【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

633:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 15:22:25.39
命題 272
A を必ずしも可換でない環とし、M_i、i = 1、．．．、n を A-加群とする。
各 M_i が組成列(>>625)を持てば M = M_1 + ．．． + M_n も組成列をもつ。
さらに length(M) = Σlength(M_i) である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 の場合は自明である。
n ≧ 2 とする。
N = M_1 + ．．． + M_(n-1) とおく。
帰納法の仮定から N は組成列を持ち、length(N) = length(M_1) + ．．． + length(M_(n-1) である。
M/N は M_n に同型である。
よって、>>632より、M は組成列をもち、length(M) = length(N) + length(M_n) = Σlength(M_i)
証明終

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