面白い問題おしえて～な十三問目

面白い問題おしえて～ ..

281:１３２人目の素数さん
07/11/11 22:18:02
>>278
８人いたら、二つの投票用紙に全く別の４人の名が書かれている可能性があるから７人てこと？
それじゃ、簡単すぎるか…
投票用紙には４人の名前を書くんだよね？

282:１３２人目の素数さん
07/11/11 22:21:36
>>281
７人ではないです。

> 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
そうです。

283:１３２人目の素数さん
07/11/12 01:34:05
>>278
1+3+9=13

284:１３２人目の素数さん
07/11/12 08:46:45
>>283
むずい。解説きぼん。

285:１３２人目の素数さん
07/11/12 09:51:49
有限射影平面になるから。

286:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:04:41
【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする

287:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:17:02
>>272 >>286 氏ね

288:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:27:24
>>285
F_3 上の射影平面が題意を全部満たすのはわかった。
他に無いってのは、やっぱ射影平面の公理を覚えていないとダメ?

289:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:40:06
てっきり中学入試の問題かと思って一生懸命
順列とか組み合わせでがんばっていたのに

290:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:46:27
そういう解法があっても構わない。>>289

291:１３２人目の素数さん
07/11/12 12:43:02
生徒は全部で n 人いるとする。

1) どの人を選んでも、その人に投票しなかった人がいる。
ひろし君に m 人が投票したとすると、その m 枚の用紙には
異なる 3m+1 人の名前が書いてある。

2) どの人を選んでも、その人に投票した人は高々 4 人。
ひろし君に 5 人以上投票したとすると、ひろし君に投票しなかった人の票と
その 5 票とに共通する名前が 5 人以上必要。

3) どの人を選んでも、その人に投票した人はちょうど 4 人。
投票用紙に記された名前ののべ総数は 2) より 4n 人以下。
一方、一枚の用紙に 4 人づつ書かれているので総数はちょうど 4n 人。

4) ひろし君が投票した人の名前を全部の投票用紙から消す。
ひろし君以外の人の投票用紙からはちょうど 1 人の名前が消されるので、
残った名前の総数は 3(n-1) 人。これに n-4 人の名前が 4 回づつ書かれて
いるので、3(n-1)=4(n-4). したがって、n=13.

292:１３２人目の素数さん
07/11/12 13:06:05
ヒルベルトが「机と椅子とビアマグでも幾何学は構築できる」と言った意味が
よくわかったよ >>285 と >>291

293:278
07/11/12 23:18:05
>>285
難しくてよくわかりません・・・

１人が４つの名前を書きますから、平均すると１つの名前が４回。
まず、全員の名前が４回ずつ出なければならないことを示します。
全員が４票ずつの得票ではないと仮定すると５票以上得票した人
がいることになります。
ここではＡという人が５票獲得したとします。
すると、Ａの名前が書いてある５枚は
ＡＢＣＤ
ＡＥＦＧ
ＡＨＩＪ
ＡＫＬＭ
ＡＮＯＰ
のようになります。
上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと、その紙にはＢＣＤのだれかの名前が
記されています。また同様に、この紙にはＥＦＧのどれか、ＨＩＪのどれか、
ＫＬＭのどれか、ＮＯＰのどれかが記されていることになり、最低５人の名前
が記されることになり、１枚の紙には４人の名前が記されることに矛盾します。
一般にＡがｎ票獲得したとき、そのｎ枚以外の紙には、最低ｎ人の名前が記さ
れることになります。
各票には４人の名前が記されているはずだから、５票以上獲得する人はいない
ことになります。
以上で、全員の名前が４回ずつ出なければならないことが示されました。

294:278
07/11/12 23:18:40
つづき

全員の名前が４回ずつ出てくる場合、
１枚の紙にＡＢＣＤと書いてあったとすると、
この紙のほかにＡの名前が書いてある紙が３枚、Ｂ，Ｃ，Ｄの名前が書いてあ
る紙もそれぞれ３枚ずつあります。
しかも、これらは全てＡＢＣＤのうちのどれか１つしか書かれていないはずなの
で重複しません。
また、ＡＢＣＤのどれも含まない紙は存在しません。
よって、全員の名前が４回ずつ出てくるとすると、そのときの紙の枚数は１３枚
でなければならない、すなわちクラスの人数は１３人でなければなりません。

以上のことから、解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。

295:１３２人目の素数さん
07/11/13 01:07:10
>>293 の真ん中あたりの「上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと」
とありますが、そのような紙が少なくとも1枚は存在することも
一応述べておかねばなりません。もちろん、他の紙が無ければ、紙の
枚数とクラスの人数が合いませんのでスグに他の紙の存在がわかります。

296:292
07/11/13 02:10:01
>>292 で書いた事のココロを描いてみる。

[言葉の言い換え]
◎「紙」と呼ぶ代りに「直線」と呼ぶ。これは単なる名称であって、
通常のユークリッド幾何の直線をイメージしてはいけない。以下の
記述もこれと同様である。
◎「人名」と呼ぶ代りに「点」と呼ぶ。
◎「紙Lに人名Aが記されている」と言う代りに「直線Lが点Aを通る」
あるいは「直線L上に点Aがある」と言う。

