素数さん
14/03/15 19:03:55.50
n-n^2=-n(n-1)より
0と1の中間に軸があることは自明

552:１３２人目の素数さん
14/03/15 20:48:36.24
>>531

Σ[n=1, ∞) (√n)*e^(-n)
　～∫[1/2, ∞) (√x)*exp(-x)dx
　= 0.7100910583 ～ √(1/2),

553:１３２人目の素数さん
14/03/15 20:58:20.53
ax^2 + bx + c = 0 の解を求めよ

554:１３２人目の素数さん
14/03/15 21:57:31.33
pを無理数とします。数列{a_n}をa_n=(p*nの小数部分)で定めます。
区間[0,1]に含まれる任意の区間[a,b]に対して、[a,b]∋a_nとなる自然数nが無限個存在することを示しなさい。

555:１３２人目の素数さん
14/03/15 22:11:31.41
そんなの[0,1]×[0,1]でトーラス作って葉層構造を考えれば自明じゃん

556:１３２人目の素数さん
14/03/15 22:15:24.82
自明ではないと思う
そこをきちんと表現して欲しかったんだけど

557:１３２人目の素数さん
14/03/16 03:32:03.33
>>553
条件不足

558:１３２人目の素数さん
14/03/16 03:50:45.95
√2+√3>π
を示せ

559:１３２人目の素数さん
14/03/16 10:26:24.33
>>553
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

560:１３２人目の素数さん
14/03/16 10:33:30.44
>>553
i)a!=0のとき→x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
ii)a=0, b!=0のとき→x=-c/b
iii)a=b=0, c!=0のとき→不能
iv)a=b=c=0のとき→不定

561:１３２人目の素数さん
14/03/16 10:41:40.53
>>560
おっとb^2-4acの正負によっても場合分けが必要だった
まあ、めんどいからいいやｗ

562:１３２人目の素数さん
14/03/16 12:50:51.75
>>553
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
x=(2c)/(-b±√(b^2-4ac))
の使える方

563:１３２人目の素数さん
14/03/16 13:48:45.88
>>558
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)

564:１３２人目の素数さん
14/03/17 00:26:53.17
こっちにもいろいろある
√２＋√３＞πの証明
URLﾘﾝｸ(www2.ocn.ne.jp)

565:１３２人目の素数さん
14/03/18 07:59:49.58
何かもっとパズルっぽい問題無いの？？？
1,1,5,8で10を作れみたいなやつとか

566:１３２人目の素数さん
14/03/18 08:35:50.36
>>565
パズル
URLﾘﾝｸ(ikura.2ch.net)

567:１３２人目の素数さん
14/03/18 12:26:47.18
4つの4を使って149を作ってください
ただし使っていい記号は以下の通り
•四則演算(+-×÷)
•括弧()
•小数点 (例 .4=0.4)
•根号(√ )
•階乗( ! )
•指数( ^ )

568:１３２人目の素数さん
14/03/18 12:35:06.51
どこがどう面白いのかさっぱり分からん

569:１３２人目の素数さん
14/03/18 14:00:00.25
√（√（√（（√（４）／．４）＾（４！））））＋４！＝１４９。

570:１３２人目の素数さん
14/03/20 15:55:16.50
a[n+1]=√{(1+a[n])/2}
b[n+1]=(1-a[n])b[n]
a[1]=0,b[1]=1

数列a[n],b[n]の一般項を求めよ

571:１３２人目の素数さん
14/03/20 15:57:17.88
つまらん

572:１３２人目の素数さん
14/03/21 19:30:02.31
a＞0、b＞0、c＞0、d＞0、abcd＝1のとき、(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＋(1/d)＋9/(a＋b＋c＋d)≧25/4 を証明せよ

573:１３２人目の素数さん
14/03/21 20:57:35.99
>>572
分からない問題はここに書いてね388
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:872番)
高校数学の質問スレPART368
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:615番)
知恵袋
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)

574:１３２人目の素数さん
14/03/22 18:06:21.04
数列a(n)は、以下の漸化式を満たす
a(n+3)=-a(n+2)+2a(n+1)+8a(n),
a(1)=a(2)=a(3)=1
このとき、a(n)のすべての項は平方数であることを証明せよ

