面白い問題おしえて～な十五問目

面白い問題おしえて～ ..

2:１３２人目の素数さん
09/01/05 08:04:00
過去ログ
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
まとめwiki
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)

1 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
4 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
5 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
6 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
7 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
8 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
9 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
11 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
12 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
13 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
14 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

3:１３２人目の素数さん
09/01/05 18:06:50
立ってる立ってる

4:１３２人目の素数さん
09/01/05 19:08:45
1乙

それにしてもまた下4桁0か

5:１３２人目の素数さん
09/01/06 14:16:53
sage

6:１３２人目の素数さん
09/01/08 12:25:20
自作問題。群論っぽいけど、群論の理論は全くと言っていいほど使わない。
使っても出来るかもしれんが。

問：Snをn対称群とする。τ∈Snを互換の積で表すことを考える。
このとき必要な互換の個数の最小値をS(τ)と書くことにする。
i＝1,2,…,nに対してXi：＝{τ^k(i)｜k∈Z}とおく。
集合X1,X2,…,Xnのうち、(集合として)異なるものの個数を
C(τ)と書くとき、S(τ)＝n－C(τ)となることを示せ。

7:１３２人目の素数さん
09/01/08 12:26:59
用語の訂正。
×　n対称群
○　n次対称群

8:１３２人目の素数さん
09/01/08 22:37:38
sage

9:１３２人目の素数さん
09/01/09 19:53:55
転載、しかしよく意味わからん

1000　名前：　１３２人目の素数さん　[sage]　投稿日：　2009/01/09(金)　15:43:35　
平面上に半径の等しい４つの円がある。　
この４つの円は互いに重なることなく自由に動くものとする。　
このとき、４つの異なる円周によって作られる領域の最大値を求めなさい。　

10:１３２人目の素数さん
09/01/09 20:15:13
アステロイドみたいな形の部分の面積？

11:１３２人目の素数さん
09/01/10 07:29:15
閉曲線によって囲まれた部分の面積の最大値を求めよ。ってことじゃね？

…てか、意味は分かるんだが、言葉で伝えにくいな。

12:１３２人目の素数さん
09/01/10 07:59:19
図を書けばよかったんでないかい

13:１３２人目の素数さん
09/01/10 14:29:59
(1)xを実数の定数とするとき
a[n+1]=a[n]/2+x/a[n]
で定義される数列a[n]が収束するa[1]の条件を求めよ

(2)x,yを実数の定数とするとき
a[n+1]=a[n]/y+x/a[n]
で定義される数列a[n]が収束するa[1]の条件を求めよ

14:１３２人目の素数さん
09/01/10 16:08:25
>>11
円を隙間なく並べたときにできる三角や四角（ただし辺は直線ではなく円弧）の空間ってこと？

15:１３２人目の素数さん
09/01/11 11:48:06
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
これで伝わるはず。

16:１３２人目の素数さん
09/01/11 12:13:31
なんかパッと見で
１変数の関数で表せそうな気がするんだが

17:１３２人目の素数さん
09/01/11 12:37:47
これ見ると4つの円が他の2つの円と接触していて、かつ
正方形の頂点上に円の中心が来るような並び方が最大になるようにしか見えない・・・
何処に引っ掛けがあるんだろう。

18:１３２人目の素数さん
09/01/11 14:29:42
>>17
証明するのが大変なんじゃないの？

19:１３２人目の素数さん
09/01/11 15:06:33
こんな解答はどうか？

円の半径は1としてよい。一辺の長さが2である任意の平行四辺形Tを考える。
Tの頂点を中心とした半径1の円を各頂点に対して書く(4つ書ける)。
[これら4つの円]∪T の面積をS＝S(T)とすれば、Tを動かしたときのS(T)の
最大値が求める値である。S(T)＝[Tの面積]＋[半径1の円の面積]＝[Tの面積]＋π
であるから、Tの面積の最大値を求めればよい。Tが正方形のとき
最大であることは明らか。

20:１３２人目の素数さん
09/01/11 15:21:19
>>19
ちょうど同似たような回答書こうとしてたら先こされた
ちなみに俺は問題の面積は[これら4つの円以外の部分]∧Tと思ってた（否定の記号の出し方がわからんかった）
まあ大して変わらんが
多分あってるんじゃないかな
ちなみにある円の中心角をθとすれば（0<θ<=π/2）
T=4sinθだからθ=π/2で最大値だね

21:１３２人目の素数さん
09/01/11 16:41:17
改題でもして遊ぼうか

平面上に半径rの３つの円と半径nrの円がある。
この４つの円は互いに重なることなく自由に動くものとする。
このとき、４つの異なる円周によって作られる領域の最大値を求めなさい。
ただし、n及びrは実数で、非0

22:１３２人目の素数さん
09/01/11 16:41:57
×非0　○非負

23:１３２人目の素数さん
09/01/11 20:12:42
円の個数をM個にしたバージョンも考えられるな。
>>19と同じやり方で解けちゃうけど。

24:１３２人目の素数さん
09/01/11 20:36:46
線形台数の本をゲットした。

「人口の推移を予測するのに、行列を用いた
人口推移モデルが使われる。
ある地域には、100万人が住んでおり、
そのうち都市に60万人、
農村に40万人が住んでいる。
毎年、、都市では9割がそのまま住みつづけ、
1割が農村に移住する。

農村では8割が住みつづけ、
2割が都市に転出する。
この場合、人口の推移はある点（均衡点）に向かい、
そこで安定する。」

って書いてあるんだが、本当？
へぇ～って感じなんだけど。

25:１３２人目の素数さん
09/01/11 21:24:19
均衡点での都市の人口をx万人とすると農村の人口は(100-x)万人で、
都市残留+上京=都市人口で立式して
0.9x+0.2(100-x)=x
0.7x+20=x
20=0.3x
x=200/3
こうか？本当は均衡点の存在証明をこれの前にやらないかんのだろう
ロジスティック式の極端に簡単な例に見えた
詳しくやったことないから知らんけど

26:１３２人目の素数さん
09/01/11 22:10:27
>>13 (1)

