面白い問題おしえて〜 ..
769:132人目の素数さん
12/07/16 19:10:30.39
>>766
S_n = (-1)^n・(2n+1),
(略証)
S(x) = Σ[n=0,∞) S_n (-x)^n
= Σ[n=0,∞) (-x)^n Σ[k=0,n] (-4)^k・C(n+k,2k)
ここで n+k=M とおく。
= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-k) (-4)^k C(M,2k)
= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-2k) (4x)^k C(M,2k)
= Σ[M=0,∞) {(-x+2√x)^M + (-x-2√x)^M}/2
= {1/(1+x-2√x) + 1/(1+x+2√x)}/2
= {1/(1-√x)^2 + 1/(1+√x)^2}/2
= (1+x)/(1-x)^2
= Σ[n=0,∞) (2n+1)・x^n,
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4279日前に更新/322 KB
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