★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問 at MATH

23:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/14 21:46:37
以下の条件をみたす2008個の異なる正整数a[1],a[2],…,a[2008]が存在することを示せ．
条件：『1≦i＜j≦2008をみたすすべての整数の組(i,j)において，(a[j]/a[i])-1がa[i]-1とa[j]-1の最大公約数になる』

24:１３２人目の素数さん
08/01/14 22:03:37
>>22
書き込みがなくて寂しかったんでしょ？

25:１３２人目の素数さん
08/01/15 00:40:19
>>24
　　　　　／　　　　　＼
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　　　　｜　／　 (・)　　(・) ｜　　　| あん？
　／⌒　 (6　　　　　つ　｜　　　|
　（　　｜　　／＿＿＿　｜　＜　もう一度言ってみろ！
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　 ! l　　|　　　く,,　　　,,,ィ'"　　　　　　/.　　　　　　　　＼　
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26:１３２人目の素数さん
08/01/16 19:04:15
>>23
a[n] の一例

b[1] = 1
b[n] = (Σ[k=1,n] b[k])!　　(n≧2)
c[n] = Σ[k=2009-n, 2008] b[k]
a[n] = 2^c[n]
と定義する

c[n] の定義から、i＜j のとき、c[i] は c[j]-c[i] の倍数
これから、i＜j のとき、a[i]-1 は (a[j]/a[i])-1 の倍数 … (*)

gcd(a[i]-1, a[j]-1)
= gcd(a[i]-1, a[i]*((a[j]/a[i])-1) + a[i] -1)
= gcd(a[i]-1, a[i]*((a[j]/a[i])-1))
= gcd(a[i]-1, (a[j]/a[i])-1)
= (a[j]/a[i])-1

最後の等号で (*) を使った

27:１３２人目の素数さん
08/01/16 20:48:40
× b[n] = (Σ[k=1,n] b[k])!　　(n≧2)
○ b[n] = (Σ[k=1, n-1] b[k])!　　(n≧2)

28:１３２人目の素数さん
08/01/16 21:52:55
益田のサイトにコラッツ予想が解けたって奴が現れたぞwww

29:１３２人目の素数さん
08/01/16 22:46:53
>23
p,q≧2 とし、a[k] = p^(q^k) とおくと、
　a[j]/a[i] -1 = p^(q^j - q^i) -1 = p^{(q^i)(q^(j-i)-1)} -1 = a[i]^(q^(j-i)-1) -1,
　指数は q^(j-i) -1 ≧ q-1 ≧1 だから a[i] -1 の倍数。
以下 >26 と同様。

30:１３２人目の素数さん
08/01/16 22:49:05
増田もいちいちキチガイの相手するなよ。
黙ってアク禁かければいい。

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