1=0.999… その13.999 ..
168:132人目の素数さん
06/11/05 09:06:53
>>166
10^(-n) +納k=1〜n](9*10^(-k))=1において、
nを充分大きい値としたときに、10^(-n)は充分小さい値として無視し得る。
よって、(n→∞)納k=1〜n](9*10^(-k))=1
微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは?
あと必要なのは、循環小数と(級数?)0.999…が同値である証明?
169:166
06/11/05 10:17:26
>>168
>微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは?
→勿論。しかし当スレでは一筋縄ではいかない。
170:167の補正も、ーでなく+だ!!
06/11/05 10:25:14
0.1+0.9=(1ー0.9)+0.9
0.01+0.99=(1ー0.99)+0.99
0.001+0.999=(1ー0.999)+0.999
0.0001+0.9999=(1ー0.9999)+0.9999
0.000…1+0.999…9=(1ー0.999…9)+0.999…9
lim[m→∞]
{Π[n=1〜m]0.1
+納n=1〜m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
+納n=1〜m](9*0.1^n)}
・ ・
=(1ー0.9)+0.9
=1
171:ヤケ酒、酔い醒め切らぬ
06/11/05 10:53:24
【つか、酔ってなくても自分はケアレスミス多い性格】
>>168
あと必要なのは、循環小数と(級数?)0.999…が同値である証明?
→(少なくとも>>168では、極限移行ではなく同一扱いだが、表現力が及ばず…)
仰る通り。
極限移行すると、例えば2-(1ー0.999…)×2、砕けた表示で0.999…→998も極限表示すれば1となってしまう。
【注意、…→として「限り無く先」としたが、これもまた表現不尽である為、脳内補完で宜しく】
つか、何より極限値を取って終わり、ではこの話題の結論には不足とも考える。単純回答として>>108氏参考。
172:132人目の素数さん
06/11/05 12:51:53
>>168
ここは物理板ではなく、数学板です。
173:132人目の素数さん
06/11/05 13:39:55
>>172
だと、どうなるんだい?
174:132人目の素数さん
06/11/05 14:20:48
十分小さい値だから無視できるなんて使っちゃイカンってコト。
175:132人目の素数さん
06/11/05 15:20:02
>>174
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]
f(x)=x^2のとき、
lim(h→0)[(x^2+2hx+h^2)-x^2}/{(x+h)-x}]
=lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
数学じゃ、どう説明してんの?
176:132人目の素数さん
06/11/05 15:44:55
不等式を使う
177:132人目の素数さん
06/11/05 16:09:07
不等式を使えば、数式の意味が変わる?
178:132人目の素数さん
06/11/05 16:18:59
>ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
>∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
記号limを使ってる以上、無視とかそういう問題ではない。
f(x) = x^2のとき、
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}] = lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h} = 2x
以上。
179:132人目の素数さん
06/11/05 16:34:56
>>177
端的に言うとε-δ論法。
180:132人目の素数さん
06/11/05 16:39:16
>>178
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
lim(h→0){2x+h} = 2x:このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
181:132人目の素数さん
06/11/05 16:41:16
>>179
ε-δ論法は、必要なだけ小さい値とすることが出来る、
という意味ではないのか?
182:132人目の素数さん
06/11/05 16:43:01
>>180
真面目に書いてます?
183:132人目の素数さん
06/11/05 16:55:25
>>182
どこが不真面目に思える?
184:132人目の素数さん
06/11/05 17:00:39
>>180
>lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
h→0の極限では当然h≠0
>lim(h→0){2x+h} = 2x:このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
意味不明。
185:132人目の素数さん
06/11/05 17:30:18
>>184
では何故、
lim(h→0){2x+h} = 2x
といえるのか説明してくれ。
186:132人目の素数さん
06/11/05 17:41:39
中学生の考えですけど正しいですかね?
誰か指摘よろ。
S = 0.99 …とおく
0.1S = 0.099…
S−0.1S
= 0.9S
= 0.9-0.000…9
0.00…9の1が存在する桁目はスレタイのより無限。
∴ 0.00…9 = 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
0.9S = 0.9 - 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
S = 1 - 0.1^n ( n → ∞ )
0.1^n = 1 / 10^n → 0 ( n → ∞ )
∴ S = 1 = 0.99…
有限桁、つまり桁の終端が存在する時(つまり、n → ∞でない時。)に0.1^n≠0となりS≠1となる。
終わり。
187:132人目の素数さん
06/11/05 17:51:28
>>185
lim(h→0){2x+h} = lim(h→0){2x} + lim(h→0){h} = 2x + 0 = 2x
前提として
@極限が加法に関して展開可能であること( lim(f+g) = lim(f) + lim(g) ただしいずれも有限確定のとき)
Alim(h→0){h} = 0
を使用しているが、必要ならばいずれもε-δで証明できる。
省略しているだけで「無視できるから」では断じてない。
188:132人目の素数さん
06/11/05 17:55:23
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
え?不能なの・・・
普通に=2xじゃないんですか
189:132人目の素数さん
06/11/05 17:58:33
>>188
「ゼロで割れない」っていいたんじゃないの?w
190:132人目の素数さん
06/11/05 18:00:46
>>188
「#DIV/0!」
191:132人目の素数さん
06/11/05 18:15:38
いや、でもちゃんと約分してるから大丈夫なのでは?
