1=0.999… その13.999… - 暇つぶし2ch

1=0.999… その13.999… at MATH

[前50を表示]
250:１３２人目の素数さん
06/11/12 08:03:11
＞確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど
デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」んだよ。

＞第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
バカは消えろ。デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」わけよ。

251:１３２人目の素数さん
06/11/12 09:43:38
>>250
相手も相手だが、文章に叩きを含めるのも如何なものか？
揃ってお立ち退き頂きたい。

252:１３２人目の素数さん
06/11/12 10:07:01
{ [0 , 1/2) , [1/2 , 1] } と { [0 , 1/2] , (1/2 , 1] }
の同一視（もしくは一方の排除）は
「している」のではなく「なる」ものなの？

253:１３２人目の素数さん
06/11/12 10:43:19
デテキントの切断を認めれば当然「単調増加数列はその上限に収束する」んだろ？
数列　０．９、０．９９、０．９９９、…　の上限は１だから当然１に収束するな。

で、君の立場だと、収束しても同一視はしないってコトか？

254:>>251でも>>252でもないが
06/11/12 10:54:47
収束か。
>>108参照。

255:１３２人目の素数さん
06/11/12 11:14:25
>>253
> ０．９、０．９９、０．９９９、…　の上限は１だから

いや、それを切断の形式で書かないと意味が
ないという話だと思ったんだが・・・。

> 君の立場

別に俺何の立場も表明してないけど？
他の奴と間違えんでくれよ。

256:１３２人目の素数さん
06/11/12 11:49:32
>>254
で？

>>255
デテキントの切断と上限に収束するってやつは同値なんだからさー。
片方だけで考える必要あるんか？

257:１３２人目の素数さん
06/11/12 12:06:16
>>256
それ全然>>252に答えられてないよ。
ていうか252きちんと読んだ？
デデキントの切断はまず252の2種類の集合を
どちらか一方に絞ってることは知ってるでしょ？
そうやって絞るからこそ君の言う同値が証明できる
わけなので、その同値を持ち出しても252に
答えてることにはならんべ。

258:１３２人目の素数さん
06/11/12 12:34:41
べつに>>252に答えている訳じゃなかったのだが…紛らわしくてスマソ

259:１３２人目の素数さん
06/11/12 16:04:34
>>252
もしかして、
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1), [1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？

260:１３２人目の素数さん
06/11/12 16:06:42
あ、ミスった

{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1], (1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？

261:252
06/11/12 16:15:37
いや、俺自身はそう考えてないけどね
（俺は>>246だし）
>>237が言いたかったことを好意的に解釈しようとすると
そんなことを考えていたんじゃないかなあと

262:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/12 20:21:50
なんで同じなの？
明らかに違うと思うんだが。

263:１３２人目の素数さん
06/11/12 20:24:08
アルキメデスの原理とかなんでこの問題に使うんだよｗｗｗｗｗ
水の中の物体は、それがおしのけた水の重量だけ軽くなる
どこで使うんだよｗｗｗｗｗ

264:１３２人目の素数さん
06/11/12 20:56:44
>>263
釣れますか？

265:１３２人目の素数さん
06/11/13 00:42:48
>>263
ﾜﾛｽ

266:マジレスするぞぉ！
06/11/13 01:19:14
>>263
そっちかよ！質量保存則の方かよ！
取り尽くし法(古代のε-δ論法)の方だよ!!

267:１３２人目の素数さん
06/11/13 08:01:36
独力で超限解析を再発見するような活きのいい電波はおらんかのう…

268:平家蟹の舎弟
06/11/13 20:22:10
いまよんできます。

269:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/13 20:24:42
はいはーい。

270:１３２人目の素数さん
06/11/13 20:57:40
>>267
超準解析作ったヤツもこのスレみたいに、数学者から煽られて奮発して作ったに違いないｗ

でも…おいそれとはできんよな…コレ。

271:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/13 21:14:44
超準解析ってなに？

272:１３２人目の素数さん
06/11/13 22:02:14
「超準解析」は難しいけど、超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。

273:１３２人目の素数さん
06/11/14 10:56:21
>>271
簡単に言うと、無限小が実在する世界での微積分、
及び、それと一般的な実数の世界の問題とを互いに翻訳する方法。

274:１３２人目の素数さん
06/11/14 19:15:20
1=0.999…ではないとすればこのスレタイはかなり変になるとは思いませんか

275:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/14 21:48:32
んー、1＝0.9dotってさー、綺麗じゃないよ。綺麗じゃなきゃ駄目だろ。

276:平家蟹 ◆qZKkuPC36I
06/11/14 22:15:45
f(x)=1/x だと
０に右から近付くのと
左から近付くのとだと値違うけどいいの？

277:１３２人目の素数さん
06/11/15 00:18:39
>>275
泥臭いのもまた数学なのさ。

>>276
だから？

278:１３２人目の素数さん
06/11/15 05:04:17
コンウェイの超現実数だと0.999……≠1だな。

279:１３２人目の素数さん
06/11/15 05:51:29
>>278
なにそれ？

280:１３２人目の素数さん
06/11/15 06:34:16
クヌースのこの本をどうぞ。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
実数と無限大・無限小でできている。平たく言うと、左が右以上にならない数のペア（実際には空でも良い）から作られる。

