面白い問題おしえて～な二十問目

面白い問題おしえて～ ..

180:１３２人目の素数さん
13/05/10 11:25:15.50
【>>170の完璧な解法】
俺からすれば、５０人全員が不貞夫であることは分かっているので
そこからその５０人の妻には自身の夫を除く４９人の不貞夫が見えていることが
俺には分かる。（その中の１人を妻１と名付ける）
妻１からすれば、自分の夫を除く４９人が不貞夫であることは分かっているので
そこからその４９人の妻には自身の夫を除く４８人の不貞夫が見えていることが
妻１には分かる、ということが俺には分かる。（その中の１人を妻２と名付ける）
妻２からすれば、自分の夫を除く４８人が不貞夫であることは分かっているので
そこからその４８人の妻には自身の夫を除く４７人の不貞夫が見えていることが
妻２には分かる、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。（その中の１人を妻３と名付ける）
……
妻４９からすれば、自分の夫を除く１人が不貞夫であることは分かっているので
そこからその１人の妻には自身の夫を除く０人の不貞夫が見えていることが
妻４９には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。（その１人を妻５０と名付ける）
妻５０からすれば、自分の夫を除く０人が不貞夫であることは分かっているので
そこから自分の夫が不貞夫でなければこの村には不貞夫はいないということが
妻５０には分かる、ということが妻４９には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。
【以下につづく】

181:１３２人目の素数さん
13/05/10 11:25:48.31
【>>180のつづき】
ところが、少なくとも一人の不貞夫がいることが判明してしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻５０は自分の夫が不貞夫であることが分かるので１日目に処刑するはずだろうことが
妻４９には分かる、ということが妻４８には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。
ところが、誰も処刑されることなく２日目を迎えてしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻４９は自分の夫が不貞夫であることが分かるので２日目に処刑するはずだろうことが
妻４８には分かる、…、ということが妻１には分かる、ということが俺には分かる。
……
ところが、誰も処刑されることなく４９日目を迎えてしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻２は自分の夫が不貞夫であることが分かるので４９日目に処刑するはずだろうことが
妻１には分かる、ということが俺には分かる。
ところが、誰も処刑されることなく５０日目を迎えてしまった。自分の夫が不貞夫でないとすると、これは矛盾である。
この時点で妻１は自分の夫が不貞夫であることが分かるので５０日目に処刑するはずだろうことが
俺には分かる。
【証明終わり】

182:１３２人目の素数さん
13/05/10 11:31:19.88
1日目2日目……ってのはおかしい気がするけどなあ。
1日目に何も起きない段階で推論は完成して2日目に全員殺害になるんじゃないか？

183:１３２人目の素数さん
13/05/10 11:46:44.95
実際に５０日経たないと矛盾してることは分からないよ

184:１３２人目の素数さん
13/05/10 12:15:24.52
女王の発言前後で状況が変わったことといえば、以下ぐらいしかないよな。

●発言前
・夫は、「自分の妻と他の夫が、村に不貞夫がいるかどうか知っているか」を知らない
●発言後
・夫は、「自分の妻と他の夫が、村に不貞夫がいることを知っている」ことを知った

女王が発言した内容は村の夫・妻は全員知ってるから、
「周知した」ということしか意味がない。

185:１３２人目の素数さん
13/05/10 12:58:55.16
>>170の50組の夫婦の質問文は
「女王が発言しました。どうなるでしょう」
だから、リンク先の解説が誤りで
「何も起こらない」がMS的正解かもしれないな。

186:１３２人目の素数さん
13/05/10 13:42:22.28
今となっては良く知られてるクイズの一種だから、ググれば色々と解説出てくると思うよ
wikipediaの共有知識なんかも要参照

「全員が知っている」、「全員が知っている、ということを知っている」、「全員が知ってる、ということを知っている、ということを知っている」･･･
という情報(知識)はそれぞれ別物であることがポイント
ただし >>170のリンク先の問題文では条件が足らないから、解説のような推論は成り立たない
(>>170の解説･答えを不自然･非現実的に感じるのは、勝手に不自然･非現実的な条件を仮定してるから)

187:１３２人目の素数さん
13/05/10 14:23:05.04
面白く脚色したつもりだろうが、つまらない上に曖昧さだけを表面化させた感じ
結果としてただのとんち、もしくは条件逆算問題

188:あぼーん
あぼーん
あぼーん

189:１３２人目の素数さん
13/05/10 21:20:58.71
最初の段階で、全妻が「全妻が×夫は48人以上であることを知っている」ことを知っている。
従って、×夫が48人以下ならその妻は自分の夫が×夫であることがわかるので殺害するはずだが殺害されない。
すると2日目の朝には、全妻が「全妻が×夫は49人以上であることを知った」ことを知ることになる。
従って、×夫が49人以下ならその妻は自分の夫が×夫であることがわかるので殺害するはずだが殺害されない。
すると3日目の朝には全妻が×夫は50人いることを知ることになり、全妻が夫を殺害する。

女王がやってくるまえに全夫は殺害されているはず。

190:１３２人目の素数さん
13/05/10 21:27:33.84
>>189
＞５０組の夫婦のいる村の男全員が不貞をしています。
この文はこの問題の読者に対してであって、村の人がこのことを知っているわけではない。

村の人が分かっていることは
＞女はみな、自分の夫以外の男が不貞をすれば即座にわかります。でも自分の夫が不貞をしてもわかりません。
＞村の掟では不貞をはたらいた夫の妻は、夫を即日殺さなければなりません。
という２点だけ

191:１３２人目の素数さん
13/05/10 21:45:20.59
>>190
全妻には他の妻の夫が全員×夫だとわかっているのだから、
どの妻も「他の妻全員が少なくとも48人×夫がいることを知っている」と知ることになるだろ。

192:１３２人目の素数さん
13/05/10 21:48:10.59
>>190
> この文はこの問題の読者に対してであって、村の人がこのことを知っているわけではない。
当たり前だろ。知ってたら1日目で終わるわｗ

193:１３２人目の素数さん
13/05/10 22:10:11.88
>>191
事実Ａ：「全妻には自分の夫以外の49人の×夫が見えている」

>>189の１行目は事実Ａから導かれるが２行目では事実Ａに反する仮定をしてるな

同じように見えても>>174は事実Ａを使ってなくて一般のＮに関する数学的帰納法を使っている

194:１３２人目の素数さん
13/05/10 22:14:31.52
>>193
>>174はいきなり事実に反する仮定をしてるじゃんか。

195:１３２人目の素数さん
13/05/10 22:16:00.98
> 不貞の夫が一人だけなら
この仮定は事実に反しないのか？

196:１３２人目の素数さん
13/05/10 22:21:25.69
>>194-195
そうじゃなくて、本題の５０人っていうのをＮ人に一般化して問題を解いてるんだよ

