【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

【神々の】ガロア生誕 ..

542:Kummer ◆SgHZJkrsn08e
11/11/16 22:44:48.37
命題 219
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
K を体(>>82)とする。
a ∈ K とし、X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) を L とする。
このとき L/K はGalois拡大(>>251)である。
G をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、G は Aff(1, Z/nZ) (>>531)の部分群に同型である。
ここで Z は有理整数環である。

証明
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含む。
X^n - a の Ω における根の一つを α とする。
a = 0 の場合は G = {1} であり、本命題は自明であるから a ≠ 0 と仮定する。
よって、α ≠ 0 である。
よって、α、αζ、．．．、αζ^(n-1) は X^n - a の相異なる根である。
よって、X^n - a は分離的(>>193)である。
よって、>>450より L/K はGalois拡大(>>251)である。
L = K(α、αζ、．．．、αζ^(n-1)) であるが α ≠ 0 より、ζ = (αζ)/α ∈ L である。
よって、L = K(α、ζ) である。

(続く)

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