面白い問題おしえて～な十五問目

面白い問題おしえて～な十五問目 at MATH

[前50を表示]
100:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:03:40
>>98
任意個の変数のmax、minは容易に作れるから、
あとは>>90と同じやりかたでf_{n,m}も作れる

101:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:30:55
>>99
直感的には、n個から重複を許してr個とるわけだから、
まず種類１をn-m個、次に種類２をn-m-l個、・・・ととるのだと考えれば成り立つ。

nH1,1Hn=1に対しては成立。（r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1
だと解釈）
n+rに関する帰納法。この和がn+r-1のときまで成り立っているなら、
nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
=Σ[m=1,n-1]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) } + Σ[l=1,n]…(Σ[j=1,k]j)
=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
よりこの和がn+rのときも成り立つ。

102:101
09/02/04 18:48:56
miss!
>nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
nHr=(n+r-1)Cr=(n+r-2)Cr+(n+r-2)C(r-1)=(n-1)Hr+nH(r-1)

103:101
09/02/04 20:32:20
あ、
>r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1 だと解釈
r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=n だと解釈
しないとうまくいかないな。
こうしておけば帰納法はうまく進むので問題なし。

104:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:31:41
>>99
多項式(x+1)^(n+1)-1を考える。二項定理から(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]C[n+1,k+1]x^(k+1) …(1)
(ここでC[n,k]は2項係数を表す。)一方、
(x+1)^(n+1)-1={(x+1)-1}Σ[k=0,n](x+1)^k=xΣ[k=0,n]Σ[l=0,k]C[k,l]x^l
右辺を整理すれば(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]{Σ[l=k,n]C[l,k]}x^(k+1) …(2)
(1),(2)の係数を比較することでC[n+1,k+1]=Σ[l=k,n]C[l,k]を得る。
書き直せばC[n+k,k+1]=Σ[l=1,n]C[l+k-1,k] これより
Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]j_(r-1)
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]C[j_(r-1),1]
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-3)]C[j_(r-2)+1,2]
=…
=Σ[j_1=1,n]C[j_1+r-2,r-1]
=C[n+r-1,r]
=H[n,r]

105:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:58:39
>>99
nHr = (r+1)H(n-1) は、次の非負整数解の個数と同じ
x_1 + x_2 + … + x_{r+1} = n-1.
そこで、
y_i = 1 + x_1 + x_2 + … + x_i (i = 1, 2, ..., r+1)
と換えると、
1 ≦ y_1 ≦ y_2 ≦ … ≦ y_r ≦ y_{r+1} = n.
これを数えると、題意の等式を得る。

106:１３２人目の素数さん
09/02/07 15:58:51
つURLﾘﾝｸ(www.sonnyradio.com)

107:１３２人目の素数さん
09/02/11 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:35:25
>>107
n=1 のときは等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n についてたす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

109:１３２人目の素数さん
09/02/13 06:16:35
>48
1+1=2?
天国は右？

110:１３２人目の素数さん
09/02/13 15:59:43
a[1]=1,a[2]=3,b[1]=1,b[2]=1
a[n+2]=(4n+2)a[n+1]+a[n]
b[n+2]=(4n+2)b[n+1]+b[n]
とするとき
lim[n→∞]a[n]/b[n]を求めよ

111:１３２人目の素数さん
09/02/15 04:01:43
(改変転載)

一辺が１の正四面体Ｔが、厚さの無視できる壁に開いた
半径ｒの円形の穴を通過する。半径ｒの最小値をもとむ。

112:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:06:27
>>111
>もとむﾜﾛﾀ

外接円考えてr=1/√2じゃないの？

113:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:09:39
よく見たら正四面体か。
r=1/√3かな。

114:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:20:04
ばかｗ

115:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:41:24
(0,0,0),(1/√2,1/√2,0),(1/√2,0,1/√2),(0,1/√2,1/√2)
を結んだ正四面体を考えてr=1/2

116:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:06:12
転載

◆ わからない問題はここに書いてね２５５ ◆
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

215 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 03:59:34
>>213 >>214
1/2より小さくできると思う。
正四面体をOABCとし、OBとOC上にそれぞれM,Nを取ったとき、
△AMNの外接円の半径の最小値が答えになると予想。

ちなみにM,NをOB,OCの中点としたときは9/(8√11)≒0.34。
この付近に最小値を与える点があるはずなんだが、
式が爆発して手が着けられなくなった。

225 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 15:26:47
>>215
なぁ、本当に0.34まで小さくなるか？

ちょっとやってみたんだが
O(0,0,0) A(Sqrt[3]/3,0,Sqrt[6]/3) B(Sqrt[3]/2,1/2,0) C(Sqrt[3]/2,-1/2,0)
としてOM:MC=s:1-s,ON:NB=t:1-tと置いて内積使って正弦定理を書き直して求めてみた。
URLﾘﾝｸ(www2.uploda.org)
どうもそんなに小さくならなさそうなんだが……俺なんか間違えたかな？

117:116
09/02/15 20:08:33
上の 225 の外接円の半径 R は
R^2 = (1-s+s^2)(1-t+t^2)(s^2-st+t^2)/(3s^2-2st+3t^2 - 2st(s+t) + 3s^2t^2)
で、これは自分(≠225)も確認

ただし、△AMN が円に納まる条件は
min(R, (1/2)max(AM, AN, MN)) ≦ r
max のほうは鈍角三角形の場合

118:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:35:00
確か「幾何学の散歩道」か何かに、
一辺1の立方体に穴を開けて別の立方体を通したい。
通る立方体の一辺の長さの上限を求めよ、みたいな問題があって
1よりも何%か大きくなるとかなんとかで、結構意外な問題だったと思う。
手元にたぶん無いんでアレだが。

119:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:27:18
>>111
　r = 0.44780569665327156030029247262839…
らしいよ。
>>116-117
　漏れもそんなに小さくならなさそうだとｵﾓﾀ.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:284-286番)
数学セミナー

120:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:50:44
>>117
鈍角三角形ってなりえるかな？

121:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:30:53
(i)
xy平面上に4個の点O,A1,A2,A3がある。
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値を求めよ。