197:１３２人目の素数さん
13/05/10 22:25:23.40
解けてねえって話だよ

198:１３２人目の素数さん
13/05/10 22:31:23.21
えっ、具体的な数値を一般化して解くのは数学ではよくある解法だと思うけど…
それとも>>174の証明は間違ってるってこと？

199:１３２人目の素数さん
13/05/10 23:05:38.55
>>174が正しかったら>>189も正しくね？
なんで、>>189に対しては事実に反する仮定をしているからダメって言って、
>>174には言わないんだ？
>>174の仮定は事実に反してるだろ？

200:１３２人目の素数さん
13/05/10 23:14:00.89
>>199
>>189は１行目では事実Ａに基づいた仮定をしていて、２行目では事実Ａに反する仮定をしてる
つまり、１行目と２行目とで相反する仮定を使ってる。それなのに１行目の結論を２行目に適応してるから矛盾なんだよ

201:１３２人目の素数さん
13/05/10 23:15:04.89
>>200
>>174もそうだよ。

202:１３２人目の素数さん
13/05/10 23:15:56.14
>>201
>>189の２行目がどうして従うのか分からないんだが、解説して

203:１３２人目の素数さん
13/05/10 23:18:07.79
>>201
>>174のどことどこが相反する仮定を使ってるの？

204:１３２人目の素数さん
13/05/10 23:32:26.98
女王の台詞が悪い気がする。

「夫が不貞を働いたと思う人は挙手してください」
と言う質問を繰り返したときに、何回目で不貞が
露呈するかという問題なら素直に理解できる。

205:１３２人目の素数さん
13/05/10 23:55:32.02
>>204
そうか？
その方式でも、本質的なところは変わってないように思うが

206:１３２人目の素数さん
13/05/11 00:02:24.40
問題：無理数の無理数乗で有理数となるものが存在することを示せ」
※高校数学の範囲で証明できます

207:１３２人目の素数さん
13/05/11 00:29:31.52
>>206
分からない問題はここに書いてね360
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:418番)

208:１３２人目の素数さん
13/05/11 00:32:31.87
p=log(q)

209:１３２人目の素数さん
13/05/11 07:43:01.55
個人的にはウィキの「共有意識」の説明が分かりやすい
島民１０人のうち、３人の目が青で７人の目が緑の場合、
７人には青い目の人が３人見えるが、３人には２人しか見えない

210:１３２人目の素数さん
13/05/11 08:46:07.78
事実に反する仮定って意味があるの？
「不貞夫が一人」は偽なんだから、「不貞夫が一人ならその妻は気づかない」も真になってしまわないの？

211:１３２人目の素数さん
13/05/11 08:55:00.62
Wikiの説明もそうだけど、本当に共有されているのは
「不貞夫が1人以上存在すること」ではなくて、
「お互いが不貞夫を何人いるはずだと思っているか」という
推論のステップであって、推論の同期をとることが本質的。

「不貞夫が1人以上存在する」という発言で、
全員の推論段階がN=1に同期すると言いたいのだろうが、
他人の思考が同期したことを確信できる情報量が無いと
自然な解釈とは思えないな。

212:１３２人目の素数さん
13/05/11 12:03:26.60
共通意識って、今月中に抜き打ちテストをやるっていう話に似てるね
抜き打ちだから、生徒が全く予期出来ないタイミングでやらなければならない
となると３１日の実施は無理、何故なら３０日が過ぎた時点で３１日の実施が予期出来てしまうから
となると３０日の実施も無理、何故なら２９日が・・・・・・・・・　結局テストを実施出来る日は存在しないという話

共通意識もテストの話も、理屈は分かるんだが釈然としないものが残るね、なにかがおかしい気がする
ああいう連鎖って本当に存在するのかなぁ

213:１３２人目の素数さん
13/05/11 12:04:40.80
>>212　訂正

共通意識　→　共有意識

214:１３２人目の素数さん
13/05/11 14:22:13.97
共有知識
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

青い目の人が最低でも一人はいるというアナウンスは、青い目の人が４人以上いるケースでは必要ないと思う
むしろ必要なのは共通のゲーム開始時間

215:１３２人目の素数さん
13/05/11 14:44:18.07
>>210
仮定してるのは「不貞夫が一人」じゃないぞ
あくまでも仮定の大枠は「自分の夫は不貞でない(不貞夫は自分の夫以外の49人)」だ

>>212
>>186でも書いたけど共有知識の仮定って不自然で非現実的な仮定だから
その結果が不自然･非現実的に見えてしまっても当たり前
推論がちゃんと行われる為には
「全員頭がいい(演繹的に推論できる)」「全員頭がいいと知っている」「そのこと自体を知っている」「そのこと自体を(ry」･･･
という仮定などが必要だが、現実世界ではそんな知識はまず知り得ない

216:１３２人目の素数さん
13/05/11 14:57:36.48
>>214
「最低でも１人いる」というアナウンスは必要だよ
島の掟を「明日○月×日から施行する」などという設定にすれば、共通のゲーム開始時間を作れるが
アナウンスがなければ、元の問題の時と同じような推論はできない(仮定の矛盾を示せない)

217:１３２人目の素数さん
13/05/11 16:26:59.16
>>212
連鎖って厄介な問題だよね、人間の頭脳では捉えられないようになってるのかも
カントのアンチノミーに追加していいのかもしれん

２つの封筒問題スレ 4
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
上のスレでも一時期連鎖が話題になってた
「二つの封筒を用意して、片方にはもう片方の二倍の金額を入れる、最小値は１円、
片方を開封した被験者にもう片方の金額がバレてはいけない」という問題
ここでも連鎖によって困ったことが起きる
１５円３０円のペアが無理なのは言うまでもない、もし被験者が１５円を開封したらもう片方が３０円だとバレてしまう
となると３０円６０円も無理、すでに１５円３０円があり得ないと分かってるんだから、
被験者が３０円を開封した時点でもう片方が６０円だとバレてしまう
となると６０円１２０円も無理・・・・・・・・・・

共有意識も、抜き打ちテストも、二つの封筒も、全て連鎖が絡んでる

218:１３２人目の素数さん
13/05/11 17:35:07.46
現実の世界なら
「相手も知っているかもしない」
「相手に自分の考えが読まれてるかもしれない」
ぐらいのことを考えるのがやっと
不確かなことしか解らない
たからこそ相手の裏をかいたりもできるが、裏の裏をかかれる可能性もある