[言葉の更なる定義]
◎直線Lと直線Mが共に点Aを通るとき、「直線Lと直線Mは点Aで交わる」
あるいは「点Aは直線Lと直線Mの共有点である」と言う。

[問題文の言い換え]
次の条件をみたす「点の集合」と「直線の集合」があるとき、
点の総数を求めよ。
(a) 少なくとも1点が存在する。(←ひろしくん)
(b) 点の総数と直線の総数は等しい。
(c) どの直線上にも、点がちょうど4つある。
(d) どの2直線も、ちょうど1点で交わる。

297:292
07/11/13 02:11:00
[291氏の解答の翻訳]
1) どの点を選んでも、その点を通らない直線が存在する。
(証) 仮に「すべての直線が通過する点A」が存在したら、(d)より
(点の総数)=3*(直線の総数)+1 となって(b)に反する。

2) どの点を選んでも、その点を通過する直線は4本以下である。
(証) 点Aを5本以上の直線が通過したら、これらの直線と 1)で示した
「点Aを通らない直線」との交点が5点以上あることになり、(c)に反する。

3) どの点を選んでも、その点を通過する直線はちょうど4本。
(証) 直線が通過する点ののべ総数は、2)より 4*(点の総数)以下である。
一方(c)(d)よりそれは 4*(点の総数)に等しい。よって各点を通過する直線は
ちょうど4本でなければならない。

4) 点の個数は13個以外にはありえない。
(証) これは291氏のものよりも 278氏の >>294 の方がわかりやすい。
(a)(b)より少なくとも1本直線がある。それをLとすると、L上の各点と
交わる直線が3本ずつあるので、Lと交わる直線の総数は 3*4=12本である。
(d)より、この12本以外の直線はL以外には存在しないので、直線の本数は
13本でなければならない。(b)より点の個数は13以外にはありえない。

298:292
07/11/13 02:12:37
>>294 が最後で触れた、十分性の確認をします。(モデルの構成)

[点゛]
空間の点 (x,y,z) のうち x,y,z の値が 0,1,-1 のいずれかであるものは
3^3 = 27 個ある。このうち原点を除くと26個である。この26個を
(x,y,z)≡(-x,-y,-z) で2つずつ同一視したものを「点゛」と呼ぶと、点゛は
全部で 26/2 = 13 個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(a)は満たされる。

[直゛線゛]
a,b,c は 0,1,-1 のいずれかとし、(a,b,c)≠(0,0,0) とする。すると方程式
ax+by+cz=0 上には普通の点(x,y,z)が8個、「点゛」は4個ある。この点゛集合を
「直゛線゛」と呼ぶと、(a,b,c)と(-a,-b,-c)は同じ直゛線゛を定めるので
やはり13個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(b)(c)は満たされる。

あとは条件(d)だが、2つの「直゛線゛」の「共有点゛」とは、通常の3次元空間の
言葉では 2平面 ax+by+cz=0 と a'x+b'y+c'z=0 の交線上にある点のうち、最初に
述べた同一視で「点゛」に落ちるものである。絵を描けばわかるが、どの2つの
「直゛線゛」も、ちょうど1つの「共有点゛」を持つことが確かめられる。
(もっとキチンと言えんものか)

299:１３２人目の素数さん
07/11/13 03:13:39
>>294
> 解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。

>>288 のF_3 上の射影平面というのがこれの例。
>>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)

一般の場合、この例を作れるかどうかが難問で、問題文の 4 人を 7 人や
11 人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。

300:292
07/11/13 10:36:51
>>299
> >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
> ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)

じま゛っ゛だ。
x+y+z=0 上に (x,y,z) は6個、点゛は3個しかないね。
このスレの住人なら合同式は大丈夫だろうから、直゛線゛の定義を
ax+by+cz≡0 (mod3) に変更しておくよ。

> 問題文の 4人を 7人や11人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。

13人が未解決問題とか聞いたことあるな。

301:１３２人目の素数さん
07/11/14 22:25:32
昔の話で悪いですが

>>266
しょぼい暗算で出来る2^(1/3)のだしかたはどうやるのですか？

302:258
07/11/14 23:05:24
>>273

303:１３２人目の素数さん
07/11/18 16:59:39
2^(1/3)
これを音階で考える。
2^(1/3) = 2^(4/12) であるから、これはド－ミの長3度である。
俺の経験上、これは1.25より僅かに大きい。

なんて感覚的な答じゃだめかな…

304:258
07/11/18 23:11:49
素敵な答をありがとう！もっと理屈をこねると次のようになるね。

ミは平均律のミよりも僅かに下げないとハモらない。
ハモるのが 5/4 = 1.25 (純正律)だから 2^(1/3) は 1.25 よりちょっと大きい。

音階も研究したピタゴラスなら次のように言うだろう。

私の音階理論によれば、それは (9/8)^2 = 1.265625 が正しい。
無理数? そんなものは存在しない。（そんな事を言う奴は海に沈めてやる）

305:１３２人目の素数さん
07/11/19 05:29:18
豆知識；
ちなみに実際の音楽で用いられる平均律は
２の１２乗根を基にした半音というわけではないので
平均律のミはドの2^(1/3)倍の周波数ではない

