面白い問題おしえて～な十三問目

面白い問題おしえて～ ..

2:１３２人目の素数さん
07/07/06 09:02:00
過去ログ
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
まとめwiki
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)

1 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
4 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
5 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
6 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
7 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
8 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
9 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
11 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
12 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

3:１３２人目の素数さん
07/07/07 03:30:30
虚数i面体のサイコロをπ回振ったときの期待値を求めなさい

4:１３２人目の素数さん
07/07/07 04:26:17

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ>>3
　くく　へﾍﾉ

5:１３２人目の素数さん
07/07/07 06:06:25
虚数iとπを公式にあてはめればいいだろう？
何も屁をかますことはないと思うが…

6:１３２人目の素数さん
07/07/07 06:35:49
虚数面体ってなに？
明太子と関係ある？

7:１３２人目の素数さん
07/07/07 07:11:30
誰も丁度に書き込もうとしなかったな

8:１３２人目の素数さん
07/07/07 14:17:18
ゴルゴのような正確さでスルーにﾜﾗﾀ

9:１３２人目の素数さん
07/07/07 18:51:39
A君は最初にR^2内の(0,1)にいる
そしてサイコロを振っていき、
・1or2が出ればx座標+1、y座標+1の地点へ
・3or4が出ればx座標+1の地点へ
・5or6が出ればx座標+1、y座標-1の地点へ
という風に移動する
この移動を繰り返しy座標が0の地点に着いたらストップする
線分(0,0)-(0,1)とA君が通ったルート、x軸で囲まれる面積の期待値は幾つ？

10:１３２人目の素数さん
07/07/07 18:52:20
囲まれる面積→囲まれる領域の面積

11:１３２人目の素数さん
07/07/07 22:11:12
発散するんじゃないのか、これ？

12:１３２人目の素数さん
07/07/07 22:12:37
このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
ｽﾚﾘﾝｸ(kankon板)l50x [生活全般]

13:１３２人目の素数さん
07/07/08 00:16:55
次は2008/08/08 08:08:08か。このスレなら射程距離だなｗ

14:１３２人目の素数さん
07/07/09 16:24:43
縦、横の長さがa,bである長方形Xを有限個の正方形A1～Anに分割出来るとき、
a/bは有理数である事を証明せよ

15:１３２人目の素数さん
07/07/09 23:16:55
こりゃ難しそうだ。

16:１３２人目の素数さん
07/07/14 23:39:53
自作問題。

(1)f：[0,∞) → Rは2回微分可能であるとし、sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞であるとする。
さらに、任意のε＞0に対してΣ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^kが存在するとする。このとき、
lim[ε↓0]Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k＝－f(0)/2 が成り立つことを示せ。

(2)g(x)＝Σ[k＝1～∞](－1)^k/√(x^2＋k^2) (x∈R)とおく。右辺の級数は任意のx∈Rで
収束することを示し、lim[x→±∞]xg(x)＝－1/2となることを示せ(ある大学院入試の過去問より)。

(1)について…与えられた級数に形式的にε＝0を入れると、f(0)(－1＋1－1＋…)となる。
適当な総和法では－1＋1－1＋…＝－1/2となるので、、f(0)(－1＋1－1＋…)＝－f(0)/2
となり、右辺に一致する。……この現象は偶然ではない。今、任意のε＞0に対して
Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^kの存在が保障されているので、アーベル総和法による
シグマ(これをA-Σと書く)でも同じ値になる。すなわち、
Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k＝A-Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k
となる。sup[x≧0]|x^2f''(x)|＜∞という条件は、この総和法の下でlimとA-Σの
順序交換が可能であることを保障する条件になっていて、
lim[ε↓0]Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k＝lim[ε↓0]A-Σ[k＝1～∞]f(εk)(－1)^k
＝f(0)A-Σ[k＝1～∞](－1)^k＝f(0)(－1/2)
となる。(こんなことしなくても、(1)は解けます)。

17:１３２人目の素数さん
07/07/15 01:14:01
外接円の半径Rを～まで読んだ

18:１３２人目の素数さん
07/07/15 02:28:46
>>17
つ眼科

19:１３２人目の素数さん
07/07/18 01:09:46
プロ野球の終盤になると安打を打つと打率が二厘上がり凡打だと一厘下がりますが
このことが始まるのは何打数からでしょうか？

20:１３２人目の素数さん
07/07/18 02:48:48
脳みそ沸いてるの？

21:１３２人目の素数さん
07/07/18 08:55:57
野球見ている奴って頭悪そうだな・・・

22:１３２人目の素数さん
07/07/18 09:04:16
おいおい、そういうことは答えてから言え

23:１３２人目の素数さん
07/07/18 15:28:56
これは流石に、答える前に言っても構わんだろう…

24:１３２人目の素数さん
07/07/18 15:33:26
打率10割の人は、なん打数目だろうともうそれ以上上がることはないな。
打率0の人は、なん打数目だろうともうそれ以上下がることはないな。

それ以上下がるって変な表現だな。

25:１３２人目の素数さん
07/07/18 15:43:27
たぶん、あくまで推測の話だが、
普通、打率は1/10000の位で四捨五入して出す。
なので>>19の言っていることには一定の解答を与えることは出来る。

しかし面白くはない。質問スレに持っていくべきだろう。

26:転載
07/07/21 19:18:19
三角形ＡＢＣの
Ａを中心に半径Max(b,c)、
Ｂを中心に半径Max(a,c)
Cを中心に半径Max(a,b)
の３つの円を描くとき、それらの合併集合の面積を求めよ。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:499番)

27:１３２人目の素数さん
07/07/22 01:40:48
平面格子上をA=(0,0)をスタート、B=(n,m)をゴールとして通る経路を考える
線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通ってゴールに至る経路で最短な奴の個数は幾つ？

28:１３２人目の素数さん
07/07/22 01:55:52
>>27
カタラン数の一般化ですな？
念のため訊いておくが、お主解答は用意出来て御座るか？

29:１３２人目の素数さん
07/07/22 06:36:00
>>26
正三角形の場合だけやってみた。
a^2*(11pi+3√3)/6

三角形ＡＢＣのＡを中心に半径ｒ（Ａ）.. として
ｒ(A)＝a,　ｒ(Ｂ)=b,　ｒ(Ｃ)=c
ｒ(A)＝c,　ｒ(Ｂ)=a,　ｒ(Ｃ)=b
etc とした方がきれいな結果になるような気がしないでもない。