219:１３２人目の素数さん
13/05/11 20:33:03.55
永久に亀の後ろを走り続けてればいいと思うよ

220:１３２人目の素数さん
13/05/21 04:03:46.25
128×128のチェス盤からマス目を1個除いたものはL字牌で敷き詰められることを証明せよ

221:１３２人目の素数さん
13/05/21 07:30:36.25
3×2

222:あぼーん
あぼーん
あぼーん

223:１３２人目の素数さん
13/05/21 23:17:32.59
3×2、5×9
2×2、5×5

224:１３２人目の素数さん
13/05/28 21:00:46.76
ベタかな。
(アナログ)時計で、夜の０時０分から、翌日の０時０分までに、長針と短針が重なるのは何回か？ただし０時０分は除くものとする。

225:１３２人目の素数さん
13/05/28 21:24:30.12
0<x<1440
6x-x/2=360n ∴x=720n/11
n=1～21

226:１３２人目の素数さん
13/05/28 22:02:30.58
↓これって、オマイラが歌ってるんだよな？
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

227:１３２人目の素数さん
13/05/29 14:25:36.00
太郎くんと花子ちゃんが商店街で買い物に行ったとする。
二人が帰りに廃校舎に遊びに行き二時間後に帰宅。
およそ三ヶ月後に花子ちゃんが吐き気をもようしたと仮定した場合
この問題の登場人物が三人になっている確率は？

228:１３２人目の素数さん
13/05/29 21:39:05.48
体K上の多項式 f(X) = X^3-3X-1 ∈ K[X] は、
K内に少なくとも1根を持つものとする。
このとき、fの重複度を込めた3つの根は
全てKに含まれることを示せ。

229:１３２人目の素数さん
13/05/31 09:48:29.07
>>228
ちょいとズルいかもしれんが

まず複素数で考えてみると、
X=2Yとおけば、f(X)=8Y^3-6Y-1
f(X)=0⇔4Y^3-3Y=1/2
Y=cos20ﾟ,cos140ﾟ,cos260ﾟはこれを満たす。(3倍角の公式　cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ　より)
よって、f(X)の根は　2cos20ﾟ,2cos140ﾟ,2cos260ﾟ。
ここで、α=2cos20ﾟとおくと、
2cos140ﾟ=-2cos40ﾟ=-2(2(cos20ﾟ)^2-1)=-α^2+2
と書ける。

これを踏まえ、一般の体で考える。
f(X)のK内における根の一つをαとすると、
f(X)=(X-α)(X^2+αX+α^2-3)　と因数分解できる。
g(X)=X^2+αX+α^2-3　とおく。g(X)がK内に一つ根を持てば、残り一つもKに含まれる。
g(-α^2+2)
=(-α^2+2)^2+α(-α^2+2)+α^2-3
=α^4-4α^2+4-α^3+2α+α^2-3
=α^4-α^3-3α^2+2α+1
=(α^3-3α-1)(α-1)
=0
より、-α^2+2はg(X)の根。
したがって、f(X)の根は全てKに含まれる。□

230:１３２人目の素数さん
13/05/31 12:53:24.66
なるほどー

231:１３２人目の素数さん
13/06/02 05:19:51.90
正八面体の一つの面を床に置いた時、真上から見たらこの図形はどう見えるか。[出典・Ｔ大]

232:１３２人目の素数さん
13/06/02 20:29:34.74
正六角形

233:231
13/06/04 05:57:11.87
>232
もう少し詳しく。

ちなみにＴ大は駒場にある大学ね。

234:１３２人目の素数さん
13/06/04 08:11:07.45
床と平行な正三角形とその辺それぞれにくっついた斜めの二等辺三角形
とでも言えばいいのか

235:１３２人目の素数さん
13/06/04 09:48:53.11
URLﾘﾝｸ(gascon.cocolog-nifty.com)

236:233
13/06/06 04:23:32.40
>234
まあ…。

正六角形の中に六芒星があるように見える、とかそんな感じか。実際には作図させる問題みたいだが。

237:狢 ◆yEy4lYsULH68
13/06/06 06:19:32.49
馬鹿はその存在が無駄なんや。そやし馬鹿は居なくてもエエのやナ。

ケケケ狢

238:１３２人目の素数さん
13/06/06 07:47:23.91
>>236
>>235を見る気はないのか？

239:狢 ◆yEy4lYsULH68
13/06/06 09:11:27.26
馬鹿板は無駄。

狢

240:１３２人目の素数さん
13/06/06 09:49:23.77
6点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)
平面x+y+z=-1を床とする。この平面上にない3点から床に下ろした垂線の足は
(1,0,0)→(1/3,-2/3,-2/3)
(0,1,0)→(-2/3,1/3,-2/3)
(0,0,1)→(-2/3,-2/3,1/3)
∴6点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,1/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3)により囲まれる図形

241:あぼーん
あぼーん
あぼーん

242:１３２人目の素数さん
13/06/06 12:44:18.53
３ｙ＋２= ２ｙ＋３　　

それぞれ移項して、３ｙ-３=２ｙ-２

３(ｙ-1) =２(ｙ-1)

両辺 (ｙ-1) で割って、３=２

あれっ、３=２に

243:あぼーん
あぼーん
あぼーん

244:１３２人目の素数さん
13/06/06 12:46:06.54
三人の女性が3000円のゲームを買うことにした。

三人が1000円ずつ出し合い3000円を店員に渡したところ、奥に入った店員は主人から「少し古いので500円まけてやりな。」といわれた。

ところがこの店員は「500円では半端だ。三人なので300円まけたことにして、200円は俺がもらっておこう。」と考え、女性に300円返した。

仲良し三人組は100円ずつ分け合った。

三人は最初1000円ずつ出したがあとで100円返してもらったので、結局各人900円出したことになる。

支払った三人の900円の合計と店員のポケットに入れた200円を合計すると2900円になる。

100円はどこに消えたんだろうか？

245:あぼーん
あぼーん
あぼーん

246:１３２人目の素数さん
13/06/06 13:07:15.10
意味不明な計算してるだけだ。あまりにも今さらだし。

247:あぼーん
あぼーん
あぼーん

248:１３２人目の素数さん
13/06/06 13:14:15.44
2500(ゲームの代金)+200(俺の取り分)=3000(初めの支払い)-300(まけた代金)