306:１３２人目の素数さん
07/11/19 05:50:49
>>305
ちょっと誤解を招く表現だな。
平均律で調律されるとされる楽器は実際にはそれとは異なる音程に調律されると言うべきだろう。

307:１３２人目の素数さん
07/11/19 06:17:19
【米国】フランスの「人間計算機」、200桁の数字の13乗根の暗算で72.438秒の世界記録[071116]
ｽﾚﾘﾝｸ(news5plus板)

308:１３２人目の素数さん
07/11/21 15:39:19
何を言ってるかわかりませんが、平均律はちゃんと周波数比で等分しますよ。
一般に西洋音楽で使われる十二平均律は12等分します。
ただ、実際にどんな音律を採用するかの段階で
必ずしも普段耳にするものが(十二)平均律でない、という事であって。
平均律は平均律です。

309:１３２人目の素数さん
07/11/21 20:11:22
平均律で調律されている楽器を探すほうが難しいくらいだったのだが
電子楽器の台頭でそうでもなくなったな

310:１３２人目の素数さん
07/11/22 01:08:48
さて問題は「2^(1/3)を如何に計算するか」なのだ。今話題の手段を用いて 2^(1/3) ≒ 1.26 と
結論するには、

2^(1/3) ≒ 1.26 が純正律の 5/4 ＝ 1.25 よりも 0.01 だけ大きい

という事を、この精度で感覚的にワカル事が必要だ。比率としては
1.26/1.25 ＝ 1.008 だが、これは近似的には半音程 2^(1/12) ≒ 1.059463 の
8/59.463 ≒ 0.1345 倍の音程だ。厳密には対数を用いて
log_{2^(1/12)}( 2^(1/3)/1.25 ) ≒ 0.136862861351651825556166846127317889622… 倍
だがもちろんこれは冗談として、結局

「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の1/10強である

と言える感覚の持ち主なら、2^(1/3) ≒ 1.26 を感覚的に計算したと言える。
カラオケで半音は平気でズレる私には、とても無理なことである。

311:１３２人目の素数さん
07/11/22 01:21:13
1/8 = 0.125 < 0.135 < 1.42857… = 1/7 だから

「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の 1/8 以上 1/7 以下である

と言える人なら完璧。

312:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:08:25
>258

√2 > 1.4142 より
　(3 -√2)^3 = 45 - 29√2 < 45 -29*1.4142 = 45 - 41.0118 < 2^2,
3乗根をとると
　3 -√2 < 2^(2/3),
したがって
　√(3-√2) < 2^(1/3) < 2/(3-√2) = (2/7)(3+√2) < (2/7)*4.4143,
　1.2592 < 2^(1/3) < 1.2613

313:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:15:06
>258

　29*29*2 - 41*41 = 1682 - 1681 = 1,
　29√2 > 41,

314:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:31:06
>>313
途中送信みたいだが、2^(1/3) ではなく 2^(1/2) を計算しているように見える。

315:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:34:13
もしも、x^3-2y^3=±1 の整数解で大きい値のがあれば　2^(1/3)≒ x/y となるけど
どうなのでしょうか？　ペル方程式の３次元バージョンですけど。

316:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:36:56
ペル方程式みたいに、解の系列を生成する漸化式があればよいわけだ。

317:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:42:58
単に有理数近似で収束が速いものなら >>275 (2次収束)があるし、
暗算可能なシンプリシティーを追求したものなら >>274 がある。
新たな解法には何らかの美が要求されるぜ。(音階の話は美しいな)
ギャクでもいいけど。

318:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:45:01
×ギャクでもいいけど。
○ギャグでもいいけど。

319:１３２人目の素数さん
07/11/22 20:15:27
>317
ギャクも真なり…

320:１３２人目の素数さん
07/11/23 07:23:46
音楽家を含め絶対音感の持ち主とは何度も話をした事があるが
1/7を持ち出したひとは初めてだ。（1/8や1/4はよく聞く。)

おそれく半音の半分の半分とか、さらにその半分というのが
感覚的にわかりやすいのだろう。

1/8と1/7の違いくらいデリケートな話になると、セント（半音の1/100）単位か
A音の周波数（なぜか2hz単位の偶数のことが多い）で話をしていた。

321:１３２人目の素数さん
07/11/23 10:30:31
1/7を持ち出したひとは絶対音感の持ち主ではなく、ただの数学野郎だ。
1/7と言えばガムランのスレンドロ音階はオクターブを7等分するな。

セントみたいに細かいと、「音楽に必要な音程」というよりも「調律用語」か
「民族音楽学の記録用の単位」になってしまうが、「全音の1/9」くらいなら
中東の古典音楽では必須の微分音程だ。

で、2^(1/3) を暗算で計算したいのだ。

322:１３２人目の素数さん
07/11/23 12:50:50
>>315
x^3-2*y^3＝±1 の大きな整数解は見つからないねえ。
仕方が無いので (x,y)=(5,4) が乗ってる曲線 x^3-2*y^3 ＝ -3 で解を生成する
漸化式を立ててみたが、整数解ではなく有理数解を生成する漸化式だったので、
絶対値が大きくなってくれず、2^(1/3)の近似計算には失敗したorz