30:１３２人目の素数さん
07/07/22 13:41:20
>>28
すいませぬ。n>mという条件付で
×線分ABに触れず（点A,Bは除く）に格子の辺のみを通って
○直線y=xに触れず（点Aは除く）に格子の辺のみを通って
だった

27だと階乗使うだけじゃ表せねぇ

31:１３２人目の素数さん
07/07/22 14:29:14
>>30
あーしてこーしてひっくり返すと
((n-m)/n)*C[n+m-1,m]

32:１３２人目の素数さん
07/07/22 16:34:56
>26

a≧b≧c としても一般性を失わない。
A,B,C を中心とする円を α,β,γ とすれば、
　(α∪β∪γ) = α + β + γ - (α∩β) - (β∩γ) - (γ∩α) + (α∩β∩γ),
　S(α) = πb^2,
　S(β) = S(γ)　= πa^2,
　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(a,b),
　S(β∩γ) = f(a,a),

【補題】
　0<r≦R とする。半径Rの円をC, その周上の点を中心とする半径rの円をcとすると,
　共通部分の面積 S(C∩c) は,
　　f(R,r) = (π/2)r^2 + (2R^2 -r^2)･arcsin(r/2R) -r√{R^2 -(r/2)^2},
　　f(R,R) = {(2π/3) - (√3)/2}R^2,

残った S(α∩β∩γ) をどうするかという問題。

33:１３２人目の素数さん
07/07/22 17:31:42
>>32
この問題ってa=BC, b=CA, c=ABってことでいいんだよね？

円と円の交点（一番外側にあるやつ）と、三角形の頂点を線分で結んでいくと、
4つの三角形と3つの扇形が出来る。
こっちのほうが楽でない？

34:１３２人目の素数さん
07/07/22 20:05:48
必要なのってヘロンの公式だけで、わからんスレにあったやつだし、普通に高１の数学じゃね？
結果出してないから何ともいえんけど、結果は綺麗にならない悪寒がする。

35:１３２人目の素数さん
07/07/22 20:20:37
>>34
やってから言えよ、ジジイ！

36:１３２人目の素数さん
07/07/22 20:36:57
>32

　S(α∩β) = S(α∩γ) = f(b,a),
【補題】は 0<r≦2R のとき。
r≧2R のときは πR^2 だった. ｽﾏｿ.

37:１３２人目の素数さん
07/07/26 02:45:04
>26

>32,34 より、S(α∩β∩γ) を求めればよい。
α周,β周とγ周の交点をD,Eとおく。△BCEは正3角形。

まづ B ≧ π/6 のときを考える。
B ≧ π/3 -B = ∠ABE,
b = AC ≧ AE, Eはα内にある。
CAの延長とγ周の交点をA'とおくと、
α∩β∩γは2直線BC,CA'により3分割される。
α∩β∩γ = (筍形BCE) + (筍形A'CD) - (扇形A'CB),
S(α∩β∩γ) = (1/2)f(a,a) + (1/2)f(b,a) - (1/2)(a^2)C.

38:１３２人目の素数さん
07/07/26 03:46:02
なぜこの問題はマルチのみならず、マルチ進行が許されるのですか？
教えてください。夏だからですか？

39:１３２人目の素数さん
07/07/26 19:30:00
deg(f)=2.
deg(g)=2.
f(g(x))=x^4+x^3+x^2+x+1.

40:１３２人目の素数さん
07/07/26 23:12:11
>>39
解あるの？

41:１３２人目の素数さん
07/07/27 19:12:45
>37 の続き

B≧π/6 のときは
S(α∩β∩γ) = {(π/3) -(√3)/4 -C/2 +θ/2}a^2 + {(π/2)-θ}b^2 -(a/2)√{b^2 -(a/2)^2},
S(αＵβＵγ) = {(5/3)π +(√3)/4 -B -C/2 -θ/2}a^2 + {(π/2)-A+θ}b^2 +2Δ + (a/2)√{b^2 -(a/2)^2},
θ = arccos(a/2b),　ΔはABCの面積。

>32, >36
S(α∩β) = (a^2)B + (b^2)A -2Δ,
だな。

42:１３２人目の素数さん
07/07/28 23:28:08
>41 の続き

　Ｂ≦π/6 のときは α周とβ周の交点をC,E'とする。E'はCとEの間にある。
　α∩β∩γ = (α∩γ) - (弓形CE') = (α∩γ) - {(扇形CAE') +2Δ -(扇形CBE')},
S(α∩β∩γ) = S(α∩γ) - {(b^2)(B+C) +2Δ -(a^2)B}.

ﾊｧﾊｧ

43:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 12:08:59
>42 の続き

　CE'は2つの円周に挟まれてるから「三日月形CE'」と言うべきだな。

44:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 15:27:51
>42 の続き

B≦π/6 のときは
　S(α∩β∩γ) = (B+θ)a^2 +(A-2θ)b^2 -2Δ -a√{b^2 -(a/2)^2},
　S(αＵβＵγ) = {(4/3)π +(√3)/2}a^2 = 5.05481560…a^2

45:１３２人目の素数さん
07/07/30 03:31:25
>44 の続き

B≦π/6 のときは
　α ⊂ (βＵγ)
　α∩β∩γ = β∩γ
だな…

46:１３２人目の素数さん
07/07/31 01:27:57
>44 の続き

まちがえた…orz
B≦π/6 のときは
　αＵβＵγ = βＵγ
だった…

47:１３２人目の素数さん
07/08/01 20:33:38
3乗して下3桁が777になるような整数は存在するか？

48:１３２人目の素数さん
07/08/01 20:38:27
753^3=426957777

49:１３２人目の素数さん
07/08/01 21:39:40
N,mを正の整数とし、nをNの桁数とする。
f(N,m)の値を以下の値で定義する。
「N^mを下からn桁ずつ区切っていき、それらの総和をf(N,m)とする。
n桁ずつ区切ったときに最上位の数字が0の部分は桁数がn未満の値として扱う」

(1)任意のnに対してf(N,2)=Nを満たすNが存在することを示せ。
(2)任意のnに対してf(N,2)=f(N,3)=Nを満たすNは存在するか？

50:１３２人目の素数さん
07/08/01 22:08:38
>>49
問題の意味を俺が理解できているか確認したいんだけど、例えば
f(101,3)=1+30+301=332
ってことでよい？

