面白い問題おしえて～な十六問目

面白い問題おしえて～ ..

34:１３２人目の素数さん
09/11/02 09:45:01
対称性を考えると下式が成り立ち、それぞれを最右式で表す
Pn(表表表)=A[n]
Pn(表表裏)=Pn(表裏表)=Pn(裏表表)=B[n]
Pn(表裏裏)=Pn(裏裏表)=Pn(裏表裏)=C[n]
Pn(裏裏裏)=D[n]

漸化式を作ると
A[n+1]=B[n]
B[n+1]=(1/3)*A[n]＋(2/3)*C[n]
C[n+1]=(2/3)*B[n]＋(1/3)*D[n]
D[n+1]=C[n]
A[0]=1,B[0]=C[0]=D[0]=0

下の組み合わせに変形すると簡単に解け、それぞれ下のようになる
A[n]+D[n]=(1/4){1-(1/3)^(n-1)}
A[n]-D[n]=(1/4){(-1)^n+(1/3)^(n-1)}
B[n]+C[n]=(1/4){1-(-1/3)^n}
B[n]-C[n]=(1/4){-(-1)^n+(1/3)^n}
求められているものはA[n]+B[n]であり、それを計算すると(1/4){1+2*(1/3)^n+(-1/3)^n}

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