面白い問題おしえて～な十三問目

面白い問題おしえて～ ..

650:１３２人目の素数さん
08/02/20 09:24:38
564 = 538724191073^ + (-1300749634)^3 + (-53872166335)^3
(Leonid Durman, 2007)

きっと URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp) から
持ってきたんだと思うけど、出題者は面白さが分かってるんだよね？

俺は564に関するこの結果は、単に計算がんばったら出た、ってものだと
思ってたんだけど、なんか面白いところがあるなら教えてもらいたいなあ。

651:643
08/02/20 22:39:22
>>649-650
御名答.
見た目は似たような「564」でも、難問もあれば易しいのもある、という事で……（当然だが）
因数分解しても、とくに面白くないし……
　564 = 2^2 * 3 * 47,
　53872419107 = 13 * 1193 * 3473623,
　 1300749634 = 2 * 223 * 2916479,
　53872166335 = 5 * 13^2 * 47 * 59 * 83 * 277,

>>642
　B = c * a * 37 * 2829383 * 638550947,
　gcd(a,b,c) =1,

652:１３２人目の素数さん
08/02/20 23:30:00
lcd＝最大公約数？

653:１３２人目の素数さん
08/02/29 02:19:14
いくつ解けますか？

ブラジル数学オリンピック本選 2004 小学生対象
[1問目] 下記の条件を満たす全ての3桁の自然数nを全て見つけよ。
n は奇数である
n は平方数である
n の各位の数字の平方の和は平方数となる

[2問目] 辺の長さ1の4つの正三角形で、図のように、辺の長さ2の正三角形を作ることができる。

　△
△▽△

先の図のような三角形を作るために、3つの種類(白、黒、灰色)の辺の長さが1の正三角形をたくさん持っているとする。
作られた二つの三角形のうち、回転して同じになるもの同士は同じものとみなす。

　黒　 | 　白
白白灰 | 灰白黒
↑同じペア

　黒　 | 　黒
灰白白 | 白白灰
↑異なるペア

この提示された条件でいくつの異なる三角形を作ることができるか。

654:１３２人目の素数さん
08/02/29 02:22:29
[3問目] 自然数が1より大きな二つの自然数の積で表されるとき、それを合成数という。
たとえば91は91=7*13とかけるので、合成数である。
2^(2^2004+2)+1 が合成数であることを示せ。

[4問目] ArnaldoとBernaldoが2*nのテーブルでゲームをする。駒は2*1のドミノで、まずArnaldoが最初にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおく。
プレイヤーは常にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおかなくてはいけない。既に置かれたドミノに重ねてはいけない。
テーブルにおけなくなった方の負けである。
どちらのプレイヤーが必勝であるか？
(a) n = 2004 の時は？
(b) n = 2005 の時は？

[5問目] 辺の数が13のタイルで平面の敷き詰めは可能か
もし可能ならば例を示し、不可能ならばそれを証明せよ。

655:１３２人目の素数さん
08/02/29 03:51:19
>654
[3問目]
　2^(3m) + 2 = 4n + 2,
　2^(4n+2) = 4^(2n+1) ≡ (-1)^(2n+1) = -1 (mod 5)
∴　5 の倍数…

656:１３２人目の素数さん
08/02/29 04:50:26
>>654
[4問目]
nが偶数なら後手必勝。先手と線対称（点対称でもいい）に置き続ける。
nが奇数なら先手必勝。一手目は(n+1)/2マス目（中央)に縦に置く。

[5問目]
辺の数が13のタイルってのは13角形ならなんでもいいのかな？
だったら、正方形の対角線のあたりを中央点対象にギザギザに切ればいい。

それとも凸型に限定されるのか？

657:１３２人目の素数さん
08/02/29 10:09:11
AKB４８のCDを1枚買うと、ポスターが1枚もらえます。このポスターは全部で４４種類あり
もらえるポスターはランダムです。
そして４４種類全部集めると特典が付いてくるのですが、果たして４４種類コンプリート
するには、平均何枚の購入が必要となるでしょう？

別に問題的には面白くないかｗ
ニュースとしては面白かったが・・・

658:１３２人目の素数さん
08/02/29 10:24:55
>>657
クーポンコレクター問題。

問題としては面白いと思うが、あまりに有名だろう。

659:１３２人目の素数さん
08/02/29 10:28:03
ｎ種類だとおよそ平均ｎ*log ｎくらいだね。(ｎが十分大きいとき)

660:１３２人目の素数さん
08/02/29 13:37:02
>>657-658
ってか、すでにマルチされまくってるじゃんか。

661:１３２人目の素数さん
08/02/29 19:16:33
3^n (n=1,2,3,‥)を十進表記したとき、
十の位は常に偶数であることを示せ。

662:１３２人目の素数さん
08/02/29 19:33:19
3^1=3, 3^2=9,3^3=27, 3^4=81
3^(n+4)-3^n=3^n*80

663:１３２人目の素数さん
08/02/29 19:52:23
ゴリ押しで解いてみた。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)