323:１３２人目の素数さん
07/11/23 16:21:32
>>320
1ヘルツの違いはA音あたりだと聞き分けるの難しいんだよホント
2ヘルツ違うとよくわかる

324:１３２人目の素数さん
07/12/04 18:39:31
保守

325:１３２人目の素数さん
07/12/07 21:27:28
あげ

326:１３２人目の素数さん
07/12/07 21:50:22
よく小学生に出す問題

３、３、７、７
この４つの数字を使って24を作りなさい
ただし使っていいのは四則演算のみ、数字をくっつけるのは無しです(33など)

327:１３２人目の素数さん
07/12/07 22:41:58
消費税率１００％のとき
税込み１００円のものをかいました

さて消費税はいくら？

328:１３２人目の素数さん
07/12/07 22:47:53
(3+3/7)*7=24
3/3+7*7=50円

329:１３２人目の素数さん
07/12/08 00:52:43
地方消費税を考慮する必要はありますか？

330:１３２人目の素数さん
07/12/08 02:09:04
ab+c=a(b+c/a)

331:１３２人目の素数さん
07/12/08 15:07:47
3^n-2 (nは自然数)に含まれる素因子の逆数の和が発散することを示せ。
注:3^n-2　の素因数分解にあらわれるすべての素数って意味ね

332:１３２人目の素数さん
07/12/09 01:27:46
p:3^n-2の素因数として表れない素数とする
このとき
任意のｎに対して
3^n ≠ 2 (mod p)
一方、p＝３のときを例外として、明らかに
3^n ≠ 0 (mod p)
従って、任意の自然数ｎに対し
3^n = 1 (mod p)
つまりpは3^n-1を常に割り切る
とくにn=1のときを考え、pは2を割り切る
2を割り切る素数、それは２しかない
∴pは3^n-2の形の整数の素因数に現れない　⇒　p=２またはp=3

逆に3^n-2が2でも3でも割れないのは明らか
よって
(3^n-2の素因数全体の逆数和)
＝(2と3を除く全ての素数の逆数和)

素数全体の逆数和は発散するのでもとめる級数も発散する

333:１３２人目の素数さん
07/12/09 02:36:02
>>332
７行目がわかりません。
なんで「従って」？
その時点ではｐは３より大きいかもしれないんだから
3^n ≠ 2 (mod p) かつ3^n ≠ 0 (mod p) だからって
3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？

334:333
07/12/09 02:41:31
間違った。
誤）3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
正）3^n ＝ 1 (mod p) とはならないんじゃない？

335:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:00:56
3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 1,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。

336:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:24:57
>>332
13 は 3^n-2 の素因数にならない

337:１３２人目の素数さん
07/12/09 16:44:29
332です
どうも頭の中でmod pの話だったのがいつのまにかmod 3にすりかわって
ヘンな勘違いをしてしまったようです
なんでこんなことにも気づかないまま書き込んでしまったのか
我ながら理解に苦しみます

338:１３２人目の素数さん
07/12/11 07:22:29
>>335
いえません

339:１３２人目の素数さん
07/12/11 07:50:06
3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 0,1,2,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。

340:１３２人目の素数さん
07/12/11 07:56:37
3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 3^n (mod p)だけだよな。

341:１３２人目の素数さん
07/12/11 23:30:23
自分で未解決の問題でもここに書いて良いのか？

342:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:30:28
面白ければ。

343:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:33:43
面白くないと承知しねーぞ。

344:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:38:02
では一つ。
(a, b) から R への C^1 級関数で、
有理数を有理数に、無理数を無理数に移す関数は１次関数に限るか？

345:１３２人目の素数さん
07/12/13 09:21:47
f(x)=1/x

346:１３２人目の素数さん
07/12/13 10:46:06
そんな簡単なのがあったか！
ではもう一つ。
(a, b) から R への C^∞ 級関数で、
代数的（実）数を代数的数に、超越数を超越数に移す関数は代数関数に限るか

347:１３２人目の素数さん
07/12/13 10:56:25
>>346
は複雑すぎるようだから、
>>344
で、単調増加とするとどうだろうか？

348:１３２人目の素数さん
07/12/13 12:06:10
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
の回答が
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
にあった。よろ。

349:１３２人目の素数さん
07/12/13 14:30:08
>>347
f(x)=1-(1/x) on (0,1)

定義域をR全体にすると難しいかも。

350:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:33:10
>>345
を聞いて>>349に気が付かないとは俺も頭悪い。
そろそろ数学やめようか。

351:１３２人目の素数さん
07/12/13 19:32:32
>そろそろ数学やめようか。

面白い問題だな！

352:１３２人目の素数さん
07/12/13 22:33:05
0から9までの数字が書いてあるカードが一枚ずつあり、一列に並べて10桁の数を作った。
その10桁の数は、一番大きい位からn番目までのn桁の数を取り出してできる数はnで割り切れるという