51:49
07/08/01 22:17:32
>>50
それでＯＫです。
理解が早くて助かります。

52:49
07/08/01 22:23:57
すいません、一つ追加です
(1)は｢二つ以上存在｣にしてください。10^k-1以外にも存在することを示す感じで。

53:50
07/08/01 22:29:12
>>49
ありがとう。チャレンジしてみるよ。

54:１３２人目の素数さん
07/08/04 02:16:42
n！を10進法で表記したとき、それを1の位から見ていき、初めて0でない数が現れた
ところで、その数をf(n)と書く。たとえば
4！＝24なのでf(4)＝4
5！＝120なのでf(5)＝2
10！＝3628800なのでf(10)＝8
となる。自然数nの5進方表示n＝∑[i＝0～u](5^i)aiを与えたとき、
∑[i＝1～u]i*ai≡t (mod 4)となる自然数tを1つ選べば、
{au!a(u－1)!…a1!a0!}2^t の1桁目の数字がf(n)になっていることを示せ。

55:１３２人目の素数さん
07/08/04 02:30:50
例：
n＝21のとき、5進法でn＝∑[i＝0～u](5^i)ai , u＝1 , a0＝1 , a1＝4
と表せる。∑[i＝1～1]i*ai≡t (mod 4)となるtはt≡1*a1＝4≡0 (mod 4)なので、
t＝4が選べる。このとき{au!a(u－1)!…a1!a0!}2^t＝4！1！2^4＝24*16 なので、
この数の1の位は4となり、f(21)＝4となる。
直接求めると、21！＝51090942171709440000であるから、f(21)＝4である。

56:１３２人目の素数さん
07/08/05 00:50:58
>>49の(1)をやってみた（出来てないけど）

p=10^nとして
　　N^2=ap+b, f(N,2)=a+b=N
の2式から
　　a=N(N-1)/(p-1), b=N(p-N)/(p-1)
となる。a, bが整数であるためには、
　　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*)
を満たす必要がある（p≡1 (mod p-1)だからbから来る式はいらない）。
任意のnに対して、(*)を満たす10^{n-1} ≦ N ＜ 10^nなるNがあれば万事OK。

p-1以外のNということで、n≡±1 (mod 3)の時は、I=(p-1)/9, d=1,2,...,8として
　　N = dI for n≡1 (mod 3)
　　N = dI+1 for n≡-1 (mod 3)
がある。ただし、dはnに応じて適当に選ぶ必要がある。だけどn≡0 (mod 3)はこのゾロ目形は通用しない。無念。

詳しくないので(*)の一般的な解法があるのか知らぬ。

57:56
07/08/05 00:56:13
後半の(mod 3)は全部(mod 9)だった。

58:56
07/08/05 01:05:05
簡単に修正しようとして失敗した。

I=(p-1)/9として、n≡1,2,4,5,7,8 (mod 9)の時はd=1,2,...,8を適当に選んで
　　nd≡1 (mod 9)と出来る場合　N = dI
　　nd≡-1 (mod 9)と出来る場合　N = dI+1
とすればOK。
だけどn≡0,3,6 (mod 9)のときはゾロ目形は通用しない。

59:１３２人目の素数さん
07/08/05 01:37:36
>>49
(1) N=99・・・9 (n桁)=(10^n)-1は条件を満たす。
実際，N^2=10^(2n)-2*10^n+1において，
下n桁は1，その後のn-1桁は99・・・8 (=10^n-2)なので
それらの和は(10^n)-1=N

60:１３２人目の素数さん
07/08/05 01:41:23
>>49
(2) 存在しない。
f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。
ところがn=1のとき，N=9だが，N^3=729となり，f(3，N)=18≠N

61:１３２人目の素数さん
07/08/05 02:05:42
>>59
(1)に限っては、>>52で99・・・9 ｢以外でいつでもあるか｣と言ってるよ。

>>60
>f(2，N)=Nより，N=(10^n)-1と書かれることが必要。
その必要は無いよ。
それと(2)では(1)と違って、その形であっても存在すればOKと出題者は言いたいのだと思う。

俺の計算機がしょぼいので、ここまでしか確認できてないけど、
f(N,2)=N
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222…
f(N,3)=N
1, 8, 10, 45, 297…

ちなみに俺は>>56だけど、n≡0,3,6 (mod 9)のとき、(1)を満たすNが無いと言いたいのではなくて、どのような形になるかわかってないと言いたかった。
（もちろん俺は出題者じゃないからね。誤解無いように。）

62:１３２人目の素数さん
07/08/05 04:37:36
単位円がある。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。

OP_1がx軸の正の向きとなす角がθ(0<θ<π/4)となるような点P_1をとる。
∠OP_1P_2=θとなるような点P_2をとる。
∠P_1P_2P_3=θとなるような点P_3をとる。
∠P_2P_3P_4=θとなるような点P_4をとる。

・・・以降同様に、∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)=θとなるような点P_(n+1)を順次とる。

ただし∠P_(n-1)P_(n)P_(n+1)は線分P_(n-1)P_(n)について、∠P_(n-2)P_(n-1)P_(n)と同じ側にある（同位角）とする。

P_(n)の座標をθを用いて表せ。

問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。

63:１３２人目の素数さん
07/08/05 04:43:37
>>62
>問題を思いついただけで答えがわからん。考えたけど面倒でやめたから後は任せた。

ふざけんなｗｗｗ
他所にそれ相応のスレがある。

64:１３２人目の素数さん
07/08/05 05:51:28
>>63
え、このスレって答えも用意してないとダメなの？

正直スマンカッタ。問題ごと忘れてくれ。

65:１３２人目の素数さん
07/08/05 06:24:58
>>64
いや、答えがわからなくてもいいとは思うが、
>考えたけど面倒でやめたから後は任せた。
というところに突っ込みたくなった。それでは面白いかどうかわからないでしょ？

66:１３２人目の素数さん
07/08/05 06:32:47
>>65
別の問題を考えていた時に、ふと思いついた図形から考えてみた。グラフィカルに面白いと思ったから出してみただけ。そういう意味じゃないって？

いずれにしても答えはわからなかった。軟弱な俺を許して。

67:１３２人目の素数さん
07/08/05 07:28:50
>>>62
P_3の取り方に（一般性を失う）2通りあるでしょ。そこら辺ちゃんと考えてるの？

68:66
07/08/05 07:31:27
ていうかP_(n)が円周上の点だと明示してなかったorz

今何とか考えてみたらこうなった。

P_(2n)=((-1)^ncos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)
P_(2n+1)=(cos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)　ただしn=0の時P_(0)は定義しない。

