面白い問題おしえて～な十五問目

面白い問題おしえて～な十五問目 at MATH

[1からを表示]
50:１３２人目の素数さん
09/01/22 20:18:27
京都+大阪＝東京
これを証明せよ

51:１３２人目の素数さん
09/01/22 20:31:06
質問できる相手は１回にひとりなんじゃないの？

52:１３２人目の素数さん
09/01/22 21:33:23
まずランプの精を呼び出して質問の数を増やしてもらう

53:１３２人目の素数さん
09/01/23 00:58:35
>>47宿題乙
答えだけ書いとくね。
(1)2^n
(2)an=(2-n)2^(n-1),bn=n*2^(n-1)

54:１３２人目の素数さん
09/01/23 02:53:41
>>48
３人の門番をａ、ｂ、ｃと呼ぶ。
【１回目の質問】：ａに対し、「あなたは、『ｂは適当に答える門番（以下Ｔと呼ぶことにする）
ですか？』と聞かれたら、『はい』と答えますか？」
ａがＴでないのなら、（仮に嘘つきであっても）「この質問へのａの返事が『はい』」⇔「ｂはＴ」
が成り立つことに注意すると、
「この質問へのａの返事が『はい』」ならば、ａがＴか、さもなくばｂがＴなので、
ｃはＴでない。
「この質問へのａの返事が『いいえ』」ならば、ａがＴか、さもなくばｂがＴでないので、
ｂはＴでない。
【２回目の質問】：１回目の質問で、Ｔでないと判明した門番に対し、
「あなたは、『右が天国への扉ですか？』と聞かれたら、『はい』と答えますか？」

55:１３２人目の素数さん
09/01/23 07:56:09
>>54
それだと、問題文に加えて
「３人の門番は、互いに、誰がどんな性格であるか知っている」
という条件が必要になるのでは。

56:１３２人目の素数さん
09/01/24 06:54:44
２つとも天国に行きますか？ー＞いいえ、はい、？

57:１３２人目の素数さん
09/01/24 07:02:15
みぎは天国に行きますか？ー＞いいえ、はい、？ー＞左が正解

58:１３２人目の素数さん
09/01/24 10:13:04
URLﾘﾝｸ(www.sciencedaily.com)

59:１３２人目の素数さん
09/01/24 17:39:42
F(x)=x+(1-x)+(1,0)
F(0)=0+1+(1,0) 0+1+0->2=F 0+1+1->0=T
F(1)=1+0+(1,0) 1+0+1->T=1 1+0+0->T=1

60:１３２人目の素数さん
09/01/25 04:50:44
>>48の問題をクリアするには２つを満足させる必要がある。

１）　どちらか一方の門が天国または地獄への門であることを確定させる。
２）　１）を確定させるための質問をする相手が、適当に答えるひと以外であることがわかっている。

１）はまあ当然として、２）については、質問の答がランダムな「はい/いいえ」でないための保障として必要。
もし尋ねた相手が適当に答えるひとだったら、その答には価値のある情報を含まないので。

正直、嘘吐きの定義からすると、はい、いいえ、で答えられない質問には答えてくれなさそうだ。
しかし、もうひとりは、どんな質問にでも「はい」か「いいえ」という答を返すようである。
たとえば、「あなたの年齢はいくつですか？　」という質問に、正直と嘘吐きは答えないが
適当なひとは、「はい/いいえ」のどちらかを答えるだろう。
先の質問は、質問した相手が適当に答える人なのかそうでない人なのかを特定することができそうだ。

そこから先は、もうよくある問題と同じ。

61:１３２人目の素数さん
09/01/25 12:56:25
基本は、１回目で適当に答える人ではない人を１人探すこと。

１回目の質問：正直者は「はい」、嘘つきは「いいえ」と答えるような質問をする。
（「あなたは門番ですか」等）
すると、適当に答える人はそのどちらかと答えが重複するので、重複しなかった人を対象に
２回目の質問をすればＯＫ。

１回目でこの手のパズルでよくあるようなややこしい質問をしようと考えるから
かえって難しく見えるが、少数決に気付けば実はシンプルな問題。

62:１３２人目の素数さん
09/01/25 14:39:12
>>61
一度に複数の人に質問できるなら、そんなめんどくさいことしなくても
54の方法で「『右が天国への扉ですか？』と訊かれたら『はい』と答えますか」と訊けば49の言うように1度で済むじゃんよ

63:１３２人目の素数さん
09/01/25 15:03:35
>>62
そうか。通りがかりで適当に答えたら失敗したな。すまん。

では改訂版
１回目：「質問した相手が嘘つきか正直者だと仮定すると、残りの２人のうち嘘つきか正直者を特定できる」ような質問をする。
たとえばａに「『ｂが嘘つきであるか、またはｃが正直者である』という命題は正しいですか？」ときく。
答えが「はい」なら、ｂが嘘つきまたは正直者、「いいえ」なら、ｃが嘘つきまたは正直者。
その結果嘘つきまたは正直者のどちらかであると判明した１人に２回目の質問をすればいい。

結局>>54と同じだな。（そこで終わってた話題であったか。重ねてすまん）
>>55の条件はやっぱり必須だろう。

64:１３２人目の素数さん
09/01/25 15:23:25
> >>55の条件はやっぱり必須だろう。

>>60で否定的に解決してるじゃん。

65:54
09/01/25 20:55:05
>>60はある意味とんちクイズみたいな答えだと思ったけど、
確かに問題文には、「はいかいいえで必ず答えられる
質問しかしてはいけない」（※）って断りはないね。

ところで>>55の条件が絶対要るって示せるんだろうか？
（正確には、それプラス上の※の条件）

古典的な命題論理みたいな議論でいけるかと思ったけど
頭が混乱してきてわからんくなった・・・。

xに対して真偽が問える命題の集合を、
Hx:xは正直者
Lx:xは嘘つき
Tx:xは適当に答える
R:天国への扉は右
とその論理演算で書けるもの全体として、
命題Pに対する返事が仮に「いいえ」だったら、
(Hx∧￢P)∨(Lx∧P)∨T

・・・みたいな感じで。

66:１３２人目の素数さん
09/01/25 23:57:54
>>50
KYOTO+OSAKA=TOKYO
これに数字を当てはめて完成させればいいの？

67:65
09/01/26 00:45:46
一応きちんと書いてみる。
（この定式化で果たして合っているんだろうか？？当方論理学には不慣れなので・・・）
門番x(=a,b,cと名づける)に対して真偽が問える命題(>>65)のことを
P(x)などと書くことにして、
示すべきは、

