面白い問題おしえて〜 ..
266:132人目の素数さん
13/06/12 19:43:39.85
>>220
2^n×2^nのチェス盤について考える
(i)n=1のとき、
L字牌1つで埋まる
(ii)n=kのとき成り立つと仮定する
n=k+1のとき、
2^(k+1)×2^(k+1)=4×2^k×2^kより、
2^k×2^kのチェス盤を四方に並べたものとして考える
ここで、2^(k+1)×2^(k+1)のチェス盤の中央(2^k×2^kのチェス盤の角が互いに接し合う場所)にL字牌を置くと、L字牌が重なっている2^k×2^kのチェス盤は1マス除かれた状態のため、仮定からL字牌で敷き詰められる
また、L字牌が重なっていない2^k×2^kのチェス盤から1マス抜けば、仮定からL字牌で敷き詰められる
(i),(ii)から数学的帰納法より成り立つ
したがってn=7のときの
128×128のチェス盤でも成り立つ
267:132人目の素数さん
13/06/14 22:07:11.25
aを定数として、次の不等式を解け。
ax−2<a^2・x^2−4<ax+2
[法政大]
268:132人目の素数さん
13/06/14 22:22:36.79
>>220>>266
立方体でも類似のことが云えるな。
269:132人目の素数さん
13/06/14 22:54:22.94
>>267
(3/2)^2<(ax-1/2)^2<(5/2)^2
270:132人目の素数さん
13/06/14 23:29:54.62
つまらん。
271:132人目の素数さん
13/06/14 23:58:44.17
計算ドリル問題のどこが面白いやら
272:132人目の素数さん
13/06/15 00:09:51.04
a=b
a^2=ab
a^2-b^2=ab-b^2
(a+b)(a-b)=b(a-b)
a+b=b
b+b=b
2b=b
2=1
なんかこれ思い出したわwwwww
273:132人目の素数さん
13/06/15 00:24:06.66
0で割るやつがあるか
274:132人目の素数さん
13/06/15 00:25:52.10
そんな大人ぶらなくたって・・・
275:132人目の素数さん
13/06/15 07:07:56.30
数的処理もここでいいのかな
8F建ての建物に設置されているエレベーターがいFから上昇して8Fに到着するまでの間に
A〜Eの5人がそれぞれ乗り降りをした
5人が次のように述べているとき1〜5の中で確実にいえるのはどれか
なお、同じ階である人が乗り、別の人が降りた場合、この2人は乗り合わせたことにはならない
A「私は乗った階から3つ上の階で降りた」
B「私は4Fで降りた。Aと同じ階で乗ったが、降りた階は異なる階だった」
C「私はAが降りた階で乗り、乗った階から2つ上の階で降りた」
D「私は乗った階から2つ上の階で降りた。私は誰とも乗り合わせなかった」
E「私は既に下の階から乗っていたAと乗り合わせCと一緒に降りた」
1 Aは6Fで降りた
2 Bは2Fで乗った
3 Cは7Fで降りた
4 Dは6Fで乗った
5 Eは4Fで乗った
よろしくお願いします
276:132人目の素数さん
13/06/15 07:53:44.33
>いF
277:132人目の素数さん
13/06/15 07:56:13.49
1Fのミスです
階と変換するのがめんどくてF使ってますが原文は全部階で統一してあります
278:132人目の素数さん
13/06/15 08:15:40.33
難しいな
どこがどう面白いのかさっぱりわからん
279:132人目の素数さん
13/06/15 08:46:40.41
(A) Ai + 3 = Ao
(B) Bo = 4, Bi <= 3, Bi = Ai, Ao ≠ Bo
(C) Ci = Ao, Co = Ci + 2
(D) Do = Di + 2, Di >= Ao,Bo,Co,Eo
(E) Ei > Ai, Eo = Co
(C)までの条件で
Ai 1 2 3
Ao 4 5 6
Bi 1 2 3
Bo 4
Ci 4 5 6
Co 6 7 8
となるが、(D)の条件でCi=Ao=4となり矛盾。
280:132人目の素数さん
13/06/15 11:00:00.21
1.
D.
2.
D.
3.
A,B.
4.
A,(E).
5.
A,E.
6.
C,E.
7.
C,E.
8.
281:132人目の素数さん
13/06/15 11:13:41.18
なお、同じ階である人が乗り、別の人が降りた場合、この2人は乗り合わせたことにはならない
282:132人目の素数さん
13/06/15 11:35:29.56
ちなみに答え1です
アプローチの仕方教えてください
283:132人目の素数さん
13/06/15 12:14:17.02
>>275
Bの証言から、Aは4Fで降りていない。
上とAとCの証言から、「Aが2F→5F、Cが5F→7F」または「Aが3F→6F、Cが6F→8F」。
上とDの証言から、「Aが3F→6F、Bが3F→4F、Cが6F→8F、Dが1F→3F」で確定。
上とEの証言から、「Eが4F、5F→8F」。乗った階は確定しない。
よって、1○ 2× 3× 4× 5×。
284:132人目の素数さん
13/06/15 12:20:25.25
>>283はちょっとだけ端折ってるけど、Aの証言から順に愚直に吟味するだけの問題じゃねえか。
Aの証言からAは1→4、2→5、3→6、4→7、5→8のいずれか。
以下、>>283と同様。
285:132人目の素数さん
13/06/15 12:22:12.64
スケジュール表を埋めるだけの作業だしな
286:132人目の素数さん
13/06/15 12:40:25.20
>>283-284
なるほど、解説きくとけっこうすんなりいくもんですね
ありがとうございます
287:132人目の素数さん
13/06/15 15:10:48.18
(D)は、Di >= Ao,Bo,Co,Eo
ともとれるが、Do <= Ai,Bi,Ci,Ei
にもなるのか...
288:132人目の素数さん
13/06/16 06:51:59.79
数学史上、一旦確立した定理が覆っちゃったことってありますか?
289:132人目の素数さん
13/06/16 07:04:35.92
「確立」とは?
290:132人目の素数さん
13/06/16 08:00:28.57
確立=学会が認定
学会すら無かった時代は対象外で
291:132人目の素数さん
13/06/16 09:17:51.07
近代では無いんじゃないか?
未確定なものは未確定として予想扱いにしてただろう。
誰かが言ったから採用なんてのはアリストテレスとかの時代じゃね?