69:66
07/08/05 07:35:03
>>67
意味わからない。どういうこと？

70:１３２人目の素数さん
07/08/05 09:40:55
知将

71:１３２人目の素数さん
07/08/05 09:58:27
>>56
>　　N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*)
N^2 ≡N (mod p-1)
N と p-1 の最大公約数を q とすると
N ≡1 (mod (p-1)/q)
N ≡0 (mod q)
の二本の式が出てきて、中国剰余定理からp-1未満の
整数解の存在は保証される。
そして、そのNがf(2，N)=Nを本当に満たしているって言うのは
不等号ではさんでゴニョゴニョスればいいはず。
というか、ここまでは前スレの終わりに出てた問題と一緒でしょう。

(2)は繰上りとかがうまく処理できなくて難しいね。

72:66
07/08/05 15:55:37
>>70
多分俺に言ってるんだと思うけど、罵るのはいいからさあ・・・教えて欲しいのよ、こっちは。

まあ、よく考えたら大して面白い問題でもなさそうだったからスルーでもかまわないが。

73:１３２人目の素数さん
07/08/05 22:33:36
>>72
簡単かつつまらないかつ解答も考えずに書き込んだお前は屑だ！
100年ロムって、そのままｓ…

74:１３２人目の素数さん
07/08/05 22:37:21
100年と言わず、半万年ろｍ（ｒｙ

75:１３２人目の素数さん
07/08/06 01:14:47
半径rの球面上にn個の点(a1,a2,...,an)を配置するとき、
ある1点akと他の点間の各距離の最小値をdkとする。
n=5のとき、d1+d2+d3+d4+d5の値が最大となる配置はどのような配置か？

長年疑問だったのでお尋ねします。

76:１３２人目の素数さん
07/08/06 01:38:55
mathnoriの問題か？

77:１３２人目の素数さん
07/08/06 08:57:51
>>62の反省を生かして別問題を作ってみた。答えも用意してあるが、後に公開するそれが間違ってたら指摘を求む。

原点をOとし、0<θ<π/2とする。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。

線分OP_1がx軸の正の向きとなす角がθとなるような点P_1をとる。
次に線分P_1P_2が線分OP_1の延長の正の向きとなす角が2θとなるような点P_2をとる。
次に線分P_2P_3が線分P_1P_2の延長の正の向きとなす角が3θとなるような点P_3をとる。

・・・以下同様に、線分P_(n)P_(n+1)が線分P_(n-1)P_nの延長の正の向きとなす角がnθとなるような点P_(n+1)を順次とっていく。

(1)OP_(n)の座標を、θを用いて表せ。

(2)P_4がy軸上にあるようなθの値を求めよ。

(3)θが(2)で一義的に定まる時、P_4のy座標を求めよ。
定まらない時は、最も小さなθに対応する点P_4を点A、最も大きなθに対応する点P_4を点Bとし、線分ABの長さを求めよ。

なお、既知の角度が求められない場合は三角比の表を用いるなどして良い（注：ここだけ美しくなくて残念）。

78:１３２人目の素数さん
07/08/06 09:03:55
>>77
また一つ書き忘れたおバカな俺。「線分P_(n)P_(n+1)の長さはいずれも1とする。」これがなきゃ解けねーよ。

79:１３２人目の素数さん
07/08/06 11:12:22
A[n+2]=(4n+2)A[n+1]+A[n]
B[n+2]=(4n+2)B[n+1]+B[n]
A[1]=1、A[2]=3
B[1]=1、B[2]=1
を満たすA[n],B[n]においてA[n]/B[n]の極限値を求めよ。

80:75
07/08/06 13:01:20
>>76
問題背景は金属錯体化学です。球面縛りはこれが由来です。

中心に金属原子を持ち、その周りに幾つかの原子団（配位子）
が結合(配位)したものを金属錯体と言います。

金属原子に配位したそれぞれの配位子はお互いの立体反発を小さくするような
空間配置をします。

４つの配位子がある場合、正四面体の頂点(平面正方形となる場合もあります)
６つ場合、正八面体の頂点となるような配置になります。

５つの場合は、中心金属を含む平面内に正３角形の頂点をなすように３つ、
残りの２つはその平面と垂直になり、中心金属を通る直線上にとります(三方両錐型)。

数学的に考えて、三方両錐型が一番反発の少ない構造なのかを
知りたくて出題させて頂きました。

数学素人の問題ですがお願いします。
類似の問題がありましたら教えてください。

81:１３２人目の素数さん
07/08/06 13:15:22
>>78
糞して寝ろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

82:１３２人目の素数さん
07/08/06 17:30:01
(ﾟДﾟ)

83:１３２人目の素数さん
07/08/06 22:16:32
>>77
とりあえず２分くらい考えただけだが
(2)π/9,π/7,π/4,π/3,3π/7
(3)2sin3π/7-√3

あってるかどうかとか解説とか、そういうレスはなくていいです

84:１３２人目の素数さん
07/08/06 22:16:48
>>80
立体反発というのがどういうものか知らないんだけど、
問題>>75の｢距離の和｣が関係してるの？

むしろそっちのほうが気になってしまうやつがここにいる。

85:１３２人目の素数さん
07/08/06 22:58:42
距離の二乗の和？

86:１３２人目の素数さん
07/08/06 23:15:59
>>83
解説は不要とのことなので、感想だけ。

2分でよく答えをはじき出せたねえ・・・。問題として面白いかとか、自分もちゃんと解けるかどうかとかを考えてたら2時間以上かかったよ。

87:１３２人目の素数さん
07/08/06 23:56:44
>80
　それだったら、静電エネルギーを最小にするんぢゃね?
　Σ[1≦i<j≦n] 1/d(i,j) → min.