249:あぼーん
あぼーん
あぼーん

250:１３２人目の素数さん
13/06/06 17:13:27.34
>>242
0で割るなし

251:１３２人目の素数さん
13/06/06 18:26:09.16
>>242
計算の過程でどこかに偶然ゼロが含まれてしまうこともあるから注意しなくてはいけない、
という警告としての価値があるね、その書き込み
なかなか面白い

252:236
13/06/06 19:03:23.78
>238
文字化けしてて見れなかった。手書き画像をアップしてあるとか？

253:１３２人目の素数さん
13/06/06 19:13:00.03
>>252
URLﾘﾝｸ(blog-imgs-43.fc2.com)

254:１３２人目の素数さん
13/06/07 20:05:46.98
数列
４，６，７，９，10，11，12，14，□，・・・
数学好きならすぐ分かるかな、有名だし

255:１３２人目の素数さん
13/06/07 20:08:20.62
つまらん

256:１３２人目の素数さん
13/06/07 20:15:15.44
数学好きだけどさっぱりわからんし聞いたことも見たこともない

257:１３２人目の素数さん
13/06/07 20:23:13.60
フィボナッチ数を除いた自然数列

258:１３２人目の素数さん
13/06/07 20:47:40.02
>>257正解！

259:１３２人目の素数さん
13/06/07 21:02:33.88
フィボナッチ数を除いた自然数列は、項番nの初等関数として表すことは出来るか?

260:１３２人目の素数さん
13/06/07 21:37:43.62
F[k]={(1+√5)^k/√5}　({m}：mに最も近い整数)　を使って
nまでに何個フィボナッチ数が存在するかを求めて…みたいな？
うーん、しかしこれでは初等関数にはならないなぁ

261:あぼーん
あぼーん
あぼーん

262:252
13/06/08 05:05:22.79
>253
ごめん、やっぱり文字化けしてる。
この携帯ダメだぁ～。７年前に買ったやつだし。

263:１３２人目の素数さん
13/06/08 12:36:01.57
>>235も>>253も文字化けなど見えん、図しかないぞ

264:１３２人目の素数さん
13/06/08 14:11:36.56
>>262
PCで見ようぜ…

265:262
13/06/09 20:22:11.76
>264
パソコンはネットに繋がっていない。

266:１３２人目の素数さん
13/06/12 19:43:39.85
>>220
2^n×2^nのチェス盤について考える
(i)n=1のとき、
L字牌1つで埋まる

(ii)n=kのとき成り立つと仮定する

n=k+1のとき、
2^(k+1)×2^(k+1)=4×2^k×2^kより、
2^k×2^kのチェス盤を四方に並べたものとして考える

ここで、2^(k+1)×2^(k+1)のチェス盤の中央(2^k×2^kのチェス盤の角が互いに接し合う場所)にL字牌を置くと、L字牌が重なっている2^k×2^kのチェス盤は1マス除かれた状態のため、仮定からL字牌で敷き詰められる
また、L字牌が重なっていない2^k×2^kのチェス盤から1マス抜けば、仮定からL字牌で敷き詰められる
(i),(ii)から数学的帰納法より成り立つ
したがってn=7のときの
128×128のチェス盤でも成り立つ

267:１３２人目の素数さん
13/06/14 22:07:11.25
aを定数として、次の不等式を解け。
ax－2＜a^2･x^2－4＜ax＋2
[法政大]

268:１３２人目の素数さん
13/06/14 22:22:36.79
>>220 >>266
立方体でも類似のことが云えるな。

269:１３２人目の素数さん
13/06/14 22:54:22.94
>>267
(3/2)^2＜(ax-1/2)^2＜(5/2)^2

270:１３２人目の素数さん
13/06/14 23:29:54.62
つまらん。

271:１３２人目の素数さん
13/06/14 23:58:44.17
計算ドリル問題のどこが面白いやら

272:１３２人目の素数さん
13/06/15 00:09:51.04
a=b
a^2=ab
a^2-b^2=ab-b^2
(a+b)(a-b)=b(a-b)
a+b=b
b+b=b
2b=b
2=1

なんかこれ思い出したわｗｗｗｗｗ

273:１３２人目の素数さん
13/06/15 00:24:06.66
０で割るやつがあるか

274:１３２人目の素数さん
13/06/15 00:25:52.10
そんな大人ぶらなくたって・・・

275:１３２人目の素数さん
13/06/15 07:07:56.30
数的処理もここでいいのかな

8F建ての建物に設置されているエレベーターがいFから上昇して8Fに到着するまでの間に
A～Eの５人がそれぞれ乗り降りをした
５人が次のように述べているとき1～5の中で確実にいえるのはどれか
なお、同じ階である人が乗り、別の人が降りた場合、この２人は乗り合わせたことにはならない

A「私は乗った階から3つ上の階で降りた」
B「私は4Fで降りた。Aと同じ階で乗ったが、降りた階は異なる階だった」
C「私はAが降りた階で乗り、乗った階から２つ上の階で降りた」
D「私は乗った階から2つ上の階で降りた。私は誰とも乗り合わせなかった」
E「私は既に下の階から乗っていたAと乗り合わせCと一緒に降りた」

1　Aは6Fで降りた
2　Bは2Fで乗った
3　Cは7Fで降りた
4　Dは6Fで乗った
5　Eは4Fで乗った

よろしくお願いします

276:１３２人目の素数さん
13/06/15 07:53:44.33
＞いF

277:１３２人目の素数さん
13/06/15 07:56:13.49
1Fのミスです
階と変換するのがめんどくてF使ってますが原文は全部階で統一してあります

278:１３２人目の素数さん
13/06/15 08:15:40.33
難しいな
どこがどう面白いのかさっぱりわからん

279:１３２人目の素数さん
13/06/15 08:46:40.41
(A) Ai + 3 = Ao
(B) Bo = 4, Bi <= 3, Bi = Ai, Ao ≠ Bo
(C) Ci = Ao, Co = Ci + 2
(D) Do = Di + 2, Di >= Ao,Bo,Co,Eo
(E) Ei > Ai, Eo = Co

(C)までの条件で
Ai 1 2 3
Ao 4 5 6
Bi 1 2 3
Bo 4
Ci 4 5 6
Co 6 7 8
となるが、(D)の条件でCi=Ao=4となり矛盾。

280:１３２人目の素数さん
13/06/15 11:00:00.21
1.
D.
2.
D.
3.
A,B.
4.
A,(E).
5.
A,E.
6.
C,E.
7.
C,E.
8.

