面白い問題おしえて～ ..
75:60
12/01/07 10:15:05.57
問題を誤解した奴が居るかも知れないのでもう一度書こう。
S^1 = { (x, y) ∈ R^2 ： 平面 | x^2 + y^2 = 1 }
の (S^1 における) 稠密な部分集合 X で、
X のどの二点の距離も有理数なる物が存在する。
この距離はあくまで R^2 における距離なので誤解無きよう。
一週間以上正解者が出なかったら解答を書く
76:１３２人目の素数さん
12/01/07 22:44:32.12
>>75
たとえば、sinθ=1/3となるような角θをとると、
整数nに対してsin(nθ)は有理数。
2π/θは無理数であることから、
集合X={(cos(2nθ),sin(2nθ)) | nは整数}は、S^1の稠密な部分集合で、
Xの任意の２点P(cos(2nθ),sin(2nθ)), Q(cos(2mθ),sin(2mθ))をとると、
|↑PQ|^2=|↑OQ-↑OP|^2=2-2cos(2(m-n)θ)=4sin^2((m-n)θ)となり
PQ=|2sin((m-n)θ)|となる。
これは明らかに有理数。
77:１３２人目の素数さん
12/01/07 22:46:48.80
>>76
訂正
誤：たとえば、sinθ=1/3となるような角θをとると、
正：たとえば、sinθ=3/5となるような角θをとると、
78:１３２人目の素数さん
12/01/07 22:51:56.94
補足：
sinα，cosα，sinβ，cosβがいずれも有理数なら
sin(α+β)，cos(α+β)も有理数となることから，
sinθ=3/5，cosθ=4/5なら
帰納法によりsin(nθ)，cos(nθ)も有理数。
79:１３２人目の素数さん
12/01/07 23:44:17.65
>>76-78
ご名答
80:１３２人目の素数さん
12/01/08 10:18:41.83
>>76-78
＞2π/θは無理数であることから
ここは一寸不明確
(これは ±(4/5) + (3/5)*i が 1 の冪根で無い事と同値になるが。)
81:１３２人目の素数さん
12/01/08 14:56:53.58
>>80
たしかにそれは証明が必要な内容ですね
例えばこんなの
sinθ，cosθが共に有理数であり，それらを分母が正の既約分数で表すと
sinθ=b/a，cosθ=c/aとなって，なおかつaが奇数であると仮定する。
そのとき，
sin(2θ)=2bc/(a^2)，cos(2θ)=(2c^2-a^2)/(a^2) …(*)
であり，aとb，aとcが互いに素であることから
2bcとa^2，2c^2-a^2とa^2も互いに素。
よって，(*)はsin(2θ)，cos(2θ)を分母が正の既約分数で表したものとなる。
これを利用すると，sinθ=3/5のとき，
sin((2^k)θ)（k=0,1,2,…）を分母が正の既約分数で表した時の分母は
5^(2^k)となるため，数列{sin(nθ)}（n=1,2,…）の中には，
可算無限個の異なる数が出現することになる。
もし，2π/θが有理数なら，上記と矛盾するので，2π/θは無理数。
82:１３２人目の素数さん
12/01/08 15:16:00.87
自己レス。細かいことだけど2π/θではなく「θ/(2π)は無理数」と書いた方が素直でした。
あと、「sinθ=3/5となるような角θ」よりも、「sinθ=3/5，cosθ=4/5となるような角θ」と
最初で言ってしまった方がすっきり。
83:１３２人目の素数さん
12/01/10 21:26:41.63
ふりだしとあがりの間に１０のマス目（ふりだしとあがりを含めると１２のマス目）が並んでいるすごろくがある。
ただし、どのマス目にも何のイベント（何マス進むとか一回休みとか）も書かれていない。
そこで１マスだけ選んでそこに「ふりだしにもどる」というイベントを書き加えたいのだが、
できるだけ”あがりにくく”するためにはどのマス目に書き加えたらいいだろうか。
当然、ふりだしやあがりにイベントを書き加えることはできない。
84:１３２人目の素数さん
12/01/10 21:31:37.09
あがりの1マス前で2が出たらどうなるの
85:１３２人目の素数さん
12/01/10 21:31:49.86
>>83
ピッタリじゃないと上がりにならないルール？
86:１３２人目の素数さん
12/01/10 22:17:06.13
いや、ピッタリじゃなくてもよい。
あと、１０マスじゃなくて９マスの間違いだった、訂正。
87:１３２人目の素数さん
12/01/10 22:43:40.33
>>83
＞できるだけ”あがりにくく”
の定義が書いてない。定義も込めて解答せよというのか？
これは出題と云うより質問だな。
88:１３２人目の素数さん
12/01/11 18:24:21.42
仲々伸びないな。
URLﾘﾝｸ(ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp)
に有る問題をかったっぱしから解いて行くと云うのはどうだ?