88:83
07/08/07 00:04:41
>>86
あ、すいません。解説っていうのは回答に対する考察のことで、問題の解説はほしかったり。
ほとんど当て推量で、
10-1=6+3=9
10-3=6+1=7
10-6=3+1=4
の最右辺の値を分母でcosに持っていけば大丈夫だろうくらいしか考えてませんでした。
ただ一般化はしにくいかも知れませんね。東工大でこのままありそうな問題って感じで。
あと(3)はなんか意味のある問題だったり？

89:87
07/08/07 00:34:28
>80
　3方両錐型のとき
　　Σ[i<j] 1/d(i,j) = 6/(a√2) + 3/(a√3) + 1/(2a) = 6.4746915…/a. (たぶん最小)

90:75
07/08/07 00:42:56
>>84,85,87
レスありがとうございます。

イメージとして個々の点の持つ「縄張り」ができるだけ均等になるのは
どのような常態かが知りたくて>>75のような問題文になってしまいました。

この「縄張り」の定義があいまいな為、混乱を招いてしまったと思います。

球面ではなくて円周にした場合、点が幾つであろうと等間隔に
点を円周上に並べれば、各点間の反発が均等になります。

これが球面になるとどうなってしまうのか？
とくに対象性の悪い数の場合はどうか？
が知りたくて出題しました。

91:75
07/08/07 00:57:39
>>89
解答ありがとうございます。
各点間の距離の逆数の和が三方両錐型の場合に最小に
なることの証明は難しいのでしょうか？

92:１３２人目の素数さん
07/08/07 01:05:30
>>89
6.4746915
をぐぐったら　Distributing n Charges on a Sphere
URLﾘﾝｸ(tracer.lcc.uma.es)
なんてページが出てきた。

93:75
07/08/07 01:09:35
連投で申し訳ないです。
各点に立体角を割り振るようなうまい定義
ができていないのがダメですね。

94:75
07/08/07 01:14:31
>>92
面白いページですね。
５つのときはやはり三方両錐型ですね。

95:１３２人目の素数さん
07/08/08 00:24:02
>>88
勘違いすみませぬ。

(1)P_(n)の座標はベクトルを用いて↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)と表せる。これを用いれば
↑OP_2=↑OP_1+↑P_1P_2=(cosθ,sinθ)+(cos(θ+2θ),sin(θ+2θ)=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)
↑OP_3=↑OP_2+↑P_2P_3=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)+(cos(θ+2θ+3θ),sin(θ+2θ+3θ)
=(cosθ+cos3θ+6θ,sinθ+sin3θ+6θ)
以下同様にすれば
↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)=(∑[k=1,n]cos(k(k+1)θ/2),∑[k=1,n]sin(k(k+1)θ/2))
・・・確かに成り立つかどうかの吟味って必要かな？

(2)P_4がy軸上にある、つまりx座標が0であるから、cosθ+cos3θ+6θ+cos10θ=0。
変形すると-4sin2θsin(9θ/2)cos(7θ/2)=0であり、0<θ<π/2よりsin2θ≠0なので
sin(9θ/2)cos(7θ/2)=0。これを満たすθは0<θ<π/2において、θ=π/9,π/7,3π/7,4π/9 の4つ。

(3)(2)で求めたようにθは一つだけではないから、最小のθに対応する点P_4つまり点Aのy座標は
となる。これはsin(π/7)+sin(3π/7)+sin(6π/7)+sin(10π/7)=2sin(2π/7)である。

最大のθに対応する点P_4つまり点Bのy座標はsin(2π/9)+sin(6π/9)+sin(12π/9)+sin(20π/9)=2sin(2π/9)である。
したがって、線分ABの長さ=2sin(2π/7)-2sin(2π/9)=2sin(π/63)≒0.997。

＞あと(3)はなんか意味のある問題だったり？
別にあまり意味は無い。本当はθは一つに定まると思ってた（このへんが浅はかだなあ）から、
それに対応する点の座標を求めるだけのつもりだった。しかし一つには定まらないことに気づいてから、
「だったら複数の点の座標を求め、それが作る多角形についても問題にしよう。」と考えた。

さらに言えば、「どうせθは一つには決まらないんだから、P_4がx軸上にある場合も問題にしてやれ。」
との考えにいたった。それぞれで題意に沿う最小および最大のθに対応する4点を定めて、それが作る台形の
面積を求めるつもりだった。でも自分が大変なのでやめた。時間と気力があったらやってみてね。

96:１３２人目の素数さん
07/08/08 03:47:31
2^186+1/65　が整数であることを証明せよ。

97:１３２人目の素数さん
07/08/08 08:34:43
(2^186+1)/65？

98:１３２人目の素数さん
07/08/08 17:44:15
以下65を法とする
2^6≡64≡-1
2^186≡(2^6)^31≡(-1)^31≡-1
2^186+1≡-1+1≡0

99:１３２人目の素数さん
07/08/09 11:11:31
自作問題。

(1)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上でC^1級である
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。

(2)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上で微分可能である(しかしC^1級とは限らない)
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。

100:89
07/08/11 01:17:39
>92

㌧㌧ｸｽ

nが小さいところでは
n=2,　直径,　　 f(2) = 1/2,　a=2,
n=3,　正3角形,　f(3) = √3,　a = √3,
n=4,　正4面体,　f(4) = (3/2)√6,　a = √(8/3),
n=5,　三方両錐, f(5) = (1/2) + 3√2 + √3,　a(ax)=√2,　a(eq)=√3,　
n=6,　正8面体,　f(6) = (3/2) + 6√2,　a=√2,
n=7,　五方両錐, f(7) = (1/2) + 5√2 + 5√{(5+√5)/10} + 5√{(5-√5)/10},　a(ax)=√2,　a(eq)=√{(5-√5)/2},
n=8,　捩れ正方形柱,　f(8) < 2 + 6√3 + 3√6,　(square anti-prism),
　a(top) = a(bot) = 1.171247738380718…,　a(side) = 1.28769352633104…,
n=12, 歪20面体, f(12) < -12 +15√5 +15√{(5+√5)/2},
n=20, 歪12面体, f(20) < 5 +30√3 +15√6 +15√15,
かな。

n=8,12,20 では正多面体からずれている。ヤーン・テラー効果?