281:１３２人目の素数さん
13/06/15 11:13:41.18
なお、同じ階である人が乗り、別の人が降りた場合、この２人は乗り合わせたことにはならない

282:１３２人目の素数さん
13/06/15 11:35:29.56
ちなみに答え1です
アプローチの仕方教えてください

283:１３２人目の素数さん
13/06/15 12:14:17.02
>>275
Bの証言から、Aは4Fで降りていない。
上とAとCの証言から、「Aが2F→5F、Cが5F→7F」または「Aが3F→6F、Cが6F→8F」。
上とDの証言から、「Aが3F→6F、Bが3F→4F、Cが6F→8F、Dが1F→3F」で確定。
上とEの証言から、「Eが4F、5F→8F」。乗った階は確定しない。
よって、1○ 2× 3× 4× 5×。

284:１３２人目の素数さん
13/06/15 12:20:25.25
>>283はちょっとだけ端折ってるけど、Aの証言から順に愚直に吟味するだけの問題じゃねえか。

Aの証言からAは1→4、2→5、3→6、4→7、5→8のいずれか。
以下、>>283と同様。

285:１３２人目の素数さん
13/06/15 12:22:12.64
スケジュール表を埋めるだけの作業だしな

286:１３２人目の素数さん
13/06/15 12:40:25.20
>>283-284
なるほど、解説きくとけっこうすんなりいくもんですね
ありがとうございます

287:１３２人目の素数さん
13/06/15 15:10:48.18
(D)は、Di >= Ao,Bo,Co,Eo
ともとれるが、Do <= Ai,Bi,Ci,Ei
にもなるのか．．．

288:１３２人目の素数さん
13/06/16 06:51:59.79
数学史上、一旦確立した定理が覆っちゃったことってありますか？

289:１３２人目の素数さん
13/06/16 07:04:35.92
「確立」とは？

290:１３２人目の素数さん
13/06/16 08:00:28.57
確立＝学会が認定
学会すら無かった時代は対象外で

291:１３２人目の素数さん
13/06/16 09:17:51.07
近代では無いんじゃないか？
未確定なものは未確定として予想扱いにしてただろう。
誰かが言ったから採用なんてのはアリストテレスとかの時代じゃね？

292:１３２人目の素数さん
13/06/16 12:56:02.72
学会は認定なんかしないだろ
個々人が認めるだけさ

293:１３２人目の素数さん
13/06/16 14:08:54.12
宇宙定数・・・は物理か。

294:１３２人目の素数さん
13/06/16 14:12:03.29
クイックソートの最初の論文には誤りが有ったけど、
30年間、誤りが正されなかったんだっけ。

295:１３２人目の素数さん
13/06/16 22:40:29.82
数学基礎論の分野で何か無いかな

296:１３２人目の素数さん
13/06/18 02:09:21.69
公理が定理になることはある

297:１３２人目の素数さん
13/06/18 19:59:22.83
そんなのあったっけ？
ぱっと思いつかんのだが

298:１３２人目の素数さん
13/06/18 22:10:48.18
>>297
例えばヒルベルトの幾何学基礎論にある定理の一つ「1直線上に任意の4点が与えられたとき、これらの点をA,B,C,Dで表し、A#B#CかつA#C#DかつB#C#Dとすることが常に可能である(ただし、点Xが点Y,Zの間にある関係をY#X#Zで表す)」
というのは元々公理だったけど後に他の順序公理から導けることがわかったから定理になった

299:１３２人目の素数さん
13/06/20 23:04:01.73
>>267
　>>269 の続き...

　3/2 < |ax - 1/2| < 5/2,
∴　-5/2 < ax -1/2 < -3/2　または　3/2 < ax -1/2 < 5/2,
∴　-2 < ax < -1　または　2 < ax < 3,

・a>0 のとき
　-2/a < x <-1/a　または　2/a < x < 3/a,

・a<0 のとき
　3/a < x < 2/a　または　-1/a < x < -2/a,

・a=0 のとき
　解なし。

300:１３２人目の素数さん
13/07/07 NY:AN:NY.AN
関数f(x)は、次の条件①、②を満たしている。
①f'(0)＝a
②すべての実数x、yに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)

(1)f'(x)を求めよ。
(2)f(x)＝f(1)xを示せ。
[大阪市大]

301:１３２人目の素数さん
13/07/08 NY:AN:NY.AN
1/17 = 0.058823529411....なのだが
588^2 + 2353^2 = 5882353 が成り立つことを計算せずに
1/17から説明しなさい。

302:１３２人目の素数さん
13/07/08 NY:AN:NY.AN
>>301
　1/17 なので、

　n = 6*(10^2 -2) = 588 とおくと、
　2353 = 4n+1,
　17n = (10^2 +2)(10^2 -2) = 10^4 -4,
　5882353 = (10^4 +4)n +1
　　　　　= (10^4 -4)n +8n +1
　　　　　= (17n)n +8n +1
　　　　　= n^2 + (4n+1)^2,

303:１３２人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
これは面白い。
出典はどこ？

304:１３２人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
2＾29　は9桁の数で、各桁の数字がすべて異なる。
0～9のうち、この数の桁に現れない数字を、2＾29を直接書き下す以外の方法で決定せよ。

305:１３２人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN
(2＾29の各桁の数字の和)=2^29≡(2^3)^9*4≡-4≡5 mod9
一方0+1+2+3+…+9=45≡0 mod9
∴現れない数字は4

306:１３２人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN
>>303
588^2+2352^2を計算しなさいという問題があり、成立の理由を調べたら17=4^2+1との関係がわかった。

307:１３２人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN
すばらしい炯眼

308:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1
任意のxに対して成り立つから、xをx+1、x-1に置換した
f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1
g(x)f(x+2)-f(x)g(x+2)=1
が成立する。両辺を引くと
f(x){g(x-2)+g(x+2)}-g(x){f(x-2)+f(x+2)}=0
よって、ある実数aに対して以下の式が成立する。
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)
a*g(x)=g(x-2)+g(x+2)

1. a≠2のとき
x^2-ax+1=0の2解をα、βとすると
f(x+2)-αf(x)=β{f(x)-αf(x-2)}
h(x)=f(x+2)-αf(x)とおくと
h(x)=βh(x-2)
h(x)=C4(√β)^x+C5(-√β)^x、C4,C5は定数 …①
f(x+2)-βf(x)=α{f(x)-βf(x-2)}
k(x)=f(x+2)-βf(x)とおくと
k(x)=αk(x-2)
k(x)=C6(√α)^x+C7(-√α)^x、C6,C7は定数 …②
①,②から
(β-α)f(x)=C4(√β)^x+C5(-√β)^x-C6(√α)^x-C7(-√α)^x
f(x)=C0(√α)^x+C1(-√α)^x+C2(√β)^x+C3(-√β)^x、C0,C1,C2,C3は定数

