【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】

【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】 at MATH

481:１３２人目の素数さん
19/11/10 13:36:14.68 v9KtaDvq.net
2019年11月号
■出題１　上の句がm字，下の句がn字の短歌がある。
　それぞれが回文であり，また全体の m+n字も回文である。
　すべてが同じ字になってしまうのは (m,n) の組がどんな場合か？
(解答例)
m=n のとき　上の句と下の句は(逆向きに)同じである。
　それぞれが回文だから、[(m+1)/2] 種まで可能である。
m>n のとき　下の句は、上の句の初めのn字と(逆向きに)同じだから捨てよう。
　初めのn字を上の句、残り m-n字を下の句とした短々歌を考える。
　上の句、全体は回文である。下の句も元の中央部分だから回文である。
　∴　(m,n) は (n,m-n) に帰着する。
m<n のとき
　上の句は、下の句の末尾のm字と(逆向きに)同じだから捨てよう。
　はじめの(n-m)字を上の句、末尾のm字を下の句とした短々歌を考える。
　下の句、全体は回文である。上の句も元の中央部分だから回文である。
　∴　(m,n) は (n-m,m) に帰着する。
m≠n である限り全長が短くなるから、有限回で m=n に到達する。
上に述べた手順はユークリッドの互除法と同じだから、最後に g=gcd(m,n) に到達する。
したがって、[(g+1)/2] 種まで可能である。
m,nの最大公約数 g=gcd(m,n) が 1か2 の場合。･････ (答)
■出題２　指ハブを入手できませんでした。。。

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