101:89
07/08/11 01:51:01
>80

平面正方形では,　f(4) < 1+2√2, a=√2,

でつが実在しまつね。

軌道函数どうしの重なり積分が≒0 となる必要があるので、結合角にも制約があり…
静電エネルギーだけで決まる訳ぢゃね…

102:１３２人目の素数さん
07/08/24 16:36:07
ほしゅ

103:１３２人目の素数さん
07/08/25 18:24:43
ひまでしたら解いてみてください
6桁の自然数ABCDEFは3桁の自然数ABC*DEFで割り切れる。
6桁の自然数ABCDEFをいくつか見つけてください。

104:１３２人目の素数さん
07/08/25 19:27:36
ポテンシャル問題でしょ、普通に解けば？ラグランジェとかで？

105:１３２人目の素数さん
07/08/25 19:32:34
V=eiej/dij
dij=d(ri-rj)
d(ri)=d(rj)
G=V-sjd(rj)

106:１３２人目の素数さん
07/08/25 22:15:04
>>103
143143 = 143*1001 = 143*143*7
167334 = 167*1002 = 167*167*6

この問題には深い意味ありますか？ただいま検討中。

107:１３２人目の素数さん
07/08/25 22:34:39
>>104
さすがに (5-1)*2=8 の変数を単純計算では、取り付く島もなかろう。
せめて対称性を分析してからでないと。

108:１３２人目の素数さん
07/08/26 12:03:50
次の数式は何故そうなるのかわかる方どなたかご教授ください。

鉱山を営むとする鉱業権は、次により評価する。

(1)　操業している鉱山の鉱業権の場合
a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n－1))))－E
（１＋ｒ）の後はｎ乗です。

a　鉱山が毎年実現しうる純収益　
s　報酬利率　9パーセントから15パーセントまでの間において適正に定めた率
r　蓄積利率
n　可採年数　
E　今後投下されるべき起業費の現在価額

(2)　未着手のまま据置期間のある場合の鉱山の鉱業権の場合
(1／(1＋r)^m)×a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n－1))))－E
（１＋ｒ）の後ｍ乗、　　（１＋ｒ）のあとｎ乗

m　据置期間
a、s、r、n及びE　(1)に定めるとおりとする。

(3)　開坑後予定収益を生ずるまでに期間のある場合における鉱業権の場合
a×(((1＋r)^n－1)／(r＋s｛(1＋r)^n＋m－1｝))－E

（１＋ｒ）のあとｎ乗、（１＋ｒ）のあと　ｎ＋ｍ乗

m　補償時から予定収益を生ずるまでの期間
a、s、r、n及びE　(1)に定めるとおりとする。

どなたかわかる人がいればご教授ください。比較級数の和の公式のようにも思えるし、複利計算の式にも思えるし・・・悩み中です。

109:１３２人目の素数さん
07/08/26 12:51:28
>>108
マルチ

110:１３２人目の素数さん
07/09/19 23:53:54
ほしゅ

111:１３２人目の素数さん
07/09/23 17:10:38
転載。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:22番)

半径r の円の中で一回に距離１だけ（好きな方向に）逃げたり
追いかけたりすることが出来る鬼ごっこをするとします。　
最初に、鬼は中央に子は円周にいるとして先に子が逃げるとします。
さて、半径ｒがある程度大きくなると永遠に逃げ回ることが
可能になるのでしょうか？それとも絶対に捕まるのでしょうか？

また、円以外の閉領域で上の鬼ごっこをするときに
必ず捕まる条件みたいなのは計算可能でしょうか？

112:１３２人目の素数さん
07/09/23 23:55:07
>111
　鬼は子の方向に追いかけるとする。距離RがR-1になる。
　子が鬼の反対側に逃げた場合には距離がRに戻る。しかし θだけ逸れると
　R - √{R^2 -2(R-1)(1-cosθ)} ≧ (R-1)(1-cosθ)/R だけ近づく。

113:１３２人目の素数さん
07/09/24 02:14:06
鬼が子の方向に必ず１進めるわけではないので
かならずそれが適応できるわけではない。

114:１３２人目の素数さん
07/09/24 02:16:23
ああ、ごめん。ルールを勘違いしてた。交互に逃げたり追ったりするんだね

115:１３２人目の素数さん
07/09/24 10:16:51
そもそも永遠に逃げられるパターンが思いつけない。

116:１３２人目の素数さん
07/09/24 11:11:50
(1) 正方形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(2) 正三角形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(3) 円を合同でない二つの相似な図形に分割せよ

117:１３２人目の素数さん
07/09/24 13:18:23
>>115
任意の凸領域（任意の二点を結ぶ線分がその領域内を通るもの）は毎回、鬼が子の方向に進んでいけば距離が小さくなっていく。
よってずっと逃げ回るためには境界が凹領域のところ（つまり、穴というか進入禁止領域）があることが必要。
それでは、どれだけの大きさの穴があれば逃げ回れるのでしょうか？

球面とか、トーラスのように境界がない曲面も逃げ回ることが出来る大きさの最小値がありそう。

118:１３２人目の素数さん
07/09/24 13:23:22
>>116（１）これでどうだ！　文句あるか！

■■■■■■■■■■■■■■■■
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■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■□□□□
■■■■■■■■■■■■□□□□
■■■■■■■■■■／□□□□□
■■■■■■■■■■□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□

（／の部分は、フラクタル）

119:１３２人目の素数さん
07/09/24 14:02:17
>>118
フラクタルはダメです
曲線でわけても結構です

120:１３２人目の素数さん
07/09/24 14:04:07
>>118
相似にならねえじゃん

121:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:48:20
>>116
(1)と(３)は思いついたが（２）が思いつかん。

122:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:49:06
>>120
なるだろ。

123:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:49:24
>>121
解答頼む

124:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:50:34
あ、(２)もできた。

125:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:54:22
結局フラクタルな図形以外でできるのか？

126:１２１，１２４
07/09/24 18:19:14
自分が考えたのもどれもフラクタルな図形です。
そうでないのは出来るんだろうか？

127:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:23:40
>>122
ならねえよ

128:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:24:54
>>122
デカい方が角が2つ多いだろ。

129:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:29:20
誰か>>79教えて～

130:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:32:05
>>128
まず「フラクタル」について調べてから言え。

131:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:32:43
>>127
フラクタルの意味はわかった上で、ならないと言ってるのか？

132:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:46:34
フラクタルはダメって言われてるのにフラクタルにこだわる奴ら

133:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:51:03
条件からはずれたところで揉めるなよ、おまいら。

しかし、フラクタルがダメとなると、4つの角のうち2つずつ引き受けねばならなくなってしまいそうだけどなあ。
でも、そうすると相似に出来ねえし。可能なのか？

134:１３２人目の素数さん
07/09/24 19:47:11
フラクタル無しは厳しいな。
でも円はフラクタルありでも厳しいな
>>121さん、もし良かったら教えて

135:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:05:47
点でしか接していなくてもひとつの図形としていいなら
円もできたんだが、それでもいいだろうか？

もちろんフラクタル図形。

136:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:20:00
(0-1)+(2-3)+(4-5)+....
(1-2)+(3-4)+(5-6)+....

137:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:54:06
>>135
もしかして三日月がたくさんくっついたような形？

138:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:06:36
>>137
全然違う

139:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:17:49
>>137
135ですが、そうです。

140:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:19:35
>>119
それ以前にフラクタル不使用の解答ってあるの?
ない場合、できない証明をすれば正解かな?
挑戦してみよう。

141:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:33:18
円の場合について考えたんだが
小さいほうの図形が円の外周を含むとしたらそれは連続した曲線としては含めず
また１点でしか含めないんではないかと思う。
連続した曲線として含んでも、２点以上含んでも、大きいほうの図形が構成できない。

つまり、小さいほうの図形の外周は、一点を除いて円の内部になければならない。
そしてその外周は、大きいほうと相似なのだから円形でなくてはならない。

てことは、>>137で言うような点で接するような図形を考えない限りは
ふたつの非合同な相似形には分割できない。

小さいほうが大きいほうの内部に含まれるような図形は自己相似形なので
フラクタルを禁止したら、この分割は出来ないということになる。

ぜんぜん厳密じゃないけど、どう？

142:１３２人目の素数さん
07/09/25 06:54:04
切ってから組みなおすのではなく、最初からブッツリと二つにしないとけないのだろうか？
幾つかに切り離していいなら、例えば(1)なら
辺の長さが√5の正方形を5つに切り離して、辺の長さが1と2の正方形を作るという話はよくあるが…

143:１３２人目の素数さん
07/09/25 11:29:54
それはそれで考え進めていいと思う。

144:１３２人目の素数さん
07/09/25 13:11:20
切り離して組み合わせていいなら、正方形と三角形は簡単なんじゃないか？

145:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:04:25
>>136
これ問題？　「振動する」でいいんじゃない？
その他細かい条件があるのかは知らないけど

146:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:16:49
有限個に切り離して、組みなおしてもよいなら
(i) 長辺/短辺＞ 2 の長方形を作る（長辺/短辺 ≦ 2 になってしまったら、また半分に切って組み直す）。
(ii) 長辺/短辺＞ 2　の長方形は、長辺の適切な場所で、長辺に垂直に切れば、合同でない相似な二つの長方形に分けられる。
円をこの話に帰結できるかは分からないが。

やっぱり自己相似を使わず、さらに組みなおすこともなく、ということだろう。たぶん

147:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:34:36
んなややこしく考えなくても、組み直していいなら5*5に分けて3*3と4*4にするとかでいいじゃん。
三角形も25分割して16と9で出来るな。

148:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:41:07
…まあ…正多角形なら全部これで片付くということで、目をつむってくれや

149:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:49:33
いくら分割してもよく、組みなおしていいなら楽勝だろう・・・。

150:１３２人目の素数さん
07/09/25 23:17:20
正方形を中心を通らずに合同な図形に二分割って出来る？

151:１３２人目の素数さん
07/09/26 00:02:35
出来ぬ

152:１３２人目の素数さん
07/09/26 10:12:44
>>117
穴があいていなくとも、たとえば半径3くらいの円板でも、
「子は円周を一定方向に回り続け、鬼はそれを馬鹿正直に追跡する」
というアルゴリズムでは、鬼の軌道は円周に漸近してくだけで
追いつけない気がする。つまり、鬼と子の距離は単調減少するが
0には収束しないという状況が起こりうるのではないか。

もちろん、鬼に先回りなどの知能を搭載すれば話は変わってくるけど。

153:１３２人目の素数さん
07/09/26 10:54:36
1,2,3,...,L[mm]の長さの
L種類の棒を縦に並べて
きっちりL[mm]の長さにするには
何通りの場合があるか？
同じ長さの棒は何度でも使え、
区別もしないとする。

154:１３２人目の素数さん
07/09/26 16:46:27
>>153
2^(L-1)

155:１３２人目の素数さん
07/09/26 16:47:57
>>153

L種類の棒で作られるL[mm]の長さが何通りあるかを f(L)で表す。

L=1のとき、明らかに1mmの棒が一本の1通りである。

L=n (ただしn>1) の場合について考える。
一番上になる棒の長さが1であるものは f(n-1)の上に長さ1の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが2であるものは f(n-2)の上に長さ2の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが3であるものは f(n-3)の上に長さ3の棒を重ねたものと等しい
：
一番上になる棒の長さがL-1であるものは f(n-(L-1))の上に長さ(L-1)の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さがLであるものは1通り
なので
f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^n-1

この式は L=1のときにも f(L) = 2^n-1 =2^1-1 = 1 なので当てはまる。

156:１３２人目の素数さん
07/09/26 16:50:50
下2行訂正

f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^(L-1)

この式は L=1のときにも f(L) = 2^(L-1) = 2^(1-1) = 1 なので当てはまる。

157:153
07/09/26 21:19:08
解答

問題の場合の数は
L[mm]の棒の1,2,...,L-1[mm]の箇所に印をつけ
それぞれを切断するか否かの場合の数に等しいので
2^(L-1)

158:１３２人目の素数さん
07/09/26 22:07:45
同じ部品からなる場合は重複と考える場合はどうだろうか？

（ 1+2+1で高さ4のものと 1+1+2で高さ4のものは同じとみなす）

159:１３２人目の素数さん
07/09/27 02:32:41
>152
　子が外周を回るとき、鬼は子より内側の円周を回るので…

160:１３２人目の素数さん
07/09/27 10:10:56
円周はまわらんのでは。

161:１３２人目の素数さん
07/09/27 10:35:28
漸近的に円周に近づくだけで、円周に到達しないということ？
領域の円Aの円周上に中心を取って、一回の移動分の半径の円Bを書く
BとAの円の交点とAの中心を結んだ線が円Bの内側にあれば、鬼は円周に到達可能
円Bの接線と一致するなら、到達不能、か？・・・円Aじゃなくなりそうだけど。

162:１３２人目の素数さん
07/09/27 22:09:10
↓これ解けばよさげかな

子の座標(X,Y)
X=Rcos(ωt), Y=Rsin(ωt)

