面白い問題おしえて～な十三問目

面白い問題おしえて～な十三問目 at MATH

602:１３２人目の素数さん
08/02/06 10:54:19
>>601
その研究についての情報は持っていないが、
＞正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?)
これは実際に不可能。平面上の一般の位置(＝どの3点も一直線上に無い)に
5つの点を取ると、その中のある4点は凸四角形を作る(ハッピーエンド問題)。
凸四角形があるならば、交差する2辺が存在するのは明らか。
以下、凸四角形が存在することの証明。

5つの点の凸包を考え、場合分けする。
凸包が五角形のとき：どの4点を選んでも、凸四角形になっている。
凸包が四角形のとき：凸包自身が凸四角形である。
凸包が三角形のとき：三角形の頂点をA,B,Cとする。残りの2点をD,Eとすれば、D,Eは△ABCの内部に
存在する。図を描けば分かるとおり、A,B,Cの3点から適当な2点X,Yを選べば、4点X,Y,D,Eが凸四角形になる。

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