この10桁の数は何でしょう？

353:１３２人目の素数さん
07/12/13 22:39:22
どなたかエクセルで３次方程式の確実な解法教えて下さい。

354:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:14:17
>352
3816547290

355:１３２人目の素数さん
07/12/20 03:18:50
>>354
おお、本当にそうなってる、うめぇｗ

356:１３２人目の素数さん
07/12/22 00:31:38
(1/1√1)＋(1/2√2)＋(1/3√3)＋(1/4√4)＋……＋(1/n√n)＋……
はいくつに収束するか？

357:１３２人目の素数さん
07/12/22 03:51:21
>356

(与式) = ζ(3/2) = 2.6123753486 8548834334 8567567924 0716305708 0065240006 3407573328 2488149277 6768827286 0996243868 1263119523 8…

358:１３２人目の素数さん
07/12/22 17:19:35
\Gamma (1/2), \Xi (s) 見たいに「函数等式」って無かったのか！

359:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:25:17
>>354
今さらながら、どうやったの？

360:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:32:36
>>354
超うめぇｗ

361:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:35:41
>>353
エクセルじゃないけど、三次方程式の解の公式（カルダノの公式）↓

URLﾘﾝｸ(www2.biglobe.ne.jp)

362:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:52:11
>>359

>>354ではないけど、倍数判定をしていけばよろし。
順番としては最後に７の倍数判定かな
順に絞っていくと、6通りぐらいに絞れて、最後に７の条件を満たす候補を探す。

363:１３２人目の素数さん
07/12/26 05:08:17
OA=OB=OC=1として四面体OABCがある。頂点Oの立体角をπとするとき、この四面体の体積Vの範囲。

364:１３２人目の素数さん
07/12/26 12:11:41
>>315
ペルの3次は
x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1
だよ
aは立方数じゃないからな

365:１３２人目の素数さん
07/12/29 14:20:50
動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。
途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、
Pの移動距離の最小値を求めよ。

366:１３２人目の素数さん
07/12/29 16:25:27
2

367:１３２人目の素数さん
07/12/29 20:47:53
>>364
具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ
a = 2, 3 位で。

368:１３２人目の素数さん
07/12/29 21:06:20
xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。
この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。

369:１３２人目の素数さん
07/12/31 15:54:09
>>368
最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので
m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。
議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。

ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。

370:１３２人目の素数さん
07/12/31 22:22:18
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。

371:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:31:38
自作問題投下。

無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。
これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。
塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。
各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。

・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0

ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると
定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ
ことを示せ。

・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。

372:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:32:27
転載ですがどうぞ

1)10cmの直線ABを引く、

2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く

3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く

4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる

5)直線ABの中点E1から垂線を引く

6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く

7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする

8)Fから、点ABCDに線を引く

9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう

10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。

10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一

10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ

問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ

373:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:32:45
たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。

□□□□□
□■■■□
□□□■□
□□□□□

次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば

□□□□□
□④②③□
□□□①□
□□□□□

と書き込む。このとき、行列Aは

１０１０
０１１１
１１１０
０１０１

となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと
分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。

374:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:02:22
>>371
グラフ理論で良く知られた事実と思うが。

375:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:05:38
>>372
問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ
×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん

376:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:13:13
>>732
これも良く知られた話だ。
F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。

377:１３２人目の素数さん
08/01/01 01:27:12
>>374
そうなのか。グラフ理論のどんな定理？

378:１３２人目の素数さん
08/01/01 08:56:24
>>377
定理という程の名前はなかったと思う。

379:１３２人目の素数さん
08/01/01 10:42:59
正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。

正十二面体ではどうか？

ここでは図を書けないので理論で答えよ。

380:１３２人目の素数さん
08/01/01 11:38:11
a を非負の実数とする。
i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n)
が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。

381:１３２人目の素数さん
08/01/01 21:47:40
>>380
問題文列記が汚い
人に読ませる力がない
論文書いても読まずにポイ

382:１３２人目の素数さん
08/01/01 21:59:46
では書き直し。

a を非負の実数とする。

(i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n),
(ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n),
(iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n)

の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。

383:１３２人目の素数さん
08/01/02 04:30:54
>>382
(ii)があると易し過ぎてツマラナイ。
(ii)がないと結果がツマラナイ。
ゆえにこの問題は

384:１３２人目の素数さん
08/01/02 05:15:44
>>378
ということは、かなり簡単に導けるってことか…
実は、Aの作り方を

(i≠jのとき)　Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
(i＝jのとき)　Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1

に変えても

・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。

が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？

385:１３２人目の素数さん
08/01/02 08:39:11
>>379
こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感
ただ「理論」というのが漠然として

386:１３２人目の素数さん
08/01/02 09:44:31
>>385
「理論」は大げさだった。
「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。

387:１３２人目の素数さん
08/01/02 11:00:26
>>384
変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、
A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、
小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、
「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、
「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。

変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、
何かの結果から出そうな気はする。

388:１３２人目の素数さん
08/01/02 11:33:43
>>367
便宜上2^(1/3)=pとおく
a=2なら
(1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n]
として
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1
が任意のnで成り立つよ．

389:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:30:38
>>386
＞簡単な文章
経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ

何通りあるかのほうが面白そう
「正多面体逆向二２筆書き」

390:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:33:04
多面体逆向二筆書き

391:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:48:01
>>389
うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。

