面白い問題おしえて～な十六問目

面白い問題おしえて～ ..

289:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
10/07/11 23:19:12
>>288 その愛知の方の解答はすごいですね
あんなのどうやったら思いつくんでしょうか？

290:１３２人目の素数さん
10/07/11 23:35:19
>>289
リンク先の「31～∞」みたいな小さい正方形を一斉に詰め込む方法を考えたら
あとは残りの大きい正方形を詰め込む方法を根性で探す

291:１３２人目の素数さん
10/07/12 08:15:59
>>277
> だから一辺の長さ5/6（面積0.6944....）の正方形にも
> 267の可算個の正方形達を詰め込める方法があるのかもしれません

解答出たけど、昨日から考えてたのが出来たから

URLﾘﾝｸ(damedao.web.fc2.com)

1/24 までの正方形を図のように並べると、
0.23*0.3 の長方形を残せる

1/25 以下の正方形については、
1/n (2^k＜n≦2^(k+1)) の正方形を長方形内に図のように
横方向に 2^(k-2) 個並べるようにする

必要なサイズは

幅
= 1/(2^k+1) + 1/(2^k+2) + … + 1/(2^k+2^(k-2))
＜ ∫[2^k, 2^k+2^(k-2)] dx/x
= ln(5/4) = 0.223

高さ
＜ 1/25 + 1/29 + (1/8)*(1/4+1/5+1/6+1/7) + (1/16)*(1/4+1/5+1/6+1/7) + …
= 1/25 + 1/29 + (1/4)*(1/4+1/5+1/6+1/7)
= 0.264

だから長方形に納まる

292:１３２人目の素数さん
10/07/12 09:07:03
どれも敷き詰めになってない

293:１３２人目の素数さん
10/07/12 14:37:29
ことばの使い方に終始したいなら別の板行った方がいいんじゃないかね

294:１３２人目の素数さん
10/07/12 16:16:37
GREG MARTIN て方の論文
「COMPACTNESS THEOREMS FOR GEOMETRIC PACKINGS」
URLﾘﾝｸ(citeseerx.ist.psu.edu)
では、

任意の正数εに対して
(π^2/6 - 1) + ε の面積をもつ、ある長方形に

＞一辺の長さがそれぞれ1/2, 1/3, 1/4,... となるような可算個の正方形たちを
＞互いに重ならないように敷き詰める方法

が存在する事を証明しています。
私には英語以前に数式が理解できそうもありませんでした。
図も一切ありません。

295:１３２人目の素数さん
10/07/12 22:13:09
>>292
つまり
スカスカになる
が正解、ってこと

296:１３２人目の素数さん
10/07/15 23:51:59
I=[0,1]としf:I→Iとg:I→Iが連続関数でx∈I→f(g(x))=g(f(x))のとき
f(x)=g(x)となるx∈Iがあることを証明せよ

297:１３２人目の素数さん
10/07/16 00:28:47
f (x)＝g(x)なるx∈Iが存在しないとして矛盾を導く。

任意のxに対してf (x)≠g(x)ならば、中間値の定理から、
常にf (x)＜g(x)であるか、あるいは常にf (x)＞g(x)である。
常にf (x)＜g(x)としてよい。

f ：I → Iだから、f は不動点を必ず持つ。不動点の1つをx0と置く。
f (x0)＝x0 だから、f (g(x0))＝g(f (x0))＝g(x0)となる。よって、
g(x0)もまたf の不動点である。そこで、x1＝g(x0)と置く。
以下、同様の作業を繰り返して不動点xnを作ると、
(1) f (xn)＝xn
(2) x_{n+1}＝g(xn)
が成り立つ。f (x)＜g(x)よりxn＝f (xn)＜g(xn)＝x_{n+1}となるので、
xnは単調増加である。また、xn∈Iだから、xnは上に有界である。
よって、xnはあるx∈Iに収束する。(1),(2)でn→∞として、
f (x)＝x及びx＝g(x)を得るので、g(x)＝f (x)となり、矛盾する。

298:１３２人目の素数さん
10/07/16 05:17:22
正解です