575:１３２人目の素数さん
14/03/22 20:00:07.95
x^2+3x+4=0の2解 α,β
a(n)=2^(n+1)/7-α^n/7-β^n/7

576:１３２人目の素数さん
14/03/22 20:40:27.12
数列 b(n) を b(n+2)=b(n+1)-2b(n), b(1)=b(2)=1 とおくと、
すべての自然数 n で a(n)=(b(n))^2 となることを、帰納法で示せばいい。

577:１３２人目の素数さん
14/03/22 22:57:51.74
>>554の出題者だがこの問題についてはすでにワイルの均等分布定理という定理があるらしい
これを知っている人からすれば私の問題は全く面白くなかったでしょう
本当に申し訳ない

578:１３２人目の素数さん
14/03/22 23:04:00.71
>>572
これはググれば答えがヒットするが、かなりの難問

579:１３２人目の素数さん
14/03/22 23:10:36.14
自演乙

580:１３２人目の素数さん
14/03/23 01:33:01.01
>>572
ラグランジュ未定乗数法を使えば解けるが…
不等式の証明で解析を使うのはイケナイことだけど

581:１３２人目の素数さん
14/03/25 19:22:28.36
逝けない女だと他人は言ふけれど、イイじゃないの、(略証)ならば。

582:１３２人目の素数さん
14/03/25 20:00:04.61
>>574

xx-x+2=0 の2解
　γ = (1-ｉ√7)/2,
　δ = (1+ｉ√7)/2,
を使えば、
　b(n) = (δ^n - γ^n)/(i√7),
　２ = γδ,
　α = γγ,
　β = δδ,

583:１３２人目の素数さん
14/03/25 20:41:29.08
>>576

　b[n] = 2^{(n-1)/2}･U_n(1/√8),
ここに U_n は第2種チェビシェフ多項式。
　sin(nθ) = (sinθ)U_n(cosθ),

584:１３２人目の素数さん
14/03/30 23:38:20.60
nを正の整数とする。
3点(0,0)、(n√2,0)、(0,n√3)を頂点に持つ三角形の内部にある格子点の数をnで表せ。

585:１３２人目の素数さん
14/03/31 05:02:01.95
([n√2]+2)([n√3]+2)/2

586:１３２人目の素数さん
14/03/31 05:10:40.80
n=1でもう違った

587:１３２人目の素数さん
14/03/31 23:45:33.87
(0,0)、(√2,0)、(√2,√3)、(0,√3)を4頂点にもつ長方形自体、
内部の格子点は(1,1)の1点だけだから、対角線に関して対称じゃないんだよね。
これ解けるんだろうか？

588:１３２人目の素数さん
14/03/31 23:57:46.81
数論に出てくる名前のついているようなナントカ数の類が現れそうだな

589:１３２人目の素数さん
14/04/01 06:03:07.64
√3+√2>√6

590:１３２人目の素数さん
14/04/01 06:33:50.07
x>0, y>0
x√3+y√2<6n

591:１３２人目の素数さん
14/04/01 08:32:04.24
訂正　x√3+y√2<n√6

592:１３２人目の素数さん
14/04/02 01:13:56.89
>>584
近似式：{√(3/2)}n^2-{√(5/2)-0.008}n

593:１３２人目の素数さん
14/04/03 13:55:43.07
次の漸化式：a_1=p,a_(n+1)=-1+([1/a_n]+1)*a_n
で表される数列{a_n}は0に収束することを示せ
ただしpは無理数である．また実数xに対して[x]でxの整数部分を表すものとする

594:１３２人目の素数さん
14/04/03 17:45:11.50
-1+([1/(-1)]+1)(-1)=-1

595:１３２人目の素数さん
14/04/03 18:06:45.47
ただしpは無理数である．

596:１３２人目の素数さん
14/04/03 19:05:01.35
↑バカ

597:１３２人目の素数さん
14/04/03 20:19:57.09
負の数だと成り立たない気がするような
もし間違ってたら馬鹿と罵ってもらってかまわん

598:１３２人目の素数さん
14/04/03 20:47:06.65
p は -1 より大きい無理数とすれば成り立つようだ

599:１３２人目の素数さん
14/04/03 22:18:20.77
593の出題者です
はじめp=√２で成立したから多分無理数ならなんでも大丈夫なんだろなって思っていたのでpが正の場合しか考えていませんでした
"ただしpは無理数である"→"ただしpは正の無理数である"と訂正します
>>598さんの言うように正よりもっと範囲を拡張できるのかもしれませんが，まだ私自身検討中です