例
O(0,0) A1(0,1) A2(1,0) A3(1,1)とすると
α=2+2√2、β=4よりα/β=(1+√2)/2

(ii)
3次元ユークリッド空間上にn個の点O,A1,A2,A3,…,A[n-1]がある。(ただしn≧4)
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3,…A[n-1]を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値はnの式で書けるか？書けないならその事をを示せ。

122:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:47:19

「面白い」の定義を数式を用いて述べなさい。

【配点　5 点】

123:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:27
面白い⊆興味深い

124:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:55
interesting と funny で区別とかするよね

125:１３２人目の素数さん
09/02/15 23:02:51
数学でfunnyってどういうのだろう？
文体なんかでfunnyに見せるのであれば芸がないな

126:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:04:42
>>120
なる
自分は t=0 で s→0 にすると R が変な値になって気がついた

127:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:18:13
>>125
「点」「直線」「平面」を「机」「椅子」「ジョッキ」と言い換える

128:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:53:41
n枚のコインを全て裏向きにして円形に並べ、
そのうちの1枚をスタート地点としてそこにコマを置く。
この状態から、
(1)表向きになっているコインの枚数だけ時計回りにコマを進め、
(2)コマの位置にあるコインをひっくり返す
という操作を繰り返しおこなう。
ただし、最初の状態では表向きのコインが0枚なのでコマは動かさない。

全部のコインが表向きになるのは、nがどのような数のときか？

129:１３２人目の素数さん
09/02/16 02:23:24
>>122
limit[white→tail](dog)

130:１３２人目の素数さん
09/02/16 10:35:13
(俺用メモ)

>>117 の R が最小値を取るのは
s = t,
3s^3 - 6s^2 + 7s - 2 = 0
のとき

これを解いて
s = t
= (2 + (√43-4)^(1/3) - (√43+4)^(1/3)) / 3
= 0.39125971
のとき最小

このとき最小値は
R
= √(1 + (12+√43)(√43-4)^(1/3) - (12-√43)(√43+4)^(1/3)) / (6√2)
= 0.447805697

131:１３２人目の素数さん
09/02/16 22:55:09
>>128

裏=○,表=●,コマの位置=☆,★
[○]→［★］
[○○]→[★○]→[●★]
[○○○]→[★○○]→[●★○]→[☆●○]→[○☆○]
[○○○○]→[★○○○]→[●★○○]→[●●○★]→[●●★●]
[○○○○○]→[★○○○○]→[●★○○○]→[●●○★○]→[●☆○●○]→[●○○☆○]
→[●○○○★]→[●★○○●]→[●●○○☆]→[●☆○○○]→[●○★○○]→[●○●○★]
→[●○☆○●]→[●○○○☆]→[☆○○○○]
以下、"→・・・→"(n個)でn手先を表すことにする
[○○○○○○]→→→[●●○★○○]→→[○●★●○○]→→[○●●☆○●]→→[●●●○★●]→[●●●★●●]
[○○○○○○○]→→→→[●●○●○○★]→→[●●○○○○☆]→→→[●○●○★○○]→→→[○○○★●○○]
→→[○★○●●●○]→→→→[○○○○☆○○]

以下同様に20枚まで調べていくと、全部表向きになった枚数は(カッコ内は手数)
1(1),2(2),4(4),6(10),8(8),12(44),16(16),20(3116)
また、それ以外の枚数で、全部裏にもどってしまったときの手数は
3(4),5(14),7(18),9(14),10(24),11(58),13(34),14(12),15(158),17(1430),18(792),19(2216)

もしやとおもって、32枚、64枚のときを調べてみるとそれぞれ32手、64手で全部表になった。
ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
それ以上は分からないし証明も出来ない。

132:１３２人目の素数さん
09/02/17 00:42:13
>>110
勘だけどeだと思う

133:１３２人目の素数さん
09/02/17 04:46:53
＞ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
これは簡単。mod 2^nにおいてk(k＋1)/2 (k＝0,1,2,…,2^n－1)は全て異なる。

134:１３２人目の素数さん
09/02/20 20:21:12
>>121の(i)って2になる気がする。
でもどうやって証明しよう。

135:１３２人目の素数さん
09/02/21 09:51:02
問題というよりは質問にちかいのだけれども…

平面上にいて見える景色について考える。

球面上(曲率が正の平面)にいる場合、地平線は水平よりも少し下に周囲一周円を描いて見えるはず。
曲率が０の平面にいる場合、地平線は水平に無限のかなたに周囲一周見えるはず。
では曲率が負の平面に立っている場合、地平線はどういう形に見えるんだろう？

136:１３２人目の素数さん
09/02/21 11:13:26
曲率が負なら球面の中みたいになるでしょ。

137:１３２人目の素数さん
09/02/21 20:08:25
>>136
曲率が負というのはそういう意味じゃない。
いわゆる馬の鞍のような曲面が負の曲率を持つもの。

球面はどこをとっても同じ正の曲率だが、
どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
きれいに収めることはできない。

曲率は、その面が空間内でどういう形に収められているかとは
関係なく決まっているもので、たとえば紙を丸めてロール状にしても
その曲率は０で変わらない。なので、>>135の考えていることも
曲率を持ち出して議論すること自体ナンセンス。

138:１３２人目の素数さん
09/02/23 08:31:02
なるほど

139:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:28
ナ、ナ、ナ、ナンセンス！

140:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:59
>>137
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。

141:１３２人目の素数さん
09/02/23 17:10:16
>>140
できるの？

142:１３２人目の素数さん
09/02/23 21:48:31
だまされるな、>>140は>>137に恋心を抱いているだけだ

143:１３２人目の素数さん
09/02/23 22:53:50
空間が無限なら収まるってはなしじゃないの

144:１３２人目の素数さん
09/02/24 13:25:42
無限なら収まるの？

145:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:11:29
F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)
で定まるフィボナッチ数列を考える。
正整数mに対し、F(n)がmの倍数となるような最小の正整数nをg(m)と定義する。
例えばg(1)=1, g(2)=3, g(3)=4である。
g(n)=nを満たすnはどのような数か？

146:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:55:08
面白いなー
なんで5と12なんだ

147:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:25:12
>>144
"擬球"でぐぐるよろし

