面白い問題おしえて～な十九問目

面白い問題おしえて～な十九問目 at MATH

[前50を表示]
400:あんでぃ
12/04/14 10:56:26.67
54 名前:あんでぃ [sage] :2012/04/14(土) 10:55:07.41
52 名前:あんでぃ [sage] :2012/04/14(土) 10:52:54.08
>>33
古典Aと古典Ｂならどっちが好きですか？

401:１３２人目の素数さん
12/04/14 14:13:40.06
>>373
p(X) : Xのベキ集合
Q＝{a∈p(p(X)) ; ∀b∈a[ g(f(X)^c)∈b ∧ ∀x∈b[g(f(x^c)^c)∈b] ]}
とすると
{ b∈p(X) ; g(f(X)^c) ⊂ b } ∈ Q
だから Q≠φで ∀a',a"∈Q[ a'∩a"∈Q ]
A＝(∪(∩Q))^c, B＝f(A)^c となるけど、∩Q≠φの証明が困るな。
AB 逆にして挟み撃ちする方法でも考えてくれ。

402:１３２人目の素数さん
12/04/14 14:53:44.78
>>291の画像再うｐお願いします。

403:１３２人目の素数さん
12/04/15 04:33:53.22
>>342
a(n)^4-1=a(n+1)*a(n-1)*{a(n)^2+(-1)^(n-1)}

404:あんでぃ
12/04/16 21:28:47.41
>>494
そう…お願い…
ここから

タイトル
ちんこ定規くん
内容
[T？X]
[G？M]
[O？H]
[VF？SC]
残り8組
ここまで

　　 /＼＿＿／ヽ
　／／~　　~＼:＼
　｜ (●)　(●) :｜
　｜　ノ(＿)ヽ :: ｜
　｜　`-=ニ=-′:: ｜
　＼　 `＝′ ::／
　／｀ー―-´＼

405:１３２人目の素数さん
12/04/17 23:53:05.98
>>403
ゴリゴリやると確かに成り立つけど、スッキリした解答を見てみたいものだ。

406:１３２人目の素数さん
12/04/19 02:40:15.86
>>342,405
a(n+1)*a(n-1)
={2*a(n)+a(n-1)}*a(n-1)
=2*a(n)*a(n-1)+a(n-1)^2
=2*a(n)*{a(n)-a(n-2)}/2+a(n-1)^2
=a(n)^2-a(n)*a(n-2)+a(n-1)^2　より
a(n+1)*a(n-1)-a(n)^2=-{a(n)*a(n-2)-a(n-1)^2}
以上から a(n+1)*a(n-1)-a(n)^2=(-1)^n　
よって a(n+1)*a(n-1)=a(n)^2+(-1)^n
両辺に a(n)^2-(-1)^n をかけて
a(n)^4-1
=a(n+1)*a(n-1)*{a(n)^2+(-1)^(n-1)}

407:１３２人目の素数さん
12/04/19 03:37:17.23
>>406
なぜa(n+1)*a(n-1)を計算しようと思ったのか、飛躍しているんだよな
そこに至る考えこそ知りたい

408:１３２人目の素数さん
12/04/19 08:59:38.34
どこかの問題と解答を転写しただけだろ．
自分で解いてはなさそうだ．

409:１３２人目の素数さん
12/04/19 09:07:33.50
手を動かさない者の発想だな

410:１３２人目の素数さん
12/04/19 14:16:58.45
>>406の計算から分かることだが、係数が2以外の任意の数の場合でも、同じ結果が成り立つね。
特に1の場合すなわちフィボナッチ数列でも成り立つ。

411:１３２人目の素数さん
12/04/19 14:24:21.75
>>410
勘違いだった。恥ずかしー

412:１３２人目の素数さん
12/04/19 18:17:57.39
>>411
晒し首だな

413:１３２人目の素数さん
12/04/19 18:46:29.31
>>411
何言ってんだ

414:１３２人目の素数さん
12/04/19 18:53:45.36
>>411の人気に嫉妬

>>411
鼻糞でも食ってろ！

415:１３２人目の素数さん
12/04/19 21:35:35.33
>>411
k≠0
a_1=1、a_2=k　
a_n=k*a_(n-1)+a_(n-2)
でいいんじゃないの？