2. a=2のとき
f(x+2)-2f(x)+f(x-2)=0
f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2)
f(x+2)-f(x)=Cとすると
f(x)=C/2*x+C0+C1(-1)^x、C0,C1は定数

309:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
>>308
> よって、ある実数aに対して以下の式が成立する。

なぜ？

310:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
a=2のとき、を以下に訂正
f(x+2)-2f(x)+f(x-2)=0
f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2)
f(x+2)-f(x)=C4+C5(-1)^x、C4,C5は定数とすると
f(x)-f(x-2)=C4+C5(-1)^(x-2)=f(x+2)-f(x)
ここで
f(x)=C4/2*x+C1+(C5/2*x+C3)(-1)^x、C1,C3は定数
とすると
f(x+2)-f(x)=C4/2*(x+2)+C1+(C5/2*(x+2)+C3)(-1)^(x+2)-(C4/2*x+C1+(C5/2*x+C3)(-1)^x)
=C4+C5(-1)^x
となるので、C0=C4/2, C2=C5/2として
f(x)=C0*x+C1+(C2*x+C3)(-1)^x

311:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
>>309
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)かつa*g(x)=g(x-2)+g(x+2) ⇒ f(x){g(x-2)+g(x+2)}-g(x){f(x-2)+f(x+2)}=0
は自明。逆は知らない。

312:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
逆が問題なわけだが

313:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2))=bとすると
g(x)=b/(f(x-2)+f(x+2))
g(x-2)=b/(f(x-4)+f(x))
g(x+2)=b/(f(x)+f(x+4))
f(x)*(b/(f(x-4)+f(x))+b/(f(x)+f(x+4)))=b
f(x)*(f(x)+f(x+4)+f(x-4)+f(x))=(f(x-4)+f(x))(f(x)+f(x+4))
f(x)(f(x+4)+2f(x)+f(x-4))=f(x)^2+(f(x+4)+f(x-4))f(x)+f(x+4)f(x-4)
f(x)^2=f(x+4)f(x-4)

314:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
a*f(x)=f(x-2)+f(x+2)
f(x+4)=a*f(x+2)-f(x)
f(x-4)=a*f(x-2)-f(x)
f(x+4)f(x-4)=(a*f(x+2)-f(x))(a*f(x-2)-f(x))
=f(x)^2+a*(f(x+2)+f(x-2))*f(x)+a^2*f(x+2)*f(x-2)
となりa=0？

315:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN
>>313
b→b(x)だった.…

316:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
三角形の内部にあるn個の点によって、この三角形は2n+1個の領域に三角形分割されることを証明せよ

317:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
え？

318:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
またポエマーかよ。
今回はどんだけ後出しするのやら。

319:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
普通に帰納法使うかすれば解けるんじゃね？
どこが面白い問題なんだか

320:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
2回くらい後出しが必要かｗ

321:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
多分、最初の三角形の頂点も含めて、どの3点も一直線上にはないものとする、
くらいは、出てくるかな

322:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
エスパーしたところによれば、それは要らないと出た

323:１３２人目の素数さん
13/07/22 NY:AN:NY.AN
>>321
それ俺が昼ごろ書こうとしたが考えなおしたら不要だと気づいてやめた文言じゃないか

324:１３２人目の素数さん
13/07/24 NY:AN:NY.AN
a,b(≧2)を互いに素な整数とする。
整数m,n(≧0)がm+n=ab-a-bを満たすとき、
mとnのどちらか一方のみが
ax+by（x,yは非負整数）
という形で表せることを示せ。

325:324
13/07/24 NY:AN:NY.AN
m,nの≧0という条件は不要だった

326:１３２人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
アナログで最強のソートはどれか考えたい。

トランプのようなカードに
1000以下の数字が一様平均ランダム＆重複ありで書かれている。
全部で100枚程度ある。
数字の小さい順にソートするとき、
平均計算量が一番少なくなるのはどのアルゴリズムか？
道具はなくて広い部屋に裸で閉じ込められたみたいなシュールな状況を想像してほしい

327:１３２人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
あ、床は自由に使ってよしで

328:１３２人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
数字は1～1000の自然数を想定
動きまわるのも、分類が多すぎるのも、作業効率かえって低くなりそうなんで

(1)１の桁だけでまず分類する
(2)分類し終わったら1の桁が、0が下～9が上となるよう順に重ねる
(3)同じように上のカードから１0の桁だけで分類する
(4)同じように分類し終わったら10の桁が、0が下～9が上となるよう順に重ねる
(5)同じように100の桁だけで分類
(6)同じように100の桁が、0が下～9が上となるよう順に重ねる
(7)1000だけ補正作業

ただし分担作業する場合は他の人もこの方法について理解している必要がある

329:１３２人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
……(6)だけ9が下～0が上でよかった

330:１３２人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN
人手でやるならバケットソート系列が良いだろう
経過が分かり易いしミスったときも挿入し易い
100枚程度なら手の届く範囲で並べられるから
メモリコストも気にしなくて良い

例えば>>328の方法を上の桁からやればいい

331:１３２人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
>>328
上限が1000なら、壁から数字mm離して置いていけば、
1mのソート済みカード列が出来るな。

332:１３２人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
プログラム的にもそれが最速だろうな

333:１３２人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
右手にソート前、左手にソート済みを持ってバブルソートじゃない？
床に比べてメモリアクセス効率がいいぞ

334:１３２人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN
1mm単位で調整なんて俺にはそんな手早くできないが

335:１３２人目の素数さん
13/08/17 NY:AN:NY.AN
4面体の4つの面にそれぞれ0,1,2,3の数字が書かれてあり、
投げた時にそれぞれの面が下を向く確率は1/6,1/3,1/3,1/6とする。
このとき、下を向いた面に書かれている数を「出目」と呼ぶことにすると、
出目を2で割った余りが0,1になる確率はそれぞれ1/2であり、
出目を3で割った余りが0,1,2になる確率はそれぞれ1/3である。
この4面体は、出目を2および3で割った余りがそれぞれ等確率となる、
面の数が最小のサイコロである。

さて、今度は出目を2,3,5で割った余りがそれぞれ等確率となるものを作りたい。
ただし、出目となる数は整数であれば何でもよい。
また、それぞれの面が下を向く確率の比は自由に調整できるものとする。
面の数は最小でいくつだろううか。

336:１３２人目の素数さん
13/08/17 NY:AN:NY.AN
7面ではできない…と思うが…どうか

337:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN
8面でできた、1から順に
1/30, 1/10, 1/6, 1/5, 1/5, 1/6, 1/10, 1/30