ちょうどn回目で全てのおまけが集まる確率を実際に計算し、そのあとは
期待値の定義に従ってゴリ押しで期待値を計算し、でも出て来る値は
MΣ[k＝1～M](1/k)の形をしていないので、この形になるように変形。

>>659
γをオイラー定数とするとき、nΣ[k＝1～n](1/k)＝nlogn＋γn＋ε(n)，|ε(n)|≦1　(n＝1,2,…)

664:１３２人目の素数さん
08/02/29 20:46:34
なんか添え字ミスがいっぱいあった。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)

665:１３２人目の素数さん
08/03/01 06:38:29
>>655,656
正解.今度は中学生向けのを翻訳してみた.

[Q1] 幾何の問題なので省略

[Q2] 次の数字の列 1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,...は次の方法で作られる.
5つめ以降の各要素はその前の4つの和の下一桁である.
a) 2,0,0,4という並びはこの数列に現れるだろうか
b) 1,2,3,4という並びは再びこの数列に現れるだろうか

[Q3] Esmeraldaは100個の石を持っている.
彼女はこの山を二の新しい山に分け、続いてこの二の山の石の数を掛け合せ
その積を紙に書きこむ.
そして、一つ以上の石がある山を選び次の操作をくりかえす.
一つの山を二つに分け、この二の山の石の数の積を紙に書きこむ.
紙に書かれたすべての積の和はどのような値になるだろうか？

666:１３２人目の素数さん
08/03/01 06:40:51
前の書きこみ, "二の" -> "二つの" に訂正.

[Q4] ArnaldoとBernaldoの二人が交互に正の数を選ぶゲームをする.
それぞれのターンでは、前の人が選んだ数よりも大きく、かつ二倍未満の数を選ばないといけない.
このゲームでは2004を選べたプレイヤーが勝利する.
Arnaldoが先手で2から始めたとき、どちらのプレイヤーが必勝か.

[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.
a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.

[Q6] 0,1,2,...,9の各数字が10個ずつあり、これを10x10の升目に並べることを考える.
どの並べ方に対しても、ある列または行に少なくともn種類の数字が
含まれているというとき、nの最大値を求めよ.

667:１３２人目の素数さん
08/03/01 10:05:24
>>665
[Q2] a)
この数列は奇数、偶数、奇数、偶数、偶数の並びを繰り返すので４つ偶数が並ぶことはない。
b) 実際に書き下せば現れるんだが… うまい方法が見つからん。

「Q3]
Σ_[n=1→99]{n}
ｎ個の山をかならずn-1と1の分けることにするとそうなる。
さらにn-2と2に分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
さらにn-kとkに分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
結局どう分けようとも…

[Q4]
nを選ぶためには、ｎが偶数ならn/2を、nが奇数なら(n-1)/2を選べられればいい。
2004を選ぶためには1002を選べればいい、そのためには501を、そのためには250を
そのためには125を、62を、31を、15を、７を、3を選べればいい。
後手必勝である。

668:１３２人目の素数さん
08/03/01 12:18:37
Q2のb
ループすることと、列の４つの並びからその前が自動的に決まることから1,2,3,4を含むループだとわかる

669:１３２人目の素数さん
08/03/01 15:22:01
a,b,cは異なる自然数とし、全て2以上であるとする。
(1＋a＋a^2＋…＋a^n)＋(1＋b＋b^2＋…＋b^n)がcで割り切れ、さらに、
(1＋a＋a^2＋…＋a^(n＋1))＋(1＋b＋b^2＋…＋b^(n＋1))がcで割ると
2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。

670:１３２人目の素数さん
08/03/01 15:24:38
訂正。

2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。
↓
2余るような自然数n＝n_0が存在するとする。このようなnのうち最小の
ものを rとおけば、rはn_0を割り切ることを示せ。

671:１３２人目の素数さん
08/03/01 15:47:36
>>666
[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.

a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
外接円は各辺の垂直二等分線の交点で表されるので,円O2はACの垂直二等分線上にある.∴DO2⊥AC　同様にBD⊥DO1　よってOD1⊥DO2　∠OD1O2=90°(証明終了)

b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.
[方針]例えばA(0,4a),B(4b.0)とおき,D,O1,O2の座標を求める.新たな円の中心をO3とする。このときABが円O3の接線になることを示す。又、接線と半径は垂直となるはずだから,<O3D>と<AB>との内積が0になることを示せばよい。

解答は計算が面倒なので...すいません。

[自作問題] 縦1,横√3の長方形をSとする。Sの対角線を中心に30°
回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の重なった部分の面積を
求めよ.

