面白い問題おしえて～な十六問目

面白い問題おしえて～ ..

292:１３２人目の素数さん
10/07/12 09:07:03
どれも敷き詰めになってない

293:１３２人目の素数さん
10/07/12 14:37:29
ことばの使い方に終始したいなら別の板行った方がいいんじゃないかね

294:１３２人目の素数さん
10/07/12 16:16:37
GREG MARTIN て方の論文
「COMPACTNESS THEOREMS FOR GEOMETRIC PACKINGS」
URLﾘﾝｸ(citeseerx.ist.psu.edu)
では、

任意の正数εに対して
(π^2/6 - 1) + ε の面積をもつ、ある長方形に

＞一辺の長さがそれぞれ1/2, 1/3, 1/4,... となるような可算個の正方形たちを
＞互いに重ならないように敷き詰める方法

が存在する事を証明しています。
私には英語以前に数式が理解できそうもありませんでした。
図も一切ありません。

295:１３２人目の素数さん
10/07/12 22:13:09
>>292
つまり
スカスカになる
が正解、ってこと

296:１３２人目の素数さん
10/07/15 23:51:59
I=[0,1]としf:I→Iとg:I→Iが連続関数でx∈I→f(g(x))=g(f(x))のとき
f(x)=g(x)となるx∈Iがあることを証明せよ

297:１３２人目の素数さん
10/07/16 00:28:47
f (x)＝g(x)なるx∈Iが存在しないとして矛盾を導く。

任意のxに対してf (x)≠g(x)ならば、中間値の定理から、
常にf (x)＜g(x)であるか、あるいは常にf (x)＞g(x)である。
常にf (x)＜g(x)としてよい。

f ：I → Iだから、f は不動点を必ず持つ。不動点の1つをx0と置く。
f (x0)＝x0 だから、f (g(x0))＝g(f (x0))＝g(x0)となる。よって、
g(x0)もまたf の不動点である。そこで、x1＝g(x0)と置く。
以下、同様の作業を繰り返して不動点xnを作ると、
(1) f (xn)＝xn
(2) x_{n+1}＝g(xn)
が成り立つ。f (x)＜g(x)よりxn＝f (xn)＜g(xn)＝x_{n+1}となるので、
xnは単調増加である。また、xn∈Iだから、xnは上に有界である。
よって、xnはあるx∈Iに収束する。(1),(2)でn→∞として、
f (x)＝x及びx＝g(x)を得るので、g(x)＝f (x)となり、矛盾する。

298:１３２人目の素数さん
10/07/16 05:17:22
正解です