281:１３２人目の素数さん
06/11/15 21:51:30
実数+無限小とかももちろん含まれている。わかってるだろうけど念のため。

282:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 21:55:53
素人考えなんだがｆ(x)=1/(x-1)で
0.9dot=1=1.0dot
（ニュアンス的にこう書くとすると）

f(0.9d)=-∞
f(1) 定義なし
f(1.0d)=+∞

となるから、0.9dot=1っていかにも違うよなきがするんだが、数学的だとなんら問題ないの？

283:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:01:05
全部、定義なしで無問題。

284:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 22:09:08
定義ないのか。わかりました、ありがとう。
しかしひねくれ者だから、いちゃもんつけると、
二進法とかあるわけだから、十一進法にして
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、うんことすると、
0.9dot<0.うんこdot<1とかはなんねのかな？
同相とかで問題なし？

285:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:22:16
>>284
十一進法なら 0.999… < 1 だよ。
で、何が言いたいの？

286:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 22:35:20
いやー、十進法から、イメージ沸いたよ。サンチュ

287:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/17 18:57:27
んーしかしさー、0.9DOTって無理数？有理数？

288:１３２人目の素数さん
06/11/19 18:23:11
>>278-280
やっぱり定義次第なんだ。
>>286-287
16進法
0123456789ABCDEF
この時、10進法の0.9dotに相当するのは0.Fdot、つまりそれは全く違う数。
1＝0.9dot⇒0.9dotは有利数
1≠0.9dot⇒0.9dotは無理数

289:１３２人目の素数さん
06/11/19 18:38:33
1-無限小を無理数と言うか？

290:288
06/11/19 19:49:01
>>289
悪い。言えんかった。
超準解析的には、えーと…。

291:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:07:14
整数は有理数
循環小数は有理数
無限小数は無理数

292:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/19 20:44:06
0.9dotが有理数の場合、＝P/Qになる自然数がP=Q=1ってのは釈然としない感じなんですが……

293:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:46:04
１／１　＝　２／２　＝　３／３　＝　…

を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。

294:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:54:05
>>292
実数論の勉強して来い。その方が早い。

295:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/19 21:21:06
実数論？っージャンルあるの？

296:１３２人目の素数さん
06/11/19 23:17:49
>291に突っ込みが入らない件について

297:１３２人目の素数さん
06/11/19 23:19:30
>>295
「実数論」でググれ。

298:１３２人目の素数さん
06/11/20 12:45:38
０．９９９９・・・は、小数点以下の９の数が多くなるほど
限りなく１に近づく事は分かるが、１より小さい事は明らかである。
１＝０．９９９９・・・はおかしいと思う。

299:１３２人目の素数さん
06/11/20 13:11:31
>>298
＞＞１より小さい事は明らかである。

なんで明らかなの？

300:１３２人目の素数さん
06/11/20 17:43:24
>>291
違う

整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数（循環小数）は有理数
循環しない無限小数は無理数

301:１３２人目の素数さん
06/11/20 17:49:54
一般に数列 S(n) (n=0,1,2,…) に対して、その極限

　　S = lim[n→∞] S(n)

は、

どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
　　n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | <　ε

を満たすようなSとして定義されます。

0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限

　　0.9999… = lim[n→∞] S(n)

であり、上の極限の定義から

　　0.9999… = 1

となります。

302:１３２人目の素数さん
06/11/20 20:15:37
>>298
もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ

しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。

303:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/20 22:09:03
じゃ0.9dotは閉区間［０、１］には入っているが、開区間（０、１）には入ってないことになるんだけど、それでokですか？

304:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:43:44
OKだけど、1もそうだよ。

305:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:44:15
OK。
点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。

306:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:51:24
なぜ「閉」区間というかもそこにあるわけだし。

307:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:56:38
数列 an = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}について、
an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )

308:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/20 23:57:46
ではMAX［０、１］＝１
SUP［０、１］＝１

　　SUP（０、１）＝１

MAX（０、１）＝？

定義されないのですか？
超準解析だと（１－無限小）みたいなのが定義されるんでしょうか？

なんか質問はかりですみません。

309:１３２人目の素数さん
06/11/21 00:18:41
>>302
その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか？

310:１３２人目の素数さん
06/11/21 00:26:51
>>308
実数論の勉強して来い。

311:１３２人目の素数さん
06/11/21 17:48:48
0.999…の極限を表すのって
lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？

0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？

312:１３２人目の素数さん
06/11/21 18:10:24
>>311
極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。

○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～

0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。

313:１３２人目の素数さん
06/11/21 19:41:25
極限の定義

関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき　f(x)→a　または　lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という

ほんとだ実数じゃない・・・関数か

じゃあどう書けば良いんだ

314:１３２人目の素数さん
06/11/21 20:28:02
an＝1－1/10^n＝0.99…99 (←9がn個並んでいる) の極限は1

315:１３２人目の素数さん
06/11/21 20:50:01
>>309
1≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。

316:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:02:41
極限に向いてない人、ってのがいるんだな。

317:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:05:45
>>313
重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ

318:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:15:40
>>197参照

319:１３２人目の素数さん
06/11/22 13:42:48
>>313
ε-δ論法知らんのか？

320:１３２人目の素数さん
06/11/22 14:53:50
知らないんじゃね？高校生向けの参考書あたりからコピペしたんだろう。

321:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/22 18:09:01
つーか超準解析の話は？

322:１３２人目の素数さん
06/11/22 20:44:37
>>321
つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。

323:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/22 22:10:17
実数論、勉強したよ。わかったo(^-^)o楽勝
S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形

S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形

0.9dot=1
俺は過去形

っーことだろ。

しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？

324:１３２人目の素数さん
06/11/22 23:07:30
>>323
実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。

325:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/23 07:32:03
DEDEKINDの切断？わからない……、生意気言ってすみません、基礎的な集合論かと思ったんだよ。

よかったら誰か説明してくださいなm(__)m

326:１３２人目の素数さん
06/11/23 18:57:10
基礎的な用語なんだから、それこそ本読むかネットで調べればいいだろ。

327:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/23 20:00:40
あー、ここはそういうスレなのか。
まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。

328:１３２人目の素数さん
06/11/23 21:38:22
>>327
要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。

で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。

実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。

デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。

329:１３２人目の素数さん
06/11/23 21:54:27
超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。

330:１３２人目の素数さん
06/11/23 22:07:35
もう、>>278-281で
定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。

331:１３２人目の素数さん
06/11/23 22:21:13
>>328
> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが

その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか

332:!^r
06/11/25 03:43:39
もうどっちでもいいんじゃね

333:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/28 21:14:49
あースレとめちまったのかな。
こーこーせー、疑問をぶつけるのだ！

334:１３２人目の素数さん
06/11/29 02:11:59
【>>330】
>>333
１＝0.9dotでも１≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。

335:１３２人目の素数さん
06/11/29 23:00:04
最初のテンプレからして、条件次第って書いているんですけど…。

336:１３２人目の素数さん
06/11/30 01:35:42
普通の実数や超実数
＝
変わった実数やアレンジされた超実数（超現実数等も含む）
≠

337:１３２人目の素数さん
06/11/30 04:03:26
【>>334】
>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずＱ＆Ａ７(>>5)に>>278-281を添える。

338:１３２人目の素数さん
06/11/30 15:15:49
Ｑ＆Ａ８かな

339:337
06/11/30 17:18:32
>>338
ありゃま、Ｑ＆Ａ７じゃなかった
新しくＱ＆Ａ８として設置になりますね。

340:１３２人目の素数さん
06/12/02 18:27:48
小数点以下で9が連続する循環小数（0.999…とか1.999…とか10.999…とか)は
その循環小数の整数部分に１を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11）と等しい
＜証明＞
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはＱ７の⑦とか使う
＜証明終わり＞

とかじゃ駄目なのか

341:１３２人目の素数さん
06/12/03 00:48:54
>>340
つうか、1=0.999…と同値な問題だろ

342:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/12/03 10:31:11
とりあえず１＝０．９dotの話は面白みがないから、≠として、なんか話が展開されないのかな。

343:源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA
06/12/03 23:13:40
でも、面白いとかツマラナイの問題じゃないでしょ。

344:１３２人目の素数さん
06/12/04 00:04:50
正直、誰かトンデモ理論を言い出してこないかとワクテカしてる

345:１３２人目の素数さん
06/12/04 00:07:36
考えてるんだけどな＞トンデモ理論。

346:１３２人目の素数さん
06/12/05 20:24:10
1≒0.999…

347:１３２人目の素数さん
06/12/08 22:45:25
Q4がいま一つ理解できない。
不完全性定理が関係有るヤツなの？

348:１３２人目の素数さん
06/12/09 02:23:00
ってか、不完全性定理的回答ってだけで
どっちか一方が絶対、じゃないっ事じゃねっすか

349:１３２人目の素数さん
06/12/09 17:26:37
不完全正定理云々以前に定義の問題だと思うけど。

350:１３２人目の素数さん
06/12/09 18:22:50
ただどう定義してもＱで0.999……=1が証明されたときに、
0.999……≠1が証明されないことは証明できないはず。
なぜならばＱではＮが定義できるので、自然数論を含む体系になるから。
もし0.999……≠1が証明されればＱが矛盾していることになり、
エライことになってしまう。

ということをＱ４は言っているのでは？

351:１３２人目の素数さん
06/12/09 18:25:55
後半死んでるな。
もし0.999……≠1が証明されないことが証明されれば
無矛盾であることが証明できたことになり、Ｑが矛盾している
ことになり、エライことになる。

だな。

352:１３２人目の素数さん
06/12/09 19:35:30
そもそも前提条件が違う証明同士だったらそんな余計な文面要らないんじゃないの？

353:１３２人目の素数さん
06/12/10 02:04:21
>>352でおｋ。
別個の公理系。

354:１３２人目の素数さん
06/12/10 04:04:05
当たり前と言えばそうだが、「前提を定めれば論理的にどちらかが正しいと証明できるはず」
という人もいる。それは厳密には無理と言うことで書いてあるのだと思う。