600:１３２人目の素数さん
14/04/04 00:40:05.28
極限lim(n→∞)tan{2^(1/n) nπ}を求めよ

601:１３２人目の素数さん
14/04/04 00:47:09.76
tan(πlog2)

602:１３２人目の素数さん
14/04/04 18:48:58.18
>>593,599
a_n > 1 のとき a_(n+1) = a_n - 1 だから
0 < a_n < 1 のときを考えればよい
x = 1/a_n とする
x の小数部分を {x} と書く ({x} = x - [x])
a_(n+1) = ([x] + 1)/x - 1 = (1 - {x})/x
1/a_(n+1) = x/(1 - {x}) = x + x{x}/(1 - {x})
x > 1, 0 < 1-{x} < 1 だから
1/a_(n+1) > x + {x} = [x] + 2{x}
1/a_(n+1) > [1/a_n] + 2{1/a_n}
つまり 1/a_(n+1) は 1/a_n より整数部分が大きいか、小数部分が2倍以上

1/a_n (n = 1,2,...) の小数部分は 0 になることはないので、
上から明らかに 1/a_n → ∞ (n→∞)

603:１３２人目の素数さん
14/04/04 22:44:10.22
>>600
え？

604:abc
14/04/11 15:37:39.19
突然ですが、平方根などの根の計算方法を発見しましたけど、どうしたらよいか分かりません。誰か教えて下さい。複雑な計算や難しい理論を必要とせず、微分積分も使いません。ネットで調べても同じものは無いようです。

605:１３２人目の素数さん
14/04/11 16:30:10.68
近所の３流以下の大学数学教授にメール、という考えがちらついた

606:１３２人目の素数さん
14/04/11 17:00:47.48
ポエムスレで発表すればいいよ

607:１３２人目の素数さん
14/04/11 17:13:15.08
適当な学会に入って論文投稿すればー
金払えば入会できるぞ

608:１３２人目の素数さん
14/04/11 22:22:08.68
近隣の中高教師の勉強会に相談してみては？
あなたの県名＋数学＋指導法＋研究会でggr,

609:１３２人目の素数さん
14/04/19 15:05:57.70
面積nを超える平面図形は、内側(境界含む)に
n+1個の格子点を含むように配置できることを示せ。

ってのが面白かった。

610:１３２人目の素数さん
14/04/20 01:06:46.65
幅→0の長方形

611:１３２人目の素数さん
14/04/20 01:23:59.44
>>610
？

612:１３２人目の素数さん
14/04/20 03:52:09.18
細い長方形なら格子点沢山覆えるだろう

613:１３２人目の素数さん
14/04/20 09:38:28.99
どんな形状であってもn+1個の格子点を含むように配置できる
と読むのであろう。

614:１３２人目の素数さん
14/04/20 11:09:51.99
配置は平行移動だけ？　回転も含まないと無理？

615:１３２人目の素数さん
14/04/20 13:15:50.69
ある点P,Qのx座標の差・y座標の差がいずれも整数であるとき、「PとQは同値である」ということにする。

問の平面図形をA、その面積をS(A)とする。
また、0 ≦ x < 1, 0 ≦ y < 1 に対して、
f(x,y) = [Aの内部にある点で、点 (x,y) と同値であるものの個数]
とする。
すると、S(A) =∫[0,1]∫[0,1] f(x,y) dxdy が成り立つ。

また、S(A) < n より、
f(x,y) ≧ n+1 を満たすような (x,y) が必ず存在する。
(「常にf(x,y) ≦ nが成り立つ」と仮定すると S(A) ≦ ∫[0,1]∫[0,1] n dxdy = n となり矛盾)

そのような (x,y) を一つ取り、点 (x,y) が原点にくるように図形を平行移動させると、
A内部には原点と同値な点 (すなわち格子点) がn+1個以上含まれることになる。

