【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

797:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/21 11:41:04.64
命題 355
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
L/K を n 次の巡回拡大(>>491)とする。
σ をそのGalois群(>>251)の生成元とする。
K は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含むとする。
1 の n 乗根(>>520)全体を μ_n とする。
ω ∈ μ_n と α ∈ L に対して
u(ω、α) をLagrangeの分解式とする(>>796)。
このとき以下が成り立つ。

1) σ(u(ω、α)) = (1/ω)u(ω、α)

2) 各整数 k、0 ≦ k ≦ n - 1 に対して Σ(1/ω^k)u(ω、α) = nσ^k(α)
ここで和は全ての ω ∈ μ_n に渡る。

証明
1)
u(ω、α) = α + ωσ(α) + ．．．+ (ω^(n-1))σ^(n-1)(α) である。
σ(u(ω、α)) = σ(α) + ωσ^2(α) + ．．． + ω^(n-2))σ^(n-1)(α) + (ω^(n-1))α
= (1/ω)u(ω、α)

2)
(1/ω^k)u(ω、α)
= (1/ω^k)α + (1/ω^(k-1))σ(α) + ．．．+ σ^k(α) + ．．．+ (ω^(n-k-1))σ^(n-1)(α)

一方、ω ≠ 1 のとき 1 + ω + ．．．+ ω^(n-1) = 0 である。
ω = 1 のとき 1 + ω + ．．．+ ω^(n-1) = n である。

よって、Σ(1/ω^k)u(ω、α) = nσ^k(α)
証明終

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