292:132人目の素数さん
13/06/16 12:56:02.72
学会は認定なんかしないだろ
個々人が認めるだけさ
293:132人目の素数さん
13/06/16 14:08:54.12
宇宙定数・・・は物理か。
294:132人目の素数さん
13/06/16 14:12:03.29
クイックソートの最初の論文には誤りが有ったけど、
30年間、誤りが正されなかったんだっけ。
295:132人目の素数さん
13/06/16 22:40:29.82
数学基礎論の分野で何か無いかな
296:132人目の素数さん
13/06/18 02:09:21.69
公理が定理になることはある
297:132人目の素数さん
13/06/18 19:59:22.83
そんなのあったっけ?
ぱっと思いつかんのだが
298:132人目の素数さん
13/06/18 22:10:48.18
>>297
例えばヒルベルトの幾何学基礎論にある定理の一つ「1直線上に任意の4点が与えられたとき、これらの点をA,B,C,Dで表し、A#B#CかつA#C#DかつB#C#Dとすることが常に可能である(ただし、点Xが点Y,Zの間にある関係をY#X#Zで表す)」
というのは元々公理だったけど後に他の順序公理から導けることがわかったから定理になった
299:132人目の素数さん
13/06/20 23:04:01.73
>>267
>>269 の続き...
3/2 < |ax - 1/2| < 5/2,
∴ -5/2 < ax -1/2 < -3/2 または 3/2 < ax -1/2 < 5/2,
∴ -2 < ax < -1 または 2 < ax < 3,
・a>0 のとき
-2/a < x <-1/a または 2/a < x < 3/a,
・a<0 のとき
3/a < x < 2/a または -1/a < x < -2/a,
・a=0 のとき
解なし。
300:132人目の素数さん
13/07/07 NY:AN:NY.AN
関数f(x)は、次の条件@、Aを満たしている。
@f'(0)=a
Aすべての実数x、yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)
(1)f'(x)を求めよ。
(2)f(x)=f(1)xを示せ。
[大阪市大]
301:132人目の素数さん
13/07/08 NY:AN:NY.AN
1/17 = 0.058823529411....なのだが
588^2 + 2353^2 = 5882353 が成り立つことを計算せずに
1/17から説明しなさい。
302:132人目の素数さん
13/07/08 NY:AN:NY.AN
>>301
1/17 なので、
n = 6*(10^2 -2) = 588 とおくと、
2353 = 4n+1,
17n = (10^2 +2)(10^2 -2) = 10^4 -4,
5882353 = (10^4 +4)n +1
= (10^4 -4)n +8n +1
= (17n)n +8n +1
= n^2 + (4n+1)^2,
303:132人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
これは面白い。
出典はどこ?
304:132人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
2^29 は9桁の数で、各桁の数字がすべて異なる。
0〜9のうち、この数の桁に現れない数字を、2^29を直接書き下す以外の方法で決定せよ。
305:132人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
(2^29の各桁の数字の和)=2^29≡(2^3)^9*4≡-4≡5 mod9
一方0+1+2+3+…+9=45≡0 mod9
∴現れない数字は4
306:132人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN
>>303
588^2+2352^2を計算しなさいという問題があり、成立の理由を調べたら17=4^2+1との関係がわかった。
307:132人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN
すばらしい炯眼
308:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1
任意のxに対して成り立つから、xをx+1、x-1に置換した
f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1
g(x)f(x+2)-f(x)g(x+2)=1
が成立する。両辺を引くと
f(x){g(x-2)+g(x+2)}-g(x){f(x-2)+f(x+2)}=0
よって、ある実数aに対して以下の式が成立する。
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)
a*g(x)=g(x-2)+g(x+2)
1. a≠2のとき
x^2-ax+1=0の2解をα、βとすると
f(x+2)-αf(x)=β{f(x)-αf(x-2)}
h(x)=f(x+2)-αf(x)とおくと
h(x)=βh(x-2)
h(x)=C4(√β)^x+C5(-√β)^x、C4,C5は定数 …@
f(x+2)-βf(x)=α{f(x)-βf(x-2)}
k(x)=f(x+2)-βf(x)とおくと
k(x)=αk(x-2)
k(x)=C6(√α)^x+C7(-√α)^x、C6,C7は定数 …A
@,Aから
(β-α)f(x)=C4(√β)^x+C5(-√β)^x-C6(√α)^x-C7(-√α)^x
f(x)=C0(√α)^x+C1(-√α)^x+C2(√β)^x+C3(-√β)^x、C0,C1,C2,C3は定数
2. a=2のとき
f(x+2)-2f(x)+f(x-2)=0
f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2)
f(x+2)-f(x)=Cとすると
f(x)=C/2*x+C0+C1(-1)^x、C0,C1は定数
309:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
>>308
> よって、ある実数aに対して以下の式が成立する。
なぜ?
310:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
a=2のとき、を以下に訂正
f(x+2)-2f(x)+f(x-2)=0
f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2)
f(x+2)-f(x)=C4+C5(-1)^x、C4,C5は定数とすると
f(x)-f(x-2)=C4+C5(-1)^(x-2)=f(x+2)-f(x)
ここで
f(x)=C4/2*x+C1+(C5/2*x+C3)(-1)^x、C1,C3は定数
とすると
f(x+2)-f(x)=C4/2*(x+2)+C1+(C5/2*(x+2)+C3)(-1)^(x+2)-(C4/2*x+C1+(C5/2*x+C3)(-1)^x)
=C4+C5(-1)^x
となるので、C0=C4/2, C2=C5/2として
f(x)=C0*x+C1+(C2*x+C3)(-1)^x
311:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
>>309
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)かつa*g(x)=g(x-2)+g(x+2) ⇒ f(x){g(x-2)+g(x+2)}-g(x){f(x-2)+f(x+2)}=0
は自明。逆は知らない。
312:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
逆が問題なわけだが
313:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2))=bとすると
g(x)=b/(f(x-2)+f(x+2))
g(x-2)=b/(f(x-4)+f(x))
g(x+2)=b/(f(x)+f(x+4))
f(x)*(b/(f(x-4)+f(x))+b/(f(x)+f(x+4)))=b
f(x)*(f(x)+f(x+4)+f(x-4)+f(x))=(f(x-4)+f(x))(f(x)+f(x+4))
f(x)(f(x+4)+2f(x)+f(x-4))=f(x)^2+(f(x+4)+f(x-4))f(x)+f(x+4)f(x-4)
f(x)^2=f(x+4)f(x-4)
314:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)
f(x+4)=a*f(x+2)-f(x)
f(x-4)=a*f(x-2)-f(x)
f(x+4)f(x-4)=(a*f(x+2)-f(x))(a*f(x-2)-f(x))
=f(x)^2+a*(f(x+2)+f(x-2))*f(x)+a^2*f(x+2)*f(x-2)
となりa=0?
315:132人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
>>313
b→b(x)だった.…
316:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
三角形の内部にあるn個の点によって、この三角形は2n+1個の領域に三角形分割されることを証明せよ
317:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
え?
318:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
またポエマーかよ。
今回はどんだけ後出しするのやら。
319:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
普通に帰納法使うかすれば解けるんじゃね?
どこが面白い問題なんだか
320:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
2回くらい後出しが必要かw
321:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
多分、最初の三角形の頂点も含めて、どの3点も一直線上にはないものとする、
くらいは、出てくるかな
322:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
エスパーしたところによれば、それは要らないと出た
323:132人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
>>321
それ俺が昼ごろ書こうとしたが考えなおしたら不要だと気づいてやめた文言じゃないか
324:132人目の素数さん
13/07/24 NY:AN:NY.AN
a,b(≧2)を互いに素な整数とする。
整数m,n(≧0)がm+n=ab-a-bを満たすとき、
mとnのどちらか一方のみが
ax+by(x,yは非負整数)
という形で表せることを示せ。
325:324
13/07/24 NY:AN:NY.AN
m,nの≧0という条件は不要だった
326:132人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
アナログで最強のソートはどれか考えたい。
トランプのようなカードに
1000以下の数字が一様平均ランダム&重複ありで書かれている。
全部で100枚程度ある。
数字の小さい順にソートするとき、
平均計算量が一番少なくなるのはどのアルゴリズムか?
道具はなくて広い部屋に裸で閉じ込められたみたいなシュールな状況を想像してほしい
327:132人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
あ、床は自由に使ってよしで
328:132人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
数字は1〜1000の自然数を想定
動きまわるのも、分類が多すぎるのも、作業効率かえって低くなりそうなんで
(1)1の桁だけでまず分類する
(2)分類し終わったら1の桁が、0が下〜9が上となるよう順に重ねる
(3)同じように上のカードから10の桁だけで分類する
(4)同じように分類し終わったら10の桁が、0が下〜9が上となるよう順に重ねる
(5)同じように100の桁だけで分類
(6)同じように100の桁が、0が下〜9が上となるよう順に重ねる
(7)1000だけ補正作業
ただし分担作業する場合は他の人もこの方法について理解している必要がある
329:132人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
……(6)だけ9が下〜0が上でよかった
330:132人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
人手でやるならバケットソート系列が良いだろう
経過が分かり易いしミスったときも挿入し易い
100枚程度なら手の届く範囲で並べられるから
メモリコストも気にしなくて良い
例えば>>328の方法を上の桁からやればいい
331:132人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
>>328
上限が1000なら、壁から数字mm離して置いていけば、
1mのソート済みカード列が出来るな。
332:132人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
プログラム的にもそれが最速だろうな
333:132人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
右手にソート前、左手にソート済みを持ってバブルソートじゃない?
床に比べてメモリアクセス効率がいいぞ
334:132人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
1mm単位で調整なんて俺にはそんな手早くできないが
335:132人目の素数さん
13/08/17 NY:AN:NY.AN
4面体の4つの面にそれぞれ0,1,2,3の数字が書かれてあり、
投げた時にそれぞれの面が下を向く確率は1/6,1/3,1/3,1/6とする。
このとき、下を向いた面に書かれている数を「出目」と呼ぶことにすると、
出目を2で割った余りが0,1になる確率はそれぞれ1/2であり、
出目を3で割った余りが0,1,2になる確率はそれぞれ1/3である。
この4面体は、出目を2および3で割った余りがそれぞれ等確率となる、
面の数が最小のサイコロである。
さて、今度は出目を2,3,5で割った余りがそれぞれ等確率となるものを作りたい。
ただし、出目となる数は整数であれば何でもよい。
また、それぞれの面が下を向く確率の比は自由に調整できるものとする。
面の数は最小でいくつだろううか。
336:132人目の素数さん
13/08/17 NY:AN:NY.AN
7面ではできない…と思うが…どうか
337:132人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN
8面でできた、1から順に
1/30, 1/10, 1/6, 1/5, 1/5, 1/6, 1/10, 1/30
338:336
13/08/19 NY:AN:NY.AN
>>337
1〜8でもできたのか……
339:132人目の素数さん
13/08/23 NY:AN:NY.AN
>>324
背理法による。
mもnも ax+by (x≧0, y≧0) の形で表わせたと仮定する。
m+nもそうだから、
ab-a-b = ax+by (0≦x<b-1, 0≦y<a-1)
ab = a(x+1) + b(y+1),
(a,b)=1 より
x+1 ≡ 0 (mod b)、y+1 ≡ 0 (mod a)
x+1 = kb、y+1 = La (k≧1, L≧1).
ab = ab(k+L),
ab(≠0) で割って、
1 = k+L ≧ 2, (矛盾)
∴ m, n の一方は ax+by の形では表わせない。
340:132人目の素数さん
13/08/23 NY:AN:NY.AN
>>316
nについての帰納法による。
(1) n=1 ならば明らかに成立する。
(2) n-1 については命題が成り立つ、と仮定する。
・n番目の点Pnがいずれかの△の内部にあるとき
→ その△がPnにより3つの△に分割される。
・n番目の点Pnがいずれかの辺上にあるとき
→ その辺を共有する2つの△が、Pnにより4つの△に分割される。
・n番目の点が頂点と重なるとき
→ 命題を「n個の相異なる点により・・・・」と解するならば、この場合は生じない。
よってnについても成立する。
341:132人目の素数さん
13/08/24 NY:AN:NY.AN
nは正整数である。n×nのマス目があって、それぞれのマスに1,2…,n^2の数字が一つずつ記されている。
このとき、どのような数字の記し方についても、次の性質をもつ隣接したマスが存在することを示せ。
「隣接したマスの記されている数同士の差はnより小さい」
342:132人目の素数さん
13/08/24 NY:AN:NY.AN
>>339
m,nの一方がax+byの形で表せることの証明が必要なのでは
343:132人目の素数さん
13/08/25 NY:AN:NY.AN
>>335
8面でできることは連立方程式を解けば>>337のように出るんだろうけど、
7面で出来ないことの証明って簡単に出来るの?