『・Xa,Xb,Xc(X=H,L,T)の排他的論理和が真
・Hx,Lx,Tx(x=a,b,c)の排他的論理和が真

→

∀x,∀P(x),(

((Hx∧P)∨(Lx∧￢P)∨Tx
→
∀y,∀Q(y),(
(￢((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R)))
∨(￢((Hy∧￢Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R))))

∨

((Hx∧￢P)∨(Lx∧P)∨Tx
→
∀y,∀Q(y),(
(￢((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R)))
∨(￢((Hy∧￢Q)∨(Ly∧Q)∨Ty→R)∧￢(((Hy∧Q)∨(Ly∧￢Q)∨Ty)→￢R))))

)』

68:１３２人目の素数さん
09/01/26 00:54:52
>>67
論理パズルは真理表書いたら瞬殺だよ

69:１３２人目の素数さん
09/01/26 01:02:29
あー、括弧やら否定やらがいろいろ狂ってる・・・
心の目で読んでほしいけど根本的に間違ってるかも。

70:１３２人目の素数さん
09/01/26 07:28:01
常に「はい」と言う嘘吐き。

71:１３２人目の素数さん
09/01/27 16:14:12
URLﾘﾝｸ(myhome.cururu.jp)
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
w

72:１３２人目の素数さん
09/01/27 18:02:34
嘘吐きは、常に嘘を言うひとではなく、嘘も言うひとのことだ。

73:１３２人目の素数さん
09/01/27 20:46:27
そのとおり。
そして正直者は、常に正しいことを言うひとではなく、正しいことも言うひとのことだ。

74:１３２人目の素数さん
09/01/27 20:47:01
それは違うwｗ

75:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:16:07
箱が2009個並んでいて、
どれか1つに「当たり」と書かれた紙が入っている。
その箱より右の箱には「左」と書かれた紙が、
左の箱には「右」と書かれた紙が入っている。
（つまり、当たりの箱がある方向を示している。）
これらの箱から1つずつ選んで開けていき、
当たりの箱がどの箱か特定できたら終了とする。
開ける箱の個数の期待値を最小にするには
どうすればよいか。

76:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:17:05
二分探索でやれば最小だろうな。

77:１３２人目の素数さん
09/01/28 01:23:25
最悪ケースの最小値なら二分探索だろうけど、平均もそうなんだろうか。

78:１３２人目の素数さん
09/01/28 15:33:05
>>75
頼むから、
「どの箱があたりである確率も1/2009である」ということを
条件として書いてくれ。

79:１３２人目の素数さん
09/01/28 21:47:55
>>78
条件：どの箱があたりである確率も1/2009である

80:１３２人目の素数さん
09/01/28 22:10:29
>>79
頼むから、
馬鹿にしないでくれ。

81:１３２人目の素数さん
09/01/29 01:28:11
どの箱があたりである確率も1/2009である

82:１３２人目の素数さん
09/01/29 01:46:43
「当たりの箱がどの箱か特定できたら終了」
ってのがポイントかな？
「当たりの箱を開けたら終了」
ってのと微妙に違う。
箱の個数が少ない場合を計算してみると、
つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。
誰かプログラム組んで計算してほしいんだけど。

83:１３２人目の素数さん
09/01/29 02:16:00
986番目くらいがいいな

84:１３２人目の素数さん
09/01/29 12:49:22
>>82
＞　箱の個数が少ない場合を計算してみると、　
＞　つねに真ん中の箱を開ければいいってわけじゃないみたい。

kwsk

85:１３２人目の素数さん
09/01/29 13:53:49
素朴な二分法が、ベストではない、最も、単純なケースは箱が５個の場合
最初に真ん中（３番目）の箱を開ける場合
１／５の確率で１回で特定可能、４／５の確率で２回で特定可能、従って、９／５回
最初に、２番目の箱を開ける場合
２／５の確率で１回で特定可能、３／５の確率で２回で特定可能、従って、８／５回

箱の数が19個の場合

10－5,15－2,7,12,17－3,8,13,18
（一回目は10番目、２回目は5番目か15番目、．．．の意）
これは、当たりが3,4,8,9,13,14,18,19の何れかであった場合は、４回目の開封を
行わなければならない方法である。

しかし、次のような方法もある。
8-4,12-2,6,10,16-14,18
これは、当たりが、13,14,15,17,18,19の何れかであった場合だけ、４回目の開封を
行わなければならない方法である。

86:１３２人目の素数さん
09/01/31 23:45:58
お金を預けると1年毎に1/2の確率で2倍か2分の1になる銀行があります(端数もきちんと計算する)

(1)この銀行に1万円あずけた時,10年後は平均で何円になってるでしょうか
(2)同じ銀行が10店舗あって､それぞれに1年,1万円ずつ預けたら1年後の期待値は?
(3)同じ銀行が無限店舗あって,10年間で手持ちの1万円をできるだけ増やすのに最適な預け方は?
また,その時の期待値は?

87:１３２人目の素数さん
09/02/01 00:21:46
n年後に最初の金が2^(2k-n)倍になっている確率はnCk/2^n
(1)は二項定理で計算して(5/4)^10(万円)
(2)(3)は線形性から預け方によらずn年後に(5/4)^n倍になる

88:１３２人目の素数さん
09/02/01 01:31:19
>>86
「最適な」の定義にもよるな。
期待値ではなく「得する可能性」を上げたいなら、分散投資するけど

89:１３２人目の素数さん
09/02/03 13:13:32
p1～pnの中から最大のものを取り出す関数max（p1,p2,p3,….,pn)　と
最小のものを取り出す関数min（p1,p2,p3,….,pn)を使って　
５個の要素から中央値（昇順または降順に並べた際の３番目の数値）
を取り出す関数　mid(p1,p2,p3,p4,p5)　を作れ。

90:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:27:10
min(max(pi,pj,pk)[1≦i<j<k≦5])かなあ。

91:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:41:22
>　[1≦i<j<k≦5]
ココの意味がわからん。　繰り返しの指定とかなの？　

92:１３２人目の素数さん
09/02/03 19:49:26
iｊｋが条件を満たす
max(pi,pj,pk)を全部という意味じゃないか？

書き下すなら
max(p1,p2,p3),max(p1,p2,p4),max(p1,p2,p5),max(p1,p3,p4),max(p1,p3,p5),
max(p1,p4,p5),max(p2,p3,p4),max(p2,p3,p5),max(p2,p4,p5),max(p3,p4,p5)
になる。

