面白い問題おしえて～な十九問目

面白い問題おしえて～な十九問目 at MATH

[前50を表示]
700:１３２人目の素数さん
12/06/25 00:05:42.21
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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701:１３２人目の素数さん
12/06/25 01:20:45.92
>>694

　α = -4 -√14 = -7.741657
　β = -4 +√14 =　0.258343

　|β|^n < 0.258343

　α^n + β^n = [ α^n + 1/2 ]

で計算する方が速い？

702:１３２人目の素数さん
12/06/25 06:25:53.37
半径rの球面上に4点A,B,C,Dがある。
四面体ABCDの各辺の長さは、AB=√3,AB=AC=AD=BC=BD=CD=2を満たしている。
このとき、rの値を求めよ。

703:１３２人目の素数さん
12/06/25 06:42:41.27
xy平面の放物線y=x^2上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
三角形PQRは1辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。

704:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:06:44.78
T大の過去問か

705:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:13:05.45
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706:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:38:13.82
>>702
どっかで見たこある
それも非常に最近の高校生の問題
家庭教師先だったか…

707:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:41:55.08
>>702
AB=√3=2?

708:１３２人目の素数さん
12/06/25 07:52:44.43
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709:１３２人目の素数さん
12/06/25 11:45:02.30
>>703
AB=√3, AC=AD=BC=BD=CD=2 なら暗算で r=1 が出るから、これだな。

710:709
12/06/25 11:46:28.86
>>702 だった

711:１３２人目の素数さん
12/06/25 12:34:15.64
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712:１３２人目の素数さん
12/06/25 15:28:58.40
半径1の球の中に長さ2の直線を入れて正三角形を作るのは無理くない？

713:１３２人目の素数さん
12/06/25 15:48:03.75
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714:709
12/06/25 16:10:35.03
>>712
そういやそうだ、どこで間違ったかな？

715:709
12/06/25 16:28:15.63
暗算あきらめて r=(√13)/3
まだ間違ってるんじゃないだろうな

716:709
12/06/25 16:55:08.05
CD の中点を H とすると ACD, BCD は正三角形だから AH＝BH＝√3
これで ABH も正三角形になり、対称性から球の中心 O は ABH 面内にあり、AB の中点を M とすると O は MH 上にある。
ACD は頂点が球面にある正三角形だから ACD の重心 G の垂線上に O がある。
G は AH＝√3 上にある重心だから GH＝(√3)/3, AG＝(2√3)/3
ABH は正三角形だから∠AHM＝∠GHO＝30°
GH と GO は垂直だから GO＝1/3
AG と GO は垂直だから r＝AO＝√( AG^2＋GO^2 )=(√13)/3

717:１３２人目の素数さん
12/06/25 17:09:34.21
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　単位m^2のことを平方メートルと呼ぶからおかしいんです。メートル平方と呼びたいものですね
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　単位km^2のことを平方キロメートルと呼ぶからおかしいんです。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　キロメートル平方と呼びたいものですね
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　しかし100m^2は100メートル平方になっちゃって混乱のもとですね
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　100mX100mの土地を100メートル平方だっていいますからね
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　 m^2は平方メートル。km^2は平方キロメートル
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　と呼ぶ姑息なやり方でなんとかしのいでるんですね
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718:１３２人目の素数さん
12/06/25 17:33:48.20
>>715-716
正解です。
問題文ミスすみません。

719:１３２人目の素数さん
12/06/26 01:17:08.56
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720:１３２人目の素数さん
12/06/26 05:36:02.49
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721:１３２人目の素数さん
12/06/26 05:50:42.68
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722:１３２人目の素数さん
12/07/05 00:10:05.16
立体Vの表面上の任意の点Pについて、
Pから一番遠い点までの距離が常にKとなる立体Vは
球以外にあるだろうか。

723:１３２人目の素数さん
12/07/05 00:22:58.71
ある。たとえば、マイスナーの四面体。

724:１３２人目の素数さん
12/07/05 06:01:47.80
(x+1)/y + (y+1)/x = 4 の整数解(x、y)をすべて求め、それ以外にないことを示せ