っていうか
lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
だけのことを言ってたのか
数学の先生曰く
「lim(h→0){(2hx+h^2)/h}とlim(h→0){2x+h}は『関数的に』違う」
だそうです
192:132人目の素数さん
06/11/05 18:19:04
「約分してるから」ってのはそれはそれで間違い。
ゼロになる可能性があるなら約分もしちゃだめ。
ただしh→0の極限を考えているときには問題ない。
193:132人目の素数さん
06/11/05 19:07:36
>>186
0.000…9 って表記はおいといて、
> S−0.1S
> = 0.9S
> = 0.9-0.000…9
2行目から3行目はどうして出てくるの?
194:132人目の素数さん
06/11/05 19:31:19
>>187
何度も言うようだが、ε-δは必要ならいくらでも小さい値が取れるという意味で、
ゼロとしていいという意味ではないだろう。
省略というが、証明できるならしてみてくれ。
195:非187
06/11/05 19:38:04
>>194
日本語として、「必要なだけ」は語弊がある希ガス。
限り無く…
つ無限小
{0|無限小,φ}(無限小≠φ)
196:132人目の素数さん
06/11/05 19:43:00
必要ならいくらでも小さい値が取れる = 極限がゼロである
と定義されている。
ってそんな前提もなしに話してるのかよ。
197:132人目の素数さん
06/11/05 19:51:45
(limの定義)
x=aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε>0, ∃δ>0 s,t x∈(a−δ, a+δ)∩(V−{a}) → |f(x)−α|<ε
が成り立つときを言う。このときα=lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a−t, a+t)⊂Vを満たすt>0が
存在するときを言う。
(lim[h→0]h=0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε>0に対して、δ=ε/2>0とすれば、h∈(0−δ, 0+δ)∩(R−{0})
ならば|h−0|<ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h=0となる。
198:純粋理性批判
06/11/05 21:45:08
【By>>195】
>>196
前提を知らぬ未就学者に、
そのまま向けられる言葉遣いではないと思った。
>>197
乙。
199:186
06/11/05 21:59:29
>>193
文字式で計算したのが二行目
S−0.1S = 0.9S … 左辺
代入して計算したのが三行目です。
0.999… - 0.099… = 0.9 - 0.00…9
200:(0.00…9の記述法では有限少数値!)
06/11/06 06:08:56
【下記は自分の意見ではなく、>>199への問い直し】
【これと同じ事?limで極論移行している?】
※小数点下以降の000…も記述する。
1.000…−0.999…
=0.000… (本式中混同無い為以下=0.1^n且つn→∞)
⇔1.000…=0.999…+0.1^n (n→∞)
で、n→∞ ⇔ 0.1^n→0 である。
∴ S = 1 = 0.99…
201:199
06/11/06 17:56:58
>>200
だいたい、その通りです。
202:132人目の素数さん
06/11/06 23:12:14
ってかいまおもた
1-0.999…=0.000…(1)=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…(9)となって最後が0になるのでは・・・
203:132人目の素数さん
06/11/06 23:18:21
末尾の()は何?
204:132人目の素数さん
06/11/06 23:22:29
∞桁目とか言いたいんじゃねーの?
205:132人目の素数さん
06/11/07 00:33:05
1-0.999…=0.000…=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…となって最後が0になるのでは・・・
206:132人目の素数さん
06/11/07 08:52:22
>>205
>>170みたいに並べて、の末に…と言う意味か?
207:132人目の素数さん
06/11/07 09:42:33
>>205
てか最後ってなんだ
208:132人目の素数さん
06/11/07 19:24:51
1-0.999…=0.000…=0になるらしいが
0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて0.999…にならないのでは?
209:132人目の素数さん
06/11/07 19:29:55
だったら、
> 0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて
その場合の和の結果は何なの?
210:132人目の素数さん
06/11/07 21:49:04
【1≠0.999…の証明】
x<1でxの最大値を求めると
解は0.999…
この解はx<1という条件から1≠0.999…である
テンプレの>>4に対して
0.333…∞に3が続く=0.333…∞に3が続く
である為には
(左辺の∞)=(右辺の∞)
でなければならず計算不能
∴0.333…や0.111…なども計算不能であり証明不足
211:132人目の素数さん
06/11/07 21:56:22
>x<1でxの最大値を求めると
そんなものは存在しない。以上。
212:132人目の素数さん
06/11/07 22:22:09
>>210
∞=∞はOKなんでない?
確か
∞+1=∞
∞+∞=∞
は成り立ってたと思うし
∞=∞ってのは聞いたことがないが上の式から成り立つだろ
213:132人目の素数さん
06/11/08 14:59:23
>>210-211
>>101とその補足者>>110&>>131が別表現で既出。
>>212
不充分。
>>170の様に桁が揃っている事を前提にすれば正しくなる。
が、それも1=0.999…⇒1/3=0.333…、1≠0.999…⇒1/3≠0.333…
本スレでは両者の内、どちらがより正確なのかという事を議論する。
(明らかに>>110&>>131は1と0.999…を分別している為、後者を選んでいる。)
214:213補足
06/11/08 15:09:34
1/3=0.333…、余り無限小=0.333…
1/3=0.333…、余り無限小≠0、333…
>>101数直線上だと隣り合う二点を、如何に処理すべきか。
215:132人目の素数さん
06/11/08 22:32:27
>>213
桁が揃ってないとまずいの?