・x>0 のときは定符号。σ=Sgn(a[1]) とおく。
　σ･a[n]/√(2x) = b[n] とおくと b[n] >0, 漸化式は
　b[n+1] = (1/2){b[n] + 1/b[n]},
　・b[1] =1 のときは b[n] =1　　(収束)
　・b[1] ≠1 のとき
　　b[n] = 1／tanh(2^(n-1)･α),　(n>1) → 1 (収束)
　　ここに α = (1/2)log((1+b[1])/|1-b[1]|),

・x=0 のとき a[n] = a[1]/{2^(n-1)}, → 0　(収束)

・x<0 のとき a[n]/√(2|x|) = b[n] とおくと、漸化式は
　b[n+1] = (1/2){b[n] - 1/b[n]}, 　
　b[n] = 1／tan(2^(n-1)･β), 　(非収束)
　ここに β= arctan(1/b[1]),

27:１３２人目の素数さん
09/01/12 00:39:22
>>24
列ベクトルで人口を表す。
初期状態は(60,40)
次の年は、(54+8,32+6)=([0.9,0.2],[0.1,0.8])(60,40)
同様に考えるとn年目は、([0.9,0.2],[0.1,0.8])^n(60,40)であり、n→∞での収束点が均衡点である。
計算は勝手にやって下さい。

28:１３２人目の素数さん
09/01/12 01:03:55
暇だし計算してみた
a[n]=(1/10)^n * ([9,2],[1,8]) * (60 40)
として
A=([9,2],[1,8])
とすると、
A^n=(1/3) * ([7^n+2*10^n,-2*7^n+2*10^n],[-7^n+10^n,2*7^n+10^n])より
lim[n→∞] a[n]=1/3 * ([2,2],[1,1]) * (60,40) = (200/3,100/3)
よって均衡点では都市におよそ67万人、農村におよそ33万人

29:１３２人目の素数さん
09/01/12 02:46:22
もしかしてこの板って行列式の話できないの？（MathMLとかないから）

30:１３２人目の素数さん
09/01/12 04:53:01
28だが、行列の固有ベクトルを作る時と逆行列作る時とに使う奴だよね？って程度の認識。
あれって他に何か利用法あるのかな。

ちなみに当方高校生なのでググれば出る程度の語彙の範囲で説明頼みたい

31:１３２人目の素数さん
09/01/12 05:21:52
>>30
誰にレスしてるの。29 だったら 29 の文意を大幅に取り違えてるぞ。

32:１３２人目の素数さん
09/01/12 11:37:32
>>31
29他がこれから話す事が理解できなかったら結構残念なんで
このスレに来てる人に教えてもらえたらいいなという駄目人間やってました

そろそろセンター対策しないと・・・

33:29
09/01/13 16:44:03
漏れが言ったのは、
MathMLとかTeXとかが使えれば、
行列とか行列式とかをWEBで表記できるから
話ができるけど、そうでないなら、
わざわざ画像にして貼り付けなければならないから、
行列とか行列式の話がとってもやりにくいね！

って意味だったのだけれど。

34:28
09/01/13 23:05:30
やっと把握したorz
文字見て理解できるから問題ないんじゃないかな
それより他に作って解く問題があるし

どうでもいいけどクラスにTeXをテックスと発音する人が居るんだが、放っておいてもいいかな

35:１３２人目の素数さん
09/01/14 00:17:33
恥をかけばすぐに治るので、そのままにしておくとよい

36:１３２人目の素数さん
09/01/18 15:40:03
雑誌でみかけた。

四角形ＡＢＣＤで角ＡＢＤ＝３９度、角ＤＢＣ＝２４度、角ＢＣＡ＝１８度、角ＡＣＤ＝５７度のとき、
角ＢＤＡ＝１５度となることを証明せよ

できんのか？

37:１３２人目の素数さん
09/01/18 21:58:06
CADとADBとの角度がそれぞれ出てこない。足したら42度なのはすぐ分かるんだが。

他の角度はBAC=99,BDC=81

38:１３２人目の素数さん
09/01/19 00:40:35
点A,Bの座標を(0,0),(1,0)としてDの座標を計算すると
D=((tan39°+ αtan42° + β)/(tan39°+tan42°),(tan39°((α-1)tan42° + β))/(tan39°+tan42°))
である。
ただし上の式でαとβは
α=tan63° /(tan63°-tan81°)
β=tan63°tan81°/(tan63°-tan81°)
とする。
これで直線ADの傾きが出るのでtan15°と一致する事を示せばよい。
あとは誰か任せた

39:１３２人目の素数さん
09/01/19 00:59:05
良く考えたら一致するかどうか確かめるのは
tan15°じゃなくてtan(15°+∠ABD)だった。

40:１３２人目の素数さん
09/01/19 19:28:43
>>38
その方針でやってみたら、機械的に求まったけど、膨大な計算になった

AD の傾き a とすると
a = tan(∠BDA + ∠ABD) = tan(∠BDA + 39°)
∴ tan(∠BDA) = (a - tan(39°)) / (1 + a*tan(39°))
>>38 より
tan(∠BDA) = t39 (t81 - t63) (t39 + t42)
/ (t63(t39 + t42) + t81(t63 - t39) + (t39)^2 t81 (t42 + t63))
　　(t39 は tan(39°) の意味、他も同様)

t39 = (4-3√3-2√5+√15 + (-1+2√3+√5)√(5-2√5)) / 2
t42 = (√3+√15 - (3+√5)√(5-2√5)) / 2
t63 = -1 + √5 + √(5-2√5)
t81 = 1 + √5 + (2+√5)√(5-2√5)
より
tan(∠BDA) = (297-170√3-131√5+76√15 + (-94+55√3+44√5-25√15)√(5-2√5))
/ (84-43√3-34√5+21√15 + (-23+16√3+13√5-6√15)√(5-2√5))

分母、分子に
84-43√3-34√5+21√15 - (-23+16√3+13√5-6√15)√(5-2√5)
を掛けて分母の √(5-2√5) を消す

tan(∠BDA)
= (89-53√3-41√5+23√15) / (19-17√3-13√5+5√15)
= 1/(2+√3)
= tan(15°)

41:１３２人目の素数さん
09/01/19 20:14:58
>>40に敬礼

42:１３２人目の素数さん
09/01/19 20:24:27
では次は初等幾何で。

43:１３２人目の素数さん
09/01/19 22:18:47
任意の三角形ABCにおいて、各辺を底辺とする三つの正三角形を△ABCの外部に描く。
三つの正三角形の重心を結んでできる三角形は、やはり正三角形であることを示せ