416:１３２人目の素数さん
12/04/20 21:08:48.80
数学を勉強する意義について議論するスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

417:１３２人目の素数さん
12/04/21 08:04:04.32
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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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418:１３２人目の素数さん
12/04/21 14:11:56.16
[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]

419:１３２人目の素数さん
12/04/21 14:12:26.39
[TS/VX]
[GF/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]

420:１３２人目の素数さん
12/04/21 14:12:56.10
[TS/GF/VX/MP]
[O/H]
[FJT/OGN]
[TRKI/OGR]
[SC]
[コースワーク]

421:１３２人目の素数さん
12/04/22 22:10:20.45
>>27
>>29
>>32
>>338

422:１３２人目の素数さん
12/04/22 22:36:00.00
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.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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423:１３２人目の素数さん
12/04/22 23:43:13.61
キミの名前教えて

424:１３２人目の素数さん
12/04/23 08:11:24.09
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425:１３２人目の素数さん
12/04/23 15:58:06.83
>>341
ε-δで証明して

426:１３２人目の素数さん
12/04/23 18:03:02.17
以下で改行をはずしてコピペ

URLﾘﾝｸ(wrs.search.yahoo.co.jp)
QfISKIO4Rd1JVFtNyoHVzrbivVr88wmEpIEjzTa_ZI2qQIuzxsCT90jBFji77RVG1PG.Xd5BeKKPSL.I0OFkyAyZRynG588OXQ1m9IWMV0qMzEtxSwazWAqEIUTejkwb7xFQZUc
bkxGN8fhT9.LftzWG_tuk7eWkMl7Ordz6uuwm4o.C4pPB.qJEJDPumjuILIz4cak8vYzAz05sm1XAZrJIgqoaGeu.oHGUxhaYqASSjL4/_ylt=A8vY8pGmGZVPuuIAqeCDTwx.;
_ylu=X3oDMTEzZHE4dDRhBHBvcwM3NwRzZWMDc3IEc2xrA3RpdGxlBHZ0aWQDanAwMDE3/SIG=14f7pvs5r/EXP=1335272294/**http%
3A//rihiga.freeweb.pk/2012/03/24/%25E4%25B8%2583%25E5%25A4%25952011-in-%25E6%2595%25B0%25E5%25AD%25A6%25E6%259D%25BF-25/

427:１３２人目の素数さん
12/04/23 18:23:16.45
>>426
?

428:１３２人目の素数さん
12/04/25 17:06:08.06
>>426
何か張りたいならちゃんと張れ

429:１３２人目の素数さん
12/04/25 17:42:03.11
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430:１３２人目の素数さん
12/04/26 02:00:20.35
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431:１３２人目の素数さん
12/04/27 14:18:08.23
>>425
Σb(n) 収束なら b(n)→0
a(n)＋b(n)≦a(n＋1) は b(n)≦a(n＋1)－a(n) だから a(n) はほとんど単調増加。
あとはε-δと背理法で、収束しなけりゃ有界でない。

432:１３２人目の素数さん
12/04/27 18:16:25.96
すっげえ。俺よりロマンスあるんだ。

433:１３２人目の素数さん
12/04/27 18:16:58.17
誤爆ｽﾏｿ

434:１３２人目の素数さん
12/04/28 00:13:10.18
>>431
Σb(n)が収束しなくてもb(n)→0であればいいってこと？

435:１３２人目の素数さん
12/04/28 00:53:36.21
正の整数a,b,c…がn=a+b+c+d…を満たす時
S=max(abc…)を求めよ

436:１３２人目の素数さん
12/04/28 02:49:46.11
>>435
どこが面白いん？

437:１３２人目の素数さん
12/04/28 06:23:50.00
相加平均≧相乗平均がおもしろいんでないかな？

438:１３２人目の素数さん
12/04/28 07:54:00.39
一目で分かってしまう問題に何の面白みがあるのだろう？

439:１３２人目の素数さん
12/04/28 07:54:58.39
相加相乗を初めて知った厨房なのだと納得して忘れよう

440:１３２人目の素数さん
12/04/28 13:11:13.71
>>434
Yes.

441:１３２人目の素数さん
12/04/28 14:10:00.26
a(n)=-log(n).
b(n)=-1/n.