∞+1=∞より
0.33<0.333<0.3333<0.333…(∞-1個)3=0.333…(∞個)3=0.333…(∞+1個)3───@
が成り立つとは言えないの?
@は3を増やしていると途中から不等号が変わるのではなく
0.333…(∞-1個)3は無限小数を数えきった値であり、その値に桁を増やすことは不可能
0.333…(∞-1個)3と0.333…∞3は既に同じ桁であり前提にする必要はない
216:132人目の素数さん
06/11/08 23:12:55
>>213 前にも自分の考えを書いたもんだけど、きちんと数学的に考えた上で、
なおかつ小数表記に優劣つけるなら、やっぱり如何なる数も無限小数表記にするのが
妥当では?10のベキ乗を分母(既約な分母として)として持つ数だけ有限小数表記を
持つのが当然、と考える方が失礼でしょう。もし、有理数まで実在の数と考えるのなら。
217:132人目の素数さん
06/11/09 02:33:50
>>215の考え方でいくと
0.333…∞個3…∞個0はどうなるんだ
仮に0.333…∞個3と等しいとすると
0.333…∞個3…∞個1とも等しくなっちゃいそうだが…
218:213-214
06/11/09 05:37:32
>>215
>>217質疑をどう処理するか?
>>216
ならば、それは>>200(但し結論中「1」を1.000…として)に振る。
219:132人目の素数さん
06/11/09 08:02:42
f:R→R を f(x) = (xの小数点以下を切り捨てた数)
と定義すれば
f(1)=1 だが f(0.999...)=0 となる・・・
と思ったけどこれはただ単にfが写像として定義できないだけのことか?
220:132人目の素数さん
06/11/09 10:55:17
>>219
CPU言語でintxになるな。
正実数に限れば只単に[x](ガウス記号)になるのう。
221:132人目の素数さん
06/11/09 11:07:03
>>219の f とガウス記号は別物ということだ。
222:132人目の素数さん
06/11/09 11:48:56
>>219
fは写像として定義できるが
Rからの写像ではなく
数字の列からの写像になる
ということでは
223:132人目の素数さん
06/11/09 12:14:00
>>219
あなたの言う通り。
a=b⇒f(a)=f(b) が成り立てば well-defind.
1=0.999...を認めるならば写像が定義できてない、というだけの話。
224:132人目の素数さん
06/11/09 12:22:16
>>223
だからさ
数字の列からの写像としては定義できるんだよ
実数からの写像としてはwell-definedにならないが
225:132人目の素数さん
06/11/09 13:29:10
>>224
{数字の列}という集合を考えたら何が嬉しいのかは判らないが、
まあ、そうなんでしょう。
226:132人目の素数さん
06/11/09 13:41:56
> 何が嬉しいのかは判らないが
まあそう言われるとは思ったけど
数学的な事実は事実だから仕方ないよ
227:132人目の素数さん
06/11/09 13:51:15
対角線論法とか見たことある?
普通は数字の列の集合と対応させて
|N|<|R|を証明すると思うけど
228:132人目の素数さん
06/11/09 15:25:46
>>227
ああ、そうか。
あれ、対角線論法って0.999...の扱いはどうしてたっけ。
229:132人目の素数さん
06/11/09 15:44:04
>>228
どの数字列も無限に桁があることにするので
最後がn(≠0)で終わる有限小数については
****n0000・・・
****(n-1)9999・・・
のどちらかに揃えると思う
230:132人目の素数さん
06/11/09 18:07:16
>>219
コンピュータにそのまま実行させるからそうなる。
無限桁をメモリーを持つコンピュータなら f(0.999...)=1 だろ。
そうならないのは、コンピュータが有限のメモリーと有限の実行時間をもっているせい。
通常… #define GOSA 1.0D-10 なんて定義して…
f(x) = int(x+GOSA)
ってやれば無問題だろ。当然、f(0.999...)=1 だな。
231:132人目の素数さん
06/11/09 18:59:03
GOSAって何かと思ったら
もしかして「誤差」?
君はひょっとして天才か?