725:１３２人目の素数さん
12/07/07 19:17:43.99
>>724

　(x, y) = (1, 1) は解である。
　対称性から、x≧y としてもよい。
　(x, y) が解ならば、(x, 4x-y-1)　(4y-x-1, y) も解。

　(x, y) = (a_(n-1), a_n)　(a_n, a_(n-1))　を解とすると、
漸化式
　a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1) -1,
　a_0 = 1
　a_1 = 2
より
　a_k = 1/2 + {(2+√3)^(n+0.5) + (2-√3)^(n+0.5)}/(2√6),

これ以外にもある鴨

726:１３２人目の素数さん
12/07/08 06:41:20.07
>>725
たぶん、そこからは(x,y)=(-5,-1)から派生する系列が出てこない。

厳密な議論をするには、
問題の条件を、x(x+1)+y(y+1)=4xy (x≠0，y≠0)
と読み替えた上で、a=x+yとおくと、
x,yがともに整数⇔a,xがともに整数　となり、
条件式を6x^2-6ax+a(a+1)=0と変形してxについて解くと
x=(3a±√(3a(a-2)))/6となることから
3a(a-2)が平方数　…というような議論をすることになりそう。

ちなみに、aが奇数となる場合に限ると、aとa-2が互いに素となることから，
(a,a-2)=(p^2,3q^2)or(3q^2,p^2)or(-p^2,-3q^2)or(-3q^2,-p^2) (ただし、p,qは奇数)
となり、p^2-3q^2=±2となるが、mod3における議論よりp^2-3q^2=-2
これは、２次体k(√3)における整数p+q√3のノルムが-2となることを意味するので、
k(√3)の単数が±(2+√3)^n (nは任意の整数) だけであることを利用すると
p+q√3=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）となり、
ここからp,qの一般項 → aの一般項 → x,yの一般項が求まる。

aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。

727:１３２人目の素数さん
12/07/08 07:12:26.57
>>726 に自己レス訂正。

＞aが奇数となる場合に限ると、
とか
＞aが偶数となる場合については、まだ解き切れていない。
とか書いたが、よく考えてみるとaの偶奇で場合分けをしているのではない
ことに気付いた。
実際は、aとa-2が同じ奇素数を因数として持たないことから、
p,qを整数として、
(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
　　　or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
と考え、最初の４ケースだけをまず検討した所。
（その際の２次体での議論は問題ないはず）

728:１３２人目の素数さん
12/07/08 14:25:20.27
>>727 さらに訂正。寝ぼけてた。

＞(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
＞　　　or (2p^2,3q^2) or (3q^2,2p^2) or (-2p^2,-3q^2) or (-3q^2,-2p^2)
＞　　　or (p^2,6q^2) or (6q^2,p^2) or (-p^2,-6q^2) or (-6q^2,-p^2)
＞　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
これって、真ん中２行は間違いで、

(a,a-2) = (p^2,3q^2) or (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (-3q^2,-p^2)
　　　or (2p^2,6q^2) or (6q^2,2p^2) or (-2p^2,-6q^2) or (-6q^2,-2p^2)

だけが正解でした。すんません。

さらに、mod 3で検討して
(a,a-2) = (3q^2,p^2) or (-p^2,-3q^2) or (2p^2,6q^2) or (-6q^2,-2p^2)
だけが残る。

729:１３２人目の素数さん
12/07/08 15:55:20.44
答えの流れを整理

a=x+yとおくと、x=(3a±√(3a(a-2)))/6が整数より
i) (a,a-2)=(3q^2,p^2)
ii) (a,a-2)=(-p^2,-3q^2)
iii) (a,a-2)=(2p^2,6q^2)
iv) (a,a-2)=(-6q^2,-2p^2)
のいずれかとなる（p,qは整数）

i),ii)のとき，p^2-3q^2=-2より、k(√3)におけるノルム-2の整数を考え
　p+√3q=±(1+√3)(2+√3)^n，p-q√3=±(1-√3)(2-√3)^n（複号同順）
iii),iv)のとき，p^2-3q^2=1より、k(√3)における単数を考え
　p+√3q=±(2+√3)^n，p-q√3=±(2-√3)^n（複号同順）