44:１３２人目の素数さん
09/01/19 22:29:33
>>36の証明を初等幾何で。

45:１３２人目の素数さん
09/01/20 03:33:59
>>43
ポルナレフの定理でつね

46:１３２人目の素数さん
09/01/21 14:39:16
2項係数C(n,k)=n!/{k!(n-k)!}が奇数であるための条件は、
n,kを2進数で表したとき、各位のビットについてそれぞれ
kのビットが1ならばnのビットも1であることである。
これを証明せよ。

47:１３２人目の素数さん
09/01/22 19:24:56
a[1]=b[1]=1
a[n+1]=a[n]-b[n]
b[n+1]=a[n]+3*b[n]
を満たす数列a[n],b[n]がある。
(1)a[n]+b[n]を求めよ
(2)a[n],b[n]を求めよ

48:１３２人目の素数さん
09/01/22 19:35:17
扉が左右2つあり一方は天国､もう一方は地獄への扉です
扉の前に門番が3人(3人ともどちらが天国への行き先か知っている)がいます
門番の内､
一人はいつでも正直な事を言う正直者
一人はいつでも嘘をつく嘘つき
一人は適当に｢はい｣か｢いいえ｣で答えます
3人の門番は見た目では区別できません
また､門番への質問は合わせて2回までしかできません
さらにこの3人の門番は｢はい｣か｢いいえ｣の2つの返事しかしません
この門番たちにどの様な質問をすればどちらが天国への扉かが判るでしょうか？

49:１３２人目の素数さん
09/01/22 19:59:47
1回でわかる気がするといってみるテスト

50:１３２人目の素数さん
09/01/22 20:18:27
京都+大阪＝東京
これを証明せよ

51:１３２人目の素数さん
09/01/22 20:31:06
質問できる相手は１回にひとりなんじゃないの？

52:１３２人目の素数さん
09/01/22 21:33:23
まずランプの精を呼び出して質問の数を増やしてもらう

53:１３２人目の素数さん
09/01/23 00:58:35
>>47宿題乙
答えだけ書いとくね。
(1)2^n
(2)an=(2-n)2^(n-1),bn=n*2^(n-1)

54:１３２人目の素数さん
09/01/23 02:53:41
>>48
３人の門番をａ、ｂ、ｃと呼ぶ。
【１回目の質問】：ａに対し、「あなたは、『ｂは適当に答える門番（以下Ｔと呼ぶことにする）
ですか？』と聞かれたら、『はい』と答えますか？」
ａがＴでないのなら、（仮に嘘つきであっても）「この質問へのａの返事が『はい』」⇔「ｂはＴ」
が成り立つことに注意すると、
「この質問へのａの返事が『はい』」ならば、ａがＴか、さもなくばｂがＴなので、
ｃはＴでない。
「この質問へのａの返事が『いいえ』」ならば、ａがＴか、さもなくばｂがＴでないので、
ｂはＴでない。
【２回目の質問】：１回目の質問で、Ｔでないと判明した門番に対し、
「あなたは、『右が天国への扉ですか？』と聞かれたら、『はい』と答えますか？」

55:１３２人目の素数さん
09/01/23 07:56:09
>>54
それだと、問題文に加えて
「３人の門番は、互いに、誰がどんな性格であるか知っている」
という条件が必要になるのでは。

56:１３２人目の素数さん
09/01/24 06:54:44
２つとも天国に行きますか？ー＞いいえ、はい、？

57:１３２人目の素数さん
09/01/24 07:02:15
みぎは天国に行きますか？ー＞いいえ、はい、？ー＞左が正解

58:１３２人目の素数さん
09/01/24 10:13:04
URLﾘﾝｸ(www.sciencedaily.com)

59:１３２人目の素数さん
09/01/24 17:39:42
F(x)=x+(1-x)+(1,0)
F(0)=0+1+(1,0) 0+1+0->2=F 0+1+1->0=T
F(1)=1+0+(1,0) 1+0+1->T=1 1+0+0->T=1

60:１３２人目の素数さん
09/01/25 04:50:44
>>48の問題をクリアするには２つを満足させる必要がある。

１）　どちらか一方の門が天国または地獄への門であることを確定させる。
２）　１）を確定させるための質問をする相手が、適当に答えるひと以外であることがわかっている。

１）はまあ当然として、２）については、質問の答がランダムな「はい/いいえ」でないための保障として必要。
もし尋ねた相手が適当に答えるひとだったら、その答には価値のある情報を含まないので。

正直、嘘吐きの定義からすると、はい、いいえ、で答えられない質問には答えてくれなさそうだ。
しかし、もうひとりは、どんな質問にでも「はい」か「いいえ」という答を返すようである。
たとえば、「あなたの年齢はいくつですか？　」という質問に、正直と嘘吐きは答えないが
適当なひとは、「はい/いいえ」のどちらかを答えるだろう。
先の質問は、質問した相手が適当に答える人なのかそうでない人なのかを特定することができそうだ。

そこから先は、もうよくある問題と同じ。

61:１３２人目の素数さん
09/01/25 12:56:25
基本は、１回目で適当に答える人ではない人を１人探すこと。

１回目の質問：正直者は「はい」、嘘つきは「いいえ」と答えるような質問をする。
（「あなたは門番ですか」等）
すると、適当に答える人はそのどちらかと答えが重複するので、重複しなかった人を対象に
２回目の質問をすればＯＫ。

１回目でこの手のパズルでよくあるようなややこしい質問をしようと考えるから
かえって難しく見えるが、少数決に気付けば実はシンプルな問題。

62:１３２人目の素数さん
09/01/25 14:39:12
>>61
一度に複数の人に質問できるなら、そんなめんどくさいことしなくても
54の方法で「『右が天国への扉ですか？』と訊かれたら『はい』と答えますか」と訊けば49の言うように1度で済むじゃんよ