148:１３２人目の素数さん
09/03/07 19:55:11
なんか問題文自体は簡単に書けるけど中身は面白い問題ｷｳﾞｫﾝﾇ

149:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:42:59
(1) 任意の実正方行列Aが高々４つの直交行列（Aに依存してよい）の線型結合で書けることを示せ。
(2) (1) の主張の４という数字はこれ以上小さくできないことを示せ。

150:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:23:07
はっ！まさか４色問題がらみ？
と直感だけで言ってみる。

151:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:28:21
>>145
n=5^kまたはn=12*5^kのときにg(n)=nになることは証明できた。
めんどいから書かんけど。

152:１３２人目の素数さん
09/03/08 03:17:55
>>150
例えるなら，４色問題よりラグランジュの４平方和定理（全ての自然数は高々４つの平方数の和で表せる）の方が近いだろう。

153:１３２人目の素数さん
09/03/09 16:12:53
>>99の等式って
Σ[k=1,n]kHr=nH(r+1)
と同値なのかな？

154:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:24:46
教養のない人間＝獣を証明せよ

155:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:34:53
まずは教養のない人間と獣の定義を聞かせてもらおうか？

156:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:42:13
∀x{(x∈教養のない人間)→(x∈獣)}は納得できるが
∀x{(x∈獣)→(x∈教養のない人間)}はかなり無理のある定義しないと証明できないんじゃなかろか

157:１３２人目の素数さん
09/03/14 15:16:09
>50 京都+大阪＝東京 ,これを証明せよ

京都で買ったおたべと大阪で買ったたこやきは、東京のバナナだった。

158:１３２人目の素数さん
09/03/14 22:36:51
>>157

「おたべ」は (株)おたべ〔京都〕の
「§京都銘菓＼おたべ」は (有)あど・おたべ〔京都〕の　　(4484724号)
「大阪新名物＼たこ焼き＼ようかん」は(有)黒須製餡所〔栃木･今市〕の　　(4699568号)
「東京ばな奈」は (株)グレープストーン〔東京〕の登録商標でつ。。。

159:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:49:57
面白い解法があることを期待して転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:209番)

実数a,b,c,x,y,zが

ax+by+cz=1
ax^2+by^2+cz^2=2
ax^3+by^3+cz^3=6
ax^4+by^4+cz^4=24
ax^5+by^5+cz^5=120
ax^6+by^6+cz^6=720

を満たすとき、ax^7+by^7+cz^7の値を求めよ

160:１３２人目の素数さん
09/03/20 03:28:42
ワクワク…、ワクワク…

161:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:06:47
ガウス-ラゲールの積分公式を求めるのと同じようにしてできる
(ax^6+by^6+cz^6=6! の代わりに a+b+c=1 とするとガウス-ラゲールそのもの)

関数 g(t), h(t) の内積を
(g(t), h(t)) ≡ ∫[0,∞] g(t) h(t) t e^(-t) dt
で定義する
(f(t), 1) = (f(t), t) = (f(t), t^2) = 0　　…(1)
となる t の3次式 f(t) を求めると、定数倍を除いて
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24
f(t) = 0 は相異なる3実根を持ち、それを x,y,z とする
({x,y,z} = {0.935822, 3.305407, 7.758770})

ax^n + by^n + cz^n = (t^(n-1), 1)　(n = 1,2,3)　　…(2)
となるように a,b,c を定めると、a,b,c,x,y,z は与条件を満たす

∵)
(t^(n-1), 1) = n!　　…(3)
なので (2) より
ax^n + by^n + cz^n = n!　(n = 1,2,3)
あとは ax^n + by^n + cz^n = n!　(n = 4,5,6)　を言えばよい
例えば n=5 のとき x^4 を f(x) で割った商を q(x) とすると
x,y,z は f(t) = 0 の根なので
ax^5 + by^5 + cz^5
= ax(x^4 - f(x)q(x)) + by(y^4 - f(y)q(y)) + cz(z^4 - f(z)q(z))
　　x(x^4 - f(x)q(x)) は x,x^2,x^3 の線形結合(y,z についても同様)
　　なので (2) を使って、
= (t^4 - f(t)q(t), 1) = (t^4,1) - (f(t), q(t))
　　第1項に (3) を使い、q(t) は1次なので第2項に (1) を使って、
= 5!
n=4,6 のときも同様■

162:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:07:58
(続き)
同じようにして
ax^7 + bx^7 + cz^7
= ax^4(x^3-f(x)) + by^4(y^3-f(y)) + cz^4(z^3-f(z))
= 12a(x^6-3x^5+2x^4) + 12b(y^6-3y^5+2y^4) + 12c(z^6-3z^5+2z^4)
= 12 (t^5 - 3t^4 + 2t^3, 1)
= 12(6! - 3*5! + 2*4!)
= 4896

# a,b,c,x,y,z の一意性は言えてないけど

163:１３２人目の素数さん
09/03/20 18:51:06
>>159
高校数学の範囲内の問題？

164:１３２人目の素数さん
09/03/20 20:05:00
>>163
p[n] = ax^n+by^n+cz^n について、漸化式
p[n] = A p[n-1] + B p[n-2] + C p[n-3]
の問題に帰着できる。

165:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:26:51
>>161
蛇足だが･･･

　f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24 = (t-4)^3 -12(t-4) -8 = 16{4T^3 -3T -(1/2)},
ここに T = (t-4)/4,
　x = 4 + 4･cos( 7π/9) = 0.93582222752408785919042939777833･･･
　y = 4 + 4･cos(13π/9) = 3.3054072893322786045931334929227･･･
　z = 4 + 4･cos(　π/9) = 7.7587704831436335362164371092989･･･

{a,b,c} は次の多項式の根。
　g(u) = u^3 - (3/4)u^2 + (11/12^2)u - {1/(3･12^3)} = (u -1/4)^3 - (1/9)(u -1/4) -(1/81) = (2/81√3){4U^3 - 3U - (√3)/2},
　ここに U = {(3√3)/2}(u -1/4)
よって
　a = (1/4) + {2/(3√3)}cos( π/18) = 0.62905268086775253761255598397337･･･
　b = (1/4) + {2/(3√3)}cos(-11π/18) = 0.11835638545510051414429421693642･･･
　c = (1/4) + {2/(3√3)}cos( 13π/18) = 0.002590933677146948243149799090212･･･

166:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:42:04
>>164
特性多項式
　f(t) = t^3 -At^2 -Bt -C,　　　>>161
から出まつね。

167:１３２人目の素数さん
09/03/20 22:33:05
中学三年の問題らしいよ

168:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:03:23
解法はありきたりだが結果が面白い問題ということで一つ。

数列I_nと関数列f_n(x)を次のように定義する。
I_n=∫[0,π/2]cos^(2n)(t)dt
f_n(x)=∫[0,π/2]cos(xt)cos^(2n)(t)dt　(xは任意の実数)
(1)I_n,f_n(x)を計算せよ。
(2)任意の実数xについて lim[n→∞]f_n(x)/I_n=1
　が成り立つことを示せ。

169:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:44:35
>>165
その a,b,c,x,y,z が与えられた方程式を満たすのはいいとして、
逆に、与えられた方程式を満たす a,b,c,x,y,z が(並べ替えを除いて)
>>165 のものだけに限ることは言えるんだろうか

170:１３２人目の素数さん
09/03/21 20:13:57
一意性もOKみたい

171:１３２人目の素数さん
09/03/22 09:50:28
>>170
考えてみたけど、ごちゃごちゃした証明しか思いつかない
簡単に証明できたんなら教えて

172:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:46:10
>>159, >>171　（>>164にあるp[n]の母関数を使いました）
F(t):=-(a+b+c)+ae^(xt)+be^(yt)+ce^(zt) をマクローリン展開すると仮定により
F(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + (7次以上の項)
となる。この6次までの項からなる多項式を G(t) とおく：
G(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6。

f(t):=F'(t) は（A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz　とおくと）
f'''-Af''+Bf'-Cf=0　を満たすので
g(t):=G'(t) に対して　g'''-Ag''+Bg'-Cg　の2次までの項は無い。(※)-->>173

実際に計算すると（h:=g'''-Ag''+Bg'-Cg　とおくと）
h(t) = 24-6A+2B-C + (-2C+6B-24A+120)t + (-3C+12B-60A+360)t^2 + (3次以上の項)
となるので A,B,C は連立方程式
24-6A+2B-C=0, -2C+6B-24A+120=0, -3C+12B-60A+360=0
の解で、これを解くと　A=12, B=36, C=24　が得られる。

173:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:47:02
注：一般に二つの関数f(t),g(t)のマクローリン展開がn次の項まで一致すれば
二つの関数　f'''-Af''+Bf'-Cf　と　g'''-Ag''+Bg'-C　のマクローリン展開は
n-3次の項まで一致します。>>172では(※)でそれを使ってます。

手で計算するのが面倒ならMaximaで↓これを１行ずつ実行させればいいです。
F(t):=-(a+b+c)+a*exp(x*t)+b*exp(y*t)+c*exp(z*t); taylor(F(t),t,0,6);
G(t):=t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6; define(g(t), diff(G(t),t,1));
define(h(t), diff(g(t),t,3)-A*diff(g(t),t,2)+B*diff(g(t),t,1)-C*g(t))$ rat(h(t),t);
eq0:h(0)=0;
define(h1(t), diff(h(t),t,1))$ eq1:h1(0)=0;
define(h2(t), diff(h(t),t,2))$ eq2:h2(0)=0;
linsolve([eq0,eq1,eq2], [A,B,C]);

結局これもゴチャゴチャしとるな・・・

174:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:54:39
訂正：>>173の二行目

（誤）　g'''-Ag''+Bg'-C
（正）　g'''-Ag''+Bg'-Cg

175:１３２人目の素数さん
09/03/22 15:25:07
マクローリン展開のn-3次の項がうんぬんとかやるくらいなら
もう行列式の値を x、y、z の対称式として愚直に
計算したほうがすっきりしてるような

176:１３２人目の素数さん
09/03/22 16:10:59
A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz　とおくと

x^4 = Ax^3 - Bx^2 + Cx
y^4 = Ay^3 - By^2 + Cy
z^4 = Az^3 - Bz^2 + Cz　より　24 = ax^4 + by^4 + cz^4 = 6A-2B+C

x^5 = Ax^4 - Bx^3 + Cx^2
y^5 = Ay^4 - By^3 + Cy^2
z^5 = Az^4 - Bz^3 + Cz^2　より　120 = ax^5 + by^5 + cz^5 = 24A-6B+2C

x^6 = Ax^5 - Bx^4 + Cx^3
y^6 = Ay^5 - By^4 + Cy^3
z^6 = Az^5 - Bz^4 + Cz^3　より　720 = ax^6 + by^6 + cz^6 = 120A-24B+6C

これで終りだった・・・orz

177:１３２人目の素数さん
09/03/22 23:50:03
>>176
神ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!

178:171
09/03/22 23:59:37
>>172-176
サンクス
これから読ませてもらう

179:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:05:25
充分に大きい白い容器と黒い容器が無限個ある。
最初、ひとつの白い容器に純水が 1kg、
ひとつの黒い容器に 100% のアルコールが 1kg 入っている。
以下の操作を好きなだけ行って、最終的にひとつの白い容器になるべく
アルコール濃度の高い 1kg の液体を作りたい。
このアルコール濃度の上限はいくらか？

可能な操作
・ひとつの容器から同じ色の別の容器(空でなくてもよい)に好きなだけ液体を移してよく混ぜる
・白い容器と黒い容器をひとつずつ取り、両方の容器の液体を一緒にしてよく混ぜて、
もとの質量と同じだけ両方の容器に分ける
(混ぜる前に、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体が入っていたら、
混ぜたあとも、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体を入れるということ)

180:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:24:01
濃度は重量濃度です
アルコール濃度 = 液体中のアルコールの質量 / 液体の質量