232:132人目の素数さん
06/11/09 20:12:11
>>230
fの定義は
f(x) =( x の 小 数 点 以 下 を 切 り 捨 て た 数 )
なので、メモリーが無限桁であろうがなかろうが、
f(0.999…)=( 0.999…の小数点以下を切り捨てた数 )=0
となる。一方で0.999…=1だから、
f(1)=( 1の小数点以下を切り捨てた数 )=1
となる。よって、どのみちfはwell-definedでない。
233:132人目の素数さん
06/11/09 20:24:41
コンピュータが内部で 1 と 0.999・・・を区別するかどうかによるだろ
234:132人目の素数さん
06/11/09 20:37:08
ほらな
コンピュータが0.9999・・・を
1とは異なる数字の列と扱えば出力が違うし
実数として1と同じと扱えれば同じ出力になるんだよ
well-definedかどうかで考えるのは誤解の元
235:1 ≠ 0.99…の世界に行ってきた。
06/11/09 21:25:27
全ての数n÷nにおいて
最初の商に0を立てると次の位には9が立ち、以下同じ数字が繰り返されるので
n÷n = 0.99…
また、最初の商に1を立てると
n÷n = 1
∴ n÷n = 1 = 0.99…
ここで定義より1≠0.999だが明らかに矛盾。
故に1≠0.99…ならばn÷nは存在しない。
236:132人目の素数さん
06/11/09 21:27:02
>>233-234
そりゃまあ>>232は
f(x) =(xの小数点以下を切り捨てた数)
を
f(数字列x) =(数字列xの小数点以下を切り捨てた数)
と読んでるんだからある意味当然だわな。
xが実数のつもりならまず十進展開の仕方(形式的には
関数g : R→{数字列})を決めねばならんし。
それでやっとお望みの
fg : R→{数字列}→Z
が定義できるんだからな。
237:132人目の素数さん
06/11/10 08:44:21
【>>101を引用しとく】
やはり、0.999…は極限極論で1なのでは?
だか本スレは極論無しに議論を行う積もりの筈。
ここら辺の話(÷0話や∞哲学)で有名な足立恒雄曰わく、0.999…=1?に対し、
『最後に「0.0000…1」の最後の「1」は何でしょうか?
無限の先に1があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。こう問いただすと、質問自身にあまり意味がないことにがわかると思います。
数学では明確に定義されたことしか扱わないということを理解してください。』
(Newtonムック「ゼロと無限の科学」なんていう低俗だがペンローズもインタビューしとる)
この話をつまり、極限極論も取っ払って行うと、プロさえも及ばない領域
(その前に、詳しい方は足立恒雄の頓痴気度診断宜しく)
と。
デカルトの切断では、1と0.999…は別々になる事をお忘れなく。
238:132人目の素数さん
06/11/10 20:53:29
>極限極論
て何?
239:132人目の素数さん
06/11/10 21:08:11
>>237
デカルトの切断って…モノとココロの分離だっけ。そんなモン何か関係あるんか?
240:132人目の素数さん
06/11/10 21:28:59
デデキントの切断と違うんか?
241:132人目の素数さん
06/11/10 21:31:13
"デカルトの切断"に該当するページが見つかりませんでした。
検索のヒント
・・・
242:132人目の素数さん
06/11/10 21:34:22
リミットえっくすアプローチまいなすイチ
243:132人目の素数さん
06/11/10 21:36:31
いや、えっくすアプローチイチまいなすぜろか…うんそうだ
マイナスイチだとマイナスいちにアプローチするからね
244:132人目の素数さん
06/11/11 01:09:12
デカルトの切断バロスwwwwwwwwwwwwwwww
245:237
06/11/11 05:13:53
(誤) デカルト
(正) デデキント
>>239
正解。
246:132人目の素数さん
06/11/11 08:38:40
ていうかデデキントの切断でも
1=0.999…になるような切り方しか認めないだろ
247:132人目の素数さん
06/11/11 09:29:45
そうだなw しかもそれも何度も指摘されている。
248:132人目の素数さん
06/11/11 12:32:59
>無限の先に1があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。
非可算な整列集合とか。
249:132人目の素数さん
06/11/12 07:53:38
>>246-247
どうかな、
確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど、
分別しても、これらの議論では問題ないのでは?
より難解だろうけど。
第一、このスレではその様に片付きはしないはず。
250:132人目の素数さん
06/11/12 08:03:11
>確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど
デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」んだよ。
>第一、このスレではその様に片付きはしないはず。
バカは消えろ。デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」わけよ。
251:132人目の素数さん
06/11/12 09:43:38
>>250
相手も相手だが、文章に叩きを含めるのも如何なものか?
揃ってお立ち退き頂きたい。
252:132人目の素数さん
06/11/12 10:07:01
{ [0 , 1/2) , [1/2 , 1] } と { [0 , 1/2] , (1/2 , 1] }
の同一視(もしくは一方の排除)は
「している」のではなく「なる」ものなの?
253:132人目の素数さん
06/11/12 10:43:19
デテキントの切断を認めれば当然「単調増加数列はその上限に収束する」んだろ?
数列 0.9、0.99、0.999、… の上限は1だから当然1に収束するな。
で、君の立場だと、収束しても同一視はしないってコトか?
254:>>251でも>>252でもないが
06/11/12 10:54:47
収束か。
>>108参照。
255:132人目の素数さん
06/11/12 11:14:25
>>253
> 0.9、0.99、0.999、… の上限は1だから
いや、それを切断の形式で書かないと意味が
ないという話だと思ったんだが・・・。
> 君の立場
別に俺何の立場も表明してないけど?
他の奴と間違えんでくれよ。
256:132人目の素数さん
06/11/12 11:49:32
>>254
で?
>>255
デテキントの切断と上限に収束するってやつは同値なんだからさー。
片方だけで考える必要あるんか?
257:132人目の素数さん
06/11/12 12:06:16
>>256
それ全然>>252に答えられてないよ。
ていうか252きちんと読んだ?