338:336
13/08/19 NY:AN:NY.AN
>>337
１～８でもできたのか……

339:１３２人目の素数さん
13/08/23 NY:AN:NY.AN
>>324

背理法による。
mもnも ax+by (x≧0, y≧0) の形で表わせたと仮定する。
m+nもそうだから、
　ab-a-b = ax+by　(0≦x<b-1, 0≦y<a-1)
　ab = a(x+1) + b(y+1),
(a,b)=1 より
　x+1 ≡ 0　(mod b)、y+1 ≡ 0　(mod a)
　x+1 = kb、y+1 = La (k≧1, L≧1).
　ab = ab(k+L),
ab(≠0) で割って、
　1 = k+L ≧ 2,　　(矛盾)
∴　m, n の一方は ax+by の形では表わせない。

340:１３２人目の素数さん
13/08/23 NY:AN:NY.AN
>>316

nについての帰納法による。

(1) n=1 ならば明らかに成立する。

(2) n-1 については命題が成り立つ、と仮定する。

・n番目の点Pnがいずれかの△の内部にあるとき
　　→　その△がPnにより３つの△に分割される。

・n番目の点Pnがいずれかの辺上にあるとき
　　→　その辺を共有する２つの△が、Pnにより４つの△に分割される。

・n番目の点が頂点と重なるとき
　　→　命題を「n個の相異なる点により････」と解するならば、この場合は生じない。

よってnについても成立する。

341:１３２人目の素数さん
13/08/24 NY:AN:NY.AN
nは正整数である。n×nのマス目があって、それぞれのマスに1,2…,n^2の数字が一つずつ記されている。
このとき、どのような数字の記し方についても、次の性質をもつ隣接したマスが存在することを示せ。
「隣接したマスの記されている数同士の差はnより小さい」

342:１３２人目の素数さん
13/08/24 NY:AN:NY.AN
>>339
m,nの一方がax+byの形で表せることの証明が必要なのでは

343:１３２人目の素数さん
13/08/25 NY:AN:NY.AN
>>335
8面でできることは連立方程式を解けば>>337のように出るんだろうけど、
7面で出来ないことの証明って簡単に出来るの？

344:１３２人目の素数さん
13/08/25 NY:AN:NY.AN
７面で１／５，１／５，１／５，１／５，１／５となるのは
１／５，１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ＋ｃまたは
１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ，ｃ＋ｄ。
１／５，１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ＋ｃのとき
１／３＜１／５＋１／５なので１／３，１／３，１／３はできない。
１／５，１／５，１／５，ａ＋ｂ，ｃ＋ｄのとき
１／３，１／３，１／３にするには
１／５，１／５，１／５，２／１５＋１／１５，２／１５＋１／１５で
１／２，１／２はできない。

345:１３２人目の素数さん
13/08/25 NY:AN:NY.AN
（１２，１２，１２，８，７，５，３，１）／６０。
（１２，１２，１１，９，８，４，３，１）／６０。
（１２，１２，１１，９，７，５，３，１）／６０。
（１２，１２，１１，８，７，５，４，１）／６０。
（１２，１２，９，８，７，５，４，３）／６０。
（６，６，６，４，４，２，１，１）／３０。
（６，６，６，４，３，３，１，１）／３０。
（６，６，６，４，３，２，２，１）／３０。
（６，６，５，５，４，２，１，１）／３０。
（６，６，５，５，３，３，１，１）／３０。
（６，６，５，４，４，２，２，１）／３０。
（６，６，５，４，３，３，２，１）／３０。
（６，６，４，４，３，３，２，２）／３０。

346:１３２人目の素数さん
13/08/26 NY:AN:NY.AN
>>341
147
582
936

347:１３２人目の素数さん
13/08/26 NY:AN:NY.AN
お前らの中にイケメンいない？
稼げるのかレポ頼むｗ
ＵＲＬ貼れないから
メーンズ　ガーーデン
って検索して！
※正しいサイト名は英語です。

348:１３２人目の素数さん
13/08/26 NY:AN:NY.AN
nを正整数とする。
任意の2n-1個の整数があったとき、その中から和がnの倍数になるn個の整数が取りだせることを示せ。

349:１３２人目の素数さん
13/08/27 NY:AN:NY.AN
>>341
×「隣接したマスの記されている数同士の差はnより小さい」
○「隣接したマスの記されている数同士の差はn以上」
ではないか？

350:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
test

351:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
>>348

数学の部屋　→　『割り切れる？Ｐart7』
　山梨県　Footmark さんからの問題です。高校生以上向き。
三重県からの解答を掲載。

352:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
test

353:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
4次元正多面体をカウントしる

354:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
数学の挑戦！！！
「エンジニアなら、三分以内に解ける；建築家なら、三時間；医者なら、六時間；
会計士なら、三ヶ月；弁護士なら、解けないかもしれない」という仮説があります。
皆さんはどのくらいの時間がかかりますか?
URLﾘﾝｸ(twitter.com)

問題の画像
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)

↑

なぁ、お前らは正解分かる？何分で解いた？

355:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
>>354
右から二列目の縦列だけに注目すれば答えは簡単だけど、
他の列は無視していいんだろうか？

356:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
答えは任意の数、少なくとも91と答える奴はアホ

357:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
>>354　の問題の画像

［２３４ 15 12］
［３４５ 28 20］
［４５６ 45 30］
［５６７ 66 42］
［６７８？ 56］

　m-1, m, m+1, Ｃ[2m,2]=m(2m-1), m(m+1)

358:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
何でわざわざ余分なのがつけてあるのだろうか。
OEISでも91の他はなかった。六角数がわかったくらい。

359:１３２人目の素数さん
13/08/31 NY:AN:NY.AN
「問題未定義、少数の強法則。」
と唱えるのに、数秒。
何秒かかるかは、滑舌しだい。

360:１３２人目の素数さん
13/09/01 05:00:47.76
>>351

２ｎ－１個の整数の中に、余りが同じものがｎ個以上あれば、そこからｎ個を取り出すと和はｎの倍数なので、命題は成立する。
よって、以下では、余りが同じものはｎ－１個以下とする。