392:１３２人目の素数さん
08/01/02 13:53:06
>>389 >>391
>>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。
その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。

393:１３２人目の素数さん
08/01/02 16:59:03
>>387
＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
＞が簡単に導けていたと思う。
ああ！そうか、確かにn－1乗でOKだわ。
俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で
解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。

394:１３２人目の素数さん
08/01/02 21:10:09
>>388
なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。

x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は
x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記

だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で

(x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1

と因数分解して「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を
利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、
「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。

395:１３２人目の素数さん
08/01/02 21:17:56
>>394
x[n]/y[n]→2^(1/3)
x[n]/z[n]→2^(2/3)
てな風に近似すんだよ
極限とってみ

396:１３２人目の素数さん
08/01/02 22:26:34
>>395
あそーか。行列
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。
なるほどー。

397:１３２人目の素数さん
08/01/03 00:52:39
>>396
成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。
高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。

398:１３２人目の素数さん
08/01/03 07:05:13
行列 A
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、
（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、
[1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても
A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。
単一近似としての効率はどうかな。
一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数の形になるのかな。

同じく、行列 B
[1, n, n, n]
[1, 1, n, n]
[1, 1, 1, n]
[1, 1, 1, 1]
を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。
この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、
その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。

399:１３２人目の素数さん
08/01/03 11:54:58
>>398
>（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略)
>A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。

不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。
対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。

> 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、
>（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、

[ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも
[ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので
収束はこっち。

400:１３２人目の素数さん
08/01/03 12:11:00
>>398
>単一近似としての効率はどうかな。

効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、
ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば
b[n]=a[2^n] になる。

立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか
どうかを調べるのも面白そうだ。

401:１３２人目の素数さん
08/01/03 17:05:37
>>399 >>400
tkx
大部感じが分かってきた。有難う。

402:１３２人目の素数さん
08/01/03 18:37:11
リーグ戦の組合せ順は何通りあるか？
　例）４チーム（ＡＢＣＤ）の場合は６通り（↓の節の順＝３！）
　　　　□ＡＢＣＤ
　　　　Ａ□１２３　　第１節がＡ－Ｂ＆ＣーＤ
　　　　Ｂ１□３２　　第２節がＡ－Ｃ＆ＢーＤ
　　　　Ｃ２３□１　　第３節がＡ－Ｄ＆ＢーＣ
　　　　Ｄ３２１□　
一般解（ｎチームの場合）を求める問題です。

403:１３２人目の素数さん
08/01/03 18:47:00
放置推奨

404:１３２人目の素数さん
08/01/03 19:01:25
>>401
↓ここに高校生向きの問題として３次ペルがあるよ。２番な。
URLﾘﾝｸ(93.xmbs.jp)

405:１３２人目の素数さん
08/01/03 19:07:43
>>400
　f(x) = x^2 -2/x = 0
を使えば3次の収束らしいお。 >>275

406:Eukie_M_SHIRAISHI
08/01/03 19:27:32
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)

407:405
08/01/03 19:38:30
a_(n+1) -p = a_n -p -{(a_n)^2 - (p^3)/a_n}/{2a_n + (p^3)/(a_n)^2},
　　　　= (a_n -p)^3 (a_n +p)/{2(a_n)^3 + p^3},

408:400
08/01/03 21:33:05
>>405
本当だ、確かに3次収束だ。はえー

409:１３２人目の素数さん
08/01/03 23:22:15
>>359が2007/12/25(火) 22:25:17
だから、このスレ年末年始で結構進んだな。
社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。

410:１３２人目の素数さん
08/01/04 04:55:41
>>394-401
同じように整数 a,b,c,d に対して p=d^(1/3) (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) として

x[n] + y[n]*p + z[n]*p^2 = ( a + b*p + c*p^2 )^n

で定まる数列 x[n],y[n],z[n]は、行列 A = aE + bD + cD^2 のn乗 A^n の第1列で与えられる。
ただし Dは
D =
[0,0,d]
[1,0,0]
[0,1,0]
であり Eは3次の単位行列。また Dの固有ベクトルは、ω=exp(i*2π/3) として
Dの固有値 p に対しては t[p^2, p, 1]
Dの固有値 ωp に対しては t[ω^2*p^2, ω*p, 1]
Dの固有値 ω^2p に対しては t[ω*p^2, ω^2*p, 1]

Aの固有値は上のそれぞれに対して
a+bp+cp^2, a+bωp+cω^2p^2, a+bω^2p+cωp^2
になる。従って a,b,c が正なら a+bp+cp^2 が絶対値が最大の固有値だが、たとえば
c=0 で aとbが異符号なら a+bωp+cω^2p^2 や a+bω^2p+cωp^2 の方が絶対値が大きくなる。
このため収束列を作りたいなら a,b,c の選択に制限がある。

411:１３２人目の素数さん
08/01/04 06:13:30
>>成る程。

412:１３２人目の素数さん
08/01/04 17:43:27
>>409
数学板は全般的にこの通りだな。

413:１３２人目の素数さん
08/01/05 00:23:35
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
に代数の問題が少ないので一つ投入しよう。
但し数検過去問の変形、と言ったら大ヒントになるので、
知っている人は別として、過去問は見ないやうに。

a, b, c, d, e, f の実係数 1 次同次式を成分とする 4 次正方行列 A で、
det A = (a^2 + b^2 + c^2 - d^2 - e^2 - f^2)^2
なる物が存在する。