63:１３２人目の素数さん
09/01/25 15:03:35
>>62
そうか。通りがかりで適当に答えたら失敗したな。すまん。

では改訂版
１回目：「質問した相手が嘘つきか正直者だと仮定すると、残りの２人のうち嘘つきか正直者を特定できる」ような質問をする。
たとえばａに「『ｂが嘘つきであるか、またはｃが正直者である』という命題は正しいですか？」ときく。
答えが「はい」なら、ｂが嘘つきまたは正直者、「いいえ」なら、ｃが嘘つきまたは正直者。
その結果嘘つきまたは正直者のどちらかであると判明した１人に２回目の質問をすればいい。

結局>>54と同じだな。（そこで終わってた話題であったか。重ねてすまん）
>>55の条件はやっぱり必須だろう。

64:１３２人目の素数さん
09/01/25 15:23:25
> >>55の条件はやっぱり必須だろう。

>>60で否定的に解決してるじゃん。

65:54
09/01/25 20:55:05
>>60はある意味とんちクイズみたいな答えだと思ったけど、
確かに問題文には、「はいかいいえで必ず答えられる
質問しかしてはいけない」（※）って断りはないね。

ところで>>55の条件が絶対要るって示せるんだろうか？
（正確には、それプラス上の※の条件）

古典的な命題論理みたいな議論でいけるかと思ったけど
頭が混乱してきてわからんくなった・・・。

xに対して真偽が問える命題の集合を、
Hx:xは正直者
Lx:xは嘘つき
Tx:xは適当に答える
R:天国への扉は右
とその論理演算で書けるもの全体として、
命題Pに対する返事が仮に「いいえ」だったら、
(Hx∧￢P)∨(Lx∧P)∨T

・・・みたいな感じで。

66:１３２人目の素数さん
09/01/25 23:57:54
>>50
KYOTO+OSAKA=TOKYO
これに数字を当てはめて完成させればいいの？

67:65
09/01/26 00:45:46
一応きちんと書いてみる。
（この定式化で果たして合っているんだろうか？？当方論理学には不慣れなので・・・）
門番x(=a,b,cと名づける)に対して真偽が問える命題(>>65)のことを
P(x)などと書くことにして、
示すべきは、

『・Xa,Xb,Xc(X=H,L,T)の排他的論理和が真
・Hx,Lx,Tx(x=a,b,c)の排他的論理和が真

→

∀x,∀P(x),(

((Hx∧P)∨(Lx∧￢P)∨Tx
→
∀y,∀Q(y),(
(￢((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R)))
∨(￢((Hy∧￢Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R))))

∨

((Hx∧￢P)∨(Lx∧P)∨Tx
→
∀y,∀Q(y),(
(￢((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R)))
∨(￢((Hy∧￢Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R))))

)』

68:１３２人目の素数さん
09/01/26 00:54:52
>>67
論理パズルは真理表書いたら瞬殺だよ

69:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:02:29
あー、括弧やら否定やらがいろいろ狂ってる・・・
心の目で読んでほしいけど根本的に間違ってるかも。

70:１３２人目の素数さん
09/01/26 07:28:01
常に「はい」と言う嘘吐き。

71:１３２人目の素数さん
09/01/27 16:14:12
URLﾘﾝｸ(myhome.cururu.jp)
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
w

72:１３２人目の素数さん
09/01/27 18:02:34
嘘吐きは、常に嘘を言うひとではなく、嘘も言うひとのことだ。

73:１３２人目の素数さん
09/01/27 20:46:27
そのとおり。
そして正直者は、常に正しいことを言うひとではなく、正しいことも言うひとのことだ。

74:１３２人目の素数さん
09/01/27 20:47:01
それは違うwｗ

75:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:16:07
箱が2009個並んでいて、
どれか1つに「当たり」と書かれた紙が入っている。
その箱より右の箱には「左」と書かれた紙が、
左の箱には「右」と書かれた紙が入っている。
（つまり、当たりの箱がある方向を示している。）
これらの箱から1つずつ選んで開けていき、
当たりの箱がどの箱か特定できたら終了とする。
開ける箱の個数の期待値を最小にするには
どうすればよいか。

76:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:17:05
二分探索でやれば最小だろうな。

77:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:23:25
最悪ケースの最小値なら二分探索だろうけど、平均もそうなんだろうか。

78:１３２人目の素数さん
09/01/28 15:33:05
>>75
頼むから、
「どの箱があたりである確率も1/2009である」ということを
条件として書いてくれ。

79:１３２人目の素数さん
09/01/28 21:47:55
>>78
条件：どの箱があたりである確率も1/2009である

80:１３２人目の素数さん
09/01/28 22:10:29
>>79
頼むから、
馬鹿にしないでくれ。

81:１３２人目の素数さん
09/01/29 01:28:11
どの箱があたりである確率も1/2009である

82:１３２人目の素数さん
09/01/29 01:46:43
「当たりの箱がどの箱か特定できたら終了」
ってのがポイントかな？
「当たりの箱を開けたら終了」
ってのと微妙に違う。
箱の個数が少ない場合を計算してみると、
つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。
誰かプログラム組んで計算してほしいんだけど。

83:１３２人目の素数さん
09/01/29 02:16:00
986番目くらいがいいな

84:１３２人目の素数さん
09/01/29 12:49:22
>>82
＞　箱の個数が少ない場合を計算してみると、　
＞　つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。

kwsk

85:１３２人目の素数さん
09/01/29 13:53:49
素朴な二分法が、ベストではない、最も、単純なケースは箱が５個の場合
最初に真ん中（３番目）の箱を開ける場合
１／５の確率で１回で特定可能、４／５の確率で２回で特定可能、従って、９／５回
最初に、２番目の箱を開ける場合
２／５の確率で１回で特定可能、３／５の確率で２回で特定可能、従って、８／５回

箱の数が19個の場合

10－5,15－2,7,12,17－3,8,13,18
（一回目は10番目、２回目は5番目か15番目、．．．の意）
これは、当たりが3,4,8,9,13,14,18,19の何れかであった場合は、４回目の開封を
行わなければならない方法である。

しかし、次のような方法もある。
8-4,12-2,6,10,16-14,18
これは、当たりが、13,14,15,17,18,19の何れかであった場合だけ、４回目の開封を
行わなければならない方法である。

86:１３２人目の素数さん
09/01/31 23:45:58
お金を預けると1年毎に1/2の確率で2倍か2分の1になる銀行があります(端数もきちんと計算する)

(1)この銀行に1万円あずけた時,10年後は平均で何円になってるでしょうか
(2)同じ銀行が10店舗あって､それぞれに1年,1万円ずつ預けたら1年後の期待値は?
(3)同じ銀行が無限店舗あって,10年間で手持ちの1万円をできるだけ増やすのに最適な預け方は?
また,その時の期待値は?

