【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】 at MATH

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600:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 01:34:00.22
定義 253
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
x ∈ M に対して、ann(x) = {a ∈ A; ax = 0 } とおく。
これは A の左イデアルである。

Ann(M) = {a ∈ A； aM = 0 } とおく。
これは A の両側イデアルである。

601:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 01:39:59.96
定義 254
A をNoether可換環とし、M を A-加群とする。
p を A の素イデアルとする。
ある x ∈ M があり p = ann(x) (>>600) となるとき
p を M の随伴素因子(associated prime ideal)という
M の随伴素因子全体を Ass(M) と書く。

602:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 01:44:29.20
>>601の修正

定義 254
A をネーター可換環とし、M を A-加群とする。
p を A の素イデアルとする。
ある x ∈ M があり p = ann(x) (>>600) となるとき
p を M の随伴素イデアル(associated prime ideal)という
M の随伴イデアル全体を Ass(M) と書く。

603:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 01:50:37.02
例
>>595において K を代数的閉体とする。
K[X]-加群としての V の随伴素イデアル(>>602)とは (X - λ) の形のイデアルである。
ここで V の元 0 ≠ x ∈ V があり、(u - λ)(x) = 0
即ち u(x) = λx となる。
よって λ は u の固有値である。
Ass(V) とは u の固有値の集合と見なせる。

604:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 11:13:10.07
命題 255
A を単項イデアル整域(>>598)とする。
p を A の素元(>>599)とする。
このとき、pA は極大イデアルである。

証明
pA が極大イデアルでないとする。
pA ⊂ aA となるイデアル aA で、pA ≠ aA、aA ≠ A となるものがある。
よって、p = ab となる b ∈ A がある。
よって、ab ∈ pA である。
pA は素イデアルで a ∈ pA ではないから b ∈ pA
よって、b = pc となる c ∈ A がある。
よって、p = ab = pac
p ≠ 0 だから 1 = ac
よって、aA = A となって仮定に反する。
証明終

605:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 11:25:46.90
定義 256
A を整域とする。
a ≠ 0 を A の非可逆元とする。
A の非可逆元 b、c があり a = bc となるとき a は可約という。
A の元は可約でないとき既約という。

606:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 12:13:50.39
命題 257
単項イデアル整域(>>598)においては素元(>>599)と既約元(>>605)は一致する。

証明
単項イデアル整域においては、既約元とは 0 でない極大イデアルを生成する元のことである。
任意の可換環において極大イデアルは素イデアルであるから、本命題は>>604より明らかである。
証明終

607:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 12:33:51.79
>>605の修正

定義 256
A を整域とする。
a ≠ 0 を A の非可逆元とする。
A の非可逆元 b、c があり a = bc となるとき a は可約という。
A の非可逆元は可約でないとき既約という。

608:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 12:48:30.12
命題 258
単項イデアル整域(>>598) A においては任意の 0 でない真イデアルは有限個(≧1)の素イデアルの積になる。
即ち、A の任意の 0 でない非可逆元は有限個の素元(>>599)の積になる。

証明
A において 0 でない真イデアルで有限個の素イデアルの積にならないものがあるとする。
A はNoether環だからそのようなイデアルの中で極大なものがある。
そのイデアルを I とする。
I は単項イデアルだから I = aA と書ける。
I は素イデアルでないから>>606より a は可約(>>605)である。
よって、A の非可逆元 b、c があり a = bc となる。
よって、 I = (bA)(cA) である。
I ⊂ bA、I ≠ bA だから bA は有限個の素イデアルの積になる。
同様に cA は有限個の素イデアルの積になる。
よって、I は有限個の素イデアルの積になり仮定に反する。
証明終

609:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 13:03:05.83
命題 259(素元分解の一意性)
単項イデアル整域(>>598) A においては任意の 0 でない真イデアルは
有限個(≧1)の素イデアルの積として一意に表される。
即ち、A の任意の 0 でない非可逆元は素元(>>599)の積として可逆元の違いを除いて一意に表される。