414:１３２人目の素数さん
08/01/05 10:20:46
>>413
電磁場テンソルF (4次元の二階交代テンソル) の行列表示が
det(F) = ( E_1*B_1 + E_2*B_2 + E_3*B_3 )^2
をみたすな。
E_1=a-d, B_1=a+d, E_2=b-e, B_2=b+e, E_3=c-f, B_3=c+f
とすれば題意をみたす行列の出来上がり。

415:１３２人目の素数さん
08/01/05 10:51:12
>>382 の (ii)
簡単の為 a ＞ 0 とする。
a = e^(log a)
a^(log a) = e^{(log a)*(log n)} = n^(log a)
よって log a ＜ -1, i.e; a ＜ 1/e で収束、
これが a の収束範囲。

416:410
08/01/05 11:05:43
>>410
× (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立)
○ (ただし 1,p,p^2 はQ上1次独立)

417:１３２人目の素数さん
08/01/05 14:50:06
>>414
意外と簡単だったか！

418:１３２人目の素数さん
08/01/05 15:30:21
>>413
が意外と簡単だったので、行列ではなく多項式の代数問題。
n を奇数とし、 f (x, y), g (x, y) を高々 n - 1 次の実係数多項式とする。
この時、連立方程式

x^n = f (x, y)
y^n = g (x, y)

は、少なくとも一つの実数解を持つ。

419:１３２人目の素数さん
08/01/05 15:50:46
>>418
そっちのほうが簡単な気が…

実係数、奇数次だから
(∀y∈R)(∃x∈R) x^n = f (x, y)
(∀x∈R)(∃y∈R) y^n = g (x, y)
よって（ry

420:419
08/01/05 15:57:07
ごめん。できてなかった。

421:１３２人目の素数さん
08/01/05 16:49:57
>>399
前半の話だが、虚数不動点は実の回転みたいなものだが、
整点でそんな点はないんじゃないか？
だから任意の整点から出発して収束するとは云えない・・・・？
いや待てよ、やっぱり云えないか。
複素力学系みたいな振る舞いをするのかな？

422:１３２人目の素数さん
08/01/05 17:17:41
>>382
(1)
a ≧ 1 だと当然収束しないから、
0　≦ a ＜ 1 とする。
この時適当な定数 C により、
a^(√n) ≦ C/n^2
と評価されるから、その範囲で収束。

423:１３２人目の素数さん
08/01/05 17:32:24
>>418
F:y∈R→x∈R, x^n = f(x,y)
G:x∈R→y∈R, y^n = g(x,y)
を満たす連続関数F,Gがあって、グラフx=F(y)とy=G(x)がxy平面で交点をもつ。

424:１３２人目の素数さん
08/01/05 17:44:34
>>423
F, G は一価連続じゃないぞ。連続な物があるという保証はない。

425:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:07:25
遅ればせながら高校生スレに便乗

(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう

(2) 111222333の9つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう

(1)(2)共に回転して一致する並べ方は1通りとする
てかあの問題と同じ仕様で

426:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:13:27
ん？

427:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:14:14
>>425
ポリアの定理で計算出来る。

428:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:52:00
>>379
が出題ミスだったので、もう一度きちんと書いておこう。

正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。
また、辺上を動いていて、頂点に到達した時、今通った辺にすぐ戻る事（Ｕターン）は禁止する。

正十二面体ではどうか？

429:１３２人目の素数さん
08/01/05 21:32:15
D を xy-平面内の原点中心の「面積」 1 の閉円板、 f, g をその上の連続関数で、条件：
任意の p, q ∈ D に対して [ f (p) ≦ f (q) ⇔ g (p) ≦ g (q)] を満たす物とする。
また、関数 g に円板 D の任意の回転を合成した関数を h とする。このとき

(∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy

を示せ。

430:１３２人目の素数さん
08/01/05 23:00:51
>429
　ただの ∑乱順序積 ≦ ∑同順序積 (積分版) だって…

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:206-207番)
不等式スレ３

431:１３２人目の素数さん
08/01/06 00:07:59
X=cosX Xはいくつ？

432:１３２人目の素数さん
08/01/06 00:20:41
>>431
で、問題は？

433:１３２人目の素数さん
08/01/06 02:07:17
で、答えは？

434:１３２人目の素数さん
08/01/06 02:44:35
>>431
X=0.7390851332151606416553120876738734040134117589…
死ぬほどクダラナイ

435:１３２人目の素数さん
08/01/06 02:52:44
>>427
ポリア？

436:１３２人目の素数さん
08/01/06 09:16:28
xyz-空間 R^3 で、x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
が、全て整数になる点は 0 ≦ x, y, z ≦ n の範囲で幾つあるか？
a, b, c, n が奇数の場合は 0 ≦ |x|, |y|, |z| ≦ n の範囲で幾つあるか？

a, b, c, d が整数なる平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、0 ≦ x, y, z ≦ n　なる領域は幾つの領域に分割されるか？

a, b, c, d, n が奇数の時、
x + y + z ≦ n, -x + y + z ≦ n, x - y + z ≦ n ,x + y - z ≦ n
なる領域は、平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、幾つの領域に分割されるか？