87:１３２人目の素数さん
09/02/01 00:21:46
n年後に最初の金が2^(2k-n)倍になっている確率はnCk/2^n
(1)は二項定理で計算して(5/4)^10(万円)
(2)(3)は線形性から預け方によらずn年後に(5/4)^n倍になる

88:１３２人目の素数さん
09/02/01 01:31:19
>>86
「最適な」の定義にもよるな。
期待値ではなく「得する可能性」を上げたいなら、分散投資するけど

89:１３２人目の素数さん
09/02/03 13:13:32
p1～pnの中から最大のものを取り出す関数max（p1,p2,p3,….,pn)　と
最小のものを取り出す関数min（p1,p2,p3,….,pn)を使って　
５個の要素から中央値（昇順または降順に並べた際の３番目の数値）
を取り出す関数　mid(p1,p2,p3,p4,p5)　を作れ。

90:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:27:10
min(max(pi,pj,pk)[1≦i<j<k≦5])かなあ。

91:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:41:22
>　[1≦i<j<k≦5]
ココの意味がわからん。　繰り返しの指定とかなの？　

92:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:49:26
iｊｋが条件を満たす
max(pi,pj,pk)を全部という意味じゃないか？

書き下すなら
max(p1,p2,p3),max(p1,p2,p4),max(p1,p2,p5),max(p1,p3,p4),max(p1,p3,p5),
max(p1,p4,p5),max(p2,p3,p4),max(p2,p3,p5),max(p2,p4,p5),max(p3,p4,p5)
になる。

93:90
09/02/03 19:57:42
フォローｻﾝｸｽ。min[1≦i<j<k≦5](max(pi,pj,pk))と書くべきだったか。

94:１３２人目の素数さん
09/02/03 20:27:56
なるほど、テクニカルで面白いな。
数式処理ソフトで使えそう。

95:１３２人目の素数さん
09/02/03 21:07:30
5->3->1

96:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:09:55
加減乗除と絶対値記号のみを使って
5個の要素から中央値（昇順または降順に並べた際の3番目の数値）
を取り出す関数 mid(p1,p2,p3,p4,p5) を作れ。

97:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:33:32
max(a,b)を作ればminも、n変数のmax,minも出来る。

max(a,b)=(|a-b|+a+b)/2 以下関数合成を繰り返す

98:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:49:30
n個の数の中で大きいほうから数えてm(<n)番目の数を与える関数を
f_{n,m} (p1, ........., p_n)とする。
max{x,y}、min{x,y}から関数合成を行うことによって
決して構成できないようなf_{n,m}は存在するか。
無いならそのことを示し、あるならば反例を与え、そのnとmに対して
関数合成によって決してf_{n,m}にならないことを示せ

99:１３２人目の素数さん
09/02/04 04:04:08
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

100:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:03:40
>>98
任意個の変数のmax、minは容易に作れるから、
あとは>>90と同じやりかたでf_{n,m}も作れる

101:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:30:55
>>99
直感的には、n個から重複を許してr個とるわけだから、
まず種類１をn-m個、次に種類２をn-m-l個、・・・ととるのだと考えれば成り立つ。

nH1,1Hn=1に対しては成立。（r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1
だと解釈）
n+rに関する帰納法。この和がn+r-1のときまで成り立っているなら、
nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
=Σ[m=1,n-1]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) } + Σ[l=1,n]…(Σ[j=1,k]j)
=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
よりこの和がn+rのときも成り立つ。

102:101
09/02/04 18:48:56
miss!
>nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
nHr=(n+r-1)Cr=(n+r-2)Cr+(n+r-2)C(r-1)=(n-1)Hr+nH(r-1)

103:101
09/02/04 20:32:20
あ、
>r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1 だと解釈
r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=n だと解釈
しないとうまくいかないな。
こうしておけば帰納法はうまく進むので問題なし。

104:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:31:41
>>99
多項式(x+1)^(n+1)-1を考える。二項定理から(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]C[n+1,k+1]x^(k+1) …(1)
(ここでC[n,k]は2項係数を表す。)一方、
(x+1)^(n+1)-1={(x+1)-1}Σ[k=0,n](x+1)^k=xΣ[k=0,n]Σ[l=0,k]C[k,l]x^l
右辺を整理すれば(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]{Σ[l=k,n]C[l,k]}x^(k+1) …(2)
(1),(2)の係数を比較することでC[n+1,k+1]=Σ[l=k,n]C[l,k]を得る。
書き直せばC[n+k,k+1]=Σ[l=1,n]C[l+k-1,k] これより
Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]j_(r-1)
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]C[j_(r-1),1]
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-3)]C[j_(r-2)+1,2]
=…
=Σ[j_1=1,n]C[j_1+r-2,r-1]
=C[n+r-1,r]
=H[n,r]

105:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:58:39
>>99
nHr = (r+1)H(n-1) は、次の非負整数解の個数と同じ
x_1 + x_2 + … + x_{r+1} = n-1.
そこで、
y_i = 1 + x_1 + x_2 + … + x_i (i = 1, 2, ..., r+1)
と換えると、
1 ≦ y_1 ≦ y_2 ≦ … ≦ y_r ≦ y_{r+1} = n.
これを数えると、題意の等式を得る。

106:１３２人目の素数さん
09/02/07 15:58:51
つURLﾘﾝｸ(www.sonnyradio.com)

107:１３２人目の素数さん
09/02/11 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:35:25
>>107
n=1 のときは等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n についてたす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

109:１３２人目の素数さん
09/02/13 06:16:35
>48
1+1=2?
天国は右？

110:１３２人目の素数さん
09/02/13 15:59:43
a[1]=1,a[2]=3,b[1]=1,b[2]=1
a[n+2]=(4n+2)a[n+1]+a[n]
b[n+2]=(4n+2)b[n+1]+b[n]
とするとき
lim[n→∞]a[n]/b[n]を求めよ

111:１３２人目の素数さん
09/02/15 04:01:43
(改変転載)