証明
a を A の任意の 0 でない非可逆元とする。
>>608より、a = (p_1)．．．(p_n) となる素元 p_1、．．．、p_n がある。
a = (q_1)．．．(q_m) となる素元 q_1、．．．、q_n があるとする。
(q_1)．．．(q_m) は p_1 で割れ、p_1 は素元だから q_1、．．．、q_n のどれかが p_1 でわれる。
q_1 が p_1 で割れると仮定してよい。
>>606より、q_1 は既約だから q_1 = ε(p_1) となる。ここで ε は可逆元である。
よって、素元分解は可逆元の違いを除いて一意である。
証明終

610:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 13:08:51.63
命題 260
A を単項イデアル整域(>>598)とし、M を A-加群とする。
x ∈ M, x ≠ 0 とする。
p を A の素元(>>599)とし、px = 0 とする。
このとき、pA ∈ Ass(M) (>>602)である。

証明
x ≠ 0 だから ann(x) ≠ A である。
p ∈ ann(x) (>>600) だから pA ⊂ ann(x) である。
>>604より、pA は極大イデアルであるから pA = ann(x) である。
pA は素イデアルだから、pA ∈ Ass(M) である。
証明終

611:仙石６０
11/11/18 13:15:34.64
>>Kummer
うるせぇ、さもないと沈めるぞ！

612:１３２人目の素数さん
11/11/18 13:17:55.21
ああ、こりゃ、こりゃ。

613:１３２人目の素数さん
11/11/18 13:22:42.51

©®™

614:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 13:25:07.85
命題 261
A を単項イデアル整域(>>598)とし、M を A-加群とする。
x ∈ M, x ≠ 0 とする。
このとき、ann(x) を含む素イデアル pA で pA ∈ Ass(M) (>>602)となるものがある。

証明
ann(x) = aA とする。
x ≠ 0 だから aA ≠ A である。
>>608より、a = (p_1)．．．(p_n) となる素元 p_1、．．．、p_n がある。
n = 1 なら>>610より aA ∈ Ass(M) である。
n ≧ 2 とする。
(p_2)．．．(p_n)x = 0 とすると (p_2)．．．(p_n) が a で割れることになって矛盾。
よって、(p_2)．．．(p_n)x ≠ 0 である。
よって、>>610より (p_1)A ∈ Ass(M) である。
ann(x) = aA ⊂ (p_1)A である。
証明終

615:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 13:41:10.70
命題 262
A を単項イデアル整域(>>598)とし、M を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、Ann(M) (>>600) ≠ 0 である。

証明
x_1、．．．、x_n を M の生成元とする。
各 i に対して、(a_i)(x_i) = 0 となる 0 ≠ a_i ∈ A がある。
a = (a_1)．．．(a_n) とすれば ax_i = 0、i = 1、．．．、n となる。
aM = 0 であるから 0 ≠ a ∈ Ann(M) である。
証明終

616:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 13:46:57.44
記法
A を可換環とする。
A の素イデアル全体の集合を Spec(A) と書く。

617:猫 ◆MuKUnGPXAY
11/11/18 14:09:13.57
>>611
Kummer氏に抵抗したらワシが叩くゾ。エエんやな。

猫

618:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 14:13:33.87
命題 263
A を単項イデアル整域(>>598)とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、Ass(M) = {P ∈ Spec(A)； Ann(M) ⊂ P}