181:１３２人目の素数さん
09/03/24 14:14:48
白い容器のほうの濃度を a、黒い容器のほうの濃度を b 、
操作後の濃度を a1 及び b1 とすると
a < a1 < b1 < b が分かる。
また a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
二番目の操作を繰り返すことによって白い容器内の濃度は 1/2 に
限りなく近づけることが出来る。よって50%。

182:１３２人目の素数さん
09/03/24 18:53:59
1　-　exp(-1)　　≒　　0.632　まで濃度をあげられるんじゃないか？

183:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:14:35
体積モル濃度を調べよう。

184:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:46:50
>>181
> a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。

ここの理屈がわからん。
なぜa1>1/2だと、アルコールの量が増えたことになるんだ？

185:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:01:03
1)　最初に白い容器の純水をｎ個の白い容器に等分する。
2)　次に、n個全ての白い容器に対して、その白い容器をひとつと黒い容器を混ぜ、戻す。
3)　最後にｎ個の白い容器のをすべてひとつの白い容器に集める。

たとえば、n　が　２の場合
1)　純水を白い容器２つに1/2kgづつに分ける。
2-1)　ひとつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。　ここで黒い容器に残るアルコールは2/3kg　
2-1)　ふたつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。　ここで黒い容器に残るアルコールは(2/3)^2　=　4/9　kg
3)　白い容器をすべて集めると、アルコールは1-4/9　=　5/9　kg

ここで　>>181の　
＞　a1　≦　1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。　
は、正しくないことがわかる。

この方法だと、白い容器に入るアルコールの量は、　1-(n/(n+1))^n　なので、使用する白い容器の数を増やせば　
最大で　lim_{n->∞}(1-(n/(n+1))^n)　=　1　-　exp(-1)　のアルコールを白い容器に入れることができる。

これが最大かどうかは知らん。

186:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:03:20
×　2-1)　ふたつめの
○　2-2)　ふたつめの

187:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:05:08
瑣末なことだが、白い容器は３個あれば事足りる。

188:１３２人目の素数さん
09/03/25 06:54:29
ｎ等分ではなく
１番目の白い容器には1/n、２番目の容器には1/n　×　(n/(n+1))　…　と等比になるように分配する
つまり　ｎ番目の容器には　1/n　×　(n/(n+1))^(n-1)　の水。　#　この数列の和はもちろん1
(2)以降の操作は同じ。

きちんと計算はしていないが、
nを大きくとれば、白い容器のアルコールを、いくらでも１に近づけることができると思うが、どうだろうか。

189:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:07:32
訂正：
×　１番目の白い容器には1/n　
○　１番目の白い容器には1/(n+1)

190:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:16:12
あ、ダメか　
1　-　exp(-1)　は超えられないや。

191:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:03:09
某サイトからの引用。

2人組の手品師AとBが、観客に対して次のようなマジックを行なう。
問：このマジックのタネ(phase0 の内容)を考案せよ。

(phase0)
事前にAとBは綿密に打ち合わせをしておく。

(phase1)
Bには目隠しと耳栓をさせる。Aは1組52枚のトランプカードを
全て観客の一人に渡し、その中から好きな5枚を選んでもらう。
余った47枚はその場で廃棄する。

(phase2)
Aは、観客が選んだ5枚の内容を確認した上で、その中の1枚を指定する。
観客はAが指定した1枚を手に残して隠し持ち、その他の4枚をAに返却する。
Aはその4枚を表向きにして机の上に並べ※、舞台から退場する。

(phase3)
Bが目隠しを外し、机上の4枚を見て観客の手にある1枚を当てる。(終了)

※4枚のカードを机の上に並べる際は、あらかじめ固定された
「同じ向き」「等間隔」「一列」のポジションに置かなければならない。
Aのアレンジが許されるのは、4枚の「並び順」のみであるとする。

192:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:16:34
コマ大のやつね

193:191
09/03/26 02:56:14
あらら。有名だったのかな。
一応、引用元はここの19番なんだけど。
URLﾘﾝｸ(www.qbyte.org)

他にもいろいろ面白いのがありそうでマジお勧め。
皆さんも気に入ったのがあったら翻訳転載よろ。

194:179
09/03/26 07:29:29
>>190
その方法はまだ計算してないから、上限がいくらかは分からないけど、
別のやり方で 1-(1/e) 以上にできます

>>193
そのサイトの方法だと52枚までだけど、もっと枚数増やせないんだろうか

195:１３２人目の素数さん
09/03/26 13:42:27
>>193
URLﾘﾝｸ(gascon.cocolog-nifty.com)
この後半に紹介されているが、そこから採ったのかも。番組では実演して失敗してた。

196:１３２人目の素数さん
09/03/26 17:30:35
a

197:１３２人目の素数さん
09/03/27 00:24:19
>>194
直後の第20問で、124枚まで増やした場合が採り上げられてるよ。

198:１３２人目の素数さん
09/03/27 03:08:48
以下の条件を満たす四角形は存在するか？
存在するなら例示し、存在しないならその事を証明せよ。

(i)
三辺の長さと対角線の長さが全て整数
(ii)
四辺の長さと対角線の長さが全て整数

199:198
09/03/27 03:14:11
書き損ねた。
(iii) (ii)を満たし、かつどの2辺をとっても長さが等しくならない。

200:１３２人目の素数さん
09/03/27 13:22:54
(iii)とは？

201:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:28:19
四辺の長さと対角線の長さが全て整数
かつ
どの2辺をとっても長さが等しくならない。

すると(ii)は円か何かを使うのかな。

202:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:40:57
(i)(ii)は同じ長さの辺があってもいいの？
もしそうなら、例えば縦横比3:4の長方形（対角線は5）があるけど。

203:１３２人目の素数さん
09/03/27 23:31:05
くそ、卑猥な記号ばかり並んでやがる

204:１３２人目の素数さん
09/03/28 01:19:56
問題 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
　a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,

問題 2.
(a) 2008のすべての約数d >0 に対して　P(d) = 2008/d,
　　となるような整数係数の多項式P(x)は存在するか?

(b) nのすべての約数d >0 に対して　P(d) = n/d,
　　となる整数係数の多項式P(x)が存在するような自然数nを求めよ。

問題 4.
ｆは正整数から非負整数への写像とする。次の条件を満たすｆをすべて定めよ。
　(1)　f(mn) = f(m) + f(n),
　(2)　f(2008) = 0,
　(3)　f(n) = 0,　for all n≡39 (mod 2008).