既に何度も２ちゃんで採り上げられた有名問題も沢山あるが。
89:１３２人目の素数さん
12/01/11 18:26:07.55
Bipper
90:１３２人目の素数さん
12/01/11 19:01:58.51
ohkawaは鬱になった
91:１３２人目の素数さん
12/01/12 09:21:19.98
>>83
ゴールのひとます前だろ。
一番損失が大きい
92:１３２人目の素数さん
12/01/12 11:44:16.61
10マスだとゴール直前がサイを振る平均回数が最大になるけど、
9マスとかだとゴール直前が最大ではない
93:１３２人目の素数さん
12/01/12 22:32:55.13
>>92
それは六面体サイコロ使う前提の話？
94:92
12/01/12 23:08:58.40
6面体のを１個振るときの話
95:１３２人目の素数さん
12/01/13 09:28:05.69
2つの立方体から1つの立方体を作ったよ
URLﾘﾝｸ(www.nicovideo.jp)
96:１３２人目の素数さん
12/01/13 17:31:37.79
>>95
体積の同じ平行６面体同士は必ず有限個への分割と並べ替えで等積変換できる
って話だけど、実際に積み木パズルにするというのはよいね。
97:１３２人目の素数さん
12/01/13 23:44:35.42
>>96
高次元の平行六面体に相当する物についても、
有限個の多面体によって分解合同になる事が知られている。
逆に四面体や高次元単体についてはそうでは無い事が知られている。
98:１３２人目の素数さん
12/01/14 02:14:20.70
>>97
前半はそりゃそうだろうなという感じだけど、
後半の証明は難しそう
99:１３２人目の素数さん
12/01/14 17:32:05.25
>>98
＞後半の証明は難しそう
そりゃそうだろうな。 Hilbert の問題だから。
100:１３２人目の素数さん
12/01/14 18:29:26.81
それ故前半も一概に trivial とは云い難い。むしろ極めて高度に non-trivial だ。
101:１３２人目の素数さん
12/01/18 12:28:11.60
過去スレに有った問題の改作。
f (m, n) ： Z^2 → R を関数とする。f が不等式
f (m, n) ≧ (1/4){ f (m + 1, n) + f (m - 1, n) + f (m, n + 1) + f(m, n - 1) }
を満たすとする。更に f が下に有界ならば f は定数である。
102:１３２人目の素数さん
12/01/18 19:40:21.32
問いになってねぇ
103:１３２人目の素数さん
12/01/18 20:14:05.61
であることを示せ。日本語も分からんのかこのボケが
104:１３２人目の素数さん
12/01/18 20:55:34.76
黙れ日本人！
105:１３２人目の素数さん
12/01/18 21:08:42.54
となる m, n の範囲を求めよ
の可能性だってあるわけだから
やっぱり問いの形にすべきだろ
ハイ謝るまで放置決定
106:１３２人目の素数さん
12/01/18 21:17:53.17
「さて、このとき…」と続ければどんな問題にもできるな
107:１３２人目の素数さん
12/01/19 19:51:00.37
過去スレを調べれば解答の方針も分かってくる。
君らは頭が悪くて問題は解けない上に、調べることすらしない連中なんだな。
108:１３２人目の素数さん
12/01/19 22:33:03.35
過去問傾向調べて解答するほど解答側の敷居高くないだろこのスレは
解いて欲しかったらはやく土下座AA貼れよ（笑）
109:１３２人目の素数さん
12/01/20 00:16:46.13
>>107
r;ｧ'N;:::::::::::::,ｨ／ >::::::::::ヽ
. 〃 ヽﾙ1'´ ∠:::::::::::::::::i
i′ ___, - ,. = -一 ￣ｌ:::::::::::::::ｌ
. ! , -＝=､´r' l::::::/,ﾆ.ヽ
ｌ _,, -‐''二ゝ ｌ::::l fﾞヽ |、 もしよかったら貼ってくれないか
ﾚー-- ､ヽヾﾆ-ｧ,ﾆ;＝、_ !:::l ） } ト
ヾ¨'７"ry､｀ ｰﾞ='ニ,,,｀ }::ヽ(ノ いい問題だとおもうからさ
:ｰゝヽ､ !´ "￣ 'l,;;;;,,,.、 ,i:::::::ﾐ
::::::::::::::::ヽ.-‐ ﾄ、 r'_{ __)｀ニゝ、 ,,iﾘ::::::::ﾐ
::::::::::::::::::::Vi／l:::V'´;ｯ`ﾆ´ｰ-ｯ-,､:::::`"::::::::::::::;ﾞ , な！
:::::::::::::::::::::::::N. ﾞ､::::ヾ,.｀二ﾆ´∠,,.i::::::::::::::::::::/／／
:::::::::::::::::::::::::::::l ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::／ ／
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110:１３２人目の素数さん
12/01/20 07:22:47.12
もうやめてあげて！
きっと過去スレを調べて解答の方針を掴む事自体が
面白い問題なんだよきっと！！
111:１３２人目の素数さん
12/01/20 23:54:16.89
中心Oを決めてフリーハンドで一筆で円Cを描く。
始点と終点が一致する時、Oをを通る直線とCの2つの交点の中点がOに一致する点が存在する事を証明せよ。
実際にやってみるとちょっと楽しい。
112:１３２人目の素数さん
12/01/21 00:31:29.35
>>111
>中心Oを決めてフリーハンドで一筆で円Cを描く。
この定義は？
113:１３２人目の素数さん