証明
P ∈ Ass(M) なら P = ann(x) となる x ∈ M がある。
Ann(M) ⊂ ann(x) だから Ann(M) ⊂ P

逆に、P を Ann(M) ⊂ P となる素イデアルとする。
Ann(M) = aA とする。
>>615より、aA ≠ 0 である。
M ≠ 0 であるから aA ≠ A である。
よって、a は 0 でない非可逆元である。
よって、>>608より、a = (p_1)．．．(p_n) となる素元 p_1、．．．、p_n がある。
a ∈ P だから p_i ∈ P となる p_i がある。
p_i = p_1 と仮定してよい。
>>604より、(p_1)A は極大イデアルだから (p_1)A = P である。
(p_2)．．．(p_n)M ≠ 0 だから (p_2)．．．(p_n)x ≠ 0 となる x ∈ M がある。
y = (p_2)．．．(p_n)x とおく。
y ≠ 0 で (p_1)y = 0 であるから>>610より P = (p_1)A ∈ Ass(M) である。
証明終

619:１３２人目の素数さん
11/11/18 14:13:51.40
>>617
体論 Part 1
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

620:１３２人目の素数さん
11/11/18 14:18:10.36

　　　　　　　 ∬ ∬　　　 ∬ ∬　　　 ∬ ∬　　+
　　　+　　　　人　　　　　人　　　　　人　　　　 +
　　　　　　（＿_）　　　（＿_）　　　（＿_）
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　　　　　　　（＿）し'　　し（＿）　　（＿）＿）

621:１３２人目の素数さん
11/11/18 14:20:46.98

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622:１３２人目の素数さん
11/11/18 14:21:07.71
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623:１３２人目の素数さん
11/11/18 14:24:54.60
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

624:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 14:27:46.37
定義 264
A を必ずしも可換でない環とし、M ≠ 0 を A-加群とする。
M が M と 0 以外の A-部分加群を持たないとき M を単純または既約と言う。

625:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 14:31:32.43
定義 265
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
M の A-部分加群の列 M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ ．．． ⊃ M_n = 0 があり、
各 M_i(i = 1、．．．、n) は M_(i-1) の A-部分加群であり、M_(i-1)/M_i が単純(>>624) であるとき
この列を M の組成列(composition series)と言う。
各 M_(i-1)/M_i をこの組成列の組成因子(composition factor)または因子と呼ぶ。
n をこの組成列の長さと呼び、n = length(M) と書く。

626:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 14:36:01.03
命題 266
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N と L を M の A-部分加群とする。
このとき、L/(L ∩ N) は (L + N)/N に同型である。

証明
>>556と同様である。

627:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 14:37:59.13
命題 267
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>625)を持てば、M の任意の A-部分加群 N ≠ M は、
長さ ≦ n - 1 の組成列を持つ。

証明
>>557と同様である。

628:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 14:41:33.87
命題 268(Jordan-Hoelderの定理)
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ ．．． ⊃ M_n = 0 を M の組成列(>>625)とする。
このとき、M の任意の組成列の長さは n であり、その組成因子(>>625)の列は、
順序を別にして列 (M_(i-1)/M_i)、i = 1、．．．、n と同型である。

証明
>>561と同様である。

629:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 15:03:42.85
命題 269
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
H_1 ⊃ H_2 を M のA-部分加群とする。
(H_1)/(H_2) は単純(>>624) であるとする。
N を M のA-部分加群とする。
このとき、(H_1 + N)/(H_2 + N) は単純であるか H_1 + N = H_2 + N である。

証明
>>558と同様である。

630:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 15:06:26.53
>>625
便宜上 M = 0 のとき M は長さ 0 の組成列を持つと考える。

631:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 15:12:03.51
命題 270
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N をその A-部分加群とする。
M が組成列(>>625)を持てば、N と M/N も組成列を持つ。
このとき、length(M) = length(N) + length(M/N) である。

証明
N が組成列を持つことは>>627で証明されている。
M/N が組成列を持つことは>>629より直ちに得られる。
length(M) = length(N) + length(M/N) は自明である。
証明終

632:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 15:13:43.46
命題 271
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N をその A-部分加群とする。
N と M/N が組成列を持てば M も組成列をもつ。
このとき、length(M) = length(N) + length(M/N) である。