問題 5.
nを自然数とするとき、数列 n + [√n] + [ n^(1/3) ] に含まれない自然数をすべて挙げよ。
ここに [ x ] はx以下の最大の整数である。

URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)
2008/06/07～08

205:１３２人目の素数さん
09/03/28 18:10:26
問2への答え
(a)2008=251*8より約数は1,2,4,8,251,502,1004,2008の8つ。
今f(1)=2008,f(2)=1004,f(4)=502,f(8)=251,f(251)=8,f(502)=4,f(1004)=2,f(2008)=1
よってf(x)=(x-1)A(x)+2008=(x-2)B(x)+1004=(x-4)C(x)+502=(x-8)D(x)+251
=(x-251)E(x)+8=(x-502)F(x)+4=(x-1004)G(x)+2=(x-2008)H(x)+1

一般にA(x)とD(x)の次数が同じならば、A(x)～H(x)を整数係数多項式として
f(x)=A(x)B(x)+C(x)=D(x)E(x)+F(x)と書ける時、f(x)=A(x)D(x)G(x)+H(x)と書ける為
与式を満たす整数係数多項式P(x)は存在する。

(b){n|nの平方根が整数にならない}

206:１３２人目の素数さん
09/03/28 19:04:00
>>205
(b)なんだけど、おれが考えた答えと違う。

x = (nの約数) のとき、 xP(x)-n = 0 である。
よって xP(x)-n = Q(x) (x-d_1) (x-d_2) ... (x-d_m) (ただし、d_i はすべての n の約数を渡る。Q(x) は適当な整数係数多項式)
両辺の定数項を比較して n は d_1 * d_2 * ... * d_m の倍数である。
ｎの約数はn自身も含むので、nが素数でなければ、n < d_1 * d_2 ... * d_m となるので
nが素数であることが必要条件。

逆に n が素数なら、xP(x) - n = -(x-1)(x-n) = -x^2 + (n+1)x - n として
P(x) = x - (n+1) をとればいい。

よって n が素数であることが必要十分。

207:１３２人目の素数さん
09/03/29 03:15:42
nが素数のときはP(x)＝x－(n＋1)とすればよい。

nが合成数のときは、ある素数p,qについてn＝pqmとなる。
P(x)の定数項をaとする。

p＝qのとき：仮定よりP(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。
次に、x＝pとして、P(p)＝n/p＝pm となるからP(p)≡0 (mod p)
一方、P(p)≡a≡1 (mod p)だから、矛盾。

p≠qのとき：P(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。また、
P(pm)＝n/(pm)＝qだから、a≡P(pm)≡q (mod p)となり、よってq≡1 (mod p)が
成り立つ。つまりp｜(q－1)が成り立つ。これとq－1＞0より、q－1＞pとなる。
pとqの役割を入れ替えても同様の議論が成り立ち、そのときp－1＞qが得られる。
よってq－1＞p＞q＋1となり、矛盾。

208:１３２人目の素数さん
09/03/29 06:45:31
>>205
f(x) = (x-1)A(x) +2008,
A(x) = -1004 + (x/2 -1)[502 -(x/4 -1){251 - (x/8 -1)[8 -(x/251 -1){4 - (x/502 -1)[2 - (x/1004 -1)]}]}] + r(x)
　　 = -1004 + 502(x/2 -1) -251(x/2 -1)(x/4 -1) +8(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1) -4(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1) +2(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1) -(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1)(x/1004 -1) +r(x)
r(x) = (x-2)(x-4)(x-8)(x-251)(x-502)(x-1004)(x-2008)g(x),

209:１３２人目の素数さん
09/04/01 01:19:15
数日前に質問スレで、以下の趣旨の問題が投下され、解決することなく流れていた。

「1～nの番号がついた玉を無作為に一列に並べたとき、連続するどの2つの番号も、
その順番通りに隣接して配置されない順列のパターン数は？」
（もとの問題は楽曲のシャッフル演奏が題材だった）

n=3の場合、12も23も現れない配置ということで、132、213、321の3通りとなる。
帰納的な考察により、そのようなパターン数をa(n)とおいたとき、
a(1)=a(2)=1として、a(n)=(n-1)*a(n-1)+(n-2)*a(n-2)となることがわかった。

これって解けるのかな。
閉じた式じゃなくても、再帰構造が排除できればいいとして。

210:１３２人目の素数さん
09/04/01 02:06:54
>>209
不完全ガンマ関数Γ(m+1,x) := ∫[x,∞] t^m exp(-t) dt を使うと
　a(n) = Γ(n+2,-1) / (n e) になる．
不完全ガンマの展開公式
　exp(x) Γ(n+2,x) = Γ(n+2) Σ[k=0,n+1] x^k/k!
を使えば
　a(n) = ( (n+1)! Σ[k=0,n+1] (-1)/k! ) / n
になる．例えば n = 3 だと 4! (1 - 1/2 + 1/3! - 1/4!) / 3 = 3．

211:１３２人目の素数さん
09/04/01 16:35:36
>>210
なんか違わない？計算が合わないんだけど。

>>209
y = x + y' (x^2+x^3) ていう微分方程式を解けば、各係数がその数列のなっているはず。

212:１３２人目の素数さん
09/04/01 20:22:10
>>211
ん、あわない？具体的に指摘頼む。
漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。

213:１３２人目の素数さん
09/04/01 20:24:07
>>212
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。
> 漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。

214:１３２人目の素数さん
09/04/01 23:31:42
>>209
b[n]=n*a[n]とおけば、その漸化式はb[n]=n*b[n-1]+n*b[n-2]と表せる。
b[n]-(n+1)*b[n-1]=-(b[n-1]-n*b[n-2])　と書けるので、n≧3とすれば
b[n]-(n+1)*b[n-1]=(-1)^(n-2)*(2*1-3*1*1)=(-1)^(n-1)　となる。
これはn=2でも正しいので、以下n≧2とする。
b[n]=(n+1)b[n-1]+(-1)^(n-1)　の両辺を(n+1)!で割れば
b[n]/(n+1)!=b[n-1]/n!+(-1)^(n-1)/(n+1)!
b[n]=(n+1)!*{Σ[k=2,n](-1)^(k-1)/(k+1)!+b[1]/2!}
　　　=(n+1)!*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!
よってa[n]=(n+1)!/n*Σ[k=1,n](-1)^(k-1)/(k+1)!=
これはn=1でも成り立つ。