ここからp,q→a→x,yの順に計算した結果をまとめると
A(k)=((3-√3)(2+√3)^k+(3+√3)(2-√3)^k)/12 と置いて
i),iii)より
　(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)),(1/2+A(n+1),1/2+A(n)) （nは任意の整数）
ii),iv)より
　(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)),(1/2-A(n+1),1/2-A(n)) （nは整数、n≠-1,0,1）
となる。

（なお、最後でn≠-1,0,1としたのは、x,y≠0より）

730:１３２人目の素数さん
12/07/08 16:13:48.74
>>729 補足
A(1-k)=A(k)なので、重複を除外すると、結論部分は

　(x,y)=(1/2+A(n),1/2+A(n+1)) （nは任意の整数）　または
　(x,y)=(1/2-A(n),1/2-A(n+1)) （nは整数、n≠-1,0,1）

だけ言えばよかった。

731:１３２人目の素数さん
12/07/09 23:05:20.55
>>725 の補足

与式は　
(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 + 1/2 = 4(x - 1/2)(y - 1/2),　（60ﾟ双曲線）
と表わせるから、
　(x, y) が解ならば (1-x, 1-y) (1-y, 1-x) も解。
ここから、(-5, -1) の系列が出てくる。

732:１３２人目の素数さん
12/07/10 01:58:05.15
(1)
3辺の長さが全て整数で、周長が n であるような互いに合同でない三角形の個数を f(n) とおくとき、
数列 {f(n)} から生成される母関数 F(x) = Σ[n=0 to ∞] f(n) x^n を閉じた式で表せ！

(2)
S(x、y) = Σ[2m≧n≧0、2n≧m≧0] x^m y^n （|x|<1、|y|<1）の閉じた式を求めよ！

母関数たん (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

733:１３２人目の素数さん
12/07/10 20:51:50.83
(1)
f(n)は1≦a≦b≦c…(i)、a+b＞c…(ii)、a+b+c=nの整数解(a,b,c)の個数に等しい
(i),(ii)より、b≦c≦a+b-1]
Σ[k=0,∞]f(k)x^k
=Σ[1≦a≦b≦c , a+b＞c]x^(a+b+c)
=Σ[b≦c≦a+b-1 , 1≦a≦b]x^c*x^(a+b)
=Σ[1≦a≦b](x^(a+b)(Σ[c=b,a+b-1]x^c))
=Σ[1≦a≦b]x^(a+b)(1-x^a)x^b/(1-x)
=1/(1-x)Σ[1≦a≦b]x^(2b)(x^a-x^(2b))
=1/(1-x)Σ[1≦b](x^(2b)(Σ[a=1,b]x^a-x^(2a)))
=1/(1-x)Σ[1≦b]x^(2b)((1-x^b)x/(1-x)-(1-x^(2b)x^2/(1-x^2))
=x/((1-x)(1-x^2))Σ[1≦b](x^(2b)-x^(3b)-x^(3b+1)+x^(4b+1))
=…
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))
=x^3/((1-x)^3*(1+x)^2*(1+x^2)*(1+x+x^2))

(2)
0≦m≦2n , 0≦n≦2m
⇔m/2≦n≦2m , 0≦m
mが偶数のとき、m=2k(k≧0)とおけて、これを満たすnはk～4k
mが奇数のとき、m=2k+1(k≧0)とおけて、これを満たすnはk+1～4k+2
S(x,y)
=Σ[0≦m≦2n , 0≦n≦2m]x^m*y^n
=Σ[k=0,∞](x^(2k)Σ[n=k,4k]y^n)+Σ[k=0,∞](x^(2k+1)Σ[n=k+1,4k+2]y^n)
=…
=(x^2*y^2+xy+1)/((1-x^2*y)(1-x*y^2))