証明
自明である。

633:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 15:22:25.39
命題 272
A を必ずしも可換でない環とし、M_i、i = 1、．．．、n を A-加群とする。
各 M_i が組成列(>>625)を持てば M = M_1 + ．．． + M_n も組成列をもつ。
さらに length(M) = Σlength(M_i) である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 の場合は自明である。
n ≧ 2 とする。
N = M_1 + ．．． + M_(n-1) とおく。
帰納法の仮定から N は組成列を持ち、length(N) = length(M_1) + ．．． + length(M_(n-1) である。
M/N は M_n に同型である。
よって、>>632より、M は組成列をもち、length(M) = length(N) + length(M_n) = Σlength(M_i)
証明終

634:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 15:59:23.19
命題 273
A を単項イデアル整域(>>598)とする。
I ≠ 0 を A の任意のイデアルとする。
このとき I ⊂ J となる A のイデアル J の個数は有限である。

証明
I = A のときは本命題の主張は自明であるから I ≠ A とする。
I = aA、J = bA とすると、a は b で割れるから a = bc となる c ∈ A がある。
よって、I = J(cA) である。
>>609より、I は素イデアルの積として一意に分解される。
I = (P_1)^(n_1)．．．(P_r)^(n_r) とする。
ここで、各 n_i ≧ 1、各 P_i は素イデアルであり、i ≠ j のとき P_i ≠ P_j とする。

J を I ⊂ J、J ≠ A となるイデアルとする。
>>609より、J は素イデアルの積として一意に分解される。
J = (Q_1)^(m_1)．．．(Q_s)^(m_s) とする。
ここで、各 m_i ≧ 1、各 Q_i は素イデアルであり、i ≠ j のとき Q_i ≠ Q_j とする。

I = J(cA) であるから各 Q_k はどれかの P_i に一致し、n_i ≧ m_k である。
よって、I ⊂ J となる A のイデアル J の個数は有限である。
証明終

635:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 16:01:28.86
命題 274
A を単項イデアル整域(>>598)とする。
I ≠ 0 を A の任意のイデアルとする。
このとき A/I は A-加群として組成列(>>625)を持つ。

証明
>>634より明らかである。

636:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 16:17:35.63
定義 275
A を必ずしも可換でない環とする。
A 上の加群で１個の元から生成されるものを巡回加群と言う。

637:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 16:25:20.89
命題 276
A を単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A-巡回加群とし、x をその生成元とする。
このとき M は A/ann(x) (>>600)に同型である。

証明
A の元 a に ax を対応させることにより A-準同型 f：A → M が得られる。
f は全射で Ker(f) = ann(x) である。
よって、M は A/ann(x) に同型である。
証明終

638:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 16:36:02.40
命題 277
単項イデアル整域(>>598) A 上の任意の有限生成捩れ加群(>>596) M は組成列(>>625)を持つ。

証明
x_1、．．．、x_n を M の生成元とする。
A(x_1)、．．．、A(x_n) の直和加群を N とする。
N の元 (y_1、．．．y_n) に (y_1) + ．．． + (y_n) ∈ M を対応させることにより
A-準同型 f：N → M が得られる。
f は全射である。
よって、M は N/Ker(f) に同型である。
>>637と>>635より、各 A(x_i) は組成列を持つ。
よって、>>633より N も組成列を持つ。
よって、>>631より、M は組成列を持つ。
証明終