93:90
09/02/03 19:57:42
フォローｻﾝｸｽ。min[1≦i<j<k≦5](max(pi,pj,pk))と書くべきだったか。

94:１３２人目の素数さん
09/02/03 20:27:56
なるほど、テクニカルで面白いな。
数式処理ソフトで使えそう。

95:１３２人目の素数さん
09/02/03 21:07:30
5->3->1

96:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:09:55
加減乗除と絶対値記号のみを使って
5個の要素から中央値（昇順または降順に並べた際の3番目の数値）
を取り出す関数 mid(p1,p2,p3,p4,p5) を作れ。

97:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:33:32
max(a,b)を作ればminも、n変数のmax,minも出来る。

max(a,b)=(|a-b|+a+b)/2 以下関数合成を繰り返す

98:１３２人目の素数さん
09/02/04 02:49:30
n個の数の中で大きいほうから数えてm(<n)番目の数を与える関数を
f_{n,m} (p1, ........., p_n)とする。
max{x,y}、min{x,y}から関数合成を行うことによって
決して構成できないようなf_{n,m}は存在するか。
無いならそのことを示し、あるならば反例を与え、そのnとmに対して
関数合成によって決してf_{n,m}にならないことを示せ

99:１３２人目の素数さん
09/02/04 04:04:08
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

100:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:03:40
>>98
任意個の変数のmax、minは容易に作れるから、
あとは>>90と同じやりかたでf_{n,m}も作れる

101:１３２人目の素数さん
09/02/04 18:30:55
>>99
直感的には、n個から重複を許してr個とるわけだから、
まず種類１をn-m個、次に種類２をn-m-l個、・・・ととるのだと考えれば成り立つ。

nH1,1Hn=1に対しては成立。（r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1
だと解釈）
n+rに関する帰納法。この和がn+r-1のときまで成り立っているなら、
nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
=Σ[m=1,n-1]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) } + Σ[l=1,n]…(Σ[j=1,k]j)
=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
よりこの和がn+rのときも成り立つ。

102:101
09/02/04 18:48:56
miss!
>nHr=(n+r-1)C(r-1)=(n+r-2)C(r-1)+(n+r-2)C(r-2)=(n-1)Hr+nH(r-1)
nHr=(n+r-1)Cr=(n+r-2)Cr+(n+r-2)C(r-1)=(n-1)Hr+nH(r-1)

103:101
09/02/04 20:32:20
あ、
>r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=1 だと解釈
r=1のときはΣ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }=n だと解釈
しないとうまくいかないな。
こうしておけば帰納法はうまく進むので問題なし。

104:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:31:41
>>99
多項式(x+1)^(n+1)-1を考える。二項定理から(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]C[n+1,k+1]x^(k+1) …(1)
(ここでC[n,k]は2項係数を表す。)一方、
(x+1)^(n+1)-1={(x+1)-1}Σ[k=0,n](x+1)^k=xΣ[k=0,n]Σ[l=0,k]C[k,l]x^l
右辺を整理すれば(x+1)^(n+1)-1=Σ[k=0,n]{Σ[l=k,n]C[l,k]}x^(k+1) …(2)
(1),(2)の係数を比較することでC[n+1,k+1]=Σ[l=k,n]C[l,k]を得る。
書き直せばC[n+k,k+1]=Σ[l=1,n]C[l+k-1,k] これより
Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]j_(r-1)
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-2)]C[j_(r-1),1]
=Σ[j_1=1,n]Σ[j_2=1,j_1]…Σ[j_(r-1)=1,j_(r-3)]C[j_(r-2)+1,2]
=…
=Σ[j_1=1,n]C[j_1+r-2,r-1]
=C[n+r-1,r]
=H[n,r]

105:１３２人目の素数さん
09/02/07 11:58:39
>>99
nHr = (r+1)H(n-1) は、次の非負整数解の個数と同じ
x_1 + x_2 + … + x_{r+1} = n-1.
そこで、
y_i = 1 + x_1 + x_2 + … + x_i (i = 1, 2, ..., r+1)
と換えると、
1 ≦ y_1 ≦ y_2 ≦ … ≦ y_r ≦ y_{r+1} = n.
これを数えると、題意の等式を得る。

106:１３２人目の素数さん
09/02/07 15:58:51
つURLﾘﾝｸ(www.sonnyradio.com)

107:１３２人目の素数さん
09/02/11 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108:１３２人目の素数さん
09/02/11 23:35:25
>>107
n=1 のときは等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n についてたす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

109:１３２人目の素数さん
09/02/13 06:16:35
>48
1+1=2?
天国は右？

110:１３２人目の素数さん
09/02/13 15:59:43
a[1]=1,a[2]=3,b[1]=1,b[2]=1
a[n+2]=(4n+2)a[n+1]+a[n]
b[n+2]=(4n+2)b[n+1]+b[n]
とするとき
lim[n→∞]a[n]/b[n]を求めよ

111:１３２人目の素数さん
09/02/15 04:01:43
(改変転載)

一辺が１の正四面体Ｔが、厚さの無視できる壁に開いた
半径ｒの円形の穴を通過する。半径ｒの最小値をもとむ。

112:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:06:27
>>111
>もとむﾜﾛﾀ

外接円考えてr=1/√2じゃないの？

113:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:09:39
よく見たら正四面体か。
r=1/√3かな。

114:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:20:04
ばかｗ

115:１３２人目の素数さん
09/02/15 10:41:24
(0,0,0),(1/√2,1/√2,0),(1/√2,0,1/√2),(0,1/√2,1/√2)
を結んだ正四面体を考えてr=1/2

116:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:06:12
転載

◆ わからない問題はここに書いてね２５５ ◆
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

215 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 03:59:34
>>213 >>214
1/2より小さくできると思う。
正四面体をOABCとし、OBとOC上にそれぞれM,Nを取ったとき、
△AMNの外接円の半径の最小値が答えになると予想。

ちなみにM,NをOB,OCの中点としたときは9/(8√11)≒0.34。
この付近に最小値を与える点があるはずなんだが、
式が爆発して手が着けられなくなった。

225 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/15(日) 15:26:47
>>215
なぁ、本当に0.34まで小さくなるか？

ちょっとやってみたんだが
O(0,0,0) A(Sqrt[3]/3,0,Sqrt[6]/3) B(Sqrt[3]/2,1/2,0) C(Sqrt[3]/2,-1/2,0)
としてOM:MC=s:1-s,ON:NB=t:1-tと置いて内積使って正弦定理を書き直して求めてみた。
URLﾘﾝｸ(www2.uploda.org)
どうもそんなに小さくならなさそうなんだが……俺なんか間違えたかな？