一辺が１の正四面体Ｔが、厚さの無視できる壁に開いた
半径ｒの円形の穴を通過する。半径ｒの最小値をもとむ。

112:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:06:27
>>111
>もとむﾜﾛﾀ

外接円考えてr=1/√2じゃないの？

113:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:09:39
よく見たら正四面体か。
r=1/√3かな。

114:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:20:04
ばかｗ

115:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:41:24
(0,0,0),(1/√2,1/√2,0),(1/√2,0,1/√2),(0,1/√2,1/√2)
を結んだ正四面体を考えてr=1/2

116:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:06:12
転載

◆ わからない問題はここに書いてね２５５ ◆
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

215 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 03:59:34
>>213 >>214
1/2より小さくできると思う。
正四面体をOABCとし、OBとOC上にそれぞれM,Nを取ったとき、
△AMNの外接円の半径の最小値が答えになると予想。

ちなみにM,NをOB,OCの中点としたときは9/(8√11)≒0.34。
この付近に最小値を与える点があるはずなんだが、
式が爆発して手が着けられなくなった。

225 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 15:26:47
>>215
なぁ、本当に0.34まで小さくなるか？

ちょっとやってみたんだが
O(0,0,0) A(Sqrt[3]/3,0,Sqrt[6]/3) B(Sqrt[3]/2,1/2,0) C(Sqrt[3]/2,-1/2,0)
としてOM:MC=s:1-s,ON:NB=t:1-tと置いて内積使って正弦定理を書き直して求めてみた。
URLﾘﾝｸ(www2.uploda.org)
どうもそんなに小さくならなさそうなんだが……俺なんか間違えたかな？

117:116
09/02/15 20:08:33
上の 225 の外接円の半径 R は
R^2 = (1-s+s^2)(1-t+t^2)(s^2-st+t^2)/(3s^2-2st+3t^2 - 2st(s+t) + 3s^2t^2)
で、これは自分(≠225)も確認

ただし、△AMN が円に納まる条件は
min(R, (1/2)max(AM, AN, MN)) ≦ r
max のほうは鈍角三角形の場合

118:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:35:00
確か「幾何学の散歩道」か何かに、
一辺1の立方体に穴を開けて別の立方体を通したい。
通る立方体の一辺の長さの上限を求めよ、みたいな問題があって
1よりも何%か大きくなるとかなんとかで、結構意外な問題だったと思う。
手元にたぶん無いんでアレだが。

119:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:27:18
>>111
　r = 0.44780569665327156030029247262839…
らしいよ。
>>116-117
　漏れもそんなに小さくならなさそうだとｵﾓﾀ.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:284-286番)
数学セミナー

120:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:50:44
>>117
鈍角三角形ってなりえるかな？

121:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:30:53
(i)
xy平面上に4個の点O,A1,A2,A3がある。
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値を求めよ。

例
O(0,0) A1(0,1) A2(1,0) A3(1,1)とすると
α=2+2√2、β=4よりα/β=(1+√2)/2

(ii)
3次元ユークリッド空間上にn個の点O,A1,A2,A3,…,A[n-1]がある。(ただしn≧4)
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3,…A[n-1]を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値はnの式で書けるか？書けないならその事をを示せ。

122:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:47:19

「面白い」の定義を数式を用いて述べなさい。

【配点　5 点】

123:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:27
面白い⊆興味深い

124:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:55
interesting と funny で区別とかするよね

125:１３２人目の素数さん
09/02/15 23:02:51
数学でfunnyってどういうのだろう？
文体なんかでfunnyに見せるのであれば芸がないな

126:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:04:42
>>120
なる
自分は t=0 で s→0 にすると R が変な値になって気がついた

127:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:18:13
>>125
「点」「直線」「平面」を「机」「椅子」「ジョッキ」と言い換える

128:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:53:41
n枚のコインを全て裏向きにして円形に並べ、
そのうちの1枚をスタート地点としてそこにコマを置く。
この状態から、
(1)表向きになっているコインの枚数だけ時計回りにコマを進め、
(2)コマの位置にあるコインをひっくり返す
という操作を繰り返しおこなう。
ただし、最初の状態では表向きのコインが0枚なのでコマは動かさない。

全部のコインが表向きになるのは、nがどのような数のときか？

129:１３２人目の素数さん
09/02/16 02:23:24
>>122
limit[white→tail](dog)

130:１３２人目の素数さん
09/02/16 10:35:13
(俺用メモ)

>>117 の R が最小値を取るのは
s = t,
3s^3 - 6s^2 + 7s - 2 = 0
のとき

これを解いて
s = t
= (2 + (√43-4)^(1/3) - (√43+4)^(1/3)) / 3
= 0.39125971
のとき最小

このとき最小値は
R
= √(1 + (12+√43)(√43-4)^(1/3) - (12-√43)(√43+4)^(1/3)) / (6√2)
= 0.447805697

131:１３２人目の素数さん
09/02/16 22:55:09
>>128

裏=○,表=●,コマの位置=☆,★
[○]→［★］
[○○]→[★○]→[●★]
[○○○]→[★○○]→[●★○]→[☆●○]→[○☆○]
[○○○○]→[★○○○]→[●★○○]→[●●○★]→[●●★●]
[○○○○○]→[★○○○○]→[●★○○○]→[●●○★○]→[●☆○●○]→[●○○☆○]
→[●○○○★]→[●★○○●]→[●●○○☆]→[●☆○○○]→[●○★○○]→[●○●○★]
→[●○☆○●]→[●○○○☆]→[☆○○○○]
以下、"→・・・→"(n個)でn手先を表すことにする
[○○○○○○]→→→[●●○★○○]→→[○●★●○○]→→[○●●☆○●]→→[●●●○★●]→[●●●★●●]
[○○○○○○○]→→→→[●●○●○○★]→→[●●○○○○☆]→→→[●○●○★○○]→→→[○○○★●○○]
→→[○★○●●●○]→→→→[○○○○☆○○]

以下同様に20枚まで調べていくと、全部表向きになった枚数は(カッコ内は手数)
1(1),2(2),4(4),6(10),8(8),12(44),16(16),20(3116)
また、それ以外の枚数で、全部裏にもどってしまったときの手数は
3(4),5(14),7(18),9(14),10(24),11(58),13(34),14(12),15(158),17(1430),18(792),19(2216)