215:１３２人目の素数さん
09/04/02 00:33:16
事故解決しました

216:209
09/04/24 00:15:31
>>210-214
遅くなったが、ありがとう。

217:１３２人目の素数さん
09/04/24 21:42:07
A君はn枚、B君はn+1枚の公正なコインを持っている(n≧1)。
両者ともに全てのコインを投げたとき、A君の表の枚数よりも
B君の表の枚数の方が真に大きくなる確率を求めよ。

218:１３２人目の素数さん
09/04/24 22:48:53
age

219:現場の職人
09/04/24 23:50:17

切り出した木の側面を切って

最も無駄のない柱を作るには

曲尺をどのようにして使うのであろうかっ。

【　配点　1 点　】

220:１３２人目の素数さん
09/04/25 03:31:21
最も無駄のない　とは　どういう意味なのか

221:ユビー ◆6wmx.B3qBE
09/04/25 07:47:17
>>217
nも乱数で確率なの？

222:１３２人目の素数さん
09/04/25 10:28:49
>>217
nの値にかかわらず、求める確率は 1/2

223:１３２人目の素数さん
09/04/25 10:43:31
>>219
糞スレ立てんなウンコ虫が

224:１３２人目の素数さん
09/04/25 12:38:27
>>223
用語の間違いに注意

225:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 12:51:17
あの～
ワラビが右巻きでゼンマイが左巻きだって、どうやって証明したらいいのでしょうか？

226:１３２人目の素数さん
09/04/25 12:56:00
>>225
まずワラビとゼンマイの定義がなければ話になりません
それらの定義を述べてください

227:１３２人目の素数さん
09/04/25 13:13:59
転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:38番)
解答案は75。

相異なる９個の整数からなる集合Sがあり、各元の正の素因数はすべて３以下である。
Sからうまく相異なる３個の元をとれば、それらの積がある整数の３乗になることを示せ。

228:キノコ狩りが趣味 ◆ghclfYsc82
09/04/25 17:09:22
>>226
ワラビは京浜東北線の駅にありますが、ゼンマイは昔の時計で使いました。
どっちが美味しいんでしょうか、それだけでも知りたくて・・・

229:１３２人目の素数さん
09/04/25 17:27:57
>>228
まずはワラビやゼンマイの定義を述べよ

230:ぺれるまん ◆ghclfYsc82
09/04/25 18:52:17
>>229
調べたんですが、ゼンマイの学名はOsmunda japonicaで山野に生えてて水気が多いところを
好むという特徴だけなんですね。それでワラビは確定した分類体系さえ無いんだそうで、食べ過ぎ
たらアカンそうですが、色んな食べ方があるそうですねぇ。どうやら山でなくても畑でも出るそうで、
おひたしと天麩羅がおススメだそうです。

何方か定義を御存じではないでしょうか？

231:１３２人目の素数さん
09/04/25 22:25:36
今月の日経サイエンスのパズルがわからん。
問題の概要はこんな感じ。

４名の死刑囚（A,B,C,D）が一人ずつ部屋に入って運命のくじ引きをする。
部屋には４つの箱があって、それぞれの箱に１枚ずつ
A,B,C,D誰か一人を助ける免罪符が入っている。

４つの内３つの箱を開けて、自分の免罪符を引き当てれば勝ち。
ただし、４人は一心同体なので、誰かが失敗すれば全員処刑される。

部屋には一人ずつ順番に入り、別の出口から出るので、
どの箱にどの免罪符が入っていたかを教えることは出来ない。

単純に勝率を計算すると、(3/4)^4=81/256で、勝率は1/3以下。
しかしAには3/4の勝算があり、B,C,Dにそれを伝えた。
・・・ここまで。

232:231
09/04/25 22:29:45
事前の相談が許されてるから、勝率0%のやり方を避けることは出来る。
（全員同じ開け方をすれば確実に死ねる）
完全に無作為に開けるんじゃなくて、それを避けるという相談をするだけで、
ちょっぴり勝率が上がるのはわかる。

また、一人目が失敗したときの事は考えなくて良いから、
一人目がどこを開けたか聞いておけば（事前に決めておけば）、
二人目以降の勝率が若干上がることはわかる。

しかし、どういう戦略をとっても、最初の一人の勝率は３／４だろ。
そうすると、後の３人はその後１００％成功しなくちゃいけない。
が、１００％にはなりそうにないんだが。。。

一人目が箱を開けっ放しにするとか、
ガンのための傷を付けるとかのズルしか思いつかん。
福本伸行の読み過ぎ？

233:１３２人目の素数さん
09/04/26 00:39:22
箱の中身を入れ替えればいいじゃん

234:１３２人目の素数さん
09/04/26 03:34:23
中身の入替えを許したら簡単すぎじゃね？

もっとも、箱の配置が指定されてないから、部屋の中で
箱がいかように配置されていたとしても、そのうちの1個を
特定できるようなルールをあらかじめ策定するってのは、
それはそれで面白いかもしれない。

しかしそういう意図の問題なんだろうか。

235:231
09/04/26 04:18:58
>>233
最初の人が、箱の中身を入れ替えるか・・・
(1枚は入れ替えられないが、次の人がなんとかする？)
いっそ箱の並びを変えて、左からABCDにしておけば、
後の人は簡単だわな。

もう一回問題を読み直してみたが、
免罪符の箱の部屋に見張りが居るかどうかは書いてなかった。
しかし・・・見張りが居なかったら、３つじゃなくて４つ全部開けるのも可能だろう。

ヤンジャンや近代麻雀じゃなくて、日経サイエンスだから・・・
ルールの穴じゃなくて、場合分けとかで解くと思うんだが。

236:１３２人目の素数さん
09/04/26 06:00:00
こんな確率もとめてみたいその1/3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
430-485