355:１３２人目の素数さん
06/12/10 04:18:20
>>354
合、其処等辺の解説に不完全性定理的回答也、と云う事で御座る。

356:１３２人目の素数さん
06/12/10 11:42:20
しかし、テンプレのＱ５Ａ５がこのスレの前提条件としたんでは、
㌧でもも超準解析も入り込む余地はないんじゃね。

357:１３２人目の素数さん
06/12/10 11:55:05
まあ通常の解釈の話であればああ書くことになるんじゃない？
というか、通常でない解釈として採用した方が（しても？）いい
ものが具体的にあがっていないからじゃないのかな？
コンウェイの超現実数はたしかに採用されても良いと思うけど。

358:１３２人目の素数さん
06/12/10 23:23:21
URLﾘﾝｸ(www.taiyo-g.com)
↑
これってどーなの？

359:１３２人目の素数さん
06/12/10 23:35:19
文系が哲学者のMLに話題を投げた記録て…
これほど読む気が失せる前文も珍しいな。

360:１３２人目の素数さん
06/12/12 12:34:30
循環小数は、有理数ではない！

いやいやｗ
実数の定義だからね循環小数が有理数ってのは・・・・・

361:１３２人目の素数さん
06/12/12 13:04:50
どうせこんなことが書いてあるんだろ。

・例えば0.333…＝1/3－無限小であり、1/3には一致せず、有理数でない。

362:１３２人目の素数さん
06/12/12 16:18:10
0.9は、もちろん有理数
0.99も、もちろん有理数
0.999も、もちろん有理数
0.999…は循環小数なので有理数
1は、もちろん有理数

0.999…を考えるときには有理数しか出てこない
だからそんなに難しく考えなくても良いのでは

363:小が臭え
06/12/12 21:23:33
コンウェイの超限実数では…何だろねぃ。
でも普通は有理数じゃんね。

364:.
06/12/13 19:58:15
>>360
洋一石
一石　って　ein steinつまりアインシュタインのもじりのつもり？

365:１３２人目の素数さん
06/12/14 05:24:30
純粋に数理的に考えていった場合、実数の定義自体が怪しいんでは？

366:１３２人目の素数さん
06/12/14 19:55:10
なんでやねん！

367:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/12/14 20:52:09
talk:>>365 実数空間の満たすべき性質は、順序体であることと、完備であることだ。その条件を満たす集合を具体的に定義することもでき、それらは互いに同型だ。

368:１３２人目の素数さん
06/12/15 05:20:32
実数はそのまま実数でおｋ。
問題は、1≠0.999なる公理系(例えば、>>278-281)。

儂ゃ知らんがな(´･ω･｀)

369:１３２人目の素数さん
06/12/15 21:59:57
【1≠0.999…の証明】

初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
この数列の無限番目は１と等しくなると仮定する。

次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項a_0=1、一般項a_n=a_(n-1)*10-9。
しかし、この数列の項は、すべて１である。

よって最初の数列の無限番目は１に等しいとは言えない。

370:１３２人目の素数さん
06/12/15 23:28:35
>>369
背理法を使っているつもりなのだろうが、一体どこが矛盾してるのか分からん。

371:１３２人目の素数さん
06/12/15 23:53:30
無限番目ってあんたｗ

372:１３２人目の素数さん
06/12/16 01:56:20
仮定が矛盾してんじゃん

373:１３２人目の素数さん
06/12/16 02:18:22
ブルバキスレにまたもや文keiが偽名を使って出没している
どうにかしてくれ

374:369
06/12/16 07:55:45
無限番目をlim(n→∞)a_nとしてください。
これで仮定は矛盾しないと思う。

375:１３２人目の素数さん
06/12/16 08:44:07
>>374
「無限番目」を「lim(n→∞)a_n」に変えて議論すると、こうなる。

初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
lim(n→∞)a_n＝1だと仮定する。

次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項b_0=1、一般項b_n=b_(n-1)*10-9。
さて、この数列{b_n}は、本当に数列{a_n}と「順序が逆」なのだろうか？
そもそも、「順序が逆の数列」とは何なのか？岩波の分厚い数学辞典を
見ても、「順序が逆の数列」なるものは載っていない。従って、>>374に
質問しなければならない。

質問：「順序が逆の数列」の定義は？

376:375
06/12/16 08:51:22
>>374
これも追加で質問。

質問：次の3つの数列に対して、「順序が逆の数列」を教えてくれ。
x_n＝2^n
y_n＝1/n
z_n＝cos(n)

377:369
06/12/16 10:49:52
>>375
>質問：「順序が逆の数列」の定義は？

a_n=f(a_(n-1))のとき、漸化式の逆関数をf^(-1)とすると、
a_n=f(^-1)(a_(n-1))な数列のこと。これは逆数列というのかな？
このとき初項が問題になるけど、a_∞=lim(n→∞)a_n（つまり0.99…=1）ならば
初項は１にすべきだと思う。
わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
ことだけを示せれば十分かなぁと思った。

でも、これを書いている途中で、たとえ初項を0.99…にしたとしても順序が逆の数列は
できない気がしてきたので、>>369はちょっと撤回させてもらいます。

378:１３２人目の素数さん
06/12/16 17:40:25
つうか>>369って本気で書いてたのかよ。
しかもそのキモが俺理論ときたｗ

379:１３２人目の素数さん
06/12/16 17:47:46
>わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
>ことだけを示せれば十分かなぁと思った。