ｎの因数についての帰納法による。

(1) ｎが素数のとき
２ｎ－１個の整数をｎで割った余りの順に並べ、x_1, x_2, ..., x_(2n-1) とする。

同じ余りがｎ個以上並ばないため、
　j-i ≧ n-1 ⇒　x_j - x_i はｎで割リ切れない。

ここで、i=1,2,････,n-1 に対して
　y_i = x_(n+i)- x_i ≠ 0　(mod n)
つまり、「非合同ペア」がｎ－１組できる。
　{x_1、x_(n+1)}
　{x_2、x_(n+2)}
　　････････
{x_(n-1)、x_(2n-1)}
各ペアから一方を選ぶやり方は
　{y_1、y_2、･････、y_(n-1)}
の部分集合（φも含める）と対応しており 2^(n-1) とおりある。

361:１３２人目の素数さん
13/09/01 05:07:42.87
>>351

〔補題〕1≦k≦n-1 とする。
　{y_1、y_2、･････、y_k} の部分集合（φも含める）について、要素の和をｎで割ったときの余りを求めると、
(k+1) 種類以上ある。

(略証)
kについての帰納法による。
k=1 のときは φおよび{y_1} の２種があり、成立つ。
k-1 について成立つと仮定する。
　{y_1､････、y_(k-1)} の部分集合について、要素の和をnで割った余りを求め、
　その集合を S_(k-1) とする。つまり、余りは #S_(k-1) 種類ある。
　#S_(k-1) = n ならば命題は成立する。
　#S_(k-1) < n ならば、上記の部分集合に y_k を加えたものを考える。
　nで割った余りは同数｛#S_(k-1) 種類｝だが、
　Sum{S_(k-1)~} = Sum{S_(k-1)} + y_k･#S_(k-1),
　y_k ≠ 0　(mod n)、 #S_(k-1) ≠ 0　(mod n)、nは素数だから、
　y_k･#S_(k-1) ≠ 0　　(mod n)
　S_(k-1) と S_(k-1)~ は要素の数は同じだが、内容は異なる。
∴　S_(k-1)~ には S_(k-1) にない要素がある。
　S_k = S_(k-1) ∪ S_(k-1)~ ⊃ S_(k-1),
　#S_k ≧ #S_(k-1) + 1,　　　　　（略証終）

362:１３２人目の素数さん
13/09/01 05:14:53.83
>>351

∴　{y_1、y_2、･････、y_(n-1)} の部分集合（φも含める）について、
　要素の和をnで割った余りを求めると、ｎ種類すべてを含む。

　とくに -(x_1 + ･････ + x_n) と同じ余りのものを含む。
∴　和がｎの倍数であるようなｎ個組の整数を取り出せる。

以上から、ｎが素数のとき、命題は成立する。

(2)　ｎが合成数のとき。

ｎの素因数の一つをｐとし、ｎ＝ｐｍとする。

　素数の場合と同様にして、ｎ－１個の整数の中から、和がｐの倍数であるようなｐ個組の整数を除去する。
これは２ｍ－１回繰り返すことができる。
その結果、和がｐの倍数であるようなｐ個組が２ｍ－１組できる。｛最後にp-1個が残るが｝

これらｐ個組の和をｐで割った値を {z_1, z_2, ..., z_(2m-1)} とおく。
帰納法の仮定により、これら２ｍ－１個の整数から、和がｍの倍数であるようなｍ個を取り出せる。

よって、和がｐｍの倍数であるような、ｐｍ個を取り出すことも可能。

　　（三重県　鳥居さんからの解答）

363:１３２人目の素数さん
13/09/01 05:18:22.66
>>351

（蛇足）
２ｎ－２個の整数の中からｎ個を取り出してその和をｎの倍数とすることは、一般には不可能である。
〔例〕{a,････,a, a+1,････,a+1} (各n-1個）

364:１３２人目の素数さん
13/09/05 17:47:37.29
任意の項数nの実数列には、単調増加または単調非増加な項数ceiling(√n)の部分数列があることを示せ。
ここで、ceiling(x)はx以上の整数の中で最小のものである。

365:１３２人目の素数さん
13/09/10 18:10:59.61
整数の数列 (a_1, a_2, …, a_n) で 1≦a_1≦2, 1≦a_2≦2a_1, …, 1≦a_(n-1)≦2a_n をみたすものの個数は、
整数Ｎ∈{0, 1, 2, …, 2^n-1} の 1, 2, 4, 8, …, 2^n-1 への分割の総数に等しいことを示せ。

例(n=2) #{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} = #{21, 2, 111, 11, 1, φ}

366:１３２人目の素数さん
13/09/10 19:01:04.73
>>365 訂正（２行目２個目の 2^n-1 → 2^(n-1) ）

整数の数列 (a_1, a_2, …, a_n) で 1≦a_1≦2, 1≦a_2≦2a_1, …, 1≦a_(n-1)≦2a_n をみたすものの個数は、
整数Ｎ∈{0, 1, 2, …, 2^n-1} の 1, 2, 4, 8, …, 2^(n-1) への分割の総数に等しいことを示せ。

例(n=2) #{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} = #{21, 2, 111, 11, 1, φ}

367:１３２人目の素数さん
13/09/16 15:53:06.39
>>335
一般にn_1,…n_mをどの2数も互いに素な2以上の自然数としたとき
これらの数について条件を満たすN=n_1+…+n_m-m+1面のサイコロを構成出来て
そのサイコロで出目がiとなる確率P(i)(0≦i≦N-1)は
P(i)=♯{(i_1,…,i_m)|0≦i_j≦n_j-1,i_1+…+i_m=i}/Π[k=1,m]n_k
で与えられることはわかった。
これが最小で一意だと思うが、それはうまく示せなかった。

368:１３２人目の素数さん
13/09/17 09:54:07.50
高校数学の質問スレPART356
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:283番)

283 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2013/09/13(金) 07:57:15.03
凸八角形Kがある。Kの頂点のうち適当な3点を結んで三角形を作ると
その面積はKの面積の ( ア )分の1以上にできる。

アに当てはまる最小の自然数はいくらか。

これはどのように考えればいいのでしょうか。
こんな問題初めてです。分野さえ分かりません。

369:１３２人目の素数さん
13/09/17 10:17:23.36
正八角形で1,3,6番目の頂点を結んだ場合を考えて、3 ( > 8-4√2 ) だろうか
なお間違っている可能性がかなりある。眠いし

370:１３２人目の素数さん
13/09/18 08:12:17.52
>>368以下と解釈。
任意の凸八角形Kに対して、Kの頂点のうち3点を結んで作られる三角形のうち
その面積が最大となるものは、少なくともKの面積の ( ア )分の1以上である。

>>369の例で3は可能。
八角形の頂点を一つ飛ばしで選んだ四角形と、
この四角形に外接し、かつ、八角形を内包する四角形との
入れ子で上限を見積もってみたけど、4は無理そうな感じだな。

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