639:１３２人目の素数さん
11/11/18 18:47:52.39
きゅうけい
　　　　　　|:::::::::::::::
　　　　ﾟＹ´うんこ｀Ｙﾟ ::::::::::::
　　　　　（´・ω・`) ::::::::
◎ー）　 /　　　　＼:::::::::
　|　 |　(⌒) (⌒二　)::::::::::::
　~~~　／⌒ヽ(￣､　ヽ＿＿＿
　　　/　　　　Lヽ＼ノ＿__
　　　ﾞー――（＿_）---

640:１３２人目の素数さん
11/11/18 19:15:11.73
支援熊

641:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 19:28:18.14
命題 278
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
M が単純(>>624)な捩れ加群(>>596)であるためには、
P を A の 0 でない素イデアルとして、M が A/P と同型になることが必要十分である。

証明
必要性：
M を単純な捩れ加群とする。
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
>>637より、M は A/ann(x) に同型である。
M は単純だから ann(x) は M の極大イデアルである。
M は捩れ加群だから ann(x) ≠ 0 である。

十分性：
P を A の 0 でない素イデアルとして、M が A/P と同型であるとする。
>>604より P は極大イデアルである。
よって、A/P は単純である。
よって、M は単純である。
P ≠ 0 だから P の元 x で 0 でないものがある。
x(A/P) = 0 だから A/P は捩れ加群である。
よって、M は捩れ加群である。
証明終

642:１３２人目の素数さん
11/11/18 19:36:08.92

　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦　　　プルト茶置いておきますね
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
.　ﾟＹ´_Pu_｀Ｙﾟ旦旦旦旦旦旦旦旦
　　 ( ´･ω･) 　旦旦旦旦旦旦旦旦
.　　 /ヽ○==○旦旦旦旦旦旦旦旦
　　/　　||＿　| 旦旦旦旦旦旦旦旦
　　し'￣(_)）￣(_)）￣(_)）￣(_)）￣(_)）

643:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 19:36:16.97
命題 279
A を整域とし、M を A-加群とする。
N を M のA-部分加群とする。
M が捩れ加群(>>596)であるためには、N と M/N が捩れ加群であることが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
N と M/N が捩れ加群であるとする。
π：M → M/N を標準的な準同型とする。
M/N は捩れ加群だから任意の x ∈ M に対して aπ(x) = 0 となる a ≠ 0 がある。
π(ax) = 0 だから ax ∈ N である。
N は捩れ加群だから b(ax) = 0 となる b ≠ 0 がある。
A は整域だから ba ≠ 0 である。
よって、M は捩れ加群である。
証明終

644:１３２人目の素数さん
11/11/18 19:36:45.67
　　　／|　ミ
　　　 |　 |　　 __
　　　 !　 |ﾟＹ´ _Ｐu_Ｙﾟ　
　　　 |　 | (（´・ω・）　　出動準備完了しますた！　
　　　＼|　/ つ¶つ¶
　Ｏ　／￣￣￣￣＼　O
　　＼i　　　- ─‐-　 i/
　　　／/ ´　●:::::::::::●｀ヽ
　　　|　|　　:::::（__人__）:::::　l
　　　ヽヽ、　:::::::::::::::::::::::: ノ
　　　　/　　　:::::::::::::::::::::,＼
　　　　しｲ　　:::::::::::::::::: ﾄ､ﾉ　
　　　　　 l　　　:::::::::::　/　　　
　　　　　 )::: ）￣￣ )::: ）

645:１３２人目の素数さん
11/11/18 19:37:33.71

　　　　　　　　　　.. - ─‐ - ..
　　　　　　Ｏ　／　　　　Ｐｕ　＼　Ｏ
　　　　　　　＼|　　 - ─‐‐-　 i/
　　　　　　　　／/ ´　●:::::::::::●｀ヽ
　　　　　　　 !　|　　:::::（__人__）:::::　l
　　　　（ . :.:;;;. ヽヽ、　:::::::::::::::::::::::: ノ
　　　　　）.:.:;;.;;:.）/　　　::::::::::::::::::: ,＼　ｽﾞｼｰﾝ
　　　　ノ. ..:;;.;.ノしｲ　 ::::::::::::::::::　ﾄ､ﾉ
　　（　,.‐''~ ﾜｰ　l　::::＿＿ :::: / 　　　　（,;(
（..::;ノ　)ﾉ__ 　　　 )::: ）　＿ )::: ）　ﾜｰ_＿_)）
　）ﾉ__ '|ﾛﾛ| ／￣＼　'＿|ﾛﾛl／￣＼　|ﾛﾛﾛ| ＿
＿|田|_|ﾛﾛ|__|　ﾛﾛ|＿|田|ﾛﾛ|_|　ﾛﾛ|＿|ﾛﾛﾛ||田|_

646:１３２人目の素数さん
11/11/18 19:38:05.77