「十分かなあと思った」・・・・・
全然十分ではありません。以上。

380:１３２人目の素数さん
06/12/17 11:54:26
射影的極限の話でもするのかと思った

381:１３２人目の素数さん
06/12/23 09:55:18
>>380
じゃあそのネタで
[1＝0.999…の話]or[1≠0.999…の話]でも
してくれ～ぃ。

382:１３２人目の素数さん
06/12/23 10:21:12
0.999……=1であるということは、
0.99=1という系があることも認める事か？

383:１３２人目の素数さん
06/12/25 06:42:33
このスレたまにバカが湧くな

384:１３２人目の素数さん
06/12/25 15:16:24
>>382
どこにそんなおかしな記述がある？

385:１３２人目の素数さん
06/12/26 02:17:44
関連する話で、一つ質問です
普段私達が日常生活や数学の問題を解く中で使用する０なんですが
０そのもの、1から０へ近づけた０、-1から０へ近づけた０
以上、３種類存在すると思うのですが、これも前提条件を元に考えられた概念なのでしょうか？
将来覆される可能性があるのでしょうか？

386:１３２人目の素数さん
06/12/26 03:12:12
>>385
φ|空集合と→+0成る数と→ｰ0成る数か。
極限概念…とだけで答えを済ませてはもらえないだろうな。

387:１３２人目の素数さん
06/12/26 05:02:33
>>384
極限の本質を理解していないな。（ある面ネタではあるけど。）
0.9が充分１に近い数値であれば、0.99は１である。
自然数ｎが無限大という値を取らない限り、
級数が極値を取る事はあり得ない。

388:１３２人目の素数さん
06/12/26 07:40:53
>>385
x = lim[n→∞]{ (-0.5)^n } とする。
xはゼロなわけだが、君のいう3種類のうちどれになるの？

389:１３２人目の素数さん
06/12/26 07:46:14
>>387
たった4行で突っ込み所多すぎｗ

390:素人
06/12/26 10:13:42
私は、ド素人ですがこのスレを見て、考えたのですが、答えは仏か神か
のレベルだと思います。
どなたか、数学以外の分野からの感想を聞きたいです。
どなたかいらっしゃいますか？

391:１３２人目の素数さん
06/12/26 10:45:20
＞答えは仏か神かのレベルだと思います。
そう思うのはオマエが素人だから。

392:素人
06/12/26 10:49:06
>>391
でも、常に答えはパラドックスの箱ですよね。

393:１３２人目の素数さん
06/12/26 10:50:00
>>392
そう思うのはオマエが素人だから。

394:素人
06/12/26 11:54:20
>>393
そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。

…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？

395:１３２人目の素数さん
06/12/26 12:10:36
>>394
＞そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。
自分で「ド素人」だと宣言しておきながら、そのことを実際に指摘されるとこのザマ。
実はこれっぽっちも、自分が「ド素人」だとは思っていないのである。しかし、現実は
やはりド素人。何も知識が無いから、考えても答えが出ない。そんなド素人が最後に
行き着くのは、「仏」「神」という最も安易な結論。典型的な思考停止。ド素人が
犯しやすい事例の1つである。

＞…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？
何の分野がいいの？哲学の分野か？(笑)

396:１３２人目の素数さん
06/12/26 12:14:56
数字自体が欠陥品
次世代の数学が必要
１０個の数字で全てを表すのが傲慢

397:素人
06/12/26 12:26:20
>>395
そう言えるのもあなたが素人だからです。
生物化学の分野とかはつながりますかね？
>>396
早い結論、僕もそこだと思います。

398:１３２人目の素数さん
06/12/26 12:32:25
>>397
オマエのような、自分の分からないことは全て「神・仏のレベル」として
思考停止する人間ばかりだったら、数学は今のように進歩していない。

＞そう言えるのもあなたが素人だからです。
オマエは俺を素人呼ばわりしているが、では、俺は”何の分野の”素人なのか？
ちなみに、オマエは”数学の分野の”素人。自分でそう言ってるしな。

>>396
具体的な欠陥はどこだ？

399:素人
06/12/26 12:46:24
>>398
進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
ついでに僕は人生すべてに対して素人です。

11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？

400:１３２人目の素数さん
06/12/26 13:07:27
もっと簡単に説明してくれ

401:１３２人目の素数さん
06/12/26 13:13:38
>>399
＞進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
＞で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
違うな。数学的には、0.999…の問題は既に決着がついている。この
スレでも、討論は既に終わっていて、テンプレにまとめてある。
テンプレが理解できない無知な人間だけが、「まだだ！まだ問題は
終わっていないのだ！」と討論を続けている。

＞僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
素人だと宣言しておきながら、「神」だの「仏」だの「常に答えはパラドックスの箱」
だの勝手な解釈を繰り返している(典型的なトンデモ)のを見るとイライラするのだよ。
なぜ、すぐにそういう「俺理論」に走るのか？

＞11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？
2進法の場合、0.111…＝1になる。
5進法の場合、0.444…＝1になる。
10進法の場合、0.999…＝1になる。
11進法の場合、0.aaa…＝1になる(数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,aの11個)。
何進法でも同様。