442:１３２人目の素数さん
12/04/28 14:36:35.23
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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443:１３２人目の素数さん
12/04/28 19:14:53.20
>>431
a(n)が収束ならb(n)=a(n+1)-a(n)とすれば条件は全て満たすから
収束する数列は全て「ほとんど単調増加」になるから
＞a(n)＋b(n)≦a(n＋1) は b(n)≦a(n＋1)－a(n) だから a(n) はほとんど単調増加。
この行意味なし

444:１３２人目の素数さん
12/04/28 19:17:38.45
442で上がってるのにもう146まで落ちてる

445:１３２人目の素数さん
12/04/28 20:18:03.96
>>435
(イ)n=3mの時
S=3^m
(ロ)n=3m+1の時
S=3^(m-1)*4
(ハ)n=3m+2の時
S=3^m*2

446:１３２人目の素数さん
12/04/28 20:28:47.66
>>436-439は頭悪すぎ
相加相乗平均の要素は全くないし、そもそも相加相乗でどうやって最大値求めるんだ

447:１３２人目の素数さん
12/04/28 20:37:15.27
正の整数a,b,c,d,eがn=a+b+c+d+eを満たす時
S=max(abcde)を求めよ

448:１３２人目の素数さん
12/04/28 20:40:22.60
a=S+1,b=1,c=1,d=1とすればS<abcdになるから最大値はない

449:１３２人目の素数さん
12/04/28 20:42:35.59
n個の赤玉とn^2個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。
この中から2n個数の玉を取り出す。
このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。

(1) Pnをnを用いて表せ。
(2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。

450:１３２人目の素数さん
12/04/28 20:43:31.60
解説して

451:１３２人目の素数さん
12/04/28 20:46:36.42
>>449
Pn=1

452:１３２人目の素数さん
12/04/28 21:09:56.21
どうやっても取り出した半分以上は白玉になる
東大作問スレでも最近こういう問題が多い

453:１３２人目の素数さん
12/04/28 21:54:32.42
n^2個の赤玉と2^n個の白玉(n≧1の整数)が入っている袋がある。
この中から2n個数の玉を取り出す。
このとき、白玉を少なくとも1個取り出す確率をPnとする。

(1) Pnをnを用いて表せ。
(2) lim[n→α]Pnが存在するようなαの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、lim[n→∞]Pnを求めよ。

454:１３２人目の素数さん
12/04/28 22:00:35.69
解脱して

455:１３２人目の素数さん
12/04/28 22:01:25.67
>>453
Pn=1

456:１３２人目の素数さん
12/04/28 22:01:42.95
どうやっても取り出した半分以上は白玉になる
東大作問スレでも最近こういう問題が多い

457:１３２人目の素数さん
12/04/28 22:14:15.91
>>455-456
>>449と>>453は違うぞ？

458:１３２人目の素数さん
12/04/28 22:20:47.98
n→αの意味不明さは変わらず

459:１３２人目の素数さん
12/04/28 23:09:50.51
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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460:１３２人目の素数さん
12/04/29 00:17:26.47
>>448
これは酷い。

461:１３２人目の素数さん
12/04/29 00:52:24.72
>>435
n=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o…　であるということは
両辺からnを引くと　0=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+o…　
このような正の整数abcdefghijklmoは存在しない。

462:１３２人目の素数さん
12/04/29 00:54:08.55
>>446
「要素は全くない」についてはここでは問題にしないので
ぜひ相加相乗を使わない解答を教えてください。

463:１３２人目の素数さん
12/04/29 01:03:29.37
>>460
酷いのは>>435 >>460。
>>435はnと分割する個数が固定なのか不定なのか書いてない。

464:１３２人目の素数さん
12/04/29 04:11:13.71
>>338
c(1)=a(1), c(n)=a(n)-Σ[k=1,n-1] b(k) (n≧2) とおくと {c(n)}は上に有界、かつ
c(n+1)-c(n)=a(n+1)-a(n)-b(n)≧0 だから {c(n)}は単調増加、ゆえに{c(n)}は収束する。
よって{a(n)}も収束する。
>>431
b(n)→0だが{a(n)}が収束しない例：
a(n)=-log(n), b(n)=a(n+1)-a(n) (n≧1) とおくと{a(n)}は上に有界で
b(n)=-log(1+(1/n))→0 (n→∞) だが a(n)→-∞