117:116
09/02/15 20:08:33
上の 225 の外接円の半径 R は
R^2 = (1-s+s^2)(1-t+t^2)(s^2-st+t^2)/(3s^2-2st+3t^2 - 2st(s+t) + 3s^2t^2)
で、これは自分(≠225)も確認

ただし、△AMN が円に納まる条件は
min(R, (1/2)max(AM, AN, MN)) ≦ r
max のほうは鈍角三角形の場合

118:１３２人目の素数さん
09/02/15 20:35:00
確か「幾何学の散歩道」か何かに、
一辺1の立方体に穴を開けて別の立方体を通したい。
通る立方体の一辺の長さの上限を求めよ、みたいな問題があって
1よりも何%か大きくなるとかなんとかで、結構意外な問題だったと思う。
手元にたぶん無いんでアレだが。

119:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:27:18
>>111
　r = 0.44780569665327156030029247262839…
らしいよ。
>>116-117
　漏れもそんなに小さくならなさそうだとｵﾓﾀ.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:284-286番)
数学セミナー

120:１３２人目の素数さん
09/02/15 21:50:44
>>117
鈍角三角形ってなりえるかな？

121:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:30:53
(i)
xy平面上に4個の点O,A1,A2,A3がある。
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値を求めよ。

例
O(0,0) A1(0,1) A2(1,0) A3(1,1)とすると
α=2+2√2、β=4よりα/β=(1+√2)/2

(ii)
3次元ユークリッド空間上にn個の点O,A1,A2,A3,…,A[n-1]がある。(ただしn≧4)
Oから出発し、Oではない全ての点A1,A2,A3,…A[n-1]を一度だけ通りOに帰ってくるルートを考える。
最も長い距離を移動するルートをα、最も短い距離を移動するルートをβとしたときの
α/βの最大値はnの式で書けるか？書けないならその事をを示せ。

122:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:47:19

「面白い」の定義を数式を用いて述べなさい。

【配点　5 点】

123:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:27
面白い⊆興味深い

124:１３２人目の素数さん
09/02/15 22:59:55
interesting と funny で区別とかするよね

125:１３２人目の素数さん
09/02/15 23:02:51
数学でfunnyってどういうのだろう？
文体なんかでfunnyに見せるのであれば芸がないな

126:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:04:42
>>120
なる
自分は t=0 で s→0 にすると R が変な値になって気がついた

127:１３２人目の素数さん
09/02/16 00:18:13
>>125
「点」「直線」「平面」を「机」「椅子」「ジョッキ」と言い換える

128:１３２人目の素数さん
09/02/16 01:53:41
n枚のコインを全て裏向きにして円形に並べ、
そのうちの1枚をスタート地点としてそこにコマを置く。
この状態から、
(1)表向きになっているコインの枚数だけ時計回りにコマを進め、
(2)コマの位置にあるコインをひっくり返す
という操作を繰り返しおこなう。
ただし、最初の状態では表向きのコインが0枚なのでコマは動かさない。

全部のコインが表向きになるのは、nがどのような数のときか？

129:１３２人目の素数さん
09/02/16 02:23:24
>>122
limit[white→tail](dog)

130:１３２人目の素数さん
09/02/16 10:35:13
(俺用メモ)

>>117 の R が最小値を取るのは
s = t,
3s^3 - 6s^2 + 7s - 2 = 0
のとき

これを解いて
s = t
= (2 + (√43-4)^(1/3) - (√43+4)^(1/3)) / 3
= 0.39125971
のとき最小

このとき最小値は
R
= √(1 + (12+√43)(√43-4)^(1/3) - (12-√43)(√43+4)^(1/3)) / (6√2)
= 0.447805697

131:１３２人目の素数さん
09/02/16 22:55:09
>>128

裏=○,表=●,コマの位置=☆,★
[○]→［★］
[○○]→[★○]→[●★]
[○○○]→[★○○]→[●★○]→[☆●○]→[○☆○]
[○○○○]→[★○○○]→[●★○○]→[●●○★]→[●●★●]
[○○○○○]→[★○○○○]→[●★○○○]→[●●○★○]→[●☆○●○]→[●○○☆○]
→[●○○○★]→[●★○○●]→[●●○○☆]→[●☆○○○]→[●○★○○]→[●○●○★]
→[●○☆○●]→[●○○○☆]→[☆○○○○]
以下、"→・・・→"(n個)でn手先を表すことにする
[○○○○○○]→→→[●●○★○○]→→[○●★●○○]→→[○●●☆○●]→→[●●●○★●]→[●●●★●●]
[○○○○○○○]→→→→[●●○●○○★]→→[●●○○○○☆]→→→[●○●○★○○]→→→[○○○★●○○]
→→[○★○●●●○]→→→→[○○○○☆○○]

以下同様に20枚まで調べていくと、全部表向きになった枚数は(カッコ内は手数)
1(1),2(2),4(4),6(10),8(8),12(44),16(16),20(3116)
また、それ以外の枚数で、全部裏にもどってしまったときの手数は
3(4),5(14),7(18),9(14),10(24),11(58),13(34),14(12),15(158),17(1430),18(792),19(2216)

もしやとおもって、32枚、64枚のときを調べてみるとそれぞれ32手、64手で全部表になった。
ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
それ以上は分からないし証明も出来ない。

132:１３２人目の素数さん
09/02/17 00:42:13
>>110
勘だけどeだと思う

133:１３２人目の素数さん
09/02/17 04:46:53
＞ここから「あるnがあってコインの枚数が2^nならば2^n手で全部表になる」と予想。
これは簡単。mod 2^nにおいてk(k＋1)/2 (k＝0,1,2,…,2^n－1)は全て異なる。

134:１３２人目の素数さん
09/02/20 20:21:12
>>121の(i)って2になる気がする。
でもどうやって証明しよう。

135:１３２人目の素数さん
09/02/21 09:51:02
問題というよりは質問にちかいのだけれども…

平面上にいて見える景色について考える。

球面上(曲率が正の平面)にいる場合、地平線は水平よりも少し下に周囲一周円を描いて見えるはず。
曲率が０の平面にいる場合、地平線は水平に無限のかなたに周囲一周見えるはず。
では曲率が負の平面に立っている場合、地平線はどういう形に見えるんだろう？

136:１３２人目の素数さん
09/02/21 11:13:26
曲率が負なら球面の中みたいになるでしょ。

137:１３２人目の素数さん
09/02/21 20:08:25
>>136
曲率が負というのはそういう意味じゃない。
いわゆる馬の鞍のような曲面が負の曲率を持つもの。

球面はどこをとっても同じ正の曲率だが、
どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
きれいに収めることはできない。