402:素人
06/12/26 13:29:29
>>401
で、答えは何なのですか？
結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
答えがしっかりしてないからだと思うのです。
僕はあなたに対して起こってもないし、批判もしてませんよ。
素人であるということはすばらしいことだと思います。
僕はあなたのことをまったく知りません、あなたは私のことをどれだけ知っているのか
疑問です。
11進法の0.aaa　になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？

403:素人
06/12/26 13:32:08
訂正、数学的には１＝0.999であるということですね。
では数学的には1+1＝2ではないということですか？

404:１３２人目の素数さん
06/12/26 13:49:18
>>402
テンプレ2より。
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

＞結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
＞答えがしっかりしてないからだと思うのです。
これが素人であるオマエの悪い癖。「俺理論」ってやつよ。トンデモの典型例。
前提によって、与えられた記号が持つ意味が変わるのは当然のことであり、
これを以って「答えがしっかりしていない」と結論することは出来ない。

＞素人であるということはすばらしいことだと思います。
全然素晴らしくない。なぜなら、素人は間違った方向に行くから。
そして、それを修正する術を知らないから。たとえば、
＞11進法の0.aaa　になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？
こういうトンチンカンな発言を繰り返し(↑n進法の定義を知らない証拠)、挙句の果てには、
「答えがしっかりしてないからだと思うのです」などと勝手な「俺理論」を展開して間違いを
繰り返す。これのどこが素晴らしいのか？いい加減にしろクズ。

ちなみに、数学において「n進法から見るm進法」などという概念は存在しない。従って、
「10進法から見る11進法」などという考え方もまた存在しない。オマエが勝手に構築した
「俺理論」に過ぎない。

質問：「n進法から見るm進法」の定義は？

405:素人
06/12/26 14:05:15
>>404
その質問は僕には答えられません、すみません。
でも、何回回答を見てもすっきりしません。
最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
あ、あと、
11進法に、－1は入らないのですか？

406:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:10:33
>>405
そもそも、君をすっきりさせる必要性が数学側にあるのか？

407:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:19:10
というか…数学的には
「こーゆー時にはこれ、こんな時には結論はこれ、こうだったら結論はこう」
みたいな事しかいえないんだけど…。

すべてにおいてすっきりさせたい…なんて人は、自信ありげに何やら自説を述べる
新興宗教にはまってしまう危険性があるんじゃないのか？

408:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:24:24
>>405
＞最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
そういうこと。そして、そんなのは高校時代から皆経験していること。
たとえば、問題集にある二次関数の問題を解くときに、「f(x)＝x^2＋2xとおく」と
定義すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はx^2＋2xを表す
記号となる。三角関数の問題を解くときに、「f(x)＝sinx+xcosx とおく」と定義
すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はsinx+xcosxを表す
記号となる。両方とも「 f(x) 」という同一の記号を使っていながら、その意味が
全然違う。しかし、だからといって「f(x)に2つの意味がある…これはおかしい。
答えがしっかりしていない。」などと考えるバカはいない。

＞11進法に、－1は入らないのですか？
桁を表す記号に「－1」を入れることは無いが、負の数としての「－1」なら当然ある。

409:素人
06/12/26 14:28:25
>>406
もし数学側に人間をすっきりさせる必要性がないとした場合、
数学は一人歩きをし、数学教とされてしまう恐れがあるのではないでしょうか？
数学は、なるたけ、万人に解るようにに考えられているものだと思います。
では、答えは、1=0.999に場合によりなりうるということですね。

410:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:32:30
>>409
そう、場合により、1＝0.999になりうる。が、その場合、どのような定義で以って1＝0.999たらしめた
のか、その定義を明示しなければならない。

411:１３２人目の素数さん
06/12/26 17:58:39
うむ、だからこそ、欠陥、なのだ

今は、おもいつかなく、とも、将来、全てのつじつまが、あう

学問が、誕生するだろう

412:１３２人目の素数さん
06/12/26 18:34:31
>>411
適当に答えてやる

数学だと例えば'1'という文字をいろんな意味で使うんだ
文字を増やすのは面倒くさいだろ？
だから定義次第ってことになっちまうのさ

413:412
06/12/26 18:44:57
我ながらいいこといった

414:１３２人目の素数さん
06/12/26 18:45:52
まぁ、実数における
1=0.999…
ってのは定義に近い定理
超実数においては
その定義の部分をもう少し考察する事が可能になる為
1≠0.999…
となる

415:１３２人目の素数さん
06/12/26 19:27:17
>>411
そのような学問が存在することは夢に過ぎない。

416:１３２人目の素数さん
06/12/26 20:18:22
読点が多い文はキチ○イの法則

417:１３２人目の素数さん
06/12/26 21:03:54
今日は新たなタイプのバカが暴れて行ったわけか。
天候さながらだな。

418:１３２人目の素数さん
06/12/26 22:11:13
>>389
突っ込んでくれと思って書込んだので、突っ込んでくれないかな。

419:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:09:23
>>392
「パラドックスの箱」っておいｗ
誰かここに突っ込んでやれよ。

420:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:14:40
>0.9が充分１に近い数値であれば、0.99は１である。
なんだそりゃ。