465:１３２人目の素数さん
12/04/29 08:46:27.75
>>461
SUGEEEEEEEEEEEEEEEE

466:１３２人目の素数さん
12/04/29 14:22:02.04
ほとんど単調増加っていう言葉を初めて聞いた。
ほとんど至るところで連続みたいな感じか。

467:１３２人目の素数さん
12/05/05 01:51:54.27
逆から読んでも同じ数式を、回文と呼ぶことにする。
任意の有理数は回文で表せることを示せ。

468:１３２人目の素数さん
12/05/05 02:22:58.57
(a-0)*(0-b)+(1÷b+b÷1)*a=a*(1÷b+b÷1)+(b-0)*(0-a)=a÷b

469:１３２人目の素数さん
12/05/05 13:23:51.89
>>468
説明不足でしたが等号を含まない式でお願いします。
それと、文字式は数字を当てはめたときに回文にならない場合があるので駄目。

470:１３２人目の素数さん
12/05/05 13:24:56.07
あ、>>467で言ってる「逆から読んでも同じ」というのは、同じ値って意味じゃなくて同じ表記の式ってことです。

471:１３２人目の素数さん
12/05/05 13:42:12.86
…まだなんか説明不足あるんじゃないかという気がするな
例えば"3"ってのは逆から読むと"3"なのかそれとも"ε"なのか…

472:１３２人目の素数さん
12/05/05 13:53:28.91
>>471
それは気付かなかった。
3は逆から読んでも3。
36は逆から読むと63です。

あと、1行で書けないような式は不可。

473:１３２人目の素数さん
12/05/05 13:54:10.26
まあどっちみち>>468の発展系でいける
「aを整数、bを非0の整数とするとき、以下の式の値は a÷bになる
2*(-a)*b+(1÷2b+2b÷1)*a+a*(1÷2b+2b÷1)+b*(-a)*2
ただし実際に表すときは
a,(-a),b,2bを、正なら(1+1+…+1)、負なら(1-1-…-1)で記す」

474:１３２人目の素数さん
12/05/05 13:56:35.12
あっと少し訂正、単独の2についてはいってなかった
2*(-a)*b+(1÷2b+2b÷1)*a+a*(1÷2b+2b÷1)+b*(-a)*2を
(-a)*(2b)+(1÷(2b)+(2b)÷1)*a+a*(1÷(2b)+(2b)÷1)+(2b)*(-a)に

475:１３２人目の素数さん
12/05/05 14:14:34.27
>>474
正解です。

ここまで来たらもう簡単かもしれないけど、さらに問題。
1 - ÷ ( ) の5種類の記号のみでも可能であることを示せ。

476:１３２人目の素数さん
12/05/05 14:45:14.94
例えば
x*y　→　(x÷1)÷(1÷y)　ただしx,yに0が含まれる場合は0に置き換える
x+y　→　(x-1)-(1-1-1-1)-(1-y)
正の整数n　→　(1-(1-1-1-…-1)-1)
の変形を用いて先ほどの式から*と+を排除し正の整数表記を変更する

477:１３２人目の素数さん
12/05/05 14:46:08.17
ああああ、重要な問題に気付いてしまった。
3を逆から読んでも3だというなら、 (1-1) という式は逆から読むと )1-1( になるじゃないか。
括弧は例外として逆向きにする、というのはちょっと苦しいか・・・。
とりあえず、左括弧と右括弧は逆から読むと入れ替わるということでお願いします。

478:１３２人目の素数さん
12/05/05 14:50:21.81
さすがに括弧()が)(に変化するなら
式に現れる最後の閉じ括弧)が逆から読むと
式の先頭に来てしまう。つまり括弧の対応は必ず崩れるので使えない

括弧が使えないと除算は常に最優先となってしまうので
どう頑張っても式全体の分母は1にしかならない
つまり有理数は作れなくなってしまう

479:１３２人目の素数さん
12/05/05 15:07:42.29
エラー出まくりで返事遅れてすいませぬ。

>>476
なるほど、それでいけますね。

↓想定していた解答。

表したい有理数をa/bとする。
ただしa,bは整数、a+b≧0となるように表しておく。
a>bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1)
a<bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1))
で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。