734:１３２人目の素数さん
12/07/11 00:20:59.86
>>733
正解です。神すぐる…。周長を2nに変えると…

(1)’
3辺の長さが全て整数で、周長が 2n であるような互いに合同でない三角形の個数を g(n) とおくとき、
数列 {g(n)} から生成される母関数 G(x) = Σ[n=0 to ∞] g(n) x^n を閉じた式で表せ！

735:１３２人目の素数さん
12/07/11 12:54:20.50
F(x)の式から{f(k)}が9階回帰数列であることや
f(k)が2p+3q+4r+3=kの非負整数解の個数であることが分かるな。
(∵(a,b,c)=(q+r+1,p+q+r+1,p+q+2r+1)とするとa,b,cは周長kの三角形の3辺になり,
逆に周長nの三角形の3辺a,b,cから(p,q,r)=(-a+b,a+b-c-1,-b+c)によって1組の解が定まる)

>>734
F(-x)=Σ[k=0,∞]f(k)(-x)^k より、
F(x)+F(-x)
=Σ[k=0,∞]f(k)(x^k+(-x)^k)
=Σ[k≧0,k:偶数]2f(k)x^k
=Σ[i=0,∞]2f(2i)x^(2i)
一方、
F(x)+F(-x)
=x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1^x^4))+(-x^3/((1-x^2)(1+x^3)(1-x^4)))
=2x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
以上より、
Σ[i=0,∞]f(2i)(x^2)^i = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
f(2i)=g(i)、更にx^2を改めてxと置き換えて
Σ[i=0,∞]g(i)x^i=x^3/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))

736:１３２人目の素数さん
12/07/11 21:48:03.16
>>735
正解でござる

(1)’ a+b+c=n、a≧b≧c>0、b+c>a、をみたす整数の組(a、b、c)の個数

⇔ x=(b+c-a)/2=n-a、y=(c+a-b)/2、z=(a+b-c)/2 とおくと、
　 x+y+z=n、0<x≦y≦z<n をみたす整数の組(x、y、z)の個数

⇔ 自然数ｎの３分割数（＝ nの３分割以下ーnの２分割以下）
　母関数は 1/{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} - 1/{(1-x)(1-x^2} = x^3/{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}

737:１３２人目の素数さん
12/07/11 22:43:27.11
なるほど分割数とな。(2)は何か元ネタとかあったりする？

(2)の一般化。kは自然数。
Σ[km≧n≧0、kn≧m≧0] x^m*y^n
={1-x-y+2xy-x^k*y-x*y^k+x^k*y^2+x^2*y^k-x^(k+1)*y^2-x^2*y^(k+1)+x^(k+1)*y^(k+1)}/{(1-x)(1-y)(1-x^k*y)(1-x*y^k)}
={1-x^k*y-x*y^k+(Σ[1≦i,j≦k]x^i*y^j)}/{(1-x^k*y)(1-x*y^k)}

k→∞のとき(1-x-y+2xy)/{(1-x)(1-y)}=1+Σ[1≦i,j]x^i*y^j
m,n座標平面で直線m=kn,n=kmを引いて、条件を満たす領域を考えると見通しが良くなる。

738:１３２人目の素数さん
12/07/11 23:02:28.70
>>737
(1)(2)は、「整数の分割、P.160 から
URLﾘﾝｸ(www.sugakushobo.co.jp)
条件を入れたら母関数を自動生成するOmegaの紹介もある

(2)は 1999年 Putnum B3 の本質部分らしい
URLﾘﾝｸ(mks.mff.cuni.cz)

(1)’は(1)の証明が分からずに色々考えていたときに出てきた副産物

739:１３２人目の素数さん
12/07/11 23:42:43.95
木が２本ある。
木と木の間は約 100m。
同じ高さ(標高)のところに印をつけたいのだが、
どうすればいいだろうか。