344:132人目の素数さん
13/08/25 NY:AN:NY.AN
7面で1/5,1/5,1/5,1/5,1/5となるのは
1/5,1/5,1/5,1/5,a+b+cまたは
1/5,1/5,1/5,a+b,c+d。
1/5,1/5,1/5,1/5,a+b+cのとき
1/3<1/5+1/5なので1/3,1/3,1/3はできない。
1/5,1/5,1/5,a+b,c+dのとき
1/3,1/3,1/3にするには
1/5,1/5,1/5,2/15+1/15,2/15+1/15で
1/2,1/2はできない。
345:132人目の素数さん
13/08/25 NY:AN:NY.AN
(12,12,12,8,7,5,3,1)/60。
(12,12,11,9,8,4,3,1)/60。
(12,12,11,9,7,5,3,1)/60。
(12,12,11,8,7,5,4,1)/60。
(12,12,9,8,7,5,4,3)/60。
(6,6,6,4,4,2,1,1)/30。
(6,6,6,4,3,3,1,1)/30。
(6,6,6,4,3,2,2,1)/30。
(6,6,5,5,4,2,1,1)/30。
(6,6,5,5,3,3,1,1)/30。
(6,6,5,4,4,2,2,1)/30。
(6,6,5,4,3,3,2,1)/30。
(6,6,4,4,3,3,2,2)/30。
346:132人目の素数さん
13/08/26 NY:AN:NY.AN
>>341
147
582
936
347:132人目の素数さん
13/08/26 NY:AN:NY.AN
お前らの中にイケメンいない?
稼げるのかレポ頼むw
URL貼れないから
メーンズ ガーーデン
って検索して!
※正しいサイト名は英語です。
348:132人目の素数さん
13/08/26 NY:AN:NY.AN
nを正整数とする。
任意の2n-1個の整数があったとき、その中から和がnの倍数になるn個の整数が取りだせることを示せ。
349:132人目の素数さん
13/08/27 NY:AN:NY.AN
>>341
×「隣接したマスの記されている数同士の差はnより小さい」
○「隣接したマスの記されている数同士の差はn以上」
ではないか?
350:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
test
351:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
>>348
数学の部屋 → 『割り切れる?Part7』
山梨県 Footmark さんからの問題です。高校生以上向き。
三重県からの解答を掲載。
352:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
test
353:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
4次元正多面体をカウントしる
354:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
数学の挑戦!!!
「エンジニアなら、三分以内に解ける;建築家なら、三時間;医者なら、六時間;
会計士なら、三ヶ月; 弁護士なら、解けないかもしれない」という仮説があります。
皆さんはどのくらいの時間がかかりますか?
URLリンク(twitter.com)
問題の画像
URLリンク(pbs.twimg.com)
↑
なぁ、お前らは正解分かる?何分で解いた?
355:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
>>354
右から二列目の縦列だけに注目すれば答えは簡単だけど、
他の列は無視していいんだろうか?
356:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
答えは任意の数、少なくとも91と答える奴はアホ
357:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
>>354 の問題の画像
[2 3 4 15 12]
[3 4 5 28 20]
[4 5 6 45 30]
[5 6 7 66 42]
[6 7 8 ? 56]
m-1, m, m+1, C[2m,2]=m(2m-1), m(m+1)
358:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
何でわざわざ余分なのがつけてあるのだろうか。
OEISでも91の他はなかった。六角数がわかったくらい。
359:132人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
「問題未定義、少数の強法則。」
と唱えるのに、数秒。
何秒かかるかは、滑舌しだい。
360:132人目の素数さん
13/09/01 05:00:47.76
>>351
2n−1個の整数の中に、余りが同じものがn個以上あれば、そこからn個を取り出すと和はnの倍数なので、命題は成立する。
よって、以下では、余りが同じものはn−1個以下とする。
nの因数についての帰納法による。
(1) nが素数のとき
2n−1個の整数をnで割った余りの順に並べ、x_1, x_2, ..., x_(2n-1) とする。
同じ余りがn個以上並ばないため、
j-i ≧ n-1 ⇒ x_j - x_i はnで割リ切れない。
ここで、i=1,2,・・・・,n-1 に対して
y_i = x_(n+i)- x_i ≠ 0 (mod n)
つまり、「非合同ペア」がn−1組できる。
{x_1、x_(n+1)}
{x_2、x_(n+2)}
・・・・・・・・
{x_(n-1)、x_(2n-1)}
各ペアから一方を選ぶやり方は
{y_1、y_2、・・・・・、y_(n-1)}
の部分集合(φも含める)と対応しており 2^(n-1) とおりある。
361:132人目の素数さん
13/09/01 05:07:42.87
>>351
〔補題〕1≦k≦n-1 とする。
{y_1、y_2、・・・・・、y_k} の部分集合(φも含める)について、要素の和をnで割ったときの余りを求めると、
(k+1) 種類以上ある。
(略証)
kについての帰納法による。
k=1 のときは φおよび{y_1} の2種があり、成立つ。
k-1 について成立つと仮定する。
{y_1、 ・・・・、y_(k-1)} の部分集合について、要素の和をnで割った余りを求め、
その集合を S_(k-1) とする。つまり、余りは #S_(k-1) 種類ある。
#S_(k-1) = n ならば命題は成立する。
#S_(k-1) < n ならば、上記の部分集合に y_k を加えたものを考える。
nで割った余りは同数{#S_(k-1) 種類}だが、
Sum{S_(k-1)~} = Sum{S_(k-1)} + y_k・#S_(k-1),
y_k ≠ 0 (mod n)、 #S_(k-1) ≠ 0 (mod n)、nは素数だから、
y_k・#S_(k-1) ≠ 0 (mod n)
S_(k-1) と S_(k-1)~ は要素の数は同じだが、内容は異なる。
∴ S_(k-1)~ には S_(k-1) にない要素がある。
S_k = S_(k-1) ∪ S_(k-1)~ ⊃ S_(k-1),
#S_k ≧ #S_(k-1) + 1, (略証終)
362:132人目の素数さん
13/09/01 05:14:53.83
>>351
∴ {y_1、y_2、・・・・・、y_(n-1)} の部分集合(φも含める)について、
要素の和をnで割った余りを求めると、n種類すべてを含む。
とくに -(x_1 + ・・・・・ + x_n) と同じ余りのものを含む。
∴ 和がnの倍数であるようなn個組の整数を取り出せる。
以上から、nが素数のとき、命題は成立する。
(2) nが合成数のとき。
nの素因数の一つをpとし、n=pmとする。
素数の場合と同様にして、n−1個の整数の中から、和がpの倍数であるようなp個組の整数を除去する。
これは2m−1回繰り返すことができる。
その結果、和がpの倍数であるようなp個組が2m−1組できる。{最後にp-1個が残るが}