曲率は、その面が空間内でどういう形に収められているかとは
関係なく決まっているもので、たとえば紙を丸めてロール状にしても
その曲率は０で変わらない。なので、>>135の考えていることも
曲率を持ち出して議論すること自体ナンセンス。

138:１３２人目の素数さん
09/02/23 08:31:02
なるほど

139:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:28
ナ、ナ、ナ、ナンセンス！

140:１３２人目の素数さん
09/02/23 15:32:59
>>137
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。
> どこをとっても一定の負の曲率の曲面は、そもそも３次元空間の中に
> きれいに収めることはできない。

141:１３２人目の素数さん
09/02/23 17:10:16
>>140
できるの？

142:１３２人目の素数さん
09/02/23 21:48:31
だまされるな、>>140は>>137に恋心を抱いているだけだ

143:１３２人目の素数さん
09/02/23 22:53:50
空間が無限なら収まるってはなしじゃないの

144:１３２人目の素数さん
09/02/24 13:25:42
無限なら収まるの？

145:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:11:29
F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)
で定まるフィボナッチ数列を考える。
正整数mに対し、F(n)がmの倍数となるような最小の正整数nをg(m)と定義する。
例えばg(1)=1, g(2)=3, g(3)=4である。
g(n)=nを満たすnはどのような数か？

146:１３２人目の素数さん
09/02/27 02:55:08
面白いなー
なんで5と12なんだ

147:１３２人目の素数さん
09/02/28 00:25:12
>>144
"擬球"でぐぐるよろし

148:１３２人目の素数さん
09/03/07 19:55:11
なんか問題文自体は簡単に書けるけど中身は面白い問題ｷｳﾞｫﾝﾇ

149:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:42:59
(1) 任意の実正方行列Aが高々４つの直交行列（Aに依存してよい）の線型結合で書けることを示せ。
(2) (1) の主張の４という数字はこれ以上小さくできないことを示せ。

150:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:23:07
はっ！まさか４色問題がらみ？
と直感だけで言ってみる。

151:１３２人目の素数さん
09/03/07 23:28:21
>>145
n=5^kまたはn=12*5^kのときにg(n)=nになることは証明できた。
めんどいから書かんけど。

152:１３２人目の素数さん
09/03/08 03:17:55
>>150
例えるなら，４色問題よりラグランジュの４平方和定理（全ての自然数は高々４つの平方数の和で表せる）の方が近いだろう。

153:１３２人目の素数さん
09/03/09 16:12:53
>>99の等式って
Σ[k=1,n]kHr=nH(r+1)
と同値なのかな？

154:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:24:46
教養のない人間＝獣を証明せよ

155:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:34:53
まずは教養のない人間と獣の定義を聞かせてもらおうか？

156:１３２人目の素数さん
09/03/11 08:42:13
∀x{(x∈教養のない人間)→(x∈獣)}は納得できるが
∀x{(x∈獣)→(x∈教養のない人間)}はかなり無理のある定義しないと証明できないんじゃなかろか

157:１３２人目の素数さん
09/03/14 15:16:09
>50 京都+大阪＝東京 ,これを証明せよ

京都で買ったおたべと大阪で買ったたこやきは、東京のバナナだった。

158:１３２人目の素数さん
09/03/14 22:36:51
>>157

「おたべ」は (株)おたべ〔京都〕の
「§京都銘菓＼おたべ」は (有)あど・おたべ〔京都〕の　　(4484724号)
「大阪新名物＼たこ焼き＼ようかん」は(有)黒須製餡所〔栃木･今市〕の　　(4699568号)
「東京ばな奈」は (株)グレープストーン〔東京〕の登録商標でつ。。。

159:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:49:57
面白い解法があることを期待して転載
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:209番)

実数a,b,c,x,y,zが

ax+by+cz=1
ax^2+by^2+cz^2=2
ax^3+by^3+cz^3=6
ax^4+by^4+cz^4=24
ax^5+by^5+cz^5=120
ax^6+by^6+cz^6=720

を満たすとき、ax^7+by^7+cz^7の値を求めよ

160:１３２人目の素数さん
09/03/20 03:28:42
ワクワク…、ワクワク…

161:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:06:47
ガウス-ラゲールの積分公式を求めるのと同じようにしてできる
(ax^6+by^6+cz^6=6! の代わりに a+b+c=1 とするとガウス-ラゲールそのもの)

関数 g(t), h(t) の内積を
(g(t), h(t)) ≡ ∫[0,∞] g(t) h(t) t e^(-t) dt
で定義する
(f(t), 1) = (f(t), t) = (f(t), t^2) = 0　　…(1)
となる t の3次式 f(t) を求めると、定数倍を除いて
f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24
f(t) = 0 は相異なる3実根を持ち、それを x,y,z とする
({x,y,z} = {0.935822, 3.305407, 7.758770})

ax^n + by^n + cz^n = (t^(n-1), 1)　(n = 1,2,3)　　…(2)
となるように a,b,c を定めると、a,b,c,x,y,z は与条件を満たす

∵)
(t^(n-1), 1) = n!　　…(3)
なので (2) より
ax^n + by^n + cz^n = n!　(n = 1,2,3)
あとは ax^n + by^n + cz^n = n!　(n = 4,5,6)　を言えばよい
例えば n=5 のとき x^4 を f(x) で割った商を q(x) とすると
x,y,z は f(t) = 0 の根なので
ax^5 + by^5 + cz^5
= ax(x^4 - f(x)q(x)) + by(y^4 - f(y)q(y)) + cz(z^4 - f(z)q(z))
　　x(x^4 - f(x)q(x)) は x,x^2,x^3 の線形結合(y,z についても同様)
　　なので (2) を使って、
= (t^4 - f(t)q(t), 1) = (t^4,1) - (f(t), q(t))
　　第1項に (3) を使い、q(t) は1次なので第2項に (1) を使って、
= 5!
n=4,6 のときも同様■

162:１３２人目の素数さん
09/03/20 06:07:58
(続き)
同じようにして
ax^7 + bx^7 + cz^7
= ax^4(x^3-f(x)) + by^4(y^3-f(y)) + cz^4(z^3-f(z))
= 12a(x^6-3x^5+2x^4) + 12b(y^6-3y^5+2y^4) + 12c(z^6-3z^5+2z^4)
= 12 (t^5 - 3t^4 + 2t^3, 1)
= 12(6! - 3*5! + 2*4!)
= 4896