480:１３２人目の素数さん
12/05/05 15:10:56.69
>>479
なんかいろいろ間違ってるけど適当に脳内補正お願いします。

481:１３２人目の素数さん
12/05/05 15:23:10.74
>>479
一応ちゃんと訂正しときます。

表したい有理数をa/bとする。
ただしa,bは整数、a+b<0となるように表しておく。
a<bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1)
a>bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1))
で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。

482:１３２人目の素数さん
12/05/07 14:16:21.18
m個の玉を無作為にn個の箱に入れるとき箱が1つだけ空になる確率を求めよ
ただし、mとnをm≧n≧1を満たす整数とする

483:あんでぃ
12/05/07 15:17:09.13
(　　 /＼＿＿／ヽ
　／／~　　~＼:＼
　｜ (●)　(●) :｜
　｜　ノ(＿)ヽ ::｜
　｜　`-=ニ=-′::｜
　＼　 `＝′ ::／
　／｀ー―-´＼はぁ？…)

484:１３２人目の素数さん
12/05/08 00:49:25.23
>>482
エレガントな解答か解放があれば息してよし

485:１３２人目の素数さん
12/05/08 01:46:10.90
>>484を解放せよ

486:１３２人目の素数さん
12/05/08 13:44:03.90
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + 1 を満たす素数a、b、c、d、eの組をすべて求めよ

487:１３２人目の素数さん
12/05/08 20:30:00.10
e=5.

488:１３２人目の素数さん
12/05/08 21:40:26.35
>>487
それ以外にないのかね？

489:１３２人目の素数さん
12/05/08 22:33:24.98
x^y = y^(x^3) をみたす自然数x、yの組をすべて求めよ

490:１３２人目の素数さん
12/05/08 22:35:00.63
2^x + 3^y + 5^z = n! （x、y、zは整数、nは自然数）をみたす整数x、y、z、nの組をすべて求めよ

491:１３２人目の素数さん
12/05/08 23:50:01.87
>>489
(x, y) = (1, 1)

492:１３２人目の素数さん
12/05/08 23:50:41.97
実質2^2+2^2+3^2+3^2=5^2+1しかないな

493:１３２人目の素数さん
12/05/09 00:00:32.95
それ以外にないことは、どうやって証明できるん？

494:１３２人目の素数さん
12/05/09 00:04:21.05
しかもどれほどエレガントに？？

495:１３２人目の素数さん
12/05/09 00:08:20.92
そーだそーだ！
解を一つ書いて解けたつもりなのか？
小学生かよ！

496:１３２人目の素数さん
12/05/09 01:09:57.42
なんか面白いからこのまま小学生呼ばわりさせてみよう

497:１３２人目の素数さん
12/05/09 01:20:00.30
0,0.
1,1.
4,256.

498:１３２人目の素数さん
12/05/09 01:30:00.08
1,1,0,3.
2,0,0,3.
4,1,1,4.

499:１３２人目の素数さん
12/05/09 01:30:05.45
まあmod 12で調べていけば素数の二乗は1,4(2のみ),9(3のみ)
左辺4つ足しあわせて右辺に可能性があるのは、全て試すと
4+4+9+9 ≡ 2 mod 12のタイプしか残らない

500:１３２人目の素数さん
12/05/09 05:05:00.20
>>482
誰も答えないから、解答www

1からnまでの目があるサイコロをm回投げた場合に
nが出ない目の集合をA(n)とおくと、、全ての目が出る場合の数は
n^m-Σ[i=1,n]A(i)+Σ[i=1,n]Σ[j=1,n∧i≠j]A(i)∩A(j)-．．．
=Σ[i=0,n-1](-1)^i*C[n,i]*(n-i)^m)
となることを用いると、求める確率の場合の数は空箱を1つ選択してから
1からn-1までの目があるサイコロm回投げて全ての目が出る場合の数
Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m
に等しいから、求める確率は
Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m/n^(m-1)

501:１３２人目の素数さん
12/05/09 17:45:05.63
>>489
うひょっ！どうやって解くのですか

502:１３２人目の素数さん
12/05/09 22:11:25.99
>>501
k = x^3/y とおくと、y = k^{1/(3k-1)} という式が出てくる。
y = 1 と y ≧ 2 で場合分け。

503:１３２人目の素数さん
12/05/10 08:12:31.50
自然数 n、整数 x、y、z のとき、n！= 2^x + 3^y + 5^z をみたす x、y、z、n をすべて求めよ