これらp個組の和をpで割った値を {z_1, z_2, ..., z_(2m-1)} とおく。
帰納法の仮定により、これら2m−1個の整数から、和がmの倍数であるようなm個を取り出せる。
よって、和がpmの倍数であるような、pm個を取り出すことも可能。
(三重県 鳥居さんからの解答)
363:132人目の素数さん
13/09/01 05:18:22.66
>>351
(蛇足)
2n−2個の整数の中からn個を取り出してその和をnの倍数とすることは、一般には不可能である。
〔例〕{a,・・・・,a, a+1,・・・・,a+1} (各n-1個)
364:132人目の素数さん
13/09/05 17:47:37.29
任意の項数nの実数列には、単調増加または単調非増加な項数ceiling(√n)の部分数列があることを示せ。
ここで、ceiling(x)はx以上の整数の中で最小のものである。
365:132人目の素数さん
13/09/10 18:10:59.61
整数の数列 (a_1, a_2, …, a_n) で 1≦a_1≦2, 1≦a_2≦2a_1, …, 1≦a_(n-1)≦2a_n をみたすものの個数は、
整数N∈{0, 1, 2, …, 2^n-1} の 1, 2, 4, 8, …, 2^n-1 への分割の総数に等しいことを示せ。
例(n=2) #{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} = #{21, 2, 111, 11, 1, φ}
366:132人目の素数さん
13/09/10 19:01:04.73
>>365 訂正 (2行目2個目の 2^n-1 → 2^(n-1) )
整数の数列 (a_1, a_2, …, a_n) で 1≦a_1≦2, 1≦a_2≦2a_1, …, 1≦a_(n-1)≦2a_n をみたすものの個数は、
整数N∈{0, 1, 2, …, 2^n-1} の 1, 2, 4, 8, …, 2^(n-1) への分割の総数に等しいことを示せ。
例(n=2) #{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} = #{21, 2, 111, 11, 1, φ}
367:132人目の素数さん
13/09/16 15:53:06.39
>>335
一般にn_1,…n_mをどの2数も互いに素な2以上の自然数としたとき
これらの数について条件を満たすN=n_1+…+n_m-m+1面のサイコロを構成出来て
そのサイコロで出目がiとなる確率P(i)(0≦i≦N-1)は
P(i)=♯{(i_1,…,i_m)|0≦i_j≦n_j-1,i_1+…+i_m=i}/Π[k=1,m]n_k
で与えられることはわかった。
これが最小で一意だと思うが、それはうまく示せなかった。
368:132人目の素数さん
13/09/17 09:54:07.50
高校数学の質問スレPART356
スレリンク(math板:283番)
283 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2013/09/13(金) 07:57:15.03
凸八角形Kがある。Kの頂点のうち適当な3点を結んで三角形を作ると
その面積はKの面積の ( ア )分の1以上にできる。
アに当てはまる最小の自然数はいくらか。
これはどのように考えればいいのでしょうか。
こんな問題初めてです。分野さえ分かりません。
369:132人目の素数さん
13/09/17 10:17:23.36
正八角形で1,3,6番目の頂点を結んだ場合を考えて、3 ( > 8-4√2 ) だろうか
なお間違っている可能性がかなりある。眠いし
370:132人目の素数さん
13/09/18 08:12:17.52
>>368以下と解釈。
任意の凸八角形Kに対して、Kの頂点のうち3点を結んで作られる三角形のうち
その面積が最大となるものは、少なくともKの面積の ( ア )分の1以上である。
>>369の例で3は可能。
八角形の頂点を一つ飛ばしで選んだ四角形と、
この四角形に外接し、かつ、八角形を内包する四角形との
入れ子で上限を見積もってみたけど、4は無理そうな感じだな。
371:132人目の素数さん
13/09/18 11:17:35.51
正八角形なら3は可能ってだけじゃないの?
4を考えてる意味もわからん。
372:132人目の素数さん
13/09/23 12:00:00.03
最大の三角形をABCとする。
Aを通りBCに平行な直線とBを通りACに平行な直線とCを通りABに平行な直線で
できる三角形をDEFとすると
K<DEF=4ABC。
373:132人目の素数さん
13/09/23 12:57:54.63
日能研の問題から応用問題。
半径の和が自然数Nであり、それぞれ自然数の半径a,b,cを持ち、
互いに重ならない3つの円を考える。
(1) N=20のとき、3つの円の面積の和の最小値と最大値を求めよ。
(2) 3つの円の面積の和の最大・最小をNを用いて表現せよ。
なお、導出過程も記述せよ。
まあ、宮廷の大学入試レベルだな。
374:132人目の素数さん
13/09/23 13:10:09.07
どこが面白いのかさっぱりわからん
375:132人目の素数さん
13/09/23 13:34:00.05
書くのがかなりめんどい。というか俺はあきらめた。
受験生が「これなら分かるぞ」と思って解きはじめるが、
ごちゃごちゃしてきて投げてしまうパターン
376:132人目の素数さん
13/09/23 13:52:18.12
計算だけでやろうとするとゴチャゴチャするが
論理でやるとスッキリできる
377:132人目の素数さん
13/09/23 16:05:09.99
「論理でやる」とは?
378:132人目の素数さん
13/09/23 18:02:18.00
>>373
「自然数a,b,cがあり、a+b+c=Nとする。N=20の時、a^2+b^2+c^2の最大値と最小値を求めよ」
という問題と、本質的にどこが異なる?
なぜ、円が出てきて、互いに重ならないとかが出てくる?
問題に、記載されていない条件がなにか、抜けているのでは?
379:132人目の素数さん
13/09/23 18:40:34.41
>>378
Nの3に対する剰余で最大最小値が変わる
実数ならa=b=cで最大だが、自然数という制限が付いているからN=20の時には実現できない
380:379
13/09/23 18:45:47.24
すまん。何か勘違いしてた。
>>373とは別人です。
小学生向きの文章をそのまま改変したとか?
381:373
13/09/23 19:49:20.29
>>380
その通りです。日能研の文章をそのまま改変しただけ。
問題が面白くないor冗長なのはご愛嬌ってことで。
そういえば、日能研の文章には追加で、
最小となるa,b,cの組み合わせは何通りあるか、という問題もあったな。
どちらも、ガチャガチャ数え上げる計算しかできない小学生
にとっては、少し酷い問題だなと思ってしまった。
日能研の問題は数値をNに一般化すると、宮廷入試以上のレベルになる
ものが多い、という一例。
今回の回答の本質は>>379だね。最小は基本a=b=cだがNが3で
割り切れない場合の処理と、最大値の証明が大変。
正解は直感的に分かる人が多いが、それが正解だと示すのが面倒くさいので
後回しにされる問題だと思う。
382:132人目の素数さん
13/09/23 20:39:54.06
問題文が冗長はともかく、問題が面白くないのはご愛嬌とかスレタイ見ろよとしか言えないんだが。
383:132人目の素数さん
13/09/23 22:30:18.97
>>373
a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)|a-b|^2,
より、a+b が一定ならば、|a-b| の大きい方が大きい。
(最小)
もし a-b≧2 ならば、
(a-1)^2 + (b+1)^2 = (a^2 + b^2) -2(a-b-1)
≦ (a^2 +b^2) -2,
となるので、(a,b) は最小ではない。
∴ |a-b|≦1
同様にして |b-c|≦1、|c-a|≦1.