437:１３２人目の素数さん
08/01/06 13:13:22
>>435
URLﾘﾝｸ(www.mathreference.com)

438:１３２人目の素数さん
08/01/06 15:15:01
>>436で与えられた各点を中心とする半径 r の球体を考える時、
それらが球面以外で共通点を持たない様な最大の r を求めよ

439:１３２人目の素数さん
08/01/06 17:49:50
>>437
英語は嫌いだぁ
実際に解いてみてよ

440:１３２人目の素数さん
08/01/06 18:01:45
英語が嫌いでは高等数学は出来ない。

441:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:06:39
>>428
シンプルな問題だったのが台無し

正多面体の辺を二筆書きする方法はそれぞれ何通りあるか？
ただし各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。

のほうが汎用性がある。
頂点発着と辺発着は同じとする条件は必要？蛇足？

442:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:19:11
>>425 >>439
では(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう
を解いてみよう。
先ず、回転を考えない並び方の総数は 8!/(2!)^4.
このうち、自明でない回転で一致する物は、
各 n に対し、 n と n が中心対称の位置にある物のみで、 4!.
従って答えは (8!/(2!)^4 - 4!)/8 + 4!/4.

443:１３２人目の素数さん
08/01/07 07:46:34
各辺の長さがいずれも整数であり、その最大公約数が1である三角形で
1つの内角がθであるような三角形の集合を S[θ] と書くことにする。
S[θ] が空集合でなく、かつ有限個の要素からなるようなθは存在するか。

444:１３２人目の素数さん
08/01/07 15:09:09
>>425
等間隔とかの条件がないから無限大
線対称は別の条件を入れないと誤解

445:Eukie_M_SHIRAISHI
08/01/07 21:30:59
【賞品付きＱｕｉｚ】(先着１０名まで)

１２個の硬貨ある。　そしてその中には贋金が一つ含まれている。

その偽（にせ）の硬貨は残りの本物の硬貨よりも質量が違うことが分かっている。

上皿天秤が与えられている。　その上皿天秤を３回だけ使って、

その偽（にせ）の硬貨を見つけ出し本物よりも重いか軽いかを判定する方法がある

どんな方法か？　Web Page を作ってその方法を示せ。

E-mailの宛先は：－ ms.eurms@gmail.com

Nao kono Mondai ni wa bimyou ni tsugau（違う）fukusuu-ko no Seikai
ga aru !

Good Luck to YOU and to US ALL !

446:１３２人目の素数さん
08/01/08 05:03:26
>>444
馬鹿無限大

447:１３２人目の素数さん
08/01/08 15:43:48
>>443
存在しない。二次体の簡単な話題。

448:１３２人目の素数さん
08/01/10 02:46:04
ここに、赤玉と青玉が入った袋がある。玉を無作為に一個取りだして、
玉の色を見て、それを袋に戻す。この操作を n 回行った時、
赤玉が r 回であるである確率はいくらか？

と言うのが問題であるが、ここで赤玉の出る確率は、
途中 k 回まで操作を行った時に赤玉が j 回であったなら、
次に赤玉が出る確率は (j + 1)/(k + 2) とする。
最初、即ち k = j = 0 の場合は 1/2 である。

449:１３２人目の素数さん
08/01/10 03:27:41
>>443
の>>447での解答が素っ気なかったので、もう少し詳しく述べる。

これは、三辺の長さが有理数で、相似で無い物が一個あれば無限個あるという問題と同値なので、
この形で考える。三辺の長さを X, Y, Z, cos∠C = a とすると余弦定理より、
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2aXY. X^2 + Y^2 - 2aXY (a ∈ Q) は有理数体 Q または二次体 K で因数分解出来る。

(i) 有理数体 Q で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY) と因数分解された場合。。
相異なる素数 p, q, ...... が無限にあるから、 Z = pq, X - bY = p^2, X - cY =q^2, ...
とすれば、相似でない物が無限に得られる。

(ii) そうでない場合、二次体 K で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY).
K の整数環の元 p, q, ...... で (p), (q) が異なる素イデアルになる様な物が無限にある。
Z = pp~ (p~ は p の共軛元）、X - bY = p, X - cY = p~ とすれば得られる。

450:１３２人目の素数さん
08/01/10 06:00:01
x^2+y^2-axy=1.
y=1+tx.
x=(a-2t)/(1-at+t^2).
y=(1-t^2)/(1-at+t^2).

451:１３２人目の素数さん
08/01/10 06:29:01
>>450
当然有理曲線ではあるよ。

452:１３２人目の素数さん
08/01/10 09:00:18
んー

453:１３２人目の素数さん
08/01/10 16:43:25
n個の数θ_1, θ_2, ... , θ_n が
sinθ_1=θ_2, sinθ_2=θ_3, ... , sinθ_n=θ_1
を満たすとき、θ_nをnを用いて表せ。

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