504:１３２人目の素数さん
12/05/10 09:28:18.83
lim[n→∞] {(n!)^(1/n)}/n を求めよ

505:１３２人目の素数さん
12/05/10 09:36:26.22
>>504
1/e

506:１３２人目の素数さん
12/05/10 09:38:11.88
>>503
mod 3 で考える。

507:１３２人目の素数さん
12/05/11 21:37:28.35
　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
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508:１３２人目の素数さん
12/05/11 21:58:50.63
>>507のタイーホまだ？

509:１３２人目の素数さん
12/05/12 14:17:01.53
>>503
mod 3, mod 5, mod 8で考えると、
n≧5、x≧3、y≧1、z≧1には解が存在しないことがすぐわかる
（x,y,zの偶奇の組合せがどれも不可）

さらにいろいろ場合分けして検討すると、
結局n≧5は全てダメだということがわかるので、
あとは有限な範囲の探索のみ。

510:１３２人目の素数さん
12/05/12 19:08:07.97
n=3のとき、2^x+3^y+5^z=6で不適
n≧3のとき
n! mod 3 = 2^x+5^z mod 3 = 0
n=4のとき、2^x+3^y+5^z=24 x=4,y=1,z=1で題意を満たす
n≧4のとき
n! mod 8 = 2^x+3^y+5^z mod 8 = 0
n≧5のとき
n! mod 5 = 2^x+3^y mod 5 = 0
a,b,cを整数として、2^x+5^z=3a 2^x+3^y+5^z=8b 2^x+3^y=5c
3^y=8b-3a 5^z=8b-5c bは15の倍数で、dを整数として
2^x+3^y+5^z=120d

511:１３２人目の素数さん
12/05/12 19:09:02.04
>>510 先頭に以下を追加
x≠0, y≠0, z≠0のとき

512:１３２人目の素数さん
12/05/13 00:29:17.03
なんか勝手に条件追加してるし、結局何言ってるかわからんしｗ

513:１３２人目の素数さん
12/05/13 00:43:11.33
プログラムを組むと確かに、n≧5の場合に解は存在しなかった。
2^x+5^z=3a 3^y+5^z=2b 2^x+3^y=5c から
2^x=(3a-2b+5c)/2, 3^y=(-3a+2b+5c)/2, 5^z=(3a+2b-5c)/2で意味不明w

514:１３２人目の素数さん
12/05/13 01:07:33.14
n≧5の場合に解は存在しないことを
高校生にも分かるように証明お願いします

515:１３２人目の素数さん
12/05/13 04:48:55.84
>>514
Andrew John Wilesにでも会ってこい

516:１３２人目の素数さん
12/05/13 04:49:39.32
あ、すまんフェルマーの最終定理の話じゃなかったのか
515は忘れてくれ

517:１３２人目の素数さん
12/05/13 05:04:45.31
それもまた好々

518:１３２人目の素数さん
12/05/13 14:44:19.74
>>513 追加
(3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5
を満たす整数a,b,cの組み合わせは7個、その全てでx=log[2]((3a-2b+5c)/2)が整数に
ならずに不適。

519:１３２人目の素数さん
12/05/13 14:55:42.37
>>518　はx>0,y>0,z>0の場合

520:１３２人目の素数さん
12/05/13 19:56:21.99
>>514
kは非負整数とする
mod 8において、3^2≡1，5^2≡1より
　3^(2k)≡1，3^(2k+1)≡3
　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡5
mod 3において、2^2≡1，5^2≡1より
　2^(2k)≡1，2^(2k+1)≡2
　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡2
mod 5において、2^4≡1，3^4≡1より
　2^(4k)≡1，2^(4k+1)≡2，2^(4k+2)≡4，2^(4k+3)≡3
　3^(4k)≡1，3^(4k+1)≡3，3^(4k+2)≡4，3^(4k+3)≡2

n≧5とすると
n!≡0 (mod 8)，n!≡0 (mod 3)，n!≡0 (mod 5)

x,y,zがいずれも負の整数とならないことの証明はここでは省略して
以下いずれも非負整数とする

(i) x≧3のとき
2^x≡0 (mod 8)より、3^y+5^z≡0 (mod 8)
この条件を満たすのはyもzも奇数の場合のみ
yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)、zは奇数なので5^z≡2 (mod 3)より、
2^x≡1 (mod 3)となり、xは偶数
zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より、2^x+3^y≡0 (mod 5)
しかし、xが偶数、yが奇数だと、この条件を満たすことができない
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない
（続く）