デデキントの切断はまず252の2種類の集合を
どちらか一方に絞ってることは知ってるでしょ?
そうやって絞るからこそ君の言う同値が証明できる
わけなので、その同値を持ち出しても252に
答えてることにはならんべ。
258:132人目の素数さん
06/11/12 12:34:41
べつに>>252に答えている訳じゃなかったのだが…紛らわしくてスマソ
259:132人目の素数さん
06/11/12 16:04:34
>>252
もしかして、
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1), [1, 2]} が 1に対応してると考えてるの?
260:132人目の素数さん
06/11/12 16:06:42
あ、ミスった
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1], (1, 2]} が 1に対応してると考えてるの?
261:252
06/11/12 16:15:37
いや、俺自身はそう考えてないけどね
(俺は>>246だし)
>>237が言いたかったことを好意的に解釈しようとすると
そんなことを考えていたんじゃないかなあと
262:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/12 20:21:50
なんで同じなの?
明らかに違うと思うんだが。
263:132人目の素数さん
06/11/12 20:24:08
アルキメデスの原理とかなんでこの問題に使うんだよwwwww
水の中の物体は、それがおしのけた水の重量だけ軽くなる
どこで使うんだよwwwww
264:132人目の素数さん
06/11/12 20:56:44
>>263
釣れますか?
265:132人目の素数さん
06/11/13 00:42:48
>>263
ワロス
266:マジレスするぞぉ!
06/11/13 01:19:14
>>263
そっちかよ!質量保存則の方かよ!
取り尽くし法(古代のε-δ論法)の方だよ!!
267:132人目の素数さん
06/11/13 08:01:36
独力で超限解析を再発見するような活きのいい電波はおらんかのう…
268:平家蟹の舎弟
06/11/13 20:22:10
いまよんできます。
269:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/13 20:24:42
はいはーい。
270:132人目の素数さん
06/11/13 20:57:40
>>267
超準解析作ったヤツもこのスレみたいに、数学者から煽られて奮発して作ったに違いないw
でも…おいそれとはできんよな…コレ。
271:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/13 21:14:44
超準解析ってなに?
272:132人目の素数さん
06/11/13 22:02:14
「超準解析」は難しいけど、超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
273:132人目の素数さん
06/11/14 10:56:21
>>271
簡単に言うと、無限小が実在する世界での微積分、
及び、それと一般的な実数の世界の問題とを互いに翻訳する方法。
274:132人目の素数さん
06/11/14 19:15:20
1=0.999…ではないとすればこのスレタイはかなり変になるとは思いませんか
275:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/14 21:48:32
んー、1=0.9dotってさー、綺麗じゃないよ。綺麗じゃなきゃ駄目だろ。
276:平家蟹 ◆qZKkuPC36I
06/11/14 22:15:45
f(x)=1/x だと
0に右から近付くのと
左から近付くのとだと値違うけどいいの?
277:132人目の素数さん
06/11/15 00:18:39
>>275
泥臭いのもまた数学なのさ。
>>276
だから?
278:132人目の素数さん
06/11/15 05:04:17
コンウェイの超現実数だと0.999……≠1だな。
279:132人目の素数さん
06/11/15 05:51:29
>>278
なにそれ?
280:132人目の素数さん
06/11/15 06:34:16
クヌースのこの本をどうぞ。
URLリンク(www.amazon.co.jp)
実数と無限大・無限小でできている。平たく言うと、左が右以上にならない数のペア(実際には空でも良い)から作られる。
281:132人目の素数さん
06/11/15 21:51:30
実数+無限小とかももちろん含まれている。わかってるだろうけど念のため。
282:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 21:55:53
素人考えなんだがf(x)=1/(x-1)で
0.9dot=1=1.0dot
(ニュアンス的にこう書くとすると)
f(0.9d)=-∞
f(1) 定義なし
f(1.0d)=+∞
となるから、0.9dot=1っていかにも違うよなきがするんだが、数学的だとなんら問題ないの?
283:132人目の素数さん
06/11/15 22:01:05
全部、定義なしで無問題。
284:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 22:09:08
定義ないのか。わかりました、ありがとう。
しかしひねくれ者だから、いちゃもんつけると、
二進法とかあるわけだから、十一進法にして
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、うんことすると、
0.9dot<0.うんこdot<1とかはなんねのかな?
同相とかで問題なし?
285:132人目の素数さん
06/11/15 22:22:16
>>284
十一進法なら 0.999… < 1 だよ。
で、何が言いたいの?
286:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 22:35:20
いやー、十進法から、イメージ沸いたよ。サンチュ
287:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/17 18:57:27
んーしかしさー、0.9DOTって無理数?有理数?
288:132人目の素数さん
06/11/19 18:23:11
>>278-280
やっぱり定義次第なんだ。
>>286-287
16進法
0123456789ABCDEF
この時、10進法の0.9dotに相当するのは0.Fdot、つまりそれは全く違う数。
1=0.9dot⇒0.9dotは有利数
1≠0.9dot⇒0.9dotは無理数
289:132人目の素数さん
06/11/19 18:38:33
1-無限小を無理数と言うか?