「無限大という値」「級数が極値を取る」
もう無茶苦茶。

まず新しい辞書を出すところから初めてくれ。

421:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:18:01
>>390の意訳
「私はド素人なので」 => 私には理解する能力がなく、努力する気も全く足りないので
「数学以外の分野からの感想を聞きたいです」 => バカな私にもわかる例え話をして下さい

422:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:28:33
>>396
自分に理解できないと「次世代の数学」とか言い出す奴ｗ

>１０個の数字で全てを表すのが傲慢
「10種類の記号」で「とても多くの数字」を表せるようにした先人は偉大だな。
実数（連続体濃度）は有限個記号の組み合わせでは表しきれないことを数学者は知っているが
限界は限界として受け入れるわけだ。なんせ傲慢だからｗ

423:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:32:20
>409
>数学は一人歩きをし、数学教とされてしまう恐れがあるのではないでしょうか？
>数学は、なるたけ、万人に解るようにに考えられているものだと思います。

自分の理解力不足とは考えないのかこの電波はｗ
君をすっきりさせられないからといって数学がダメポなわけでは断じてない。

424:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:38:33
>>409
大丈夫。数学は万人にその正当性を検証しうるように作られてるから。

425:１３２人目の素数さん
06/12/27 08:44:30
援軍ｷﾀｰ(TдT)、>>387、>>420
もう泣き入り(by>>384)

てか、今、このスレに何が起きているのか!?
なぜに神仏領域に委ねる香具師が…
そんなに神仏に委ねたきゃあ、｢0で割る｣事でも妄想して下さい！

＞数学自体が欠陥品
…不完全性定理の事を言うのであれば、
この定理は数学だけに限った事ではない。
更に言ってしまえば、俺っち的には道理だとおもうんだが、果たして?!

426:１３２人目の素数さん
06/12/27 08:54:10
>>402氏の意見に、勝手に自分の意見{>>368、
だが未だにｺﾝｳｪｲ流確かめとらん
つか学力足りん
(´･ω･｀)　}を添える。

427:１３２人目の素数さん
06/12/27 15:51:33
equivalenceな有理数のコーシー列同士は『＝』(※)で結ぼうというのが実数における定義
0.9999……っていうのはa_n=1-(1/10)^n
1っていうのは
b_n=1
っていうコーシー列だと思えばいい
その時a_nとb_nはequivalenceだろ
equivalenceの定義は自分で調べてくれ
これで全て解決
超実数においては(※)を採用してないだけ
つまり定義の違い

428:426
06/12/27 17:15:44
>>427
ｻﾝｸｽ!!

429:１３２人目の素数さん
06/12/27 18:00:58
…の読み方があると便利だと思うんだが。
1…とか3…とか

430:１３２人目の素数さん
06/12/29 07:48:53
>>427
大きな勘違いをしてないか？

431:428
06/12/29 09:50:02
>>430
超現実数として考えても
1＝0.999…なる公理系と1≠0.999…なる公理系とが別々にあるんでしたよね。

ところで、次の様な疑問的妄想が沸いたんだが、とうなんでしょか？

｢1≠0.999…なる公理系は、1＝0.999…なる公理系をより区別した系である
～などと考える事でまとめてしまう事(言い変えると、1≠0.999…系の方が精密)
は出来る(と言える)か？｣

432:１３２人目の素数さん
06/12/29 11:49:12
>>431
「綿密」の定義を書いてくれｗ

433:１３２人目の素数さん
06/12/29 15:32:45
>>426-428
もうこんなバカしか数学板には来なくなったんだね
キングだけが頼りとは……

434:１３２人目の素数さん
06/12/29 15:42:28
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

435:１３２人目の素数さん
06/12/29 16:41:52
1＝0.999…は、今の数学では証明不可能、だから定義としている。

436:１３２人目の素数さん
06/12/29 18:59:13
>433
煽るだけではなく、考えを書いてくれ

437:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/12/29 21:19:58
talk:>>433 私を呼んでないか？
talk:>>435 0.999…とは何か、という問題がある。証明以前のことだ。

438:１３２人目の素数さん
06/12/31 15:28:09
結局、＝派も≠派も見ている現象は同じで、＝派は0周りで不定になる事が多くても
それはそういうもんだと納得していて、≠派はそこにはなにかあるというか、今の
実数は何かの近似じゃないかと感じているということでしょうか？
例えば、同値類の考え方と連続の概念の組み合わせが問題だとか。

439:１３２人目の素数さん
06/12/31 15:50:56
↑
そういう事
今は＝で辻褄が合うが、＝に未来は無い

440:１３２人目の素数さん
06/12/31 22:28:29
実数が、自然数という個数の概念の延長では、
その性質を説明しきれなくなっているということだろう。

441:431
06/12/31 22:37:24
>>438
そういう話がしたかった。

>>439
いや、むしろ便利

442:１３２人目の素数さん
07/01/01 03:50:37
一応、最初から流すように見てきたのですが、結論的に言えば、
問題なのは無限の概念ですよね？　そいで、無限というのは、予
めあるものなんでしょうか？　そこが極めて疑問です。その辺は
どうお考えですか？　予めあると思う人は、0.999...=1といい、
無限など予めないという人は、0.999...≠1というのではないで
すか？　そうだとすれば、これは、無限概念の問題で、もはや数
学の問題ではなく、哲学の問題になるのでは？
　今日の0.999...=1という考えを常識とする数学は西洋の哲学の
「無限を予めある」というように考えたことを基礎においているか
らではないでしょうか？