{a,b,c} = {q, q+1}
ただし、N = 3q + r, (0≦r<3)
q が 3-r 個、q+1 が r 個.
aa + bb + cc = (3-r)qq + r(q+1)^2
= 3qq +r(2q+1)
= ((3q+r)^2 -rr +3r)/3
= (NN + r(3-r))/3,
(最大)
{a,b,c} = {1,1,N-2} のとき
aa + bb + cc = (N-2)^2 + 2,
384:132人目の素数さん
13/09/24 22:44:30.99
>>373
つまり
最小値: π[ (NN+2)/3 ],
最大値: π((N-2)^2 + 2),
385:132人目の素数さん
13/09/25 23:15:26.07
一見問題が面白いと思えなくても解き方が面白いなら許せるが、これはどうだろうか。
386:132人目の素数さん
13/09/26 00:11:38.09
問題、解法、結果、全てがつまらんな
問題のための問題としか思えん
387:132人目の素数さん
13/09/26 22:00:00.28
a(b)≧a(b+1)(1≦b<N)=>a(b)≦N−b。
J=煤i2^(a(b)))。
388:132人目の素数さん
13/09/29 19:31:18.46
>>386
URLリンク(modernfart.jp)
389:132人目の素数さん
13/10/12 23:21:17.16
凹型五等辺五角形は無限個存在する。
一つの凹型五等辺五角形をある次元の空間上の一点で表すとして、
ちかい形同士は近くに置いて、
できるだけ形の対称性が点列配置の対称性に対応するとすると
それら全ての集合は何次元のどんな形になるか?
(数学の問題としては記述が不正確だけどそこは許して)
390:132人目の素数さん
13/10/13 03:29:31.73
辺の長さを1に固定すると、自由度は隣り合う角度で二次元
最後の点を半径1の円の2交点のうちどちらにとるかで2通り
2つの正方形平面から最後の点まで辺が届かない、辺同士が交差、凸型、の
3領域を除くことになりそう
391:132人目の素数さん
13/10/13 10:02:53.58
有名だけど
次のようなゲームを考える
プレイヤーと司会者がおり、プレイヤーの前には3つのドアがあり、その奥には当たりが1つ、ハズレが2つ用意されている。
プレイヤーがドアを1つ選択する(この時点では開けない)。
司会者は正解のドアを把握しており(これについてプレイヤーは承知している)、
残された2つのうちハズレのドアを1つ開ける(2つともハズレの場合はランダム)。
司会者は「今なら選択を変更して構いませんよ?」とプレイヤーに問いかける。
さて、このときプレイヤーは最初の選択を変更するべきか、否か。
392:132人目の素数さん
13/10/13 11:29:28.38
ドアを選択した時点で、当たりであってもハズレであっても
変更するかしないかで等確率1/2で当たりハズレがあるので
選択を変更してもしなくても当たる確率は同じ。
393:132人目の素数さん
13/10/13 11:38:49.14
正解のドアを把握している司会者がハズレを1つ教えることがポイント
394:132人目の素数さん
13/10/13 18:58:12.98
>>392
ちょっと俺と賭けをしないか?
395:132人目の素数さん
13/10/13 22:42:56.83
0から999の整数を、三次元格子点(x,y,z)と次のルールで対応付ける
xは100の位の数字、yは10の位の数字、zは1の位の数字
問題:
0から999までの整数から三つの素数を選び、それに対応する三つの三次元格子点を結ぶと
正三角形を成したという。そのような3素数の選び方のうち、もっとも大きな正三角形を
成す組み合わせは何か?
396: ◆2U88CDX3HuB9
13/10/14 06:12:38.99
ふむ…
397:132人目の素数さん
13/10/14 10:10:44.53
次の数列の□に当てはまる数はなんですか?
6 16 32 34 □
398:132人目の素数さん
13/10/14 11:06:13.95
881,991
399:132人目の素数さん
13/10/14 12:59:42.51
>>398 すべての正答を見つけただろうということは判る
400:132人目の素数さん
13/10/15 00:40:11.62
>>395
辺の長さって
{113, 131, 311} なら 2√2
{337, 373, 733} なら 4√2
{199, 919, 991} なら 8√2
てな具合?
401:132人目の素数さん
13/10/15 02:09:37.19
そうですよ
402:132人目の素数さん
13/10/17 02:54:05.34
>>391
モンティ・ホール問題ね
さすがに有名すぎ
403:132人目の素数さん
13/11/27 14:08:18.52
Σ[n=1〜∞](n+m-1)Pm・(1-r)^n=m!/2r^m
を示せ
但しm∈N r∈Rで0<r<1
404:132人目の素数さん
13/11/29 20:03:24.93
>>403
与式を Q_m とおく。母関数は
Σ[m=0,∞) Q_m/m!・s^m
= Σ[m=0,∞) Σ[n=1,∞) P[n+m-1,m]/m! (1-r)^(n-1)・s^m
= Σ[m=0,∞) Σ[n=1,∞) C[n+m-1,m] (1-r)^(n-1)・s^m
= Σ[n '=0,∞) Σ[m=0,n '] C[n ',m] (1-r)^n '-m・s^m
= Σ[n '=0,∞) (1-r+s)^n '
= 1/(r-s)
= (1/r)/{1-(s/r)}
= (1/r)Σ[m=0,∞) (s/r)^m,
∴ Q_m = m!/r^(m+1),
405:132人目の素数さん
13/12/29 03:11:04.44
次の条件を満たす閉集合X[1],X[2],...と数列a[1],a[2],...は存在するか?
・各iについてa[i]は自然数でありX[i]はR^2内の正a[i]角形である
・ある有界集合Yがあって各iについてX[i]⊂Yとなる
・各iについてa[i+1]<2*a[i]
・各iについてX[i]⊂X[i+1]
406:132人目の素数さん
13/12/29 10:28:59.66
閉集合X[1],X[2],...は閉集合列X[1],X[2],...のこととして、さっぱりわからん
どこら辺がどう面白いのかが
407:132人目の素数さん
13/12/29 20:36:59.30
a[i+1]=a[i], X[i]=X[i+1] でいいだろ
408:謹賀新年
14/01/01 01:42:27.70
3つの皿に、それぞれいくつかの豆が入っている。
これらに対し、以下の1つの操作だけが許されている。
操作: 2つの皿を選びA,Bとする。
AからBに、きっかりBの個数分だけ豆を移す。
i.e. A,Bの豆をa個,b個(a≧b)としたとき、
AからBにb個の豆を移して a-b個, 2b個とする。
3つの皿の初期状態がどのような個数であっても、
この操作を上手く繰り返すことにより、いずれかの皿を
空にすることができることを示せ。
409:132人目の素数さん
14/01/02 06:11:35.70
質問させてもらいます。
試行回数をn、的中率をp、回収率をk%とすると、
真の回収率=k × (p ± 2×平方根((1−p)×p/n) )/p
※1と2の真の回収率はそれぞれいくつになるのでしょうか?