12/01/21 01:21:07.86
ジョルダン閉曲線C内に任意の１点Oをとったとき、
Oを通る直線であってCとの2つの交点の中点がOと一致するようなものが存在することを示せ
と読むんだろうな。
114:１３２人目の素数さん
12/01/21 09:30:49.25
>>113
こういう事です
115:１３２人目の素数さん
12/01/22 17:01:48.03
ヨルダンまたはジョーダンと読んで欲しい
116:１３２人目の素数さん
12/01/24 00:17:51.07
ジョーダンか？
117:１３２人目の素数さん
12/01/24 00:20:50.39
あれっ？ sage で書いたのに
118:１３２人目の素数さん
12/01/29 01:38:21.23
>>111
円Cを書く時に中心Oに関して点対称になる図形C'を書いていく。
CとC'は重なってはいけないが、そんなのは嫌だ□
119:１３２人目の素数さん
12/01/29 04:16:46.70
>>111
螺旋の部分の両端ABを結ぶ線分の延長上にOがあるような場合。
Oを通る直線が線分ABと重なる部分は交点と言えるだろうか？
120:１３２人目の素数さん
12/01/30 18:05:41.26
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
121:名無しさん
12/01/30 18:27:44.19
>>111
問題の文句ばかりで誰も解かないのかよ
解答書くよ？
122:名無しさん
12/01/30 20:46:37.43
点対称にC'を描いたら必ずCと交点を持つってことだろ？
123:名無しさん
12/01/30 20:51:30.32
じゃあその証明は？
124:名無しさん
12/01/30 20:55:24.66
はいりはいりふれはいりほー
125:名無しさん
12/01/30 21:18:57.52
./ ,. ' '､ ﾉ
か ム ぜ お | ／ ', / は こ
た リ っ 兄 :l. / , i :i､ |､ ﾞ, ノ' っ う
つ ム た ち ヽ./ /! ./l lヽ :i ', i｀） き な
む リ .い .ゃ ./! /|:! | ./ | ! ヽ l ヽ ! l り っ
り ム ム ん / | /!//''|l‐=/､ ! l ,ゝ- ‐‐ヽ､ | | 言 た
よ リ .リ に （, l, :l.|: /_ ｧﾃゝ、ヽ ! ヽテ = ､ヽ ! l わ ら
!!.ム よ 東 l . :!|:!:|, i｀ .}{ iﾞ! ` ´ }.{; 'ｨヾ,. ∧ :} /. せ
. リ . 大 ,ゝ ! ! :i '' "´, ‐'='' ´ | i`:} / / て
は (. / ', ` i ﾋ/ /ｿ ゝ. も
＞ /人 | 、 ﾔ‐ヽ ,ｲ l /!/ _ ゝ ら
＼ _ / ' ':, ヽ. ' ‐ ' ,／ /,r, |i' |' ｀ ）. う
'レ'⌒´ ゝ, ` ､ ,. ' _// ‐‐ ､ ム わ
／／ ＞:t' ,. '´ /' _＞-‐- ､,_ヽ
／／ ／ﾉ,._'´ 丿 iヽ , '´ ｀
／ - ' ／-) _' i' ﾉ‐ ' ヽ､ '
126:名無しさん
12/01/31 00:23:33.84
極座標で行くぞ。
中点がOになる２点がＣ上に存在しないと仮定する。
Ｃ上の点(r0,θ0)をスタートとする。
(r0,θ0+π)は通れないので、θ0+πを通るときには
r0<rかr0>rかどちらかを通らないといけないが、そんなのは嫌だ□
127:名無しさん
12/01/31 07:34:36.84
r=f(θ)とするとf(θ)の周期は2π
g(a)=f(a)-f(a-π)=b(≧0)なるaをとるとg(a+π)=-b
g(θ)は連続だから、中間値の定理より、a≦c≦a+πに-b≦g(c)=0≦bとなるcが存在する」
が用意していた答えでした
128:名無しさん
12/01/31 07:37:31.44
ミスg(a)=f(a)-f(a+π)だった
129:名無しさん
12/01/31 07:40:05.82
このスレ的には>>122のほうがマシじゃねえか？
130:名無しさん
12/01/31 08:01:06.43
>>129
>>122は自明ってことですか？
131:名無しさん
12/01/31 09:16:52.79
>>130
自明でいいような気もするが、交点を持たないとするとどちらかがどちらかを内包することになり、
両者は合同であるのに面積が違うことになって矛盾とか。
132:名無しさん
12/01/31 09:20:54.24
>>127
θが戻るタイプはどうするの
133:名無しさん
12/02/01 08:04:54.81
>>132
中間値の定理適用できるんじゃね？多分
134:名無しさん
12/02/01 09:13:00.38
>>131
それいいね。じゃあ正解はこっちってことで。
135:名無しさん
12/02/01 15:26:07.78
正解は一つとは限らないｷﾘｯ
でも>>131の方がいいですね
136:１３２人目の素数さん
12/02/01 15:32:52.99
>>127
＞r=f(θ)とすると
ここからしてなりたたん。
>>127ではr=f(θ)であるような一部の図形についてしか証明になってない。
137:１３２人目の素数さん
12/02/03 18:40:28.24
一辺の長さがsの正方形の4つの頂点全てを紐で繋ぐとき、少なくとも紐の長さはいくら必要か
紐は全体の長さを変えずに自由に切ったり繋げたりでき、枝分かれも可能である
138:１３２人目の素数さん
12/02/03 18:46:50.57
理由と概形も合わせて答えてね
139:１３２人目の素数さん
12/02/03 21:18:08.59
シャボン玉の膜を張れば最短距離が分かるってのは聞いたことある
140:１３２人目の素数さん
12/02/04 02:26:21.49