290:288
06/11/19 19:49:01
>>289
悪い。言えんかった。
超準解析的には、えーと…。
291:132人目の素数さん
06/11/19 20:07:14
整数は有理数
循環小数は有理数
無限小数は無理数
292:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/19 20:44:06
0.9dotが有理数の場合、=P/Qになる自然数がP=Q=1ってのは釈然としない感じなんですが……
293:132人目の素数さん
06/11/19 20:46:04
1/1 = 2/2 = 3/3 = …
を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。
294:132人目の素数さん
06/11/19 20:54:05
>>292
実数論の勉強して来い。その方が早い。
295:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/19 21:21:06
実数論?っージャンルあるの?
296:132人目の素数さん
06/11/19 23:17:49
>291に突っ込みが入らない件について
297:132人目の素数さん
06/11/19 23:19:30
>>295
「実数論」でググれ。
298:132人目の素数さん
06/11/20 12:45:38
0.9999・・・は、小数点以下の9の数が多くなるほど
限りなく1に近づく事は分かるが、1より小さい事は明らかである。
1=0.9999・・・はおかしいと思う。
299:132人目の素数さん
06/11/20 13:11:31
>>298
>>1より小さい事は明らかである。
なんで明らかなの?
300:132人目の素数さん
06/11/20 17:43:24
>>291
違う
整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数(循環小数)は有理数
循環しない無限小数は無理数
301:132人目の素数さん
06/11/20 17:49:54
一般に数列 S(n) (n=0,1,2,…) に対して、その極限
S = lim[n→∞] S(n)
は、
どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | < ε
を満たすようなSとして定義されます。
0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限
0.9999… = lim[n→∞] S(n)
であり、上の極限の定義から
0.9999… = 1
となります。
302:132人目の素数さん
06/11/20 20:15:37
>>298
もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ
しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。
303:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/20 22:09:03
じゃ0.9dotは閉区間[0、1]には入っているが、開区間(0、1)には入ってないことになるんだけど、それでokですか?
304:132人目の素数さん
06/11/20 22:43:44
OKだけど、1もそうだよ。
305:132人目の素数さん
06/11/20 22:44:15
OK。
点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。
306:132人目の素数さん
06/11/20 22:51:24
なぜ「閉」区間というかもそこにあるわけだし。
307:132人目の素数さん
06/11/20 22:56:38
数列 an = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}について、
an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )
308:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/20 23:57:46
ではMAX[0、1]=1
SUP[0、1]=1
SUP(0、1)=1
MAX(0、1)=?
定義されないのですか?
超準解析だと(1−無限小)みたいなのが定義されるんでしょうか?
なんか質問はかりですみません。
309:132人目の素数さん
06/11/21 00:18:41
>>302
その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか?
310:132人目の素数さん
06/11/21 00:26:51
>>308
実数論の勉強して来い。
311:132人目の素数さん
06/11/21 17:48:48
0.999…の極限を表すのって
lim[N→1]N
で良いんだよね
この問題の答えは1になる・・・はず
Nが限りなく1に近づく(0.999…)ときの極限は1
ってな感じ?
0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変?
312:132人目の素数さん
06/11/21 18:10:24
>>311
極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。
○ an=1/nの極限は〜〜〜
× 2006の極限は〜〜〜
0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。
313:132人目の素数さん
06/11/21 19:41:25
極限の定義
関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき f(x)→a または lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という
ほんとだ実数じゃない・・・関数か
じゃあどう書けば良いんだ
314:132人目の素数さん
06/11/21 20:28:02
an=1−1/10^n=0.99…99 (←9がn個並んでいる) の極限は1
315:132人目の素数さん
06/11/21 20:50:01
>>309
1≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか?
深みにどっぷりな気もするけど。
316:132人目の素数さん
06/11/21 23:02:41
極限に向いてない人、ってのがいるんだな。
317:132人目の素数さん
06/11/21 23:05:45
>>313
重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ
318:132人目の素数さん
06/11/21 23:15:40
>>197参照
319:132人目の素数さん
06/11/22 13:42:48
>>313
ε-δ論法知らんのか?
320:132人目の素数さん
06/11/22 14:53:50
知らないんじゃね?高校生向けの参考書あたりからコピペしたんだろう。
321:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/22 18:09:01
つーか超準解析の話は?
322:132人目の素数さん
06/11/22 20:44:37
>>321
つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。
323:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/22 22:10:17
実数論、勉強したよ。わかったo(^-^)o楽勝
S(n)=1−(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形
S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形
0.9dot=1
俺は過去形
っーことだろ。
しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない?
324:132人目の素数さん
06/11/22 23:07:30
>>323
実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。
325:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/23 07:32:03
DEDEKINDの切断?わからない……、生意気言ってすみません、基礎的な集合論かと思ったんだよ。
よかったら誰か説明してくださいなm(__)m
326:132人目の素数さん
06/11/23 18:57:10
基礎的な用語なんだから、それこそ本読むかネットで調べればいいだろ。
327:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/23 20:00:40
あー、ここはそういうスレなのか。
まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。
328:132人目の素数さん
06/11/23 21:38:22
>>327
要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。
で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。
実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。
デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。
329:132人目の素数さん
06/11/23 21:54:27
超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
330:132人目の素数さん
06/11/23 22:07:35
もう、>>278-281で
定義次第って話は纏まった筈では?