※1 試行回数485 的中率5.8% 回収率181.3%
※2 485 11.5% 123.9%
410:132人目の素数さん
14/01/03 11:01:08.09
>>405 >>406
たとえば…
a[i]=2^i+1、半径1の円をC[0]として、任意の自然数iについて
C[i-1]に外接する正a[i]角形を周とする領域をX[i]、X[i]に外接する円をC[i]とすると、
C[i]の半径r[i]は,r[i]=Π{k=1,i}cos(π/(2^k+1))と表せる。
これでi→∞としてr[i]が有限値に収束するなら、これがその例になる。
r[i]は対数を取るとlog(cos(π/(2^i+1)))のΣとなるので、それを適当に評価すればいい。
面倒なので以下略
411:132人目の素数さん
14/01/03 12:00:41.31
答えじゃなくて、どこが面白いのかわからんだけなのだが
412:132人目の素数さん
14/01/03 14:10:18.23
Πが無理数であることの証明って出来ます?
413:132人目の素数さん
14/01/03 15:09:37.38
πが有理数であると仮定すると超越数であることと矛盾
414:132人目の素数さん
14/01/17 23:00:17.08
その各桁の数の立方の和に等しいような数が。ちょうど4個ある。
それらはいくつか。
古典的名著、コンスタンス・レイド『ゼロから無限へ』(芹沢正三訳、
講談社ブルーバックス、1971)より。
415:132人目の素数さん
14/01/18 00:14:01.27
意味が取れない????
416:132人目の素数さん
14/01/18 00:34:16.34
そのような数はせいぜい4桁なので虱潰しで
417:132人目の素数さん
14/01/18 02:42:01.03
>>414
1, 153, 370, 371, 407 (自然数を十進法で表わしたとき)
418:132人目の素数さん
14/01/18 04:04:51.93
スレチかもしれないですがスレ立てできなかったので貼らせていただきます
数学の課題です、お願いいたします
次の(i)(ii)を満たすDnを求めよ
(i)lim Dn={(x,y)|x>0,y>0}
n→∞
(ii)lim ∬ (x-y)dxdy=2014
n→∞ Dn
ヒント
Dn{(x,y)|a <x<bn,c <y<dn}を予想して確かめる
n n
lim a =0=lim c lim b =∞=lim d
n→∞ n n→∞ n n→∞ n n→∞ n
419:132人目の素数さん
14/01/18 04:13:19.71
>>418
マルチポストはしない
既に質問スレがあるので個別の問題でスレ立てはしない
質問スレのテンプレを見て式を書き直せ
ここでの質問は取り下げて質問スレで親切な人を待て
420:132人目の素数さん
14/01/18 16:50:30.58
ろくに読みもしないで質問する奴って
よっぽど焦ってるんかな?
421:132人目の素数さん
14/01/18 16:57:33.71
続き
(4) その各桁の数の4乗の和に等しいような自然数が、ちょうど4個ある。
それらはいくつか。
(5) その各桁の数の5乗の和に等しいような自然数が、ちょうど3個ある。
それらはいくつか。
(6) その各桁の数のn乗の和に等しいような自然数がある。(n>5)
それはいくつか。
422:132人目の素数さん
14/01/18 17:04:52.39
>>421
(4) 1, 1634, 8208, 9474
(5) 1, 4150, 4151
(6) 1 (n>5 または n=2)
かな?
423:132人目の素数さん
14/01/18 17:13:28.88
嘘問題。
424:132人目の素数さん
14/01/19 00:00:00.38
0,1,4150,4151,54748,92727,93084,194979。
0,1,548834。
425:132人目の素数さん
14/01/21 00:00:00.19
0,1,1741725,4210818,9800817,9926315,14459929。
0,1,24678050,24678051,88593477。
0,1,146511208,472335975,534494836,912985153。
0,1,4679307774。
426:132人目の素数さん
14/01/21 11:40:37.94
4^10+6^10+7^10+9^10+3^10+0^10+7^10+7^10+7^10+4^10=4679307774
427:132人目の素数さん
14/01/22 00:00:00.41
0,1,32164049650,32164049651,40028394225,42678290603
,44708635679,49388550606,82693916578,94204591914。
0,1。
0,1,564240140138。
0,1,28116440335967。
0,1。
428:132人目の素数さん
14/01/23 01:38:33.94
nn+98=x(75-n)、あるいはnn+98が75-nで割り切れる時のnを求める解法
429:132人目の素数さん
14/01/23 07:08:02.28
nn+98=-(75-n)(75+n)+5723
430:132人目の素数さん
14/01/26 18:27:50.40
直角三角形があって、その周りの長さが60インチ、
斜辺へ下ろした垂線の長さが12インチあるとき、
それぞれの辺の長さは?
431:132人目の素数さん
14/01/26 18:38:08.83
15, 20, 25
432:132人目の素数さん
14/02/16 05:04:44.50
この極限を求めよ
URLリンク(i.imgur.com)
433:132人目の素数さん
14/02/16 05:27:15.70
x^4-2x^3+x^2-2=0
434:132人目の素数さん
14/02/16 09:53:23.77
>>432
2
435:132人目の素数さん
14/02/16 13:03:03.04
…が含まれている数値をxと置いていいの?
436:132人目の素数さん
14/02/16 15:45:08.31
丁寧にやる時は再帰的に与えるだろうけどここで気張ることもあるまい
437:132人目の素数さん
14/02/16 16:20:46.03
…(√2+(√2+(√2+…
って外にも点々が続いてたら?
438:132人目の素数さん
14/02/16 16:44:00.60
そんな式を考えた奴が出てきたらそいつに確かめればよい
439:132人目の素数さん
14/02/16 17:15:06.36
漸化式でやろうとしたら
a(n+1)^2=2+a(n)で詰んだ
これ一般項出せるの?