プラトーの問題
141:１３２人目の素数さん
12/02/04 11:01:45.36
>-< の形とは想像つくし
その形の中での最適解は計算できるけど
あらゆる形の中でその形が最適である証明が難しい
142:１３２人目の素数さん
12/02/05 02:08:36.61
縦３マス×横４マスの長方形の左下の頂点をＡ、右上の頂点をＢとする。
Ａを出発した動点Ｐは線上を任意に選んだ最短コースでＢに到達し、Ｂを出発した動点Ｑも線上を任意に選んだ最短コースでＡに到達する。
ＰとＱの速度が一定で等しい時、ＰとＱが出会う確率を求めよ。
143:１３２人目の素数さん
12/02/05 02:18:35.77
もちろんＰとＱは同時にスタートするものとする。
144:１３２人目の素数さん
12/02/05 04:44:46.99
>>139
それだとローカルミニマムに落ちる気がする
145:１３２人目の素数さん
12/02/05 06:07:43.49
どういう確率で移動するのかわからないから出会う確率を求められるわけない。
┌─┬─┬─┬─┐
├─┼─┼─┼─┤
├─┼─┼─┼─┤
└─┴─┴─┴─┘
146:１３２人目の素数さん
12/02/05 08:36:57.39
分かれ道のときは1/2だろ多分
147:１３２人目の素数さん
12/02/05 09:16:03.57
┌┬┬┬┐
├┼┼┼┤
├┼┼┼┤
Р││││
││││Ｑ
│││││
│││││
└┴┴┴┘ 難しい…
148:１３２人目の素数さん
12/02/05 11:35:45.17
ＰとＱは、スタート時に、どの最短コースを辿るか自ら意思決定した上で、動くものとします。
149:１３２人目の素数さん
12/02/05 11:46:30.02
>>148
じゃあ一つの経路につき1/35ってこと？
150:１３２人目の素数さん
12/02/05 11:54:40.18
>>148
じゃあ263/1225ってこと？
151:１３２人目の素数さん
12/02/05 12:05:02.71
>>149そうです
>>150正解
簡単でしたね。すみません。
152:１３２人目の素数さん
12/02/06 00:48:02.06
結局>>137の正方形のプラトーの問題はどうやって解くんだっけ？
頭の体操か何かの本に答え乗ってた気もするけど
153:１３２人目の素数さん
12/02/06 01:33:27.58
分かれ道に来るたびに、どちらの道を行くのか（もちろん最短になる方の中から）
等確率に選ぶようなモデルの場合は、出会う確率が変わるだろうか？
154:１３２人目の素数さん
12/02/06 01:49:43.31
変わるけどおもんないから
155:１３２人目の素数さん
12/02/06 19:57:28.93
では>>142で、交差点で進める方向がひとつの場合は当然その方向に進み、
進める方向がふたつの場合は、どっちに進むのも1/2の確率である時、ＰとＱが出会う確率は？
156:１３２人目の素数さん
12/02/06 22:55:23.25
monkey walk probabilityプログラムを動作させようとする活動ですね
157:１３２人目の素数さん
12/02/07 15:13:13.57
>>156
そんなのなしでいけるでしょ
158:１３２人目の素数さん
12/02/12 03:47:56.91
32個のドミノを一列に並べてドミノ倒しを完成させたい。
ひとつを立てるのにかかる時間はいつも一定だ。
しかし、いつも一定の確率で、ひとつ立てる時にそれがどちらかに倒れてしまう。
倒れたら倒れた分はまた立て直しだ。
ドミノ倒し完成までの平均時間が一番短くなる立てかたの順番を考えてほしい。
ちなみにドミノはひとつ分空いていれば倒れた時に隣に連鎖しない。
159:１３２人目の素数さん
12/02/12 06:34:12.55
トーナメント表のように並べる
┌────┴────┐
┌──┴──┐ ┌──┴──┐
┌─┴─┐ ┌─┴─┐ ┌─┴─┐ ┌─┴─┐
┌┴┐ ┌┴┐ ┌┴┐ ┌┴┐ ┌┴┐ ┌┴┐ ┌┴┐ ┌┴┐
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ├┐
.１ ２ １ ３ １ ２ １ ４ １ ２ １ ３ １ ２ １ ６ １ ２ １ ３ １ ２ １ ５ １ ２ １ ４ １ ３ １ ２
160:１３２人目の素数さん
12/02/16 22:19:09.50
サイコロをn回投げて1から6まで全ての目が出る確率は？
161:１３２人目の素数さん
12/02/16 22:20:41.78
めんどくせ
162:１３２人目の素数さん
12/02/16 22:37:36.25
>>160
クーポンコレクター問題
163:１３２人目の素数さん
12/02/16 22:52:23.22
マンデルブロ集合の面積は？
164:１３２人目の素数さん
12/02/16 23:36:26.22
>>163
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
165:１３２人目の素数さん
12/02/17 02:40:45.89
(1+2+3+4+5+6)^n
nC6*6!/6^n=n!/(n-6)!6!6^n
166:１３２人目の素数さん
12/02/17 06:24:01.74
>>160
(Σ[k=0,5](-1)^k*C[6,k]*(6-k)^n)/6^n
= (15*2^n-20*3^n+15*4^n-6*5^n+6^n-6)/6^n
167:１３２人目の素数さん
12/02/17 21:59:53.85
なんで(Σ[k=0,5](-1)^k*C[6,k]*(6-k)^n)/6^n になるの？
168:１３２人目の素数さん
12/02/17 22:20:43.09
勘違いしているのだろうよ
169:１３２人目の素数さん
12/02/17 22:27:14.66