521:１３２人目の素数さん
12/05/13 19:57:37.88
（続き）
(ii) x=2のとき
2^x≡4 (mod 8)より、3^y+5^z≡4 (mod 8)
この条件を満たすのはyが奇数、zが偶数の場合のみ
2^x≡1 (mod 3)、yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)より
5^z≡2 (mod 3)となるが、これはzが偶数であることと矛盾
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない

(iii) x=1のとき
2^x≡2 (mod 8)より、3^y+5^z≡6 (mod 8)
この条件を満たすのはyが偶数、zが奇数の場合のみ
2^x≡2 (mod 5)、zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より
3^y≡3 (mod 5)となるが、これはyが偶数であることと矛盾
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない

(iv) x=0のとき
2^x+3^y+5^zは奇数、n!は偶数なので矛盾
よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない

522:１３２人目の素数さん
12/05/13 20:16:51.43
結局答えは
(n,x,y,z)=(3,2,0,0),(3,1,1,0),(4,4,1,1)
の３通りのみ

523:１３２人目の素数さん
12/05/13 20:26:04.23
>>518
＞　(3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5
＞　を満たす整数a,b,cの組み合わせ
(a,b,c)が１組でも見つかれば、
(ka,kb,kc)（kは自然数）も不等式を満たすはずなので、
７個だけというのは意味不明

524:１３２人目の素数さん
12/05/13 20:48:06.39
>>523
3つ不等式を満たす整数の点は、3平面がなす四面体の内部の点であり
(a,b,c)=(454, 543, 334),(454,542,334),(453,546,335),
(453,544,334),(453,547,335),(453,545,334),(453,543,333)

525:１３２人目の素数さん
12/05/13 21:07:49.59
四面体ではなく無限に続く三角柱だから、>>518と>>524は間違だった。

526:１３２人目の素数さん
12/05/13 23:59:26.40
×無限に続く三角柱
○3つの平面により区分けれた領域

527:１３２人目の素数さん
12/05/18 15:30:16.03
(・3・)

528:１３２人目の素数さん
12/05/19 11:11:34.19
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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529:１３２人目の素数さん
12/05/19 22:06:58.43
>>435
　Sが最大のとき、　a,b,c････の差は高々1

(略証)
背理法による。
a,b,････の中に差が2以上のものがあると仮定する。たとえば
　b-a-1 > 0,
とすると
　(a+1)(b-1) = ab + (b-a-1) > ab,
これは、Sが最大であることと矛盾する。（終）

530:１３２人目の素数さん
12/05/19 22:47:42.27
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531:１３２人目の素数さん
12/05/23 08:14:45.57
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532:１３２人目の素数さん
12/05/24 23:58:06.24
ふむ

533:１３２人目の素数さん
12/05/25 03:38:28.60
平面R^2をジョルダン閉曲線で過不足無く覆うことは可能か？
ただし「過不足無く」とは、R^2上の任意の点に対しその点を通るものがただ1つある場合をいう。

534:１３２人目の素数さん
12/05/25 03:40:15.06
>>533の補足。
1個の閉曲線で覆うのではなく、閉曲線の集合を考え、その全体で覆うものとする。

535:１３２人目の素数さん
12/05/26 06:53:09.23
{x^2+y^2=r^2 | r∈R}

536:１３２人目の素数さん
12/05/26 07:32:24.60
{y=(x^3-x+a | a∈R}

537:１３２人目の素数さん
12/05/26 07:46:55.58
>>536は馬鹿

538:１３２人目の素数さん
12/05/26 11:21:16.73
>>536は閉曲線ではなかったので
{x^2/a^2+y^2/(ca)^2=1 | a,c∈R, cは一定}

539:１３２人目の素数さん
12/05/26 11:28:55.12
{x^(2n)+y^(2n)=r^(2n) | n∈N, r∈R, nはn≧1で一定}

540:１３２人目の素数さん
12/05/26 11:35:34.48
点は閉曲線と認めるか

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