440:132人目の素数さん
14/02/16 17:23:30.45
そもそもその数、n重の根号無しには表せんだろう
441:132人目の素数さん
14/02/16 17:29:42.55
一般項を知らなくても、初項を正の数とすれば2に収束することはわかる
442:132人目の素数さん
14/02/16 18:22:32.76
a(n)=√(2+√(a(n-1))
443:132人目の素数さん
14/02/16 23:51:56.00
丁寧に議論するなら
@漸化式から、有界と単調を言う
Aもし収束するならば、x^2=2+xを満たすxに収束する
ことを言えばよい
444:132人目の素数さん
14/02/17 00:20:50.88
やっぱり挟み撃ちか
445:132人目の素数さん
14/02/17 02:49:33.00
URLリンク(i.imgur.com)
なぜこうなる?
446:132人目の素数さん
14/02/17 07:47:10.87
お前の書く式の順番が意味分からんその理由から説明しろww
447:132人目の素数さん
14/02/17 11:16:34.47
>>445
左側のやり方で考えるなら、1/5が1より小さいことを考慮していないから間違えている。
右側のやり方についてはいったい何がわからんのかわからん。
448:132人目の素数さん
14/02/18 02:48:03.06
>>439
a_n=2cos(Θ_n) ,Θ_(n+1)=(Θ_n)/2
449:132人目の素数さん
14/02/18 08:05:42.80
同じ式から左右で違う式展開をやって、
なぜ結果が異なるかっていう質問だったのか。
450:132人目の素数さん
14/02/21 01:20:47.44
x軸上の点(a,0)を中心とする半径r(r>0)の円が放物線y=x^2に接しているという。
aとrの関係を求む
451:132人目の素数さん
14/02/21 03:14:55.58
>>450
(放物線の接線の方程式と円の中心との距離)=r を、といたらいけそうだね
452:132人目の素数さん
14/02/21 04:00:00.33
16(a^2−r^2)^3+a^4−20a^2r^2−8r^4−r^2=0。
453:132人目の素数さん
14/02/21 06:59:09.01
>>451
いやいや^^;
454:132人目の素数さん
14/02/21 17:53:12.86
放物線y=x^2の(x,y)における接線は(0,-x^2)を通る
455:132人目の素数さん
14/02/26 06:08:30.64
2^a - 3^b = 1 をみたす自然数解の組 (a、b) をすべて求めよん。
456:132人目の素数さん
14/02/26 16:08:28.61
>>455
3^b≡1,3(mod 2^3)
よって(a,b)=(2,1)のみ
457:132人目の素数さん
14/02/26 20:00:22.12
2^a - 3^b = -1 をみたす自然数解の組 (a、b) をすべて求めよん。
458:132人目の素数さん
14/02/26 22:08:42.57
>>457
(log 3)/(log 2)の連分数展開より
(a,b)=(1,1),(3,2)以外に存在したとしても、人類の手には負えないものと思われる
459:132人目の素数さん
14/02/26 22:32:27.97
タオは使わんでもなんとかなる
460:132人目の素数さん
14/02/27 07:45:50.44
f(b)=3^b-1
f(b)=3*f(b-1)+2
461:132人目の素数さん
14/03/04 20:19:21.37
今年の一橋大学の数学第1問には感心した。
解答をまだ見ていない人、楽しめること請け合いまっせ。
a-b-8とb-c-8が素数となるような素数の組(a,b,c)をすべて求めよ。
462:132人目の素数さん
14/03/04 21:03:44.22
こういう整数問題を第1問に出されたら結構焦りそう
d=a-b-8,e=b-c-8とする。
また、pをある奇素数とする。
d=2のとき
e=2のとき
a,b=a-10,c=a-20は3で割った余りが異なる3つの数なので、
いずれか1つは3の倍数。
全て素数だから、この中で最小のc=3
このときb=13,a=23となって条件を満たす。
e=pのとき
b-c=8+p(奇数)より、b,cの偶奇は異なる。
b>cかつcは素数なのでc=2
このとき a=20+p, b=10+p
p≠3のとき、a,bのいずれか一方が6以上の3の倍数となるため不適。
よってp=3であり、a=23,b=13
d=pのとき
a-b=8+p(奇数)より、a,bの偶奇は異なる。
a>bかつbは素数なのでb=2
このときc=-6-e<0となって不適。
答 (a,b,c)=(23,13,3),(23,13,2)
463:132人目の素数さん
14/03/04 21:30:12.88
殆どの受験生は何が手がかりかも掴めずに途方に暮れただろうな。
理詰が好きな子は楽しんで解いたか。
464:132人目の素数さん
14/03/05 01:45:49.26
こういう手探りで解いていく問題大好き
465:132人目の素数さん
14/03/05 06:58:08.90
問題の発想はどこからだろ。
デザインとか符号理論?
466:132人目の素数さん
14/03/05 21:14:40.12
これa-bとb-cでも問題成り立つな
8という数に特に意味はなさそうだ
467:132人目の素数さん
14/03/05 21:57:16.74
>>439
・|a(1)| ≦ 2 のとき、
a(n) = 2cos(α/(2^n)),
ここに、cos(α/2) = a(1)/2,
・|a(1)| ≧ 2 のとき
a(n) = 2cosh(β/(2^n)), (n>1)
ここに、cosh(β/2) = |a(1)|/2,
468:132人目の素数さん
14/03/05 22:49:53.76
>>466
組の数を有限にするのには役にたっているかな。
469:132人目の素数さん
14/03/05 22:55:27.27
>>468
全て求め切ったと分らせるのには役に立っている、と言うほうがいいか。
470:132人目の素数さん
14/03/06 23:48:47.65
今年の東大の第四問がおもしろい
試験会場では解ききれなかったが、数Vのかなり深い所を聞いてきている
第四問
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx)) 0<p<1,p<q
(3)f(c)=c,0<c<1となるcが存在することを示せ
471:132人目の素数さん
14/03/06 23:54:21.69
良く練られた問題とは思うが、別に面白くも何ともない
472:132人目の素数さん
14/03/07 00:35:47.17
>>470
y=f(x)とy=xの交点が0<x<1の範囲にあることを示せばいい
おもしろいのはどの部分?
473:132人目の素数さん
14/03/07 01:05:30.19
それ単なる言い換えやん
474:132人目の素数さん
14/03/07 07:48:41.83
だ、か、ら、おもしろいのはどこだ、と聞いている
475:TheLastManStudying
14/03/07 20:15:34.50
最後のゆとり世代には、中間値定理が面白いのか。
来年は大変だな、気の毒に。
476:132人目の素数さん
14/03/08 08:00:52.34
今年の東大は第四問以外がつまらなさすぎたから、かえって第四問が面白く感じた
477:132人目の素数さん
14/03/08 08:36:15.74
今年の現役生は相当頭が悪い
中間値定理を知ってはいるが使える奴はほとんどいない
中高一貫の進学校でもこの現状
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