>>167
mが出ない目の集合をA(m)とおくと、n回投げたときに全ての目が出る場合の数は
6^n-Σ[i=1,6]A(i)+Σ[i=1,6, j=1,6∧i≠j]A(i)∩A(j)-．．．
170:１３２人目の素数さん
12/02/18 00:17:30.57
>>166
俺、出題者だけど、滅茶苦茶めんどくさい計算して、(15*2^n-20*3^n+15*4^n-6*5^n+6^n-6)/6^nという結果になったんだけど、
それを、そういう風にあっさり求められたらショックだわあｗ
171:１３２人目の素数さん
12/02/18 06:49:47.15
(1+2+3+4+5+6)^n
nC6*6!6^(n-6)/6^n=n!/(n-6)!6^6
n=6
6!/0!6^6=6!/6^6
n=7
7!/1!6^6=7!/6^6=7*6!/6^7
172:１３２人目の素数さん
12/02/18 07:06:01.17
n=7
7!/1!6^6=7*6!/6^6=7*6!6/6^7
173:１３２人目の素数さん
12/02/18 12:23:50.47
>>171>>172
n=7の場合は間違い！考えが浅いな。
>>166で合ってるよ。俺は>>166みたいにあっさりとは求められなくて、ひたすらめんどくさい計算で求めたけど。
174:１３２人目の素数さん
12/02/18 16:17:59.67
1-6*5^n/6^n+6C2(4^n/6^n)-6C3(3^n/6^n)+6C4(2^n/6^n)-6C5(1/6^n)
175:１３２人目の素数さん
12/02/18 17:33:53.59
Ｐ{Ａ(m)} = (5/6)^n,
Ｐ{Ａ(i)∩Ａ(j)} = (4/6)^n, (i≠j)
Ｐ{Ａ(i)∩Ａ(j)∩Ａ(k)} = (3/6)^n, (i,j,kは相異なる)
Ｐ{Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩Ａ(4)} = (2/6)^n,
Ｐ{Ａ(1)∩Ａ(2)∩Ａ(3)∩Ａ(4)∩Ａ(5)} = (1/6)^n,
これを確率の加法定理 >>169
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
式(17)に入れれば >>166 >>174
176:１３２人目の素数さん
12/02/18 18:00:01.78
平面上に五点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，ＥをＡ≠Ｂ≠Ｃ≠Ｄ≠Ｅ≠Ａと取る。
ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）＝ｍａｘ（∠ＥＡＢ，∠ＡＢＣ，∠ＢＣＤ，∠ＣＤＥ，∠ＤＥＡ）とするとき
ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）の最小値を求めよ。
177:１３２人目の素数さん
12/02/18 22:01:48.87
>>176
n辺形の周上を１周するとき、各点Pで方向が π－∠P だけ変わる。
1周では、Σ(π－∠P) = 2mπ, (mは整数)
∴ nπ - Σ∠P = 2mπ,
nは奇数だから、n=2m+1 とする。Σ∠P = π,
各点で ∠P = π/n とすれば、
max{∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E} ≧ max{π/n, π/n, …, π/n} = π/n (星型)
なお、nが偶数のときは n=2m とする。∠P = 0,
max{∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E} ≧ max{0, 0, …, 0} = 0 (線分)
178:１３２人目の素数さん
12/02/19 00:10:51.89
>>155 Pは７つの合流点候補に上から2:3:3:3:3:1:1の振り分け
Qはその反対で1:1:3:3:3:3:2 よって37/256
179:１３２人目の素数さん
12/02/19 00:50:54.99
>>142の点Ｐと点Ｑが各交差点でのルートを同一のアルゴリズムで選択する
・お互い自分と相手とどちらがＰかＱかの区別は付かない
・初手以外は現在の相手の相対位置(a,b))に加えて直前の自分の手[縦or横]と相手の手を情報として使用してよい
・確率を用いる場合は両者同じ確率分布で抽選する（結果が異なるのは構わないし望ましいことである）
・各格子点で "a=0 or b=0 で成功" その前に "a<0 or b<0" で失敗
このとき最初の相対距離が 奇数×偶数の場合「a>bなら横、でなければ縦」で成功確定
偶数×偶数なら「初手適当、以下ずっと自分の初手と同じ」で成功確定
では奇数×奇数スタートでの最良のアルゴリズムとその成功率は？
※両者が違う手を出せば偶数×偶数になるので成功確定である
180:１３２人目の素数さん
12/02/19 03:43:27.15
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
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| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
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181:１３２人目の素数さん
12/02/20 20:11:34.34
6桁の自然数の中で、次の条件をみたすものはいくつかあるか。
（条件）k=1，…，9のそれぞれに対し、各位の数字の中にkの倍数であるものが少なくとも1つ存在する。
182:１３２人目の素数さん
12/02/20 20:30:00.31
373239.