# a,b,c,x,y,z の一意性は言えてないけど

163:１３２人目の素数さん
09/03/20 18:51:06
>>159
高校数学の範囲内の問題？

164:１３２人目の素数さん
09/03/20 20:05:00
>>163
p[n] = ax^n+by^n+cz^n について、漸化式
p[n] = A p[n-1] + B p[n-2] + C p[n-3]
の問題に帰着できる。

165:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:26:51
>>161
蛇足だが･･･

　f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t - 24 = (t-4)^3 -12(t-4) -8 = 16{4T^3 -3T -(1/2)},
ここに T = (t-4)/4,
　x = 4 + 4･cos( 7π/9) = 0.93582222752408785919042939777833･･･
　y = 4 + 4･cos(13π/9) = 3.3054072893322786045931334929227･･･
　z = 4 + 4･cos(　π/9) = 7.7587704831436335362164371092989･･･

{a,b,c} は次の多項式の根。
　g(u) = u^3 - (3/4)u^2 + (11/12^2)u - {1/(3･12^3)} = (u -1/4)^3 - (1/9)(u -1/4) -(1/81) = (2/81√3){4U^3 - 3U - (√3)/2},
　ここに U = {(3√3)/2}(u -1/4)
よって
　a = (1/4) + {2/(3√3)}cos( π/18) = 0.62905268086775253761255598397337･･･
　b = (1/4) + {2/(3√3)}cos(-11π/18) = 0.11835638545510051414429421693642･･･
　c = (1/4) + {2/(3√3)}cos( 13π/18) = 0.002590933677146948243149799090212･･･

166:１３２人目の素数さん
09/03/20 21:42:04
>>164
特性多項式
　f(t) = t^3 -At^2 -Bt -C,　　　>>161
から出まつね。

167:１３２人目の素数さん
09/03/20 22:33:05
中学三年の問題らしいよ

168:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:03:23
解法はありきたりだが結果が面白い問題ということで一つ。

数列I_nと関数列f_n(x)を次のように定義する。
I_n=∫[0,π/2]cos^(2n)(t)dt
f_n(x)=∫[0,π/2]cos(xt)cos^(2n)(t)dt　(xは任意の実数)
(1)I_n,f_n(x)を計算せよ。
(2)任意の実数xについて lim[n→∞]f_n(x)/I_n=1
　が成り立つことを示せ。

169:１３２人目の素数さん
09/03/21 03:44:35
>>165
その a,b,c,x,y,z が与えられた方程式を満たすのはいいとして、
逆に、与えられた方程式を満たす a,b,c,x,y,z が(並べ替えを除いて)
>>165 のものだけに限ることは言えるんだろうか

170:１３２人目の素数さん
09/03/21 20:13:57
一意性もOKみたい

171:１３２人目の素数さん
09/03/22 09:50:28
>>170
考えてみたけど、ごちゃごちゃした証明しか思いつかない
簡単に証明できたんなら教えて

172:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:46:10
>>159, >>171　（>>164にあるp[n]の母関数を使いました）
F(t):=-(a+b+c)+ae^(xt)+be^(yt)+ce^(zt) をマクローリン展開すると仮定により
F(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + (7次以上の項)
となる。この6次までの項からなる多項式を G(t) とおく：
G(t) = t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6。

f(t):=F'(t) は（A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz　とおくと）
f'''-Af''+Bf'-Cf=0　を満たすので
g(t):=G'(t) に対して　g'''-Ag''+Bg'-Cg　の2次までの項は無い。(※)-->>173

実際に計算すると（h:=g'''-Ag''+Bg'-Cg　とおくと）
h(t) = 24-6A+2B-C + (-2C+6B-24A+120)t + (-3C+12B-60A+360)t^2 + (3次以上の項)
となるので A,B,C は連立方程式
24-6A+2B-C=0, -2C+6B-24A+120=0, -3C+12B-60A+360=0
の解で、これを解くと　A=12, B=36, C=24　が得られる。

173:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:47:02
注：一般に二つの関数f(t),g(t)のマクローリン展開がn次の項まで一致すれば
二つの関数　f'''-Af''+Bf'-Cf　と　g'''-Ag''+Bg'-C　のマクローリン展開は
n-3次の項まで一致します。>>172では(※)でそれを使ってます。

手で計算するのが面倒ならMaximaで↓これを１行ずつ実行させればいいです。
F(t):=-(a+b+c)+a*exp(x*t)+b*exp(y*t)+c*exp(z*t); taylor(F(t),t,0,6);
G(t):=t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6; define(g(t), diff(G(t),t,1));
define(h(t), diff(g(t),t,3)-A*diff(g(t),t,2)+B*diff(g(t),t,1)-C*g(t))$ rat(h(t),t);
eq0:h(0)=0;
define(h1(t), diff(h(t),t,1))$ eq1:h1(0)=0;
define(h2(t), diff(h(t),t,2))$ eq2:h2(0)=0;
linsolve([eq0,eq1,eq2], [A,B,C]);

結局これもゴチャゴチャしとるな・・・

174:１３２人目の素数さん
09/03/22 14:54:39
訂正：>>173の二行目

（誤）　g'''-Ag''+Bg'-C
（正）　g'''-Ag''+Bg'-Cg

175:１３２人目の素数さん
09/03/22 15:25:07
マクローリン展開のn-3次の項がうんぬんとかやるくらいなら
もう行列式の値を x、y、z の対称式として愚直に
計算したほうがすっきりしてるような

176:１３２人目の素数さん
09/03/22 16:10:59
A=x+y+z, B=yz+zx+xy, C=xyz　とおくと

x^4 = Ax^3 - Bx^2 + Cx
y^4 = Ay^3 - By^2 + Cy
z^4 = Az^3 - Bz^2 + Cz　より　24 = ax^4 + by^4 + cz^4 = 6A-2B+C

x^5 = Ax^4 - Bx^3 + Cx^2
y^5 = Ay^4 - By^3 + Cy^2
z^5 = Az^4 - Bz^3 + Cz^2　より　120 = ax^5 + by^5 + cz^5 = 24A-6B+2C

x^6 = Ax^5 - Bx^4 + Cx^3
y^6 = Ay^5 - By^4 + Cy^3
z^6 = Az^5 - Bz^4 + Cz^3　より　720 = ax^6 + by^6 + cz^6 = 120A-24B+6C

これで終りだった・・・orz

177:１３２人目の素数さん
09/03/22 23:50:03
>>176
神ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!