　　　　　　　　　　.. - ─‐ - ..
　　　　　　Ｏ　／　　　　Ｐｕ　＼　Ｏ
　　　　　　　＼|　　 - ─‐‐-　 i/
　　　　　　　　／/ ´　○:::::::::::○｀ヽ
　　　　　　　 !　|　　:::::（__人__）:::::　l　ｶﾞｧｧｧｧｧｧー !!
　　　　（ . :.:;;;. ヽヽ、　:::::::＼＼＼: ノ
　　　　　）.:.:;;.;;:.）/　　　::::::::::＼＼＼`
　　　　ノ. ..:;;.;.ノしｲ　 :::::::::::::::::＼＼＼ｷｬｰ　　　　∵
　　（　,.‐''~ ﾜｰ　l　::::＿＿.::::: /＼＼＼丿ヽﾉ人：　）
（..::;ノ　)ﾉ__ 　　　 )::: ）　＿ )::: ） ` ＼＼_从ﾉヽ从）;;;)
　）ﾉ__ '|ﾛﾛ| ／￣＼　'＿|ﾛﾛ|／￣＼ )ヾ　　　　　）ﾉノ
＿|田|_|ﾛﾛ|__|　ﾛﾛ|＿|田|ﾛﾛ|_|　ﾛﾛ|_（.:;;.丶　　从(_

647:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 19:47:47.68
命題 280
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N を M のA-部分加群とする。
N と M/N が有限生成であれば M も有限生成である。

証明
π：M → M/N を標準的な準同型とする。
N の生成元を x_1、．．．、x_n とする。
y_1、．．．、y_m を M の元で π(y_1)、．．．、π(y_m) が M/N を生成するとする。
x を M の任意の元とする。
A の元 b_1、．．．、b_m があり、π(x) = b_1π(y_1) +．．．+ b_mπ(y_m) となる。
π(x) = π(b_1y_1) +．．．+ π(b_my_m) だから
x - (b_1y_1 +．．．+ b_my_m) ∈ N である。
よって、A の元 a_1、．．．、a_n があり
x - (b_1y_1 +．．．+ b_my_m) = a_1x_1 +．．．+ a_nx_n となる。
よって、
x = a_1x_1 +．．．+ a_nx_n + b_1y_1 +．．．+ b_my_m
よって、M は x_1、．．．、x_n、y_1、．．．、y_m で生成される。
証明終

648:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 19:58:07.25
命題 281
A を単項イデアル整域(>>598)とする。
A が抽象体(>>197)でなければ任意の単純(>>624)なA-加群は、捩れ加群(>>596)である。

証明
M を A 上の単純な捩れ加群とする。
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
>>637より、M は A/ann(x) に同型である。
M は単純だから P = ann(x) は M の極大イデアルである。
A は抽象体でないから P ≠ 0 である。
よって、P の元 x で 0 でないものがある。
x(A/P) = 0 だから A/P は捩れ加群である。
よって、M は捩れ加群である。
証明終

649:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 20:09:38.45
命題 282
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
A-加群 M が組成列(>>625)を持つためには M が有限生成捩れ加群(>>596)であることが
必要十分である。

証明
必要性：
M が組成列(>>625)を持つとする。
>>648より単純加群(>>624)は捩れ加群である。
よって、>>643より M は捩れ加群である。

単純加群は巡回(>>636)だから有限生成である。
よって、>>647より M は有限生成である。

十分性：
>>638で証明されている。
証明終

650:１３２人目の素数さん
11/11/18 20:26:35.04
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２

651:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 20:31:40.07
>>637は A が単項イデアル整域でなくとも良かった。

命題 283
A を必ずしも可換でない環とする。
M を A-巡回加群(>>636)とし、x をその生成元とする。
このとき ann(x) は A の左イデアルで M は A/ann(x) (>>600)に同型である。

証明
A の元 a に ax を対応させることにより A-準同型 f：A → M が得られる。
f は全射で Ker(f) = ann(x) である。
よって、M は A/ann(x) に同型である。
証明終

652:１３２人目の素数さん
11/11/18 20:33:02.33
藤原一宏「まずいろいろ難しいことを言う前に, これだけは言っておきたい.
私は内容がなんであれ, 数学が好きな人と一緒に何かをしたいので,
まず数学が好きかどうか自分に問いかけて, 好きだと思えてから来て欲しい.」

だ・か・ら　虚偽申請