183:１３２人目の素数さん
12/02/20 20:39:44.23
0があれば他はなんでもいい
0がない場合を考えよう
このとき 5,6,7,8,9が含まれていることが
条件を満たすための必要十分条件である
以上より求める個数は
5*9*10^4＋4*6!＋5*6!/2! = 454680
184:１３２人目の素数さん
12/02/20 20:45:09.81
あ、0が含まれている場合の計算間違っている
ここはこう計算すべきだった
(999999-99999)-9^6 = 368559 (これが0がある場合)
これに4*6!＋5*6!/2!を加えて 373239
だから答えは >>182 と同じですな
185:１３２人目の素数さん
12/03/02 16:51:26.01
ひらめけば簡単だけど考え方が面白い問題プリーズ
186:１３２人目の素数さん
12/03/02 20:51:13.65
京大の電波塔の過去問
187:１３２人目の素数さん
12/03/02 22:08:42.88
>>185
最近見たので面白いと思ったやつ。
n x n のチェッカーボードのマスの間で伝染病が広がっている。
感染するのは、隣の2つ以上が既に感染しているマスである。
ここで「隣」というのは、縦横だけで、斜めは数えない。
1マスに隣り合っているのは最高4マスである。
例えば、チェッカー版の左上から右下にかけての対角線上にあるnマスが感染源だとする。
すると次には対角線の隣が感染し、最終的には盤全体が感染する。
最初に感染しているマスがnマスよりも少ない場合、チェッカー全体を感染させることは「できない」ことを示せ。
ピーター・ウィンクラー 「とっておきの数学パズル」 より。
解答書くのはどうかと思うので控えておく。
188:１３２人目の素数さん
12/03/02 22:36:27.40
>>187
証明になっているのかどうかいまいち自信が無いが。
最終的に感染したマスは長方形の集まりになる。
最初に感染しているマスが2マスの時、感染させられる最大マス数は2*2マス。
最初に感染しているマスがkマスの時、感染させられる最大マス数がa*bマスであるとする。
最初に感染しているマスがk+1マスの時、感染させられる最大マス数は(a+1)*(b+1)。
従って、最初に感染しているマスがnマスの時、感染させられる最大マスはn*nマス。
よって、最初に感染しているマスがn-1マス以下の時、n*nのチェッカーボード全体を感染させることは出来ない。
途中、細かいところは端折ってあるというか、自明のように思えてどう表現すればいいのかよくわからない。
189:１３２人目の素数さん
12/03/02 22:47:31.25
>>188
> 最初に感染しているマスが2マスの時、感染させられる最大マス数は2*2マス。
なんでやねん
190:１３２人目の素数さん
12/03/02 22:54:44.02
>>189
それ以上ってあり得る？
191:１３２人目の素数さん
12/03/02 23:08:14.64
>>188
> 最初に感染しているマスがkマスの時、感染させられる最大マス数がa*bマスであるとする。
> 最初に感染しているマスがk+1マスの時、感染させられる最大マス数は(a+1)*(b+1)。
このあたりの厳密性がないなぁ。
もし a + 1 < b だったら、k+1個目の配置次第で感染領域を (a + 2) * b に広げられるけど、
(a + 2) * b = ab + 2b > ab + b + a + 1 = (a + 1)(b + 1) だよ。
192:１３２人目の素数さん
12/03/02 23:20:05.49
>>191
ほんとだなあ。
じゃあ、「最大正方マスがa*aとすると」ってのじゃダメかな？
193:１３２人目の素数さん
12/03/03 00:01:22.61
>>192
できる長方形の大きさに言及がないと、長方形を横にならべて
もっと大きな正方形が作れる可能性が残るなぁ。
ちなみに、本に解答として乗ってるアプローチはぜんぜん違うよ。
194:１３２人目の素数さん
12/03/03 00:12:46.08
>>193
最初に感染しているマスがない列、行があることになるから云々ってアプローチ？
195:１３２人目の素数さん
12/03/03 00:45:13.51
>>194
そういう泥臭い議論はなかった。
俺も最初はそんなふうに解こうと挑戦してみたよ。
でも感染してない行・列があっても関係ないんだよね。
下のは感染してない行があるけど全部感染するし。
□■□
□□□
■□■
196:１３２人目の素数さん
12/03/03 01:13:56.54
懐かしのライフゲームか
2
197:１３２人目の素数さん
12/03/03 10:12:12.21
>>186
kwsk
198:１３２人目の素数さん
12/03/03 13:17:12.81
>>194
ある不変量に着目すると……
199:１３２人目の素数さん
12/03/04 18:32:59.18
感染領域の境界の長さは減ることはあっても増えることはない、ってことですな
200:１３２人目の素数さん
12/03/04 19:51:11.83
>>199
これ、自力で閃くもんなのかなぁ。
201:１３２人目の素数さん
12/03/04 20:01:30.88
1966年京大
平地に 3 本のテレビ塔がある．
ひとりの男がこの平地の異なる 3 地点 A，B，C に立って，その先端を眺めたところ，どの地点でもそのうち2本の先端が重なって見えた．
このとき A，B，C は一直線上になければならない．
この理由を述べよ．
202:１３２人目の素数さん
12/03/04 20:10:46.42
>>201
3つの先端を含む平面は一意に決まる。
A, B, C はこの平面内にある。また地上面内にもある。
ニ平面の交わった部分は直線をなすので、一直線上。
203:１３２人目の素数さん
12/03/05 02:38:38.63
テレビ塔の高さと観測点の高さが全て同じ場合には
テレビ塔は一直線上になくてもよい。
204:１３２人目の素数さん
12/03/06 20:52:40.37
「とっておきの数学パズル」の問題を改変して…
「Q」の字を平面にたがいに重ならないように非可算個描くことは可能だろうか？
205:１３２人目の素数さん
12/03/06 20:55:25.16
>>204
すまん。意味がわからん。
206:１３２人目の素数さん
12/03/06 21:41:22.95
これ以上説明のしようがないんだが…どこがどうわからんの？
207:１３２人目の素数さん
12/03/06 22:54:21.31
>>203
？
208:１３２人目の素数さん
12/03/06 22:56:54.76
>>207
反例
209:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:18:05.82
へ？
テレビ塔が？
210:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:22:44.74
