面白い問題おしえて〜 ..
726:132人目の素数さん
12/07/08 06:41:20.07
>>725
たぶん、そこからは(x,y)=(-5,-1)から派生する系列が出てこない。
厳密な議論をするには、
問題の条件を、x(x+1)+y(y+1)=4xy (x≠0,y≠0)
と読み替えた上で、a=x+yとおくと、
x,yがともに整数⇔a,xがともに整数 となり、
条件式を6x^2-6ax+a(a+1)=0と変形してxについて解くと
x=(3a±√(3a(a-2)))/6となることから
3a(a-2)が平方数 …というような議論をすることになりそう。
ちなみに、aが奇数となる場合に限ると、aとa-2が互いに素となることから,
(a,a-2)=(p^2,3q^2)or(3q^2,p^2)or(-p^2,-3q^2)or(-3q^2,-p^2) (ただし、p,qは奇数)
となり、p^2-3q^2=±2となるが、mod3における議論よりp^2-3q^2=-2
これは、2次体k(√3)における整数p+q√3のノルムが-2となることを意味するので、
k(√3)の単数が±(2+√3)^n (nは任意の整数) だけであることを利用すると
p+q√3=±(1+√3)(2+√3)^n,p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n(複号同順)となり、
ここからp,qの一般項 → aの一般項 → x,yの一般項が求まる。
aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。
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