でも周りに敵が多くて内部告発される（告発したのは解析系か？）
→大嘘発覚、恥をかく。そしてみなさんに迷惑をかける。
→フィールズ賞現地枠先生の手紙でなんとか今に至る

653:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 20:38:36.44
命題 284
A を可換環とする。
M を A-巡回加群(>>636)とし、x をその生成元とする。
このとき、ann(x) = Ann(M) (>>600)

証明
a ∈ ann(x) とする。
y を M の任意の元とする。
y = bx と書ける。
よって、ay = a(bx) = b(ax) = 0
よって、a ∈ Ann(M)
よって、ann(x) ⊂ Ann(M)
逆の包含関係は明らかである。
証明終

654:１３２人目の素数さん
11/11/18 20:44:15.19
藤原一宏「まずいろいろ難しいことを言う前に, これだけは言っておきたい.
私は内容がなんであれ, 数学が好きな人と一緒に何かをしたいので,
まず数学が好きかどうか自分に問いかけて, 好きだと思えてから来て欲しい.」

お前にそんなことを言う資格はない。この虚偽申請野郎。

655:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 20:45:14.45
命題 285
A を可換環とし、M を単純(>>624)なA-加群とする。
このとき P = Ann(M) (>>600)は極大イデアルであり、
M は A/P に同型である。

証明
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
>>651より、M は A/ann(x) に同型である。
M は単純だから P = ann(x) は極大イデアルである。
一方、>>653より、ann(x) = Ann(M) である。
証明終

656:猫 ◇MuKUnGPXAY
11/11/18 20:50:13.57
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫

657:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 20:50:46.05
定義 286
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
>>638より M は組成列(>>625)を持つ。
n = length(M) (>>625) とし、M の各組成因子(>>625)を N_i、i = 1、...、n とする。
>>655より、各 P_i = Ann(N_i)、i = 1、...、n は極大イデアルである。
このとき、(P_1)．．．(P_n) を M の容量とよび、χ(M) と書く。

658:猫 ◇MuKUnGPXAY
11/11/18 20:50:47.90
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫

659:猫 ◇MuKUnGPXAY
11/11/18 20:51:54.20
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
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馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫

660:１３２人目の素数さん
11/11/18 20:54:44.92
藤原一宏「まずいろいろ難しいことを言う前に, これだけは言っておきたい.
私は内容がなんであれ, 数学が好きな人と一緒に何かをしたいので,
まず数学が好きかどうか自分に問いかけて, 好きだと思えてから来て欲しい.」

お前にそんなことを言う資格はない。この虚偽申請野郎。

661:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 20:55:14.18
例
G を有限abel群とする。
G は有理整数環 Z 上の有限生成捩れ加群(>>596)である。
G の位数を n としたとき nZ = χ(G) (>>657)である。

662:猫 ◇MuKUnGPXAY
11/11/18 20:56:19.18
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫

663:１３２人目の素数さん
11/11/18 20:58:19.71
朝起きた時に，きょうも一日虚偽申請をやるぞと思ってるようでは，とてもものにならない。
虚偽申請を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚めたときは既に虚偽申請の世界に入っていなければならない。
どの位，虚偽申請に浸っているかが，勝負の分かれ目だ。
虚偽申請は自分の研究者生命を削ってやるようなものなのだ

664:猫 ◆MuKUnGPXAY
11/11/18 21:10:32.39
猫

665:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 21:13:02.86
命題 287