　高校入試レベルの問題ですが、辺の長さの求め方などが解答する人によって分かれるという意味で面白いと思います。

672:１３２人目の素数さん
08/03/01 19:52:49
>>668
ループすることはわかるんだが、その先がよくわからない。
もうすこし詳しく教えてもらえないだろうか？

673:１３２人目の素数さん
08/03/01 19:55:51
>>671
> 角線を中心に30°回転

線を中心に回転させると（回転軸）重なる部分は直線(面積０)になると思うのだが
しかし高校入試に空間図形というのもめったに出ないだろうし、なにか出題ミスか？

674:2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw
08/03/01 20:24:58
>>672
ループするのはわかるんだな、じゃあ２つの可能性がある
・途中からループに入る
・最初からループしている
途中からループに入るとしたら、その部分は逆回転するときに枝分かれに見えるだろ？
４つの並びからその前が決るとなら、そんなことは起こり得ない。
だから最初からループしてるてことだ

俺は>>668になるほど、と思っただけで気づいたわけじゃねえよ

675:１３２人目の素数さん
08/03/01 20:27:56
>>674
いやすまん。
> ４つの並びからその前が決るとなら
ここがわからないんだ。

676:2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw
08/03/01 20:30:56
a+b+c+d≡e (mod. 10)
なら
a≡e-b-c-d (mod. 10)

aは0～9だから丁度1個ある

677:１３２人目の素数さん
08/03/01 20:33:25
なるほどそうか。サンキュ。

678:１３２人目の素数さん
08/03/01 21:38:01
>>666
[Q6]の意味がいまひとつわからん。

679:１３２人目の素数さん
08/03/01 22:38:32
並べ方Aに対し
i行にr_i(A)種類の数字
j列にc_j(A)種類の数字
があるとする
r(A):=max_i(r_i(A))
c(A):=max_j(c_j(A))
n(A):=max{r,c}
としたとき
min_A(n(A))を求めよ、ということだろう

680:671
08/03/01 23:50:28
>>673さん。
　問題の部分。「対角線」ではなく。「(二本の)対角線の交点」となり
ます。書き間違えまえてしまってすみません。

[自作問題（訂正）] 縦1,横√3の長方形をSとする。このときSにおける二本
の対角線の交点を中心に30°回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の
重なった部分の面積を求めよ.

681:１３２人目の素数さん
08/03/04 10:48:57
□に1～9の整数を1つずつ入れ成立する等式を全て求めて下さい
同じ数字2度使いは不可

□□□×□□＝□□×□□

682:１３２人目の素数さん
08/03/04 10:55:33
既出

683:１３２人目の素数さん
08/03/04 11:09:16
134*29 = 58*67
138*27 = 54*69
146*29 = 58*73
158*23 = 46*79
158*32 = 64*79
174*23 = 58*69
174*32 = 58*96
186*27 = 54*93
259*18 = 63*74
532*14 = 76*98
584*12 = 73*96

684:１３２人目の素数さん
08/03/04 11:34:32
>>600
アホな質問かも知れんけど、(x+x_i) の偶数個だけ負なんてないん？

685:2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw
08/03/04 11:50:51
>>684
x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0から
f(x)=0の解はx≧0には存在しない
つまり、f(x)=0の解-x_1,-x_2,...,-x_nは（実数だから）すべて負
と考えてるんだと思う

686:１３２人目の素数さん
08/03/04 19:49:41
正整数全体の集合をNとする。A={-1,0,1}に対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)であることを示せ。

687:１３２人目の素数さん
08/03/04 19:53:24
>>686
ただの3進法じゃないの？(0,1,2じゃなくて-1,0,1に変えただけの)

688:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:09:07
三進法と同じです
条件を満たすAは他にあるか、を入れ忘れてました

689:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:12:18
Aを含む集合ならOKだし

690:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:16:41
ノントリビアルなのを考えるのが面白いと思い、出題しました

691:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:24:52
まあ出題者の意図を汲むのも解答者のたしなみとは思うが
もうちょっとシャンとしてくれや

692:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:35:26
シャンとしなくて申し訳ないです
問題文を改めてみました

正整数全体の集合をNとする。
相異なる三つ整数からなら集合Aに対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)となるAを全て求めよ。

693:１３２人目の素数さん
08/03/05 03:54:27
この前数学教師から出されて解けなくてｲﾗｲﾗしてる問題を。
既出だったらすまん

三角形がある。
今、△ＡＢＣはＡ=20°の二等辺三角形で
ＡＣの間に、ＡＤ=ＢＣの点Ｄをとる。

このとき、∠ＡＤＢを求めろ。

694:１３２人目の素数さん
08/03/05 04:35:44
ラングレーでググれ

695:１３２人目の素数さん
08/03/05 07:57:30
>>649
レスthx
でもこれラングレーとちがくね？
ラングレーってＢとＣの所に角度の決まった辺が付くし
求める角度の場所も違うような
一応ググったが・・・すまん