もしやとおもって、32枚、64枚のときを調べてみるとそれぞれ32手、64手で全部表になった。
ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
それ以上は分からないし証明も出来ない。

132:１３２人目の素数さん
09/02/17 00:42:13
>>110
勘だけどeだと思う

133:１３２人目の素数さん
09/02/17 04:46:53
＞ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
これは簡単。mod 2^nにおいてk(k＋1)/2 (k＝0,1,2,…,2^n－1)は全て異なる。

134:１３２人目の素数さん
09/02/20 20:21:12
>>121の(i)って2になる気がする。
でもどうやって証明しよう。

135:１３２人目の素数さん
09/02/21 09:51:02
問題というよりは質問にちかいのだけれども…

平面上にいて見える景色について考える。

球面上(曲率が正の平面)にいる場合、地平線は水平よりも少し下に周囲一周円を描いて見えるはず。
曲率が０の平面にいる場合、地平線は水平に無限のかなたに周囲一周見えるはず。
では曲率が負の平面に立っている場合、地平線はどういう形に見えるんだろう？

136:１３２人目の素数さん
09/02/21 11:13:26
曲率が負なら球面の中みたいになるでしょ。

137:１３２人目の素数さん
09/02/21 20:08:25
>>136
曲率が負というのはそういう意味じゃない。
いわゆる馬の鞍のような曲面が負の曲率を持つもの。

球面はどこをとっても同じ正の曲率だが、
どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
きれいに収めることはできない。

曲率は、その面が空間内でどういう形に収められているかとは
関係なく決まっているもので、たとえば紙を丸めてロール状にしても
その曲率は０で変わらない。なので、>>135の考えていることも
曲率を持ち出して議論すること自体ナンセンス。

138:１３２人目の素数さん
09/02/23 08:31:02
なるほど

139:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:28
ナ、ナ、ナ、ナンセンス！

140:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:59
>>137
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。

141:１３２人目の素数さん
09/02/23 17:10:16
>>140
できるの？

142:１３２人目の素数さん
09/02/23 21:48:31
だまされるな、>>140は>>137に恋心を抱いているだけだ

143:１３２人目の素数さん
09/02/23 22:53:50
空間が無限なら収まるってはなしじゃないの

144:１３２人目の素数さん
09/02/24 13:25:42
無限なら収まるの？

145:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:11:29
F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)
で定まるフィボナッチ数列を考える。
正整数mに対し、F(n)がmの倍数となるような最小の正整数nをg(m)と定義する。
例えばg(1)=1, g(2)=3, g(3)=4である。
g(n)=nを満たすnはどのような数か？

146:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:55:08
面白いなー
なんで5と12なんだ

147:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:25:12
>>144
"擬球"でぐぐるよろし

148:１３２人目の素数さん
09/03/07 19:55:11
なんか問題文自体は簡単に書けるけど中身は面白い問題ｷｳﾞｫﾝﾇ

149:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:42:59
(1) 任意の実正方行列Aが高々４つの直交行列（Aに依存してよい）の線型結合で書けることを示せ。
(2) (1) の主張の４という数字はこれ以上小さくできないことを示せ。

150:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:23:07
はっ！まさか４色問題がらみ？
と直感だけで言ってみる。

151:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:28:21
>>145
n=5^kまたはn=12*5^kのときにg(n)=nになることは証明できた。
めんどいから書かんけど。

152:１３２人目の素数さん
09/03/08 03:17:55
>>150
例えるなら，４色問題よりラグランジュの４平方和定理（全ての自然数は高々４つの平方数の和で表せる）の方が近いだろう。

153:１３２人目の素数さん
09/03/09 16:12:53
>>99の等式って
Σ[k=1,n]kHr=nH(r+1)
と同値なのかな？

154:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:24:46
教養のない人間＝獣を証明せよ

155:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:34:53
まずは教養のない人間と獣の定義を聞かせてもらおうか？

156:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:42:13
∀x{(x∈教養のない人間)→(x∈獣)}は納得できるが
∀x{(x∈獣)→(x∈教養のない人間)}はかなり無理のある定義しないと証明できないんじゃなかろか

157:１３２人目の素数さん
09/03/14 15:16:09
>50 京都+大阪＝東京 ,これを証明せよ

京都で買ったおたべと大阪で買ったたこやきは、東京のバナナだった。

158:１３２人目の素数さん
09/03/14 22:36:51
>>157

「おたべ」は (株)おたべ〔京都〕の
「§京都銘菓＼おたべ」は (有)あど・おたべ〔京都〕の　　(4484724号)
「大阪新名物＼たこ焼き＼ようかん」は(有)黒須製餡所〔栃木･今市〕の　　(4699568号)
「東京ばな奈」は (株)グレープストーン〔東京〕の登録商標でつ。。。

159:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:49:57
面白い解法があることを期待して転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:209番)

実数a,b,c,x,y,zが

ax+by+cz=1
ax^2+by^2+cz^2=2
ax^3+by^3+cz^3=6
ax^4+by^4+cz^4=24
ax^5+by^5+cz^5=120
ax^6+by^6+cz^6=720

を満たすとき、ax^7+by^7+cz^7の値を求めよ

160:１３２人目の素数さん
09/03/20 03:28:42
ワクワク…、ワクワク…

161:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:06:47
ガウス-ラゲールの積分公式を求めるのと同じようにしてできる
(ax^6+by^6+cz^6=6! の代わりに a+b+c=1 とするとガウス-ラゲールそのもの)

関数 g(t), h(t) の内積を
(g(t), h(t)) ≡ ∫[0,∞] g(t) h(t) t e^(-t) dt
で定義する
(f(t), 1) = (f(t), t) = (f(t), t^2) = 0　　…(1)
となる t の3次式 f(t) を求めると、定数倍を除いて
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24
f(t) = 0 は相異なる3実根を持ち、それを x,y,z とする
({x,y,z} = {0.935822, 3.305407, 7.758770})

ax^n + by^n + cz^n = (t^(n-1), 1)　(n = 1,2,3)　　…(2)
となるように a,b,c を定めると、a,b,c,x,y,z は与条件を満たす