　要するに、この問題は、数学的に考えることから、結論を得ない
のではないでしょうか？　概念の問題となるから。
　
　ご意見どうぞ。

443:１３２人目の素数さん
07/01/01 06:24:50
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

シグマとか出さないとだめなのか？厨房の俺にはさっぱりわからん。

444:１３２人目の素数さん
07/01/01 07:06:32
>>443

　無限小数自体が本当はシグマを使って定義されているから。
　そうでないと思う人は、ゴマカシの記述「…」を使うことで何となくわかったような気になっているだけで、厳密な定義を読んだことがないはず。

445:１３２人目の素数さん
07/01/01 07:09:45
>>443
Σは足算

446:１３２人目の素数さん
07/01/01 09:57:47
>>442
あらかじめ数があるかと言えば…

負数も分数も人間によって作られたもの。ある数学者は「自然数は神が与えたが、その他の数は
人間がつくった」みたいなこと言っていたな。でも、自然数すら人間が作ったモノかもね。

無限というか、このスレタイの問題は実数があれば、その実数の概念に無限は内包されているわ
けで…。
で、実数は「予めあるか？」だけど、「実数は連続している」というイメージがあるわけで、それを
認めて素直にそしてキチンと定義すると、自然にスレタイのコトも言えるんだよね。

んー。とりとめないけど、無限をあるとしても、人間が無限を作ったとしてもあまり変わりない
気がするなあ。あったとして、色々やっても別段問題ないしね。（ｹﾞｰﾃﾞﾙ？）

447:１３２人目の素数さん
07/01/01 10:02:27
>>442
実無限的な考えは表に出ない（というか出さない）みたいです。
>>443
そこの実数の性質の部分ですが、そもそも0.999…が特定の数を表せるという前提なんですよね。
可能無限的には、その数列の上には1が無いという事しか言えないと思うんですが、「表せると
定義したのが実数だ」という事になっているらしいからややこしいんですよね。
離散的なもので、何か空間のような途切れの無いと思われるものを近似することはできるとは
思うんですが、それによってなんか＝の意味が意図しない範囲にまで広がっているような感じ
がするんですよね。

448:１３２人目の素数さん
07/01/01 11:57:07
実無限を前提にしなければそもそも0.999…なんて無いだろうに

449:１３２人目の素数さん
07/01/01 15:00:12
>>448
私も、収束の考えの裏には実無限的なものがある気がするんですよね。
可能無限と背理法の組み合わせの正当性は自明なんですかね？

450:１３２人目の素数さん
07/01/01 15:27:52
言いたいことがよくわからんが本気で可能無限を扱うなら無限の話に古典論理は使えんだろ
というより無限は対象外

451:１３２人目の素数さん
07/01/01 17:06:16
さて！お待ちかねのトンデモ提言を投下致しますよ！
1≠0.999…なる公理系では
x→+0⇒x=1ｰ0.999…
x→ｰ0⇒x=0.999…ｰ1
が言える！
ちゅどぉーーん!!

452:１３２人目の素数さん
07/01/01 17:52:09
超現実数だと雰囲気は実際にそんな感じだな
1-0.999……が無限大の逆数になるし

453:１３２人目の素数さん
07/01/01 18:19:58
>>442
　の続きとして考えてください。
要するに、0.999...=1という一般数学の無限の考えからは、「無限が予めある」
というものです。そのために1-0.999...=0.00000...となり、1は最後尾に取れ
ないというものです。このこと自体が疑問です。
　もしそうだとするなら、無限大を考えた場合には明らかに矛盾することになり
ます。すなわち、上記は9の無限小でしたが、逆に9の無限大を考えた場合、
......99999.00000.....となります。これに1を足すと、......000000.00000
というようになり、0になって、これは無限先で1がないといってしまうことであ
り完全に矛盾です。何故なら、.....99999.00000.....は、すでにどう見ても9
以上の数だから0という数になっちまうのはおかしいでしょう。
　だとすると、0.999...の無限小先には9があって、0.999...9というように最
後尾はあらわせることになり、それならば、0.000.....1というようにもあらわ
せなければなりません。いかがでしょうか。

　

454:１３２人目の素数さん
07/01/01 18:27:41
>>453
＞無限が予めある
「予めある」としても、「予めあるわけでは無いが、作れる」としても、どちらでも同じことだな。

＞1は最後尾に取れないというものです。このこと自体が疑問です。
実数の構成法を知っている者から見れば、疑問は無い。オマエが無知なだけ。

＞もしそうだとするなら、無限大を考えた場合には明らかに矛盾することになります。
そもそも無限大は体Rに含まれないので、その後の議論は全て無意味。何も矛盾は起きない。

＞いかがでしょうか。
実数論の勉強をしてから出直して来ること。無知な素人がいくら考察を重ねたところで、
そこから生まれるのは間違いだらけの「トンデモ俺数学」に過ぎない。

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