616:609
14/04/20 13:40:56.94
>>615
おお、定式化するとそういう風に証明するんでしょうね。

私が見た解説は、以下のようなものでした。
(1) 平面図形Aを、格子の升目の上に適当に置く。
(2) Aが含まれる1x1の升目を、バラバラに切り取る。
(3) 升目を全部重ねる。
(4) 升目の何処かの座標には、元Aの領域の重なりがn+1以上の箇所がある。
＿(そうでなければ、Aの面積がn以下になるため)
(5) その座標が格子点になるように、平行移動すれば良い。

617:１３２人目の素数さん
14/04/21 05:40:12.75
コインを投げて表が出れば1点を加え、裏が出れば1点引く
ただし、0点の場合は引かない
初めの持ち点は0点とする
n回投げたとき、持ち点がk点となる確率を求めよ

答え
C[n,(n+k)/2](1/2)^n (n+kが偶数)
C[n,(n+k+1)/2](1/2)^n (n+kが奇数)

らしいんだが解き方分かる人いるかな

あと、単位円に内接する正n角形の頂点から3点選んでできる三角形の面積の期待値

618:１３２人目の素数さん
14/04/21 07:29:49.30
>>617
そもそも誤答じゃね？(n,k)=(2,0)とかどうよ
>ただし、0点の場合は引かない

|sin(2πu/n)+sin(2πv/n)-sin{2π(u+v)/n}|/2 (0<u,v),(u+v<n)の期待値あたりか?めんどくさ

619:１３２人目の素数さん
14/04/21 21:10:23.10
n=2,k=0だと表裏と裏裏で1/2
C[2,(2+0)/2](1/2)^2=1/2だが

620:１３２人目の素数さん
14/04/21 22:08:16.13
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　でも最近一寸太ったかしら。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　Windows ver.10 で　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　
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　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
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621:618
14/04/21 22:32:22.29
>>619
すまん間違えた

622:１３２人目の素数さん
14/04/22 12:20:00.40
数学的帰納法。

623:１３２人目の素数さん
14/04/22 23:35:36.42
教科書傍用の下みたいな練習問題
Σ[m=1→n]｛Σ[l=1→m]（Σ[k=1→l]）｝
これを式の意味を解釈して簡単に計算できないかな

たとえばΣ[k=1→n](k-1)(n-k)は
(k-1)(n-k)は1～nの整数の中から3個取り出す方法のうち
2番目に大きい数字がkとなるような取り出しかただから
Σ[k=1→n](k-1)(n-k)=C[n,3]

624: ◆BhMath2chk
14/04/23 00:00:00.94
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625:１３２人目の素数さん
14/05/04 02:42:40.97
test

626:１３２人目の素数さん
14/05/04 02:53:40.74
　>>563

0<θ<π/2 のとき、マクローリン展開から
　sinθ > θ - (1/6)θ^3,
　sinθ > θ - (1/6)θ^3,
　tanθ > θ + (1/3)θ^3,
辺々たすと
　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,

627:１３２人目の素数さん
14/05/04 23:07:43.00
a_0=0, a_1=1, a_(n+2)=a_(n+1)+a_n （n=0,1,2,…）とする。
（１）lim(n→∞）a_n/a_(n-1)を求めよ。
（２）（１）で求めた値をzとする。z^x(xは整数）はxが十分に大きいとき、ほぼ整数となる
ことを示せ。

628:１３２人目の素数さん
14/05/13 00:05:49.55
(1)(1+√5)/2
(2)b[n]=[z^n+1/2],z^n=b[n]+c[n]とする
このとき、-1/2≦c[n]<1/2…①
また、z^(n+2)=z^(n+1)+z^n,
c[2]=(-3+√5)/2,c[3]=-2+√5

2≦nでc[n]/c[n+1]=-zを数学的帰納法で示す
まずn=2のとき成り立つ
n=kで成り立つとする
z^(k+2)=z^(k+1)+z^k=b[k+1]+b[k]+c[k+1]+c[k]
c[k+1]+c[k]についてc[k]とc[k+1]は異符号で①より-1/2<c[k+1]+c[k]<1/2
よってc[k+2]=c[k+1]+c[k]
=(1-z)c[k+1]
c[k+1]/c[k+2]=1/(1-z)=-z
よってn=k+1で成り立つ