∵)
(t^(n-1), 1) = n!　　…(3)
なので (2) より
ax^n + by^n + cz^n = n!　(n = 1,2,3)
あとは ax^n + by^n + cz^n = n!　(n = 4,5,6)　を言えばよい
例えば n=5 のとき x^4 を f(x) で割った商を q(x) とすると
x,y,z は f(t) = 0 の根なので
ax^5 + by^5 + cz^5
= ax(x^4 - f(x)q(x)) + by(y^4 - f(y)q(y)) + cz(z^4 - f(z)q(z))
　　x(x^4 - f(x)q(x)) は x,x^2,x^3 の線形結合(y,z についても同様)
　　なので (2) を使って、
= (t^4 - f(t)q(t), 1) = (t^4,1) - (f(t), q(t))
　　第1項に (3) を使い、q(t) は1次なので第2項に (1) を使って、
= 5!
n=4,6 のときも同様■

162:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:07:58
(続き)
同じようにして
ax^7 + bx^7 + cz^7
= ax^4(x^3-f(x)) + by^4(y^3-f(y)) + cz^4(z^3-f(z))
= 12a(x^6-3x^5+2x^4) + 12b(y^6-3y^5+2y^4) + 12c(z^6-3z^5+2z^4)
= 12 (t^5 - 3t^4 + 2t^3, 1)
= 12(6! - 3*5! + 2*4!)
= 4896

# a,b,c,x,y,z の一意性は言えてないけど

163:１３２人目の素数さん
09/03/20 18:51:06
>>159
高校数学の範囲内の問題？

164:１３２人目の素数さん
09/03/20 20:05:00
>>163
p[n] = ax^n+by^n+cz^n について、漸化式
p[n] = A p[n-1] + B p[n-2] + C p[n-3]
の問題に帰着できる。

165:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:26:51
>>161
蛇足だが･･･

　f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24 = (t-4)^3 -12(t-4) -8 = 16{4T^3 -3T -(1/2)},
ここに T = (t-4)/4,
　x = 4 + 4･cos( 7π/9) = 0.93582222752408785919042939777833･･･
　y = 4 + 4･cos(13π/9) = 3.3054072893322786045931334929227･･･
　z = 4 + 4･cos(　π/9) = 7.7587704831436335362164371092989･･･

{a,b,c} は次の多項式の根。
　g(u) = u^3 - (3/4)u^2 + (11/12^2)u - {1/(3･12^3)} = (u -1/4)^3 - (1/9)(u -1/4) -(1/81) = (2/81√3){4U^3 - 3U - (√3)/2},
　ここに U = {(3√3)/2}(u -1/4)
よって
　a = (1/4) + {2/(3√3)}cos( π/18) = 0.62905268086775253761255598397337･･･
　b = (1/4) + {2/(3√3)}cos(-11π/18) = 0.11835638545510051414429421693642･･･
　c = (1/4) + {2/(3√3)}cos( 13π/18) = 0.002590933677146948243149799090212･･･

166:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:42:04
>>164
特性多項式
　f(t) = t^3 -At^2 -Bt -C,　　　>>161
から出まつね。

167:１３２人目の素数さん
09/03/20 22:33:05
中学三年の問題らしいよ

168:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:03:23
解法はありきたりだが結果が面白い問題ということで一つ。

数列I_nと関数列f_n(x)を次のように定義する。
I_n=∫[0,π/2]cos^(2n)(t)dt
f_n(x)=∫[0,π/2]cos(xt)cos^(2n)(t)dt　(xは任意の実数)
(1)I_n,f_n(x)を計算せよ。
(2)任意の実数xについて lim[n→∞]f_n(x)/I_n=1
　が成り立つことを示せ。

169:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:44:35
>>165
その a,b,c,x,y,z が与えられた方程式を満たすのはいいとして、
逆に、与えられた方程式を満たす a,b,c,x,y,z が(並べ替えを除いて)
>>165 のものだけに限ることは言えるんだろうか

170:１３２人目の素数さん
09/03/21 20:13:57
一意性もOKみたい

171:１３２人目の素数さん
09/03/22 09:50:28
>>170
考えてみたけど、ごちゃごちゃした証明しか思いつかない
簡単に証明できたんなら教えて

172:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:46:10
>>159, >>171　（>>164にあるp[n]の母関数を使いました）
F(t):=-(a+b+c)+ae^(xt)+be^(yt)+ce^(zt) をマクローリン展開すると仮定により
F(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + (7次以上の項)
となる。この6次までの項からなる多項式を G(t) とおく：
G(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6。

f(t):=F'(t) は（A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz　とおくと）
f'''-Af''+Bf'-Cf=0　を満たすので
g(t):=G'(t) に対して　g'''-Ag''+Bg'-Cg　の2次までの項は無い。(※)-->>173

実際に計算すると（h:=g'''-Ag''+Bg'-Cg　とおくと）
h(t) = 24-6A+2B-C + (-2C+6B-24A+120)t + (-3C+12B-60A+360)t^2 + (3次以上の項)
となるので A,B,C は連立方程式
24-6A+2B-C=0, -2C+6B-24A+120=0, -3C+12B-60A+360=0
の解で、これを解くと　A=12, B=36, C=24　が得られる。

173:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:47:02
注：一般に二つの関数f(t),g(t)のマクローリン展開がn次の項まで一致すれば
二つの関数　f'''-Af''+Bf'-Cf　と　g'''-Ag''+Bg'-C　のマクローリン展開は
n-3次の項まで一致します。>>172では(※)でそれを使ってます。

手で計算するのが面倒ならMaximaで↓これを１行ずつ実行させればいいです。
F(t):=-(a+b+c)+a*exp(x*t)+b*exp(y*t)+c*exp(z*t); taylor(F(t),t,0,6);
G(t):=t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6; define(g(t), diff(G(t),t,1));
define(h(t), diff(g(t),t,3)-A*diff(g(t),t,2)+B*diff(g(t),t,1)-C*g(t))$ rat(h(t),t);
eq0:h(0)=0;
define(h1(t), diff(h(t),t,1))$ eq1:h1(0)=0;
define(h2(t), diff(h(t),t,2))$ eq2:h2(0)=0;
linsolve([eq0,eq1,eq2], [A,B,C]);

結局これもゴチャゴチャしとるな・・・

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