178:171
09/03/22 23:59:37
>>172-176
サンクス
これから読ませてもらう

179:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:05:25
充分に大きい白い容器と黒い容器が無限個ある。
最初、ひとつの白い容器に純水が 1kg、
ひとつの黒い容器に 100% のアルコールが 1kg 入っている。
以下の操作を好きなだけ行って、最終的にひとつの白い容器になるべく
アルコール濃度の高い 1kg の液体を作りたい。
このアルコール濃度の上限はいくらか？

可能な操作
・ひとつの容器から同じ色の別の容器(空でなくてもよい)に好きなだけ液体を移してよく混ぜる
・白い容器と黒い容器をひとつずつ取り、両方の容器の液体を一緒にしてよく混ぜて、
もとの質量と同じだけ両方の容器に分ける
(混ぜる前に、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体が入っていたら、
混ぜたあとも、白と黒の容器にそれぞれ m, M の質量の液体を入れるということ)

180:１３２人目の素数さん
09/03/24 11:24:01
濃度は重量濃度です
アルコール濃度 = 液体中のアルコールの質量 / 液体の質量

181:１３２人目の素数さん
09/03/24 14:14:48
白い容器のほうの濃度を a、黒い容器のほうの濃度を b 、
操作後の濃度を a1 及び b1 とすると
a < a1 < b1 < b が分かる。
また a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。
二番目の操作を繰り返すことによって白い容器内の濃度は 1/2 に
限りなく近づけることが出来る。よって50%。

182:１３２人目の素数さん
09/03/24 18:53:59
1　-　exp(-1)　　≒　　0.632　まで濃度をあげられるんじゃないか？

183:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:14:35
体積モル濃度を調べよう。

184:１３２人目の素数さん
09/03/24 20:46:50
>>181
> a1 ≦ 1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。

ここの理屈がわからん。
なぜa1>1/2だと、アルコールの量が増えたことになるんだ？

185:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:01:03
1)　最初に白い容器の純水をｎ個の白い容器に等分する。
2)　次に、n個全ての白い容器に対して、その白い容器をひとつと黒い容器を混ぜ、戻す。
3)　最後にｎ個の白い容器のをすべてひとつの白い容器に集める。

たとえば、n　が　２の場合
1)　純水を白い容器２つに1/2kgづつに分ける。
2-1)　ひとつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。　ここで黒い容器に残るアルコールは2/3kg　
2-1)　ふたつめの白い容器と黒い容器を混ぜ、戻す。　ここで黒い容器に残るアルコールは(2/3)^2　=　4/9　kg
3)　白い容器をすべて集めると、アルコールは1-4/9　=　5/9　kg

ここで　>>181の　
＞　a1　≦　1/2（そうでないとするとアルコールの総量が増えたことになる）。　
は、正しくないことがわかる。

この方法だと、白い容器に入るアルコールの量は、　1-(n/(n+1))^n　なので、使用する白い容器の数を増やせば　
最大で　lim_{n->∞}(1-(n/(n+1))^n)　=　1　-　exp(-1)　のアルコールを白い容器に入れることができる。

これが最大かどうかは知らん。

186:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:03:20
×　2-1)　ふたつめの
○　2-2)　ふたつめの

187:１３２人目の素数さん
09/03/24 22:05:08
瑣末なことだが、白い容器は３個あれば事足りる。

188:１３２人目の素数さん
09/03/25 06:54:29
ｎ等分ではなく
１番目の白い容器には1/n、２番目の容器には1/n　×　(n/(n+1))　…　と等比になるように分配する
つまり　ｎ番目の容器には　1/n　×　(n/(n+1))^(n-1)　の水。　#　この数列の和はもちろん1
(2)以降の操作は同じ。

きちんと計算はしていないが、
nを大きくとれば、白い容器のアルコールを、いくらでも１に近づけることができると思うが、どうだろうか。

189:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:07:32
訂正：
×　１番目の白い容器には1/n　
○　１番目の白い容器には1/(n+1)

190:１３２人目の素数さん
09/03/25 07:16:12
あ、ダメか　
1　-　exp(-1)　は超えられないや。

191:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:03:09
某サイトからの引用。

2人組の手品師AとBが、観客に対して次のようなマジックを行なう。
問：このマジックのタネ(phase0 の内容)を考案せよ。

(phase0)
事前にAとBは綿密に打ち合わせをしておく。

(phase1)
Bには目隠しと耳栓をさせる。Aは1組52枚のトランプカードを
全て観客の一人に渡し、その中から好きな5枚を選んでもらう。
余った47枚はその場で廃棄する。

(phase2)
Aは、観客が選んだ5枚の内容を確認した上で、その中の1枚を指定する。
観客はAが指定した1枚を手に残して隠し持ち、その他の4枚をAに返却する。
Aはその4枚を表向きにして机の上に並べ※、舞台から退場する。

(phase3)
Bが目隠しを外し、机上の4枚を見て観客の手にある1枚を当てる。(終了)

※4枚のカードを机の上に並べる際は、あらかじめ固定された
「同じ向き」「等間隔」「一列」のポジションに置かなければならない。
Aのアレンジが許されるのは、4枚の「並び順」のみであるとする。

192:１３２人目の素数さん
09/03/26 02:16:34
コマ大のやつね

193:191
09/03/26 02:56:14
あらら。有名だったのかな。
一応、引用元はここの19番なんだけど。
URLﾘﾝｸ(www.qbyte.org)

他にもいろいろ面白いのがありそうでマジお勧め。
皆さんも気に入ったのがあったら翻訳転載よろ。

194:179
09/03/26 07:29:29
>>190
その方法はまだ計算してないから、上限がいくらかは分からないけど、
別のやり方で 1-(1/e) 以上にできます

>>193
そのサイトの方法だと52枚までだけど、もっと枚数増やせないんだろうか

195:１３２人目の素数さん
09/03/26 13:42:27
>>193
URLﾘﾝｸ(gascon.cocolog-nifty.com)
この後半に紹介されているが、そこから採ったのかも。番組では実演して失敗してた。

196:１３２人目の素数さん
09/03/26 17:30:35
a

197:１３２人目の素数さん
09/03/27 00:24:19
>>194
直後の第20問で、124枚まで増やした場合が採り上げられてるよ。

198:１３２人目の素数さん
09/03/27 03:08:48
以下の条件を満たす四角形は存在するか？
存在するなら例示し、存在しないならその事を証明せよ。

(i)
三辺の長さと対角線の長さが全て整数
(ii)
四辺の長さと対角線の長さが全て整数

199:198
09/03/27 03:14:11
書き損ねた。
(iii) (ii)を満たし、かつどの2辺をとっても長さが等しくならない。

200:１３２人目の素数さん
09/03/27 13:22:54
(iii)とは？

201:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:28:19
四辺の長さと対角線の長さが全て整数
かつ
どの2辺をとっても長さが等しくならない。

すると(ii)は円か何かを使うのかな。

202:１３２人目の素数さん
09/03/27 15:40:57
(i)(ii)は同じ長さの辺があってもいいの？
もしそうなら、例えば縦横比3:4の長方形（対角線は5）があるけど。

203:１３２人目の素数さん
09/03/27 23:31:05
くそ、卑猥な記号ばかり並んでやがる

204:１３２人目の素数さん
09/03/28 01:19:56
問題 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
　a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,

問題 2.
(a) 2008のすべての約数d >0 に対して　P(d) = 2008/d,
　　となるような整数係数の多項式P(x)は存在するか?