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。
331:132人目の素数さん
06/11/23 22:21:13
>>328
> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが
その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか
332:!^r
06/11/25 03:43:39
もうどっちでもいいんじゃね
333:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/28 21:14:49
あースレとめちまったのかな。
こーこーせー、疑問をぶつけるのだ!
334:132人目の素数さん
06/11/29 02:11:59
【>>330】
>>333
1=0.9dotでも1≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。
335:132人目の素数さん
06/11/29 23:00:04
最初のテンプレからして、条件次第って書いているんですけど…。
336:132人目の素数さん
06/11/30 01:35:42
普通の実数や超実数
=
変わった実数やアレンジされた超実数(超現実数等も含む)
≠
337:132人目の素数さん
06/11/30 04:03:26
【>>334】
>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずQ&A7(>>5)に>>278-281を添える。
338:132人目の素数さん
06/11/30 15:15:49
Q&A8かな
339:337
06/11/30 17:18:32
>>338
ありゃま、Q&A7じゃなかった
新しくQ&A8として設置になりますね。
340:132人目の素数さん
06/12/02 18:27:48
小数点以下で9が連続する循環小数(0.999…とか1.999…とか10.999…とか)は
その循環小数の整数部分に1を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11)と等しい
<証明>
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはQ7のFとか使う
<証明終わり>
とかじゃ駄目なのか
341:132人目の素数さん
06/12/03 00:48:54
>>340
つうか、1=0.999…と同値な問題だろ
342:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/12/03 10:31:11
とりあえず1=0.9dotの話は面白みがないから、≠として、なんか話が展開されないのかな。
343:源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA
06/12/03 23:13:40
でも、面白いとかツマラナイの問題じゃないでしょ。
344:132人目の素数さん
06/12/04 00:04:50
正直、誰かトンデモ理論を言い出してこないかとワクテカしてる
345:132人目の素数さん
06/12/04 00:07:36
考えてるんだけどな>トンデモ理論。
346:132人目の素数さん
06/12/05 20:24:10
1≒0.999…
347:132人目の素数さん
06/12/08 22:45:25
Q4がいま一つ理解できない。
不完全性定理が関係有るヤツなの?
348:132人目の素数さん
06/12/09 02:23:00
ってか、不完全性定理的回答ってだけで
どっちか一方が絶対、じゃないっ事じゃねっすか
349:132人目の素数さん
06/12/09 17:26:37
不完全正定理云々以前に定義の問題だと思うけど。
350:132人目の素数さん
06/12/09 18:22:50
ただどう定義してもQで0.999……=1が証明されたときに、
0.999……≠1が証明されないことは証明できないはず。
なぜならばQではNが定義できるので、自然数論を含む体系になるから。
もし0.999……≠1が証明されればQが矛盾していることになり、
エライことになってしまう。
ということをQ4は言っているのでは?
351:132人目の素数さん
06/12/09 18:25:55
後半死んでるな。
もし0.999……≠1が証明されないことが証明されれば
無矛盾であることが証明できたことになり、Qが矛盾している
ことになり、エライことになる。
だな。
352:132人目の素数さん
06/12/09 19:35:30
そもそも前提条件が違う証明同士だったらそんな余計な文面要らないんじゃないの?
353:132人目の素数さん
06/12/10 02:04:21
>>352でおk。
別個の公理系。
354:132人目の素数さん
06/12/10 04:04:05
当たり前と言えばそうだが、「前提を定めれば論理的にどちらかが正しいと証明できるはず」
という人もいる。それは厳密には無理と言うことで書いてあるのだと思う。
355:132人目の素数さん
06/12/10 04:18:20
>>354
合、其処等辺の解説に不完全性定理的回答也、と云う事で御座る。
356:132人目の素数さん
06/12/10 11:42:20
しかし、テンプレのQ5A5がこのスレの前提条件としたんでは、
dでもも超準解析も入り込む余地はないんじゃね。
357:132人目の素数さん
06/12/10 11:55:05
まあ通常の解釈の話であればああ書くことになるんじゃない?
というか、通常でない解釈として採用した方が(しても?)いい
ものが具体的にあがっていないからじゃないのかな?
コンウェイの超現実数はたしかに採用されても良いと思うけど。
358:132人目の素数さん
06/12/10 23:23:21
URLリンク(www.taiyo-g.com)
↑
これってどーなの?
359:132人目の素数さん
06/12/10 23:35:19
文系が哲学者のMLに話題を投げた記録て…
これほど読む気が失せる前文も珍しいな。
360:132人目の素数さん
06/12/12 12:34:30
循環小数は、有理数ではない!
いやいやw
実数の定義だからね循環小数が有理数ってのは・・・・・
361:132人目の素数さん
06/12/12 13:04:50
どうせこんなことが書いてあるんだろ。
・例えば0.333…=1/3−無限小 であり、1/3には一致せず、有理数でない。
362:132人目の素数さん
06/12/12 16:18:10
0.9は、もちろん有理数
0.99も、もちろん有理数
0.999も、もちろん有理数
0.999…は循環小数なので有理数
1は、もちろん有理数
0.999…を考えるときには有理数しか出てこない
だからそんなに難しく考えなくても良いのでは
363:小が臭え
06/12/12 21:23:33
コンウェイの超限実数では…何だろねぃ。
でも普通は有理数じゃんね。
364:.