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の加群とする。
N をその A-部分加群とする。
このとき、M が有限生成捩れ加群(>>596)であるためには
N と M/N が有限生成捩れ加群であることが必要十分である。

証明
必要性：
M は有限生成捩れ加群であるとする。
>>649より M は組成列(>>625)を持つ。
>>631より N と M/N も組成列を持つ。
よって、>>649より N と M/N は有限生成捩れ加群である。

十分性：
N と M/N は有限生成捩れ加群であるとする。
>>649より N と M/N は組成列を持つ。
よって>>632より M も組成列をもつ。
よって、>>649より M は有限生成捩れ加群である。
証明終

666:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 21:16:55.92
命題 288
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の有限生成捩れ加群とする。
N をその A-部分加群とする。
>>665より、N と M/N は有限生成捩れ加群である。
このとき、χ(M) = χ(N) + χ(M/N) である。

証明
χ(M) の定義(>>657)から明らかである。

667:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 21:34:34.79
>>666の修正

命題 288
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の有限生成捩れ加群とする。
N をその A-部分加群とする。
>>665より、N と M/N は有限生成捩れ加群である。
このとき、χ(M) = χ(N)χ(M/N) (>>657)である。

証明
χ(M) の定義(>>657)から明らかである。

668:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 21:38:55.14
命題 289
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上有限生成の捩れ加群(>>596)とする。
このとき、χ(M)M = 0 (>>657)となる。
つまり、χ(M) ⊂ Ann(M) (>>600)となる。

証明
M = 0 の場合は自明だから M ≠ 0 とする。
n = length(M) (>>625)に関する帰納法を使う。
n = 1 なら M は単純であるから、>>655より χ(M) = Ann(M) である。
よって、n = 1 のときは本命題は成り立つ。

n ≧ 2 とする。
N を M/N が単純(>>624)になるような M の部分加群とする。
>>655より χ(M/N) = Ann(M/N) である。
よって、χ(M/N)M ⊂ N となる。
length(N) = n - 1 だから帰納法の仮定より χ(N)N = 0
よって、χ(N)χ(M/N)M = 0
一方、>>667 より、χ(N)χ(M/N) = χ(M) である。
よって、χ(M)M = 0
証明終

669:１３２人目の素数さん
11/11/18 21:44:17.19
熊

謝れ

670:猫 ◆MuKUnGPXAY
11/11/18 21:46:23.85
>>669
そっ込め。そやないと叩くゾ。

猫

671:猫 ◆MuKUnGPXAY
11/11/18 21:47:26.87
訂正：

そっ込め。　→　すっ込め。

猫

672:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 21:55:32.96
例
G を有限abel群とする。
G は有理整数環 Z 上の有限生成捩れ加群(>>596)である。
G の位数を n としたとき nZ = χ(G) (>>657)である。
よって、>>668より nG = 0
これは群論でよく知られている。

673:１３２人目の素数さん
11/11/18 22:06:23.95
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
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加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２

674:猫 ◆MuKUnGPXAY
11/11/18 22:09:34.63
猫

675:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/18 22:38:05.16
繰り返しを避けるため、今後特に断らない限り単項イデアル整域(>>598)は抽象体(>>197)でないとする。

676:猫 ◇MuKUnGPXAY
11/11/18 23:00:48.43
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
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猫

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