テレビ塔＝人間と比べ物にならないくらい高いっていうのは暗黙の了解なのか
211:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:25:26.77
高さが指定されていないのだから、そういう場合もあり得るし
2平面が並行の場合も有り得る
212:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:28:56.08
そもそも平野は曲面だし
213:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:35:38.12
人間の視野の広さは地球の表面に比べると非常に狭いので曲率は０とかんがえていいというのは暗黙の了解なのか
214:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:37:19.28
曲面であろうが、電波塔がなす平面に並行な平面上の3点に人間がいればいい
215:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:41:06.26
証明するのは「テレビ塔」が一直線上にあるかどうかじゃないという突っ込みはしちゃ駄目？
216:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:46:12.06
題意が成立しない場合があるということ
217:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:46:44.20
>>214
それって観測点がテレビ塔の高さ（正確には並行な平面の距離）と同じってこと？
観測点は平地上じゃないの？
218:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:52:00.24
>>217
同じ場合も含まれるが、テレビ塔の先端3点と人間の観測点3点からなる
2平面間の距離が一定という場合。
219:１３２人目の素数さん
12/03/06 23:55:44.43
>>204
せめて『「Ｑ」の字』をちゃんと定義してくんないとな
「Ｏ」の字（＝円周）だったら、
ある点を中心とした半径rの同心円(r>0)は非可算無限個あって、
そのうちどの２つをとっても互いに重なることはない。
では「Ｑ」の字の場合はどうか
ということなんだろうけどさ。
Ｑの字の形状もフォントによっていろいろだし、
そもそも「字」である以上線に太さがあるだろって話になってもアレだし
220:１３２人目の素数さん
12/03/07 00:00:24.24
>>216
出題者もテレビ塔が一直線上にあるとは思ってないということ
221:１３２人目の素数さん
12/03/07 00:05:01.53
>>219
（トポロジカルに）一つの円周と一つの線分が一点で交わった図形
これでいいかな？
222:１３２人目の素数さん
12/03/07 00:48:47.31
なんで数学の試験問題で平地とかテレビ塔とか曖昧な表現をするかね
数学的に厳密に考えられる学生ほど無駄に時間を費やしてかわいそうだ
と思ったが面白い問題スレだから別にいいのか
223:１３２人目の素数さん
12/03/07 01:13:36.62
>>202
で、色々問題の「不備」が指摘されたところで、この解もどきの不備を指摘してくれ。
224:１３２人目の素数さん
12/03/07 02:10:00.14
a^-1/2*a^2/3.
a^-1/2*a^2/3=a^-1*a^2/2/3=a^1/6.
a^-1/2*a^2/3=a^(-1/2)*a^(2/3)=a^(-1/2+2/3)=a^(1/6)=a^1/6.
225:１３２人目の素数さん
12/03/07 04:17:08.37
>>223
＞ また地上面内にもある。
なにがあるんだ？
226:１３２人目の素数さん
12/03/07 08:04:24.94
>>223
1.二平面の交わりが直線とは限らない
2.地上面が平面とは限らない
227:１３２人目の素数さん
12/03/07 08:29:33.40
ルアー？
228:１３２人目の素数さん
12/03/07 17:22:30.85
あるー
229:１３２人目の素数さん
12/03/07 21:14:50.33
>>223
A,B,Cは地上面の点で、その上に男が立ってテレビ塔を眺める設定になっている。
従って、先ず、男の目の位置が一直線上にあることを示し(>>202が示しているA,B,Cは
男の目の位置のこと）
しかる後A,B,Cが一直線上にあることを示すという段階を踏む必要がある。
230:１３２人目の素数さん
12/03/07 21:22:15.53
できない：ABEFGHPQRST
できる：CDIJLMNOUVWZ
面白いなこれ。
見つけた法則は、
・三叉路を含むとダメー
ただ、Sがだめな理由を正確に言い表すことが出来ない…
※ちなみにフォントについてはアルファベットのイデアを都合よく想像してくれw
231:>>204
12/03/07 21:43:32.05
>>230
I は三叉路を含むからできないんじゃないか？ｗ
S は先端が少し内側に曲がってるのがやっかいだな
232:１３２人目の素数さん
12/03/07 22:16:49.97
KXYもできないですね
233:１３２人目の素数さん
12/03/07 22:58:00.21
シェルピンスキーのカーペットにおいて空白部分にアルファベットを書く、じゃだめなのか？
234:１３２人目の素数さん
12/03/07 22:59:17.20
ああダメじゃん、すまんぼけてた
235:１３２人目の素数さん
12/03/08 22:20:21.69
>>226
> 1.二平面の交わりが直線とは限らない
交わるとすれば必ず直線だろ。
236:１３２人目の素数さん
12/03/08 22:31:50.13
>>235
二つの平面が重なるときのことをいっているんだろ。
237:１３２人目の素数さん
12/03/08 22:55:50.01
その場合は「交わり」とは言わない
238:１３２人目の素数さん
12/03/08 23:01:31.09
へえ～
239:１３２人目の素数さん
12/03/09 01:40:00.23
Ａ∩Ｂ。
ＡとＢの交わり。
240:１３２人目の素数さん
12/03/09 02:58:29.98
>>230
アドホックな考え方としては、
文字が曲がらない鋼鉄で出来ていると考えて、
その鋼鉄を２枚ピッタリと重ね合わせた状態からスタートし、
その２枚の鋼鉄を少しでもずらせれば十分。
「ずらす」には現実的に可能な並進運動と回転運動の他に、
拡大縮小運動も加えて良い、そんな感じだ。
つまり、アフィン変換の範疇で微小にでも運動出来たら十分。
241:１３２人目の素数さん
12/03/09 05:22:56.58
a!+b!+c!=d! をみたす自然数の組(a,b,c,d)を全て求めよ
242:１３２人目の素数さん
12/03/09 05:50:00.26
2!+2!+2!=3!.