望遠鏡や水準器など、好きな道具を使ってもいいが、
より安い道具でできた方が勝ち。

740:１３２人目の素数さん
12/07/11 23:48:49.96
>>739
地面は水平？

741:１３２人目の素数さん
12/07/11 23:49:44.92
高さ0のとこに印を付けるのはダメなのね？

742:１３２人目の素数さん
12/07/12 00:00:26.69
傍に立って自分の腰の位置に印をつけて終わり

743:１３２人目の素数さん
12/07/12 00:03:04.60
>>742
木が生えてるのが斜面だったら標高は違うでしょ

744:１３２人目の素数さん
12/07/12 00:52:34.23
>>740
んな簡単な問題を出すハゲがいるかをずっと考えるの刑

745:１３２人目の素数さん
12/07/12 00:57:07.80
　　　,　ﾉ）
　　ﾉ)ノ,(ノi
　 (　　　　(ノし
┐)　∧,∧ 　ﾉ　←>>740
..|(　( ....:::::::) (
￣⊂/￣￣7 )　ヽ lヽ,,lヽ
　（/ 川口 /ﾉ　　(　　　）お父さん、2chばっかしてないで働いて！
　　￣TT￣　　　と、　　ﾞi

746:１３２人目の素数さん
12/07/12 01:12:15.58
>>733

(2)
境界線上（2m=n or 2n=m）では、3|(m+n)

そこで、3|(m+n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1), (m+2,n+2)} を１組と考える。
　Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0] A_(m,n) = Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0, 3|(m+n)] {A_(m,n)+A_(m+1,n+1)+A_(m+2,n+2)}
また、
　Σ[2m≧n≧0, 2n≧m≧0, 3|(m+n) ] B_(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B_(2i+j,i+2j),
でつね。

本問では A_(m,n) = x^m･y^n,
　　　　B_(m,n) = A_(m,n) + A_(m+1,n+1) + A_(m+2,n+2) = {1+xy+(xy)^2} A_(m,n),

747:１３２人目の素数さん
12/07/12 01:19:42.82
木は垂直に生えているの？

748:１３２人目の素数さん
12/07/12 01:33:59.21
URLﾘﾝｸ(amazon.jp) タコ糸 \120
Amazon 配送料・手数料 \200
計 \320 でなんとかいきたいところ

749:１３２人目の素数さん
12/07/12 01:39:05.64
>>748
仕様・ 80cm

テラワロス、ペタワロス、エクサワロス！

750:１３２人目の素数さん
12/07/12 01:40:59.13
>>737

k≧2 を固定する。
境界線上（km=n or kn=m）では、(k+1)|(m+n)

そこで、(k+1)|(m+n) を満たす (m,n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1), ･････, (m+k,n+k)} の(k+1)個を１組と考える。
　Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0] A(m,n) = Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0, (k+1)|(m+n)] {A(m,n)+A(m+1,n+1)+････+A(m+k,n+k)}
また、
　Σ[km≧n≧0, kn≧m≧0, (k+1)|(m+n) ] B(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B(ki+j,i+kj),

751:１３２人目の素数さん
12/07/12 02:06:49.92
>>739
・木の間には障害物がない
・十分に等質とみなせる100m以上はゆうにある丈夫な紐がある
・紐に印を付ける油性ペンと水
と仮定して

・まず紐を二つ折りにして、折り返し点と、そこから等距離な目盛りをつける
・次に２つの木を、目盛りを使って、折り返し点が中央になるように結ぶ
・そして紐全体に水をぶっかける
・紐についた水滴が折り返し点付近に集まっていくなら木に結んだ２点はほぼ同じ標高