(b) nのすべての約数d >0 に対して　P(d) = n/d,
　　となる整数係数の多項式P(x)が存在するような自然数nを求めよ。

問題 4.
ｆは正整数から非負整数への写像とする。次の条件を満たすｆをすべて定めよ。
　(1)　f(mn) = f(m) + f(n),
　(2)　f(2008) = 0,
　(3)　f(n) = 0,　for all n≡39 (mod 2008).

問題 5.
nを自然数とするとき、数列 n + [√n] + [ n^(1/3) ] に含まれない自然数をすべて挙げよ。
ここに [ x ] はx以下の最大の整数である。

URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)
2008/06/07～08

205:１３２人目の素数さん
09/03/28 18:10:26
問2への答え
(a)2008=251*8より約数は1,2,4,8,251,502,1004,2008の8つ。
今f(1)=2008,f(2)=1004,f(4)=502,f(8)=251,f(251)=8,f(502)=4,f(1004)=2,f(2008)=1
よってf(x)=(x-1)A(x)+2008=(x-2)B(x)+1004=(x-4)C(x)+502=(x-8)D(x)+251
=(x-251)E(x)+8=(x-502)F(x)+4=(x-1004)G(x)+2=(x-2008)H(x)+1

一般にA(x)とD(x)の次数が同じならば、A(x)～H(x)を整数係数多項式として
f(x)=A(x)B(x)+C(x)=D(x)E(x)+F(x)と書ける時、f(x)=A(x)D(x)G(x)+H(x)と書ける為
与式を満たす整数係数多項式P(x)は存在する。

(b){n|nの平方根が整数にならない}

206:１３２人目の素数さん
09/03/28 19:04:00
>>205
(b)なんだけど、おれが考えた答えと違う。

x = (nの約数) のとき、 xP(x)-n = 0 である。
よって xP(x)-n = Q(x) (x-d_1) (x-d_2) ... (x-d_m) (ただし、d_i はすべての n の約数を渡る。Q(x) は適当な整数係数多項式)
両辺の定数項を比較して n は d_1 * d_2 * ... * d_m の倍数である。
ｎの約数はn自身も含むので、nが素数でなければ、n < d_1 * d_2 ... * d_m となるので
nが素数であることが必要条件。

逆に n が素数なら、xP(x) - n = -(x-1)(x-n) = -x^2 + (n+1)x - n として
P(x) = x - (n+1) をとればいい。

よって n が素数であることが必要十分。

207:１３２人目の素数さん
09/03/29 03:15:42
nが素数のときはP(x)＝x－(n＋1)とすればよい。

nが合成数のときは、ある素数p,qについてn＝pqmとなる。
P(x)の定数項をaとする。

p＝qのとき：仮定よりP(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。
次に、x＝pとして、P(p)＝n/p＝pm となるからP(p)≡0 (mod p)
一方、P(p)≡a≡1 (mod p)だから、矛盾。

p≠qのとき：P(n)＝1だから、a≡P(n)≡1 (mod p)が成り立つ。また、
P(pm)＝n/(pm)＝qだから、a≡P(pm)≡q (mod p)となり、よってq≡1 (mod p)が
成り立つ。つまりp｜(q－1)が成り立つ。これとq－1＞0より、q－1＞pとなる。
pとqの役割を入れ替えても同様の議論が成り立ち、そのときp－1＞qが得られる。
よってq－1＞p＞q＋1となり、矛盾。

208:１３２人目の素数さん
09/03/29 06:45:31
>>205
f(x) = (x-1)A(x) +2008,
A(x) = -1004 + (x/2 -1)[502 -(x/4 -1){251 - (x/8 -1)[8 -(x/251 -1){4 - (x/502 -1)[2 - (x/1004 -1)]}]}] + r(x)
　　 = -1004 + 502(x/2 -1) -251(x/2 -1)(x/4 -1) +8(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1) -4(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1) +2(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1) -(x/2 -1)(x/4 -1)(x/8 -1)(x/251 -1)(x/502 -1)(x/1004 -1) +r(x)
r(x) = (x-2)(x-4)(x-8)(x-251)(x-502)(x-1004)(x-2008)g(x),

209:１３２人目の素数さん
09/04/01 01:19:15
数日前に質問スレで、以下の趣旨の問題が投下され、解決することなく流れていた。

「1～nの番号がついた玉を無作為に一列に並べたとき、連続するどの2つの番号も、
その順番通りに隣接して配置されない順列のパターン数は？」
（もとの問題は楽曲のシャッフル演奏が題材だった）

n=3の場合、12も23も現れない配置ということで、132、213、321の3通りとなる。
帰納的な考察により、そのようなパターン数をa(n)とおいたとき、
a(1)=a(2)=1として、a(n)=(n-1)*a(n-1)+(n-2)*a(n-2)となることがわかった。

これって解けるのかな。
閉じた式じゃなくても、再帰構造が排除できればいいとして。

210:１３２人目の素数さん
09/04/01 02:06:54
>>209
不完全ガンマ関数Γ(m+1,x) := ∫[x,∞] t^m exp(-t) dt を使うと
　a(n) = Γ(n+2,-1) / (n e) になる．
不完全ガンマの展開公式
　exp(x) Γ(n+2,x) = Γ(n+2) Σ[k=0,n+1] x^k/k!
を使えば
　a(n) = ( (n+1)! Σ[k=0,n+1] (-1)/k! ) / n
になる．例えば n = 3 だと 4! (1 - 1/2 + 1/3! - 1/4!) / 3 = 3．

211:１３２人目の素数さん
09/04/01 16:35:36
>>210
なんか違わない？計算が合わないんだけど。

>>209
y = x + y' (x^2+x^3) ていう微分方程式を解けば、各係数がその数列のなっているはず。

212:１３２人目の素数さん
09/04/01 20:22:10
>>211
ん、あわない？具体的に指摘頼む。
漸化式と一致してることは、小さい n に対しては確認したつもりだけど。

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