06/12/13 19:58:15
>>360
洋一石
一石 って ein steinつまりアインシュタインのもじりのつもり?
365:132人目の素数さん
06/12/14 05:24:30
純粋に数理的に考えていった場合、実数の定義自体が怪しいんでは?
366:132人目の素数さん
06/12/14 19:55:10
なんでやねん!
367:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/12/14 20:52:09
talk:>>365 実数空間の満たすべき性質は、順序体であることと、完備であることだ。その条件を満たす集合を具体的に定義することもでき、それらは互いに同型だ。
368:132人目の素数さん
06/12/15 05:20:32
実数はそのまま実数でおk。
問題は、1≠0.999なる公理系(例えば、>>278-281)。
儂ゃ知らんがな(´・ω・`)
369:132人目の素数さん
06/12/15 21:59:57
【1≠0.999…の証明】
初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
この数列の無限番目は1と等しくなると仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項a_0=1、一般項a_n=a_(n-1)*10-9。
しかし、この数列の項は、すべて1である。
よって最初の数列の無限番目は1に等しいとは言えない。
370:132人目の素数さん
06/12/15 23:28:35
>>369
背理法を使っているつもりなのだろうが、一体どこが矛盾してるのか分からん。
371:132人目の素数さん
06/12/15 23:53:30
無限番目ってあんたw
372:132人目の素数さん
06/12/16 01:56:20
仮定が矛盾してんじゃん
373:132人目の素数さん
06/12/16 02:18:22
ブルバキスレにまたもや文keiが偽名を使って出没している
どうにかしてくれ
374:369
06/12/16 07:55:45
無限番目をlim(n→∞)a_nとしてください。
これで仮定は矛盾しないと思う。
375:132人目の素数さん
06/12/16 08:44:07
>>374
「無限番目」を「lim(n→∞)a_n」に変えて議論すると、こうなる。
初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
lim(n→∞)a_n=1だと仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項b_0=1、一般項b_n=b_(n-1)*10-9。
さて、この数列{b_n}は、本当に数列{a_n}と「順序が逆」なのだろうか?
そもそも、「順序が逆の数列」とは何なのか?岩波の分厚い数学辞典を
見ても、「順序が逆の数列」なるものは載っていない。従って、>>374に
質問しなければならない。
質問:「順序が逆の数列」の定義は?
376:375
06/12/16 08:51:22
>>374
これも追加で質問。
質問:次の3つの数列に対して、「順序が逆の数列」を教えてくれ。
x_n=2^n
y_n=1/n
z_n=cos(n)
377:369
06/12/16 10:49:52
>>375
>質問:「順序が逆の数列」の定義は?
a_n=f(a_(n-1))のとき、漸化式の逆関数をf^(-1)とすると、
a_n=f(^-1)(a_(n-1))な数列のこと。これは逆数列というのかな?
このとき初項が問題になるけど、a_∞=lim(n→∞)a_n(つまり0.99…=1)ならば
初項は1にすべきだと思う。
わたしは、初項を1にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
でも、これを書いている途中で、たとえ初項を0.99…にしたとしても順序が逆の数列は
できない気がしてきたので、>>369はちょっと撤回させてもらいます。
378:132人目の素数さん
06/12/16 17:40:25
つうか>>369って本気で書いてたのかよ。
しかもそのキモが俺理論ときたw
379:132人目の素数さん
06/12/16 17:47:46
>わたしは、初項を1にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
>ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
「十分かなあと思った」・・・・・
全然十分ではありません。以上。
380:132人目の素数さん
06/12/17 11:54:26
射影的極限の話でもするのかと思った
381:132人目の素数さん
06/12/23 09:55:18
>>380
じゃあそのネタで
[1=0.999…の話]or[1≠0.999…の話]でも
してくれ〜ぃ。
382:132人目の素数さん
06/12/23 10:21:12
0.999……=1であるということは、
0.99=1という系があることも認める事か?
383:132人目の素数さん
06/12/25 06:42:33
このスレたまにバカが湧くな
384:132人目の素数さん
06/12/25 15:16:24
>>382
どこにそんなおかしな記述がある?
385:132人目の素数さん
06/12/26 02:17:44
関連する話で、一つ質問です
普段私達が日常生活や数学の問題を解く中で使用する0なんですが
0そのもの、1から0へ近づけた0、-1から0へ近づけた0
以上、3種類存在すると思うのですが、これも前提条件を元に考えられた概念なのでしょうか?
将来覆される可能性があるのでしょうか?
386:132人目の素数さん
06/12/26 03:12:12
>>385
φ|空集合と→+0成る数と→ー0成る数か。
極限概念…とだけで答えを済ませてはもらえないだろうな。
387:132人目の素数さん
06/12/26 05:02:33
>>384
極限の本質を理解していないな。(ある面ネタではあるけど。)
0.9が充分1に近い数値であれば、0.99は1である。
自然数nが無限大という値を取らない限り、
級数が極値を取る事はあり得ない。
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