……なんかめんどうだし強風の日は使えんな。もっといい方法ないかな…

752:１３２人目の素数さん
12/07/12 02:17:51.52
ゴルゴに頼んで水平に撃ち抜いてもらう
費用は交渉次第

753:１３２人目の素数さん
12/07/12 04:11:54.54
>>747
木っていうもんがどのように生えるか、
それを考えて利用するのは自由

754:１３２人目の素数さん
12/07/12 07:36:04.99
棒の真ん中に紐を付けたもの(水平を測るやつ)+レーザーポインタ

755:１３２人目の素数さん
12/07/12 08:18:01.57
水準器とレーザポインタかオペラグラスを使えば2000円くらいでできるな
工事現場とかで三脚使って測量してるあれと同じ原理

較正が無料で目が十分によければ
適当な紐と錘と筒で500円もかからないで同じ装置が作れそう

756:１３２人目の素数さん
12/07/12 08:27:27.63
>>739
雑談スレに書くレベル

757:１３２人目の素数さん
12/07/12 08:39:26.70
>>755
紐=糸くず
錘=石ころ
筒=トイレットペーパの芯

これで良ければ10円もかからないから
道具を使わないで解くのでもなければ
これ以上安くはならないね

758:１３２人目の素数さん
12/07/12 12:55:03.26
>>739
1000年も待ってりゃそのうち津波が印を付ける

759:１３２人目の素数さん
12/07/13 00:15:39.21
>>737

k=3 の場合。
境界線上（3m=n or 3n=m）では、4|(m+n), ････

平行四辺形 {(m,n)　(m+1,n+3)　(m+3,n+1)　(m+4,n+4)} を基本周期と考える。

4|(m+n), (3m-n)/8∈N', (3n-m)/8∈N' を満たす (m,n) に対して、
　{(m,n), (m+1,n+1)}, {(m+1,n+2), (m+2,n+3)}, {(m+2,n+1), (m+3,n+2)}, {(m+2,n+2), (m+3,n+3)} の８個を１組と考える。
　Σ[3m≧n≧0, 3n≧m≧0] A(m,n) = Σ[3m≧n≧0, 3n≧m≧0, 4|(m+n), ･･･ ] {A~(m,n) + A~(m+1,n+2) + A~(m+2,n+1) + A~(m+2,n+2)}
ここに　A~(m,n) = A(m,n) + A(m+1,n+1),

また、
　Σ[3m≧n≧0, 3n≧m≧0, 4|(m+n), ･･･ ] B(m,n) = Σ[i≧0] Σ[j≧0] B(3i+j,i+3j),

760:１３２人目の素数さん
12/07/13 16:26:31.28
>>758
それは水平にはならない

761:１３２人目の素数さん
12/07/13 19:51:39.04
>>758
家賃も1000年分いるし
子供の養育費から厚生年金とか
物売るってレベルじゃねえぞ
水準器1000個買ってくる方が安い

762:１３２人目の素数さん
12/07/13 21:26:01.40
>>761
印がつけばそれでいいんだから人が見張る必要はないだろ
…とまじめに反論してみる

763:１３２人目の素数さん
12/07/14 05:56:20.46
>>759

平行四辺形 {(m,n)　(m+1,n+k)　(m+k,n+1)　(m+k+1,n+k+1)}
のタイルを敷き詰めるんでつね。

764:１３２人目の素数さん
12/07/15 00:00:22.40
xとyを対等に扱えるってことか

765:１３２人目の素数さん
12/07/15 08:38:31.61
a^b （a、bは自然数）で表される数の集合を S とするとき、Σ[n∈S] 1/(n-1) = ？

766:１３２人目の素数さん
12/07/15 08:54:10.09
S_n = Σ[k=0 to n] (-4)^k・C(n+k、2k) を計算せよ。ただし、二項係数を C(n、r) で表した。