696:１３２人目の素数さん
08/03/05 08:07:35
AとBとCそれぞれに0～9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
AとBは違う組み合わせにして下さい.同じ文字での同じ数字2度使いは不可

AAAAAA×AAAA＝BBBBBB×BBBB＝CCCCCCCCCC

697:１３２人目の素数さん
08/03/05 09:53:08
15864*9327 = 18654*7932 = 147963528
37962*5148 = 51948*3762 = 195428376
26475*9381 = 62481*3975 = 248361975
54186*7923 = 87153*4926 = 429315678

698:１３２人目の素数さん
08/03/05 10:24:05
197208*5346 = 723096*1458 = 1054273968
253098*4176 = 538704*1962 = 1056937248
192087*6435 = 960435*1287 = 1236079845
820794*1536 = 950784*1326 = 1260739584
435618*2970 = 653427*1980 = 1293785460
154638*9072 = 231957*6048 = 1402875936
286794*5103 = 479682*3051 = 1463509782
158640*9327 = 186540*7932 = 1479635280
537186*2940 = 926835*1704 = 1579326840
319875*6042 = 486210*3975 = 1932684750
379620*5148 = 519480*3762 = 1954283760
249651*7803 = 748953*2601 = 1948026753
815430*2679 = 945687*2310 = 2184536970
264750*9381 = 624810*3975 = 2483619750
286071*9354 = 781059*3426 = 2675908134
405612*7938 = 709821*4536 = 3219748056
549780*6231 = 837165*4092 = 3425679180
541860*7923 = 871530*4926 = 4293156780
453186*9702 = 906372*4851 = 4396810572
651840*7293 = 847392*5610 = 4753869120
704592*6831 = 830412*5796 = 4813067952
751398*6420 = 783240*6159 = 4823975160
564732*9180 = 914328*5670 = 5184239760

699:１３２人目の素数さん
08/03/05 18:54:47
>>697-698 どうやって求めんの

700:１３２人目の素数さん
08/03/05 20:33:02
?に0～9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
分や秒は59以下,時間は1以上.同じ数字2度使いは不可

??分??秒×?＝?時間??分??秒

701:１３２人目の素数さん
08/03/05 20:49:25
kingは死ぬ

702:１３２人目の素数さん
08/03/05 20:55:12
明日ここにカキコしたあと心臓麻痺で死ぬ、とデスノートに書いておいた

703:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:24:23

つぎの　やさいのうち　なかまはずれは　どれ　?

1. だいこん　　2. にんじん　3.　ごほう　4. じゃがいも

私立幼稚園入試問題

704:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:26:57
じゃがいも。
ほかのみっつはふといねっこそのものをたべる。

705:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:35:29

せいかい

3. ごぼう　　です。

だいにじせかいたいせん　のとき

ほりょとなった　あめりかじん　にだした　りょうりに

ごほう　を　だしたら、　にほんじんは　われわれに

きのねっこ　を　たべさした　と　くじょうがあり

そのご　しゅうせん　を　むかえ　ほりょしゅうようじょ　の

しょちょうが　じぃえいちきゅう　から　せんぱん　の　ようぎ　を

かけられました。

とさ

706:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/03/05 21:35:47
Reply:>>701 お前が先に死ね。

707:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:50:29

もんだい

1. しゃつ　　2.　ぱんつ　3. くつした　4. はんかち

なかまはずれは　どれ　?

国立教育大付属幼稚園入試問題

708:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:54:24
ぱんつ

これはニオイかいでみたいから

709:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:55:18
面白くない問題は自粛願います

710:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/03/05 22:02:18
Generalist の修行が足りない奴が仲間はずれを決めてはならぬ。

711:１３２人目の素数さん
08/03/05 22:10:22
>>710
スレチ

712:１３２人目の素数さん
08/03/05 22:14:14

せいかい

4. はんかち

ほかのものは　どれも　りったいてき　であります。

また、ことばに　つ　が　ついています。

713:１３２人目の素数さん
08/03/06 00:35:04
>>700
50分42秒 * 9 = 7時間36分18秒

714:１３２人目の素数さん
08/03/06 03:41:02
シャツとパンツ（小用穴付き）は同相。
ハンカチと靴下は同相。

715:１３２人目の素数さん
08/03/07 07:11:22
>>705

ようぎをかけられたのはよくわかったが
なぜそれがなかまはずれのりゆうになるんだ？

716:１３２人目の素数さん
08/03/07 15:35:15
>>693 >>695

線分BCのC側の延長上に、BE=ACとなるような点Eをとり、
△BEF≡△ABCとなるような点Fを、BEから見てAと同じ側にとると
△ABEは正三角形，四角形ADEFは平行四辺形
△EDBはED=EBの二等辺三角形