これらよりc[n]=c[2]/(-z)^(n-2)
となり示される

629:１３２人目の素数さん
14/05/23 20:37:21.90
開き括弧'('と閉じ括弧')'のみからなる記号列
（ただし'('と')'が正しく対応付けられるもの）
があるとする。
この記号列のある部分に対し、
(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えを考える。
(X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし、
X,Y,Zはそれぞれ任意の記号列（長さ0でもよい）とする。
(XYZ)(XYZ)...(XYZ)は、(XYZ)を任意個（0個でもよい）並べたものである。
このような置き換えを無限に繰り返し行うことは不可能であることを示せ。

630:１３２人目の素数さん
14/05/23 20:54:04.69
>>627　(2)
{(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^n　は、{1,3,4,7,11,18,...}という整数値を取り、
(1-√5)/2=-0.618...なので、{(1-√5)/2}^nは、nが大きくなるとどんどん小さくなる
ことより、題意は示される。

631:１３２人目の素数さん
14/05/24 17:35:50.66
>>629
記号列を成す、全ての開き括弧“(”、及び、閉じ括弧“)”に対し、
次のルールで「深さ」という値プロパティを与えることとする
・“(”に対しては、「注目している記号より左側の全ての“(”の数」－「注目している記号より左側の全ての“)”の数」
・“)”に対しては、対応する“(”と同じ値

ところで、「置き換え」ルール：(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ) を適用すると、Y内部の「深さ」は置き換え前に比べ、１減る。
元々の記号列は有限個からなるものなので、「最大の深さ」が存在するため、無限に行うことはできない。

632:１３２人目の素数さん
14/05/24 18:50:08.43
>>631
XとZの内部の深さは変わらないので、最大の深さは変わらない場合もある。
よってこれだけでは証明になっていないと思われるが。

633:１３２人目の素数さん
14/05/24 21:02:16.76
>>632
なるほど、空振りなら、無限回可能ということですね

では、この修正ではどうでしょう。

一番最初に、(X(Y)Z)型の部分列全てに対して、({X}(Y){Z})と、仮想括弧{}を補ってしまいます。
そして、仮想括弧を通常の括弧と同一視した状態で、「深さ」を考えることにします。すると、
>>(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えで、X,Y,Z　の（修正版の）深さは、1ずつ減ることになります。

634:１３２人目の素数さん
14/05/24 21:24:58.94
>>633
(A(B)C(D)E)という部分列があるとき、
({A}(B){C(D)E})
({A(B)C}(D){E})
という2通りの仮想括弧の付け方がある。
上の説明だと、この場合の考え方が分からない。

635:１３２人目の素数さん
14/05/24 21:37:32.88
>>633
そもそも、例えば((()))に仮想括弧を付けて({(}(){)})とすると
括弧の対応関係がクロスした状態になってしまう。
これはマズいのでは。

636:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:04:00.24
グラフ木と対応させればいいんじゃないかな

((()))(()())()なら
●
┃
●●●
┃┣┛
●●　 ●
┣┻━┛
●
みたいな

637:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:12:01.78
なるほど、確かにその通りです。では、素直にいきます。これではどうでしょう。

記号列を食べる関数を考えます。
その関数は、>>631の方法の深さを全ての括弧についてチェックし、

深さ0の括弧のペアの数は、○個
深さ1の括弧のペアの数は、△個
...
と言うように、深さと、その括弧の数を返します。

そして、この返り値は、次の方法で比較可能で、
最大の深さの大小、同じなら、その深さの数の大小、
同じなら、次の深さの大小、同じならその深さの数の大小、．．．
で判断します。
この関数を使えば、置き換え前と、置き換え後を比べると、必ず小さくなっていきます。

638:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:19:30.43
>>635
仮想括弧は、「置き換え」に対応させて考えていたものなので、
そのようなクロスは、題意から除かれています。

639:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:23:48.80
>>635
失礼、よく読むと、そのようなクロスは、題意から除かれて「いない」んですね。

640:１３２人目の素数さん
14/05/24 22:33:53.50
>>637
X=Y=空列,Z="()"として
(()())→(())(())(())
という置き換えを行うと、最大の深さ2の括弧が2個から3個に増える。

>>638
ちょっとよく分からない。
((()))は置き換えの対象になる記号列だと思うんだけど。
X,Y,Zで表される記号列は、必ずしもその内部だけで
括弧の整合性が取れている必要は無い。

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