鬼の座標(x,y)
r=√((X-x)^2+(Y-y)^2)として
dx/dt =(X-x)/r, dy/dt=(Y-y)/r

R,ωは定数
X,Y,x,y,rは時刻tの関数

t->∞でr->0を示す

163:１３２人目の素数さん
07/09/27 22:46:01
円である限り追いつかれる？

164:159
07/09/28 03:05:52
>160-163
　鬼は子より内側を回るので…　　でした。

165:162
07/09/28 03:57:49
ってマズった

子と鬼が
距離1ずつ交互に逃げるのだったね

ということは
俺が書いたのは
一ステップあたりに
子と鬼が進める距離を無限小にとった場合
もしくは
領域となる円の半径を無限にとった場合に相当する･･･のか？

166:１３２人目の素数さん
07/09/28 04:22:58
鬼の番のときに子との距離が１以下だったら捕まるということでいいのかな？

167:１３２人目の素数さん
07/09/28 08:14:52
動くことが出来る領域をK、子を中心とした半径１の円内をM、鬼を中心とした半径１の円内をNとすると
子はMとNの共通部分以外の領域とKの共通部分L=K∪M ∪（MxorN)を動かないと捕まる。

逃げることが出来なくなるのはLが空集合になることを証明すればよい。。。

168:１３２人目の素数さん
07/09/28 10:11:25
鬼ごっこの問題は日本数学コンクールのヤツかな．

URLﾘﾝｸ(www10.plala.or.jp)

169:１３２人目の素数さん
07/09/28 11:55:38
問、
マッチ棒８５本を使用して正８角形をつくると何個できるか（１本のマッチを隣り合う複数の正８角形の１辺としてもよい）

この問題の答えを出す数式を教えてください

170:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:04:50
野暮な質問だけど
正八角形の一辺はかならずマッチ棒一個の長さで作らなきゃ駄目？
正八角形には重なりがあってもよい？
これが問題の趣旨なら答えなくてもいいけど

171:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:05:35
ここ質問スレだっけ？

172:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:12:31
>>167
何か解く指針になるような表現になってる？
言い換えにすぎない印象なんだけども・・・如何に。

173:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:16:50
>>170

１辺は同じマッチ棒の長さで、昔のサッカーボールの６角形のように辺と辺で繋げてく感じなんですが…。

>>171
すんません。ここ質問スレじゃないんですね。

174:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:17:25
>>169
立体は？

175:１３２人目の素数さん
07/09/28 13:08:34
平面です

176:１３２人目の素数さん
07/09/28 13:55:48
二本のマッチの尻と尻を合わせて正８角形がひとつできる。
とりあえずそれだけで42個

177:１３２人目の素数さん
07/09/28 21:11:54
A , B⊂Nに対して、A＋B：＝{a＋b｜a∈A , b∈B}∪A∪B と定義する。
また、Aの元の個数を｜A｜で表すことにする。

(1)｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜≧nならば、n∈A＋Bとなることを示せ。

(2)自然数列{xn}はliminf[n→∞]n/xn＞1/2を満たすとする。
X＝{xn｜n∈N}とおくとき、X＋Xに含まれない自然数は有限個であることを示せ。
(十分大きな自然数は高々2個のxnの和で表せる、ということ)

178:１３２人目の素数さん
07/09/30 15:05:31
(1)
ｎ∈A,もしくはn∈Bの時n∈A+Bは定義より明らかなので
AもBもnを含まない場合を考える

この時
｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜
=｜A∩{1,2,…,n-1}｜＋｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧nが成り立っている

以下、背理法でn∈A+Bを示す
あるA,Bが存在して、n∈A+Bではないとする

｜A∩{1,2,…,n-1}｜={a1,a2,...,ak}=kとすると
B∩{1,2,…,n-1}は{n-ak,...,n-a1}を含まない
(もし含むとするとn∈A+Bではないことに反する)
なのでB∩{1,2,…,n-1}は{1,2,…,n-1}から{n-ak,...,n-a1}を除いた元しか持ち得ず
これはn-1-k個以下である
しかしこれは
｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧n-｜A∩{1,2,…,n-1}｜=n-k
なので矛盾する

従ってn∈A+B

無駄があるかも

179:１３２人目の素数さん
07/10/02 18:26:01
正ｎ角形を一筆書きして出来る図形のパターンをp[n] 通りとする。
ただし、回転や鏡影を施して重なるものは同じパターンとします。
例　p[3]=1, p[4]=2

(1) p[5],p[6] を求めよ。
(2) p[n] を求めよ。

180:１３２人目の素数さん
07/10/02 19:07:12
>>179
>正ｎ角形を一筆書きして出来る図形

すべての正ｎ角形の頂点を通る一筆書き（頂点同士を直線で結ぶ）して出来る図形
星型etc

181:１３２人目の素数さん
07/10/05 04:38:29
通信網の問題：
互いに離れたところにいくつかの通信基地がある。
これらの基地の間には通信ケーブルが張り巡らされており、
どの二つの基地もちょうど一本のケーブルで結ばれている。
ところがこのケーブルは一方通行でしか情報を送れない。
つまり、二つの基地の間で、どちらかの基地は他方へ情報を送信できるが、逆方向へは直接送信はできない
このような通信基地たちとケーブルによって構成された通信網を考える。
さて、Ａを通信基地のひとつとする。
もし以下が成り立つならば、このようなＡを通信網の要と呼ぶ

「任意の基地Ｂ(Ａ自身は除く)に対してⅰまたはⅱが成り立つ
　ⅰ)ＡとＢの間のケーブルはＡが送信側でＢが受信側である
　　（これをＡ→Ｂと書くことにする）
　ⅱ）ある基地ＣがあってＡ→Ｃ→Ｂである　」

つまり、Ａが要であるとはＡは自分以外のどの基地へも高々２ステップで情報を送信できる事を意味する。

問題：
どんな通信網も必ず少なくとも一つ要を持つことを示せ

182:１３２人目の素数さん
07/10/05 07:07:44
同じ問題を出してもしょうがないでしょう。

183:１３２人目の素数さん
07/10/07 04:03:50
>>181
N個の基地からなる通信網に要Aがあると仮定する。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
仮定より、Cの基地は全て、あるBiから1ステップで到達できる。

ここに新たに基地Xを追加したとき、
・A→XならAが要。
・あるBiに対しBi→Xなら、A→Bi→Xとなるため、やはりAが要。
・X→A、かつ全てのBiに対しX→Biのときは、任意のCjに対し
　あるBkがあってX→Bk→Cjとなるため、Xが要になる。

よって、N+1個のときも要がある。

184:１３２人目の素数さん
07/10/07 04:10:06
>>117
　直径１以上の円形の穴。円周上も立入り禁止。
　鬼が近付いて来たら、円の中心Oについて対称な点に逃げる。

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