237:１３２人目の素数さん
09/04/26 09:14:14
>>231
事前相談のみで
後の人に情報が残せない場合
（前の人が開けた結果に応じた作戦変更ができない）
最大で　9/24　にしかならないので　（すべての組み合わせを試した）
なんらかの方法で情報を残すことをしないと、それ以上にはできない。

238:１３２人目の素数さん
09/04/26 14:06:37
各箱にA,B,C,Dと名前をつける。
囚人Xは、最初に自分と同じ名前のついた箱Xをあける。
箱Xの中に、Yの免罪符があったら、次に箱Yをあける。
箱Yの中に、Zの免罪符があったら、次に箱Zをあける。

239:１３２人目の素数さん
09/04/26 17:42:14
なるほど

240:231
09/04/26 21:34:54
>>238
A箱からスタートして、Aカードが３つ目だった場合、その次はまたA箱に来る。
つまり、３の輪っかが出来ているので、全員セーフ。

A箱からスタートして、Aカードが２つめだった場合、
他の箱は最悪でも２輪っかだからセーフ。

A箱からスタートして、Aカードがいきなりあった場合、
他の箱は最悪でも３輪っかだからセーフ。

A箱からスタートしてAカードが４の距離だった場合、
４輪っかが出来ているので、全員死亡。

最初の人が失敗した場合は必ず全員失敗し、
最初の人が成功した場合には全員成功するアルゴリズムってことか…

いや…すごすぎる！！！　俺も、成功の場合を裏返して、
「最初の人が失敗した場合に他の失敗も集めてしまう戦略にするんじゃないか」
とは思ったけど…

類似問題知らないで解けたとしたら、IQ150-160くらいありそうだ。

241:１３２人目の素数さん
09/04/26 22:11:25
上手いね。
出題者は巡回置換からこの問題を発想したんだろうか。

1 2 3 4
2 3 4 1

みたいな配置だったら失敗。そうでなければ成功。

いやー、こんな応用があったとは。

242:１３２人目の素数さん
09/04/28 17:46:06
コインランドリーを並べ替えてできる言葉はコインランドリーを含めて何通りあるか。
ただし、ンおよびーを頭に持ってきてはいけません。また、ンが連続してもいけませんし、ンの直後にーがきてもいけません。

243:１３２人目の素数さん
09/04/28 18:08:43
全文字使うのか？

244:１３２人目の素数さん
09/04/28 18:23:28
>>243
もちろん

245:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:16:58
ちゃんとした言葉になってなくてもいいの？

246:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:22:09
インリンドコラー

247:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:28:51
ただ数えるだけ。4500個。

248:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:52:54
意味のない言葉でももちろんかまいません。
4500個ではないと思いますよ。

249:１３２人目の素数さん
09/04/28 19:57:11
プログラム組んでみたら12000個だった。
でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。
もっかい直してみる。

250:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:04:30
＞　でも一つ目と二つ目の「ン」が入れ替わっても違うって判定されてた。　

てことは半分ってことではないのか？

251:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:11:23
理屈の上ではそうなんだけど一応修正したらやっぱり6000個になった。

252:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:30:46
「ン」「ー」が先頭に来ない場合の数は全部で
　5*7!=12600通り
「ンン」が並ぶ場合の数は、「ンン」を１組として
　5*6!=3600通り
「ンー」が並ぶ場合の数は、「ンー」を１組として
　5*6!=3600通り
「ンンー」が並ぶ場合の数は、「ンンー」を１組として
　5*5!=600通り
よって、12600-3600-3600+600=6000通り

間違ってたら悲しむ

253:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:40:17
6000通りで正解です。出題者の私は、最初に、コイラドリの並べ方120通りに、ン２つ、ーを組み込むという考え方で計算しましたが。

254:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:42:17
正八面体が存在することを示せ。

京大の入試だったような。

255:１３２人目の素数さん
09/04/28 20:45:00
場合の数だから賢い小学生なら解けちゃう

256:１３２人目の素数さん
09/04/28 21:15:15
条件数え落としてた。6000通りだね。
ただ、どこが面白い問題かはわからんなあ。
どこを面白いと思って出題したの？

257:１３２人目の素数さん
09/04/29 07:36:32
単なる重複順列じゃなくて、いろいろ条件が付くとこかな。

258:１３２人目の素数さん
09/04/29 23:05:48
>>254
模範解答よろ～

259:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:09:00
具体的に作ればいいんじゃないかな

260:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:13:49
>>254
|x| + |y| + |z| ≦ 1

261:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:33:57
正八面体のサイコロ買ってきて見せれば示した事にならないかな。

262:１３２人目の素数さん
09/04/30 00:44:10
>>261
その模型が正八面対であることを証明せねばならない

263:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:48:46
正三角形４つと正方形１つで四角錐を構成して
それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら
正８面体になることを利用すればいいんじゃないか？

四角錐の側面が互いに同相なのは自明として使っていいのかな？

上下にくっつけて（正8面体を作って）それを縦に切ってできた
四角錐が元の四角錐と合同だということを示すのはどうだろう？

264:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:50:52
正６面体が存在することを仮定していいのなら
正８面体の構成はたいして難しくないが…

265:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:54:08
>>263
>正三角形４つと正方形１つで四角錐を構成して
>それをふたつ用意し底面の正方形同士をくっつけたら

最初の正四角錐の頂点以外の頂点のまわりの面のなす角が等しいことを証明する必要がある。

266:１３２人目の素数さん
09/04/30 15:58:38
>>265
まさにそれを証明するのに、そこ以下が書かれているのだ。

267:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:02:02
>>264
正６面体の存在は、高さが任意の正四角柱の存在を仮定すれば
そんなに難しくない。

268:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:04:28
>>267
このあたりになると、何をどこまで仮定していいのか難しいな。
元の問題に、○○は仮定していいなどの記述がないと何もできん。

269:１３２人目の素数さん
09/04/30 16:06:33
空間中に任意の角度で任意の長さの直線が引けること
空間中に任意の平面が用意できること

さすがにこのくらいは仮定してよいだろう。

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