767:１３２人目の素数さん
12/07/15 15:23:51.84
S=NよりΣ[n∈S] 1/(n-1)=Σ[n=1,∞] 1/(n-1)=∞

768:１３２人目の素数さん
12/07/15 15:26:49.77
間違えた。1/(1-1) =1/0 じゃないか

769:１３２人目の素数さん
12/07/16 19:10:30.39
>>766

　Ｓ_n = (-1)^n・(2n+1),

(略証)
　Ｓ(x) = Σ[n=0,∞) Ｓ_n (-x)^n
　　= Σ[n=0,∞) (-x)^n Σ[k=0,n] (-4)^k･Ｃ(n+k,2k)
ここで n+k=M とおく。
　　= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-k) (-4)^k Ｃ(M,2k)
　　= Σ[M=0,∞) Σ[k=0,[M/2]] (-x)^(M-2k) (4x)^k Ｃ(M,2k)
　　= Σ[M=0,∞) {(-x+2√x)^M + (-x-2√x)^M}/2
　　= {1/(1+x-2√x) + 1/(1+x+2√x)}/2
　　= {1/(1-√x)^2 + 1/(1+√x)^2}/2
　　= (1+x)/(1-x)^2
　　= Σ[n=0,∞) (2n+1)・x^n,

770:１３２人目の素数さん
12/07/17 00:38:08.63
>>769
正解！

771:１３２人目の素数さん
12/07/22 17:30:49.62
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

772:１３２人目の素数さん
12/07/25 22:04:24.85
数学も面白いが、数学者の奇妙奇天烈な人生は、もっと面白い。
人気サイエンスライターが、古今東西の数学者の人生を楽しく紹介。

「天才数学者列伝　～数奇な人生を歩んだ数学者たち～」
　アミール・D・アクゼル著
　水谷淳訳
　ISBN　978-4-7973-7013-3
　判型　四六判
　頁数　392p
　発行　ソフトバンク・クリエイティブ
　価格　1995円
　URLﾘﾝｸ(www.sbcr.jp)

773:１３２人目の素数さん
12/07/25 23:28:12.51
>>772
甚だしくスレ違い。宣伝か。

774:１３２人目の素数さん
12/08/02 19:39:24.06
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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775:１３２人目の素数さん
12/08/07 09:00:59.85
ある確率で当たりが出るくじがある。
なかなか当たりが少ないようで、
今まで連続して1000人がくじを引いたが当たりはでなかった。
1001人目があたる確率は？
なお、ひいたくじは毎回もとに戻され、
客は誰もが同じ条件で引くことになる。

776:１３２人目の素数さん
12/08/07 09:10:59.70
>>775
条件不足で不明。

777:１３２人目の素数さん
12/08/07 10:21:01.85
不明までいかないだろ
少なくとも100%や90%や50%とはならず
0.1%以下の可能性が高いくらいのことは
言えるだろう

778:１３２人目の素数さん
12/08/07 10:29:44.40
確率の確率分布が一様という仮定があるなら最初から出せ

779:１３２人目の素数さん
12/08/07 11:21:31.42
>>775
ある確率をpとすると
p*(1-p)^1000

780:１３２人目の素数さん
12/08/07 11:53:34.28
条件不足だということをわかれっていう問題じゃないんか？

781:１３２人目の素数さん
12/08/07 17:53:07.00
ベイズ推定を意味も分からず聞きかじった者が陥りがちなバカ出題の例を示しましたってか

782:１３２人目の素数さん
12/08/09 16:56:45.88
正五角形と（平方数で無い整数の平方根）との関係を何か言え

783:baka描 ◆ghclfYsc82
12/08/09 17:17:40.06
描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

784:１３２人目の素数さん
12/08/09 18:33:47.71
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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785:１３２人目の素数さん
12/08/09 20:38:05.15
>>739
紐に重りを滑車で掛けて中央まで転がるように高さを調節

786:baka描 ◆ghclfYsc82
12/08/10 02:17:39.33
描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

787:１３２人目の素数さん
12/08/10 03:44:23.15
>>739
適当に印をつけて出来たと言い張る。
正しいかどうか調べに来たやつの道具で正しい印をつける。

788:baka描 ◆ghclfYsc82
12/08/10 04:23:43.98
描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

789:１３２人目の素数さん
12/08/10 11:33:16.40
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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