243:１３２人目の素数さん
12/03/09 06:06:25.74
>>242
０点
244:１３２人目の素数さん
12/03/09 13:16:24.91
>>241
(a,b,c,d)=(2,2,2,3)
∵d!=d(d-1)(d-2)...(d-(d-1))
a!+b!+c!=d!...① を満たすためには d>a,d>b,d>cが成り立つ必要がある
a,b,cにdに最も近い数d-1を代入したとき、
(d-1)!+(d-1)!+(d-1)!
=3(d-1)! となる
d>3のとき、3(d-1)!<d!は明らかなため①をみたす自然数の組(a,b,c,d)は存在しない
あとはd=3 d=2 d=1の場合をそれぞれ考えて終了
245:１３２人目の素数さん
12/03/09 16:56:16.79
>>244
天才！
246:１３２人目の素数さん
12/03/09 18:38:24.41
白菜！
247:１３２人目の素数さん
12/03/09 21:34:34.16
八宝菜！
248:１３２人目の素数さん
12/03/09 21:54:24.31
青梗菜
249:１３２人目の素数さん
12/03/10 08:12:14.10
棒棒菜！
｛搾菜（ザーサイ）のことか？｝
250:１３２人目の素数さん
12/03/10 08:19:15.87
野良棒菜！（のらぼうな）
トウ立ち菜！
茎立ち菜！
芯摘み菜！
251:１３２人目の素数さん
12/03/11 00:04:41.35
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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252:246
12/03/11 03:02:17.61
俺のせいでちょっと荒れてる
253:１３２人目の素数さん
12/03/11 05:31:12.54
ああそうだな
どう責任を取るつもりだ？
254:１３２人目の素数さん
12/03/11 21:49:57.25
f(x)をn次関数とする。ただしnは非負整数である。
1≦k≦n+1なる整数kに対して
kが偶数ならばf(k)=0
kが奇数ならばf(k)=1
を満たすときf(0)を求めよ。
255:１３２人目の素数さん
12/03/12 18:43:54.19
>>254
2^nになりそうだけどいい解法が思いつかない
256:１３２人目の素数さん
12/03/12 21:00:00.11
ｄｅｇ（ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ））≦ｄｅｇ（ｆ（ｘ））－１。
257:１３２人目の素数さん
12/03/12 23:00:13.00
>>254
問題ではf(x)はn次関数となっているが、ここでは仮にn次以下の整数次関数とし、
n次のf(x)をF(n,x)と書くものとする。
F(n,x)は、グラフがn+1個の固定点を通るようなn次以下の関数なので、
F(n,x)は一意に決まる。
F(1,1)=1、F(1,2)=0より、F(1,x)=-x+2であり、F(1,0)=2 …(1)
ここで、nを2以上の整数とし、g(x)=(F(n,x)-F(n,x+1)+1)/2とおくと、
g(x)はn-1次以下の関数であり、（参考： >>256 ）
1≦k≦nとなる整数kに対して
kが偶数ならばg(k)=0，kが奇数ならばg(k)=1が成立するので、
g(x)=F(n-1,x)である。
F(n-1,0)=g(0)=(F(n,0)-F(n,1)+1)/2=F(n,0)/2
∴ F(n,0)=2・F(n-1,0) …(2)
(1)(2)より、任意のnに対してF(n,0)=2^nが成立。
また、2以上の整数nに対し、F(n,0)≠F(n-1,0)なので、
関数F(n,x)はn-1次以下の関数ではありえないこととなり、
F(n,x)は必ずn次関数となるので、f(x)をn次関数とした元の問題においても
上記結果は成立する。
258:１３２人目の素数さん
12/03/13 22:27:22.13
f(x)をn次以下の関数とする。ただしnは2以上の偶数である。
f(0)=0
f(1)=1
2≦k≦nなる整数kに対して
f(k)=f(k-1)+f(k-2)
を満たすときf(0)を求めよ。
259:１３２人目の素数さん
12/03/13 22:28:49.76
最後の行でミスったので訂正。
f(x)をn次以下の関数とする。ただしnは2以上の偶数である。
f(0)=0
f(1)=1
2≦k≦nなる整数kに対して
f(k)=f(k-1)+f(k-2)
を満たすときf(n+1)を求めよ。
260:１３２人目の素数さん
12/03/14 02:37:53.70
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／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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261:１３２人目の